PRODUCTO ESCALAR. r r r
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- Andrés Padilla Piñeiro
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1 PRODUCTO ESCALAR Defnón de pdt esl de vetes. Se denmn pdt esl de ds vetes ( ) y ( ) p l núme: s y l epesentms En el pdt esl se mltpln ds vetes pe el esltd es n núme (esl). S ls vetes peteneen l esp vetl V n el pdt esl sí defnd es n plón de V n V n en R. f: V n V n R L peón sí defnd es n ley de mpsón eten y qe ds vetes se les he espnde n núme el y n n vet. Intepetón gemét. Ppeddes geméts. OC s OC OBs pyeón de OB se OA py v w OB v w v w s v py v w 44 OC El vl slt del pdt esl es gl l módl de n de ells mltpld p l pyeón del t se él. De está gldd se pede despe l pyeón de n vet se t. v v py v nlgmente py v v Ppeddes del pdt esl. I) El pdt esl es nl s l mens n de ls vetes es el vet nl s ls vetes sn pependles II) El pdt esl de ds vetes es nmttv. III) Astv ente elements de V y elements de R. K ( v) ( K) v ( Kv) IV) Dsttv de pdt espet de l sm v w v Módl y nm de n vet. w El pdt esl de n vet p s msm es: n v V : v v v v v s º v : v v p nsgente Nm: Pdt esl del vet p s msm l qe es l msm módl del vet l dd. v v v v
2 Módl: Ríz dd pstv del pdt esl de n vet p s msm. v v v Vetes nts. Se llmn vetes nts ls vetes y módl es l ndd. P nmlz n vet st dvdl p s módl. v v N v El pdt esl de vetes nts pede pesent tes ss: ) S sn pependles s pdt esl seá nl. ) S sn plels s pdt esl seá sí sn de gl sentd ó sí tene sentd pest ) S n sn pependles n plels s pdt esl seá gl l sen del ángl qe fmen. Bses. Bse de n esp vetl es n fml de vetes les en fnón de ls les se peden epes tds ls demás vetes m mnón lnel de ells. Ls ndnes qe dee en n snnt B de vetes de V p se n se de V sn: ) Dee se n sstem gened de V ) Ls vetes qe l fmn deen se lnelmente ndependentes. Ls se se peden lsf en fnón del ángl ente ls vetes y del módl de ests. Tp de se Ángl Módl LIBRE Sn estón Sn estón NORMALIZADA Sn estón ORTOGONAL 9º Sn estón ORTONORMAL 9º L se tnml tmén ee el nme de se nón ó se mét. En V² est fmd p ls vetes ( ). En V est fmd p ls vetes Epesón nlít del pdt esl. Se { } B n se del esp vetl V. En dh se ns defnen ds vetes : tenend en ent ls ppeddes del pdt esl de vetes ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) plnd l defnón de pdt esl de ds vetes:
3 s s epesón de pdt esl en n se le. S l se { } B es nmd (módl ndd y ángl le) s p l qe l epesón del pdt esl se smplf n p s s s S l se { } B es tgnl (módl le y ángl ente vetes 9º) s 9º n l qe l epesón del pdt esl qed S el sstem efeen está fmd p l se nón { } B l epesón nte se smplf stnte y qe: p se vetes nts y tgnles ente sí. Aplnes de l epesón nlít del pdt esl de vetes. I) Módl de n vet Bse le s s s s s s
4 Bse Nmd s s s Bse Otgnl Bse nón II) Vetes nmlzds. N Bse nón N El vet nt se pede epes en fnón de ls sens detes N III) Pyeón de n vet se t Cm plón de l ntepetón gemét del pdt esl de vetes py Bse nón py En lqe t se se ssttye l epesón del mdl del vet y l epesón del pdt esl en se nón p l epesón del módl y del pdt esl en l se qe se este tlznd.
5 IV) Ángl ente vetes De l epesón de defnón del pdt esl de vetes se pede despe el sen del ángl qe fmn ls vetes. s se pede despe el ángl qe fmn ls vetes tenéndse: s Bse nón s En lqe t se se ssttyen ls epesnes del mdl del vet y del pdt esl en se nón p ss epesnes en l se qe se este tlznd.
6 PRODUCTO VECTORIAL Se defne el pdt vetl de ds vetes y m t vet pependl ms. Vet pdt vetl de ds vetes. Sen y ds vetes de R³ lnelmente ndependentes y se el vet pdt vetl de y tds defnds en l se nón { } B. S es el pdt vetl de y dee se pependl ms y p tnt s pdt esl n d n de ells dee se nl. ssttyend y pend se tene n sstem de ds enes y tes nógnts ( ) mptle ndetemnd dd qe ls vetes y sn lnelmente ndependentes y p tnt ga ga * n. P eslve el sstem se tm n vle m pámet p eempl λ y se despe: λ λ λ : eslvend p Cme: λ λ λ λ λ λ λ : : dnd λ el vl se tene el vet en fnón de ls mpnentes de ls vetes y plnd ls ppeddes de ls detemnntes ls ds pme mpnentes del vet se tene: qe espnde l desll del detemnnte p ls dnts de l pme fl.
7 Ppeddes del pdt vetl. () v () ( ) ( ) ( ) () es tgnl y (4) ( ) (5) sen( ) (6) y sn lnelmente dependentes (7) Sí y nsttyen n se de V. sn lnelmente ndependentes { } Intepetón gemét. S y sn lnelmente ndependentes detemnn n plelgm P tgnmetí ssttyend en l eón del áe S h h sen ; h sen S h sen Áe de n tángl. S A B y C sn pnts n lneds del esp detemnn n tángl y áe pede llse m plón del módl del pdt vetl. S ( A B C) AB AC
8 PRODUCTO MIXTO Se defne el pdt mt de tes vetes m el pdt esl de n de ells p el vet pdt vetl de ls ts ds. [ ] El pdt mt de tes vetes espnde l desll del detemnnte de den tes fmd p ls mpnente de ls vetes: Ppeddes del pdt mt. () () [ ] () ' ' (4) sn lnelmente dependentes Intepetón gemét. S tes vetes esples sn lnelmente ndependentes detemnn n plelepíped. h S(se) V tenend en ent ls elnes Tgnméts del ángl s h h s ssttyend en l eón del vlmen s V P gemetí elementl el vlmen del teted fmd p t pnts es 6 del vlmen del plelepíped. 6 V
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