Tema 1: Funciones, Límites y Continuidad

Transcripción

1 Tma : Funions, Límits y Continuidad..- Funión Ral d variabl Ral: Una unión numéria d una variabl ral s una ly qu ha orrspondr a ada lmnto d un onjunto A un númro ral. La rprsntarmos d la siguint orma: : A :[,] Ejmplo : dond s la variabl indpndint y s la variabl dpndint. Al onjunto A s l llama onjunto d diniión d o dominio son los valors d para los qu la unión stá dinida.. S llama rorrido d una unión, al onjunto d valors qu toma la variabl dpndint Rspto a un sistma d rrnia O, ˆ, i ˆ j dl plano, l onjunto d puntos M,y dl plano tals qu A, y, s llama gráia o urva d la unión. Y y M,y Curva d Una unión, nuna vulv haia atrás, ya qu para ada valor d, obtnmos un solo valor d. iˆ O ĵ X o La unión : A R stá aotada supriormnt, si A, /. A los númros qu umpln sta propidad s ls llama mayorants o otas supriors d. La unión : A R stá aotada inriormnt, si A, /. A los númros qu umpln sta propidad s ls llama minorants o otas inriors d. s di qu stá aotada si istn otas supriors inriors, ó P / A, P Ejmplo : Sa : A dinida por Si A [,], la unión stá aotada supriormnt: A, / 4 aotada inriormnt ya qu A, / 7, y admás, la unión stá Por tanto la unión s Aotada, por star aotada suprior inriormnt. Si A, la unión no stá aotada supriormnt ya qu ualquira qu sa l númro ral M, simpr ist un tal qu M. Esta unión si stá aotada inriormnt porqu A,. Por tanto la unión no s aotada porqu no tin otas supriors. Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página

2 Opraions on unions:...- Composiión d unions: San y g dos unions, omponr dos unions, s apliar l rsultado d una d llas a la otra. g g : g ompusta on g g : ompusta on [ ] [ ] g Ejmplo : San y g g g [ ] [ ] g [ g ] g..- Invrsa d una unión: Dada una unión, s din su invrsa y s rprsnta por. Para alular la unión invrsa dspjamos n unión d y. Ejmplo 4: San y su unión invrsa: log, omo la unión qu vriia: Gráiamnt, una unión y su invrsa son simétrias rspto d la rta y [ ] [ log ] log [ ] log log.4.- Funions lmntals d una variabl ral: Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página

3 Funions Polinómias, son d la orma an an... a ao y su dominio s R. n n an an... a ao Funions Raionals, son d la orma su dominio s R n n bn bn... b bo mnos los valors qu anulan l dnominador. n Funions Irraionals, son dl tipo g, sindo su dominio: n n El mismo qu l d g si n s impar El onjunto d valors rals qu hagan g si n s par g Funions ponnials, son d la orma a, on a > y a, su dominio s l mismo qu l d g. Funions logarítmias, son d la orma log g, on a >. Su dominio son los valors a qu han g >. Funions irulars: sn, os, su dominio s. A partir d stas dos, podmos dinir l rsto d unions irulars: sn π tg, s sus dominios son, os os k k Z os tg, os sus dominios son { kπ, k Z} sn sn Funión Valor Absoluto:.5.- Funions dinidas a trozos: si si < Ejmplo 5: Dimos qu una unión stá dinida a trozos si su prsión algbraia dpnd dl intrvalo n l qu s nuntr l númro ral uya imagn s quir alular. A ada trozo llamarmos rama d la unión. si < si.6.- Limit d una unión n un punto: S di qu tin n l punto o l límit l, si l l Una orma más rápida d alular st límit s sustituir dirtamnt por l valor o. l o Ejmplo 6: Sa, alular l límit d n l punto o Límits latrals: Si la unión stá dinida a trozos, s di qu tin límit n un punto o si istn los límits latrals y stos oinidn: l l l l si < Ejmplo 7: Sa si alular l límit d n l punto o Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página

4 Cálulo d límits: [ g ] g a Si l rsultado no s a a Si λ, [ λ ] λ a a [ g ] g a Si g ; a Si l rsultado no s a a a Si l rsultado no s, a g g a Si ; a a a Si ; a a Si > a ; [ ] a g a a g a Si no rsulta,,.7.- Límits n l ininito: Cuando.7..- Límit inito:, una unión pud omportars d divrsas manras: l ± l Podmos onsguir qu sté tan próimo d l omo quramos, agrandando. Opraions on los límits initos: Si a y g b, s umpln las siguints rlaions: [ g ] g a b [ g ] g a b [ g ] g a b a Si b g g b g g Si > n a Si n s impar ó n s par pro b a n n [log ] log [ ] log a Si b > y >. b b b.7..- Límit ininito ± Podmos onsguir qu sa tan grand ó tan ngativa omo quramos simplmnt on har lo suiintmnt grand. Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página 4

5 Funions quivalnts n un punto:, S di qu las unions y g son quivalnts n un punto a a inito,, si: a g Si n una prsión igura omo ator o divisor una unión, l límit no varia al sustituir diha unión por otra quivalnt Coint d Polinomios: p a a' q b b' p q ± a b Si p Si p Si p > q < q q Sn X tg X Arsn X Artg X X Cos X X / X ln X ln X Sn X X Cálulo d Límits: Sumas Produtos Coints Potnias l si l > l l si l < ± l l ± sil si l < l sil > l si l > ± l sil < ± l si l l Sil > ± l l Si < l < l..- Límits indtrminados: Eistn 7 tipos d indrtrminaions: ± Vamos a pliar omo s rsulvn algunas d llas: Tipo La orma d rsolvrla s tuar la opraión y studiar la prsión rsultant. Si aparn raís, utilizarmos l onjugado. Ejmplo 8: Tipo / Normalmnt s da n l oint d polinomios., para rsolvrla, tnmos qu dividir numrador y dnominador por la raíz qu haga ro l dnominador. Si aparn raís utilizarmos l onjugado. Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página 5

6 Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página 6 Q P Q P Q P Tipo Normalmnt s da n l oint d polinomios. La orma d rsolvrla s omparar los ininitos d numrador y dnominador. Tipo Esta indtrminaión la transormarmos n una dl tipo Tipo Utilizarmos la rgla dl zapato ó rgla dl nº. g g Sabmos qu,77..., pus tratarmos d onvrtir límits on indtrminaión d st tipo n límits d sta orma. Estas y l rsto d indtrminaions las rsolvrmos más dlant d otra orma, utilizando la rgla d L Hôpital...- Continuidad d una unión n un punto: Sa una unión ral dinida n un intrvalo I, y a un punto d I. S di qu la unión s ontinua n l punto si y solo si ist l límit d n l punto y ést s igual a. Por tanto, una unión s ontinua n l punto si s umpl: La unión stá dinida n, s dir, ist Eist Ejmplo : Ejmplo : 7 7 porqu l grado dl numrador s mnor qu l dl dnominador Ejmplo :

7 La unión s ontinua n l punto si s ontinua por la drha y por la izquirda ó si los límits latrals oinidn: Eistn uatro asos d disontinuidad: no dinida n C D salto Evitabl Asintótia La unión no stá dinida n l punto C No oinidn los límits latrals d la unión n l punto C. No oinid l límit d la unión n l punto C, on l valor d la unión n l punto C. Ejmplo: Ejmplo: Ejmplo: Ejmplo: 4 si si? si < si si 4 si No ist alguno d los límits latrals d la unión n l punto C. si sn si > sn Todas las unions lmntals dsritas on antrioridad son ontinuas n su dominio d diniión, pto: Funions Raionals: Son disontinuas n los puntos qu no son dl dominio, s dir, dond Q. Las disontinuidads son d tipo asintótio o vitabls, n ningún aso pudn sr d salto. Funions Trigonométrias: La tangnt, la sant, la osant y la otangnt prsntan disontinuidads asintótias n los puntos qu no son d su dominio. Funions a trozos: S db studiar la ontinuidad d ada rama n su dominio, y la ontinuidad n l punto dond ambiamos d rama, dond pud aparr una disontinuidad d salto...- Propidads d las unions ontínuas: San y g dos unions ontínuas n un punto, ntons: g s una unión ontínua n. λ s una unión ontínua n. s una unión ontínua n, si g g s una unión ontínua n...- Continuidad n un intrvalo: La unión s ontinua n l intrvalo Ia,b si s ontinua n todo punto d a,b. Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página 7

8 La unión s ontínua n l intrvalo I[a,b] si s ontinua n todo punto d a,b, ontinua por la drha n l punto a y ontinua por la izquirda n l punto b. Las unions polinómias son ontinuas n todo intrvalo ral. Las unions raionals son ontinuas n un todo intrvalo ral dond no aparzan las raís dl dnominador. Las unions trigonométrias sn, os son ontinuas n todo intrvalo ral. Las unions tg, s son ontinuas n todo intrvalo ral dond os. Las unions tg, os son ontinuas n todo intrvalo ral dond sn. La unión ponnial, a on a > s ontinua n todo intrvalo ral. La unión logarítmia, log,..- Torma d Wirtrass: a on a > s ontinua n l intrvalo Si una unión s ontínua n un intrvalo I[a,b], rrado y aotado, ntons alanza n él, al mnos una vz su máimo y mínimo absolutos..4.- Torma d los Cros d Bolzano: Si una unión ontínua n un intrvalo [a,b] ambia d signo, s dir a b<, ist al mnos un punto dl intrvalo n l qu la unión val. ontínua n [a,b], y a b<, a,b n l qu Gométriamnt, l torma stabl qu si dos puntos a,a y b,b d la gráia d una unión ontinua stán situados n dirnts lados dl j X, ntons la gráia orta al j X n algún punto ntr a y b. Por supusto qu pudn istir varios puntos d ort on l j X. si Ejmplo : Calular a y b para qu la unión dinida por a b si < < ln si sa ontinua La unión s una unión dinida a trozos ompusta por trs ramas, la primra rama s l produto d una polinómia por una ponnial, qu s ontínua, porqu las unions ponnials y las polinómias son simpr ontínuas, la sgunda rama s una unión polinómia, y por tanto ontínua, la trra rama s la omposiión d una polinómia y una logarítmia, qu stá bin dinida porqu >, así qu también s ontínua simpr, por tanto sta unión solo pud tnr problmas d ontinuidad n los puntos n los qu ambia d rama. O sa n y. Estudimos sos puntos: a Una unión s ontínua n un punto a si ourr: a a a En : ; b ; Por tanto para qu sa ontínua n ro b. En : ; ; a b Por tanto para qu sa ontínua n uno, ab. Y para qu la unión sa ontínua, s han d umplir las dos ondiions, por tanto s ontínua si b y a. Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página 8

9 Ejriios:.- Dtrminar l valor d a para qu: a.- Calular: a os.- Calular l límit d la unión, n l punto, n l punto y n 4.- Calular l siguint límit: 5.- Calular l valor d la onstant para qu si 6.- Estudiar n l urpo ral la ontinuidad d la unión dinida por: si > sn a b os si 7.- Dtrminar a y b para qu la unión ral, dinida por sn a b si > ontinua n la rta ral. sa 8.- Probar qu la unión dinida por no s ontinua n. Indiar qu tipo d 7 8 disontinuidad prsnta..- Usando l torma d Bolzano, dmostrar qu la uaión 5 tin al mnos una soluión o tal qu < o <..- Sa : [,] R, la unión dinida por: 4 a Es ontínua n [,-]? b Enunia un torma n virtud dl ual s pud airmar qu la unión alanza sus trmos absolutos n l intrvalo [-,]..- Enuniar l torma d bolzano. Sa la unión. S tin qu -4 y --, pro la gráia d no orta l j d abisas n l intrvalo [-,-]. Razonar si sto ontradi l torma d Bolzano..- Probar qu las gráias ln y g s ortan n algún punto dl intrvalo [,]..6.- Soluions:.- Dtrminar l valor d a para qu: a Tnmos una indtrminaión dl tipo onjugado:, por tanto vamos a multipliar y dividir por l Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página

10 Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página a a a a a a a a D dond 4 a..- Calular: a Como tnmos, multipliamos y dividimos por l onjugado: a a a a a a a a a a.- Calular l límit d la unión os, n l punto, n l punto y n En : os o En : os os En : os, porqu la unión -os s una unión aotada ntr y, y l dnominador tind a uando tind a. 4.- Calular l siguint límit: Utilizando la rgla dl zapato, tnmos qu: Calular l valor d la onstant para qu Utilizando la rgla dl zapato :

11 si 6.- Estudiar n la ontinuidad d la unión dinida n R por: si > La unión s una unión dinida a trozos ompusta por dos ramas, la primra rama s l oint d dos unions ponnials, qu s ontínua, porqu las unions ponnials son simpr ontínuas y s simpr distinto d ro, la sgunda rama s una unión polinómia, y por tanto ontínua, por tanto sta unión solo pud tnr problmas d ontinuidad n l punto n l qu ambia d rama. O sa, n. Estudimos s punto: La unión s ontínua n l punto si ourr: ; ; Por tanto la unión no s ontínua n. Así qu la unión s una unión ontínua n R { } salto., dond prsnta una disontinuidad d sn a b os si 7.- Dtrminar a y b para qu la unión ral, dinida por sn a b si > sa ontinua n la rta ral. Para qu stá unión sa ontínua n toda la rta ral, tin qu sr ontínua n todos los puntos d la rta ral, pro vmos qu para, la unión no stá dinida, así qu omo no s ontínua n, no pud sr ontínua n toda la rta ral, y por tanto no istn a y b qu hagan qu sta unión sa ontínua. 8- Probar qu la unión dinida por no s ontinua n. Indiar qu tipo 7 8 d disontinuidad prsnta. Lo primro s atorizar l dnominador, y para llo utilizamos la rgla d Ruini , por tanto la unión: La unión no stá dinida n, por tanto no s ontínua, prsnta una disontinuidad d sgunda spi, llamada disontinuidad asintótia..- Usando l torma d Bolzano, dmostrar qu la uaión 5 tin al mnos una soluión o tal qu < o <. El torma d Bolzano di qu si tnmos una unión dinida n un intrvalo [a,b] rrado y aotado, n l qu la unión s ontínua y admás ambia d signo, ntons sta unión pasa por l ro: ] a, b[ /. Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página

12 Por tanto si dinimos la unión 5 n l intrvalo [,], omo la unión s ontínua n diho intrvalo por sr polinómia, y admás: - y 5, ntons vmos qu ambia d signo, ntons sgún bolzano: ],[ /. Por lo qu podmos asgurar qu la uaión 5 tin al mnos una soluión o tal qu < o < - Sa : [,] R, la unión dinida por: 4 a Es ontínua n [-,]? b Enunia un torma n virtud dl ual s pud airmar qu la unión alanza sus trmos absolutos n l intrvalo [-,]. La unión s la omposiión d la unión valor absoluto y una unión polinómia, por tanto s ontínua porqu ambas son ontínuas y la omposiión d unions también lo s. Así qu si s ontínua n todo R, también lo srá n l intrvalo [-,]. El torma qu m asgura qu una unión alanza sus trmos absolutos n un intrvalo s l torma d Wirtrass: Una unión ontínua n un intrvalo rrado y aotado [a,b], alanza n st intrvalo, al mnos una vz su máimo y mínimo absolutos. - Enuniar l torma d Bolzano. Sa la unión. S tin qu -4 y --, pro la gráia d no orta l j d absisas n l intrvalo [-,-]. Razonar si sto ontradi l torma d Bolzano. El torma d Bolzano di: Sa una unión dinida n un intrvalo [a,b] rrado y aotado, n l qu la unión s ontínua y n l qu admás la unión ambia d signo, ntons sta unión pasa por l ro: ] a, b[ / No ontradi l Torma d Bolzano, porqu st torma ig qu la unión sa ontínua n l intrvalo, y sta unión no s ontínua n [-,-], porqu n - no stá dinida, y por tanto no s ontínua..- Probar qu las gráias ln y [,]. g s ortan n algún punto dl intrvalo Lo qu hamos s rar una nuva unión h g ln, n los puntos dond h, son los puntos n los qu las gráias d las unions y g s ortan. Así qu studiamos la unión h ln n l intrvalo [,]. La unión h s un unión ontínua por s la dirnia d dos unions qu son ontínuas n [,]. Vamos si h ambia d signo n st intrvalo: h y h >, por tanto vmos qu la unión ambia d signo. Entons sgún l torma d Bolzano ] a, b[ / h, bin pus si h g, ntons ourr qu g, y l punto s l punto d ort d ambas unions. Matmátias Vrano 8 Raúl.G.M. Página