Para caracterizar completamente una magnitud vectorial, como son la velocidad, aceleración, fuerza, etc, es preciso indicar tres cosas:

Transcripción

1 VECTORES Y ESCLRES Las magntudes escalaes son aquellas que quedan totalmente defndas al epesa la cantdad la undad en que se mde. Eemplos son la masa, el tempo, el tabao todas las enegías, etc. Las magntudes que no quedan completamente defndas con solo ndca la cantdad las llamamos vectoes. La maoía de las magntudes físcas lo son, e ncluso algunas que no son vectoes se defnen como poducto escala de vectoes, como ocue con el tabao, la potenca, el fluo, la ddp, etc S a una pueta enteabeta le aplcamos una fuea de Newton podemos abla, ceala e ncluso no movela, todo depende de cómo se aplque esa fuea. Cuando decmos que un coche se mueve con una velocdad de 0 m/s, quen nos escuche es ncapa de sabe s va haca el note o el su o el sueste. Debemos decle algo más. Paa caactea completamente una magntud vectoal, como son la velocdad, aceleacón, fuea, etc, es pecso ndca tes cosas:. El módulo, que es la cantdad de magntud que natualmente debeá acompañada de la undad en que se ha meddo.. La deccón, que es la ecta sobe la cual actúa la magntud vectoal. Po eemplo, cuando un coche ccula po una calle, la calle es la deccón en la que se mueve el coche. 3. El sentdo, que es el que nos ndca s ecoe la calle haca un lado o el contao. Es nteesante hace nota que con fecuenca los conceptos deccón sentdo se emplean mal en la vda cotdana, así cuando se dce que una calle es de deccón pohbda, lo que se quee dec es que es de sentdo únco, puesto que un coche tanto s ccula en un sentdo o el contao lleva la msma deccón. Una calle de deccón pohbda, en el sentdo estcto, seía una calle po la que no se puede ccula en nngún sentdo. Notacón de un vecto: Las magntudes vectoales se pueden nota de dos maneas: Con una leta coente, sobe la que se pone una flechta: F Con una leta tpo negta: F Cuando se nota de una de estas dos maneas se epesa el vecto completo (módulo, deccón sentdo) Cuando solo se quee epesa el módulo se hace ponendo la leta nomal sn la flechta o ben de una de las fomas anteoes, peo enceándolo ente baas: F o F En lo sucesvo utlaemos las notacones sguentes: Vecto: v a F... Módulo: v a F...

2 Natualmente, puesto que la maoía de las magntudes físcas son vectoes es absolutamente necesao que manees con soltua todo lo elaconado con ellos, aunque los vectoes son entes matemátcos, po eso cuando se estuda el cálculo vectoal esulta algo abstacto, poque las matemátcas en sí lo son, a veás que la físca no es así. En lo que sgue, paa no efenos a una magntud físca conceta sno a vectoes en geneal, utlaemos los vectoes,,c,... FORMS DE EXPRESR UN VECTOR Un vecto se puede epesa de vaas fomas debe conoce pefectamente cada una de ellas la foma de pasa de unas a otas. Estas fomas son:. Dado el módulo, la deccón el sentdo Supongamos, paa faclta la compensón, que el vecto se encuenta contendo en el plano del papel más adelante genealaemos paa tes dmensones. Supongamos un sstema de efeenca o ees catesanos vamos a epesenta un vecto de módulo 4, que foma un ángulo de 30º con el ee X apunta haca el nooeste: l dec que el módulo es de 4 undades epesentamos un segmento de 4 undades de lago. l dec que foma un ángulo de 30º con el ee X nos están dando la deccón del vecto, es dec la ecta sobe la que está montado Con el sentdo nos ndcan haca donde apunta. Dadas sus componentes en un ceto sstema de efeenca Las componentes de un vecto son las poeccones del vecto sobe los ees. Paa dbua la poeccón no ha más que taa una pependcula a los ees po el etemo del vecto.

3 Se defnen unos vectoes untaos (es dec que tenen módulo gual a la undad) que tenen la deccón de los ees apuntan haca la pate postva: Paa el ee X, el vecto untao Paa el ee Y, el vecto untao Paa el ee Z, el vecto untao con esto epesentamos al vecto untao en funcón de sus componentes de la sguente foma: Eemplo: Pon en funcón de sus componentes un vecto que tene de módulo 5 undades foma un ángulo de 37º con el ee X. El únco poblema está en sabe cuanto valen las componentes del vecto. Como sabes, po defncón, el coseno de un ángulo es gual al cateto contguo dvddo po la hpotenusa. El cateto contguo al ángulo es gual, como se apeca en la fgua, la hpotenusa es el módulo del vecto, po tanto: cos α cos α De la msma manea, ecodando que el seno de un ángulo, po defncón, es gual al cateto opuesto ( ) dvddo po la hpotenusa (), tendemos: senα senα po tanto, susttuendo en la epesón del vecto tendemos que el vecto en funcón de sus componentes es: cos α senα 5 cos37 5 sen37 4 3

4 Eemplo: hoa vamos a esolve el eecco al evés, es dec, dado el vecto 4 3 calcula su módulo, la deccón sentdo, es dec el ángulo que foma con los ees. La pmea opeacón es audanos de una fgua, po lo menos hasta que estos conceptos se maneen sufcentemente. sí que tomamos 4 dvsones en el ee X (a que 4) 3 dvsones en el ee Y ( 3) se levantan las pependculaes a los ees hasta que se coten en lo que seá el etemo del vecto: Como puedes ve, el tángulo (en aul) es un tángulo ectángulo del que conocemos los catetos que son, así que aplcando el teoema de Ptágoas podemos calcula la hpotenusa que es pecsamente el módulo del vecto: Paa calcula el ángulo que el vecto foma con el ee X ecodemos que la tangente de un ángulo es gual a seno patdo po coseno, es dec al cateto opuesto ( ) dvddo po el cateto contguo ( ) 3 tg α α actag actg 37º 4 El ángulo α se mde sempe desde el ee X en sentdo anthoao, de manea que a demás de la deccón nos ndca el sentdo. En efecto, a que un vecto de la msma deccón sentdo opuesto fomaía con el ee X un ángulo de 7º (8037) Natualmente, el ángulo β que foma con el ee Y es el complementao de α, es dec que β º

5 Eemplos: Ha un esumen de las dos fomas de epesa un vecto que hemos vsto esuelve los dos eeccos sguentes: a) Un vecto tene de módulo 7 undades foma un ángulo de 30º con el ee X. Epésalo en funcón de sus componentes. Solucón: 6, 3,5 b) Halla el módulo el ángulo que foma con el ee X el vecto 6 8 Solucón: 0 undades α53º7 3. Dado el ogen el etemo del vecto (es dec, las coodenadas del ogen del etemo del vecto) Como puede vese en la fgua las componentes del vecto son: o o po tanto el vecto en funcón de sus componentes se escbía de la sguente foma: ( o ) ( ) el oden de esas dfeencas ha que consevalo sempe, aunque alguna coodenada fuese negatva. Sempe seá la coodenada del etemo menos la del ogen. o

6 Eemplo: Halla el módulo el ángulo que foma con los ees un vecto, que tene su ogen en el punto (,) de un ceto sstema de efeenca el etemo en el punto (,3). Como se deduce de la fgua, el vecto seá: el módulo: 3 ( 3) 3,6 el ángulo con el ee X: α actag actg 33º4 46º9 3 S esuelves el actg(/ 3) con la calculadoa obtendás 33,69º, lo que pasa es que el cteo sobe los ángulos es medlos sempe en el sentdo contao a las aguas del elo patendo desde la pate postva del ee X, po tanto el ángulo seía el 80 33,6946,3º Ota aclaacón mpotante sobe los vectoes es que éstos son ndependentes del sstema de efeenca elegdo paa epesentalos. De ello nos ocupaemos más adelante, peo eso quee dec que, s nos vene ben, podemos taslada el sstema de efeenca hasta que su ogen concda con el ogen del vecto.

7 VECTOR UNITRIO DE UN VECTOR El vecto untao de un vecto es aquel que tene de módulo la undad la msma deccón sentdo que el vecto. Se epesenta como u Puesto que el vecto untao tene la msma deccón sentdo que el puede sevnos paa epesalo, a que s multplcamos el vecto untao u po el módulo del vecto obtendemos a dcho vecto: En la epesón anteo: es el módulo del vecto Eemplo: Calcula el vecto untao del vecto Tenendo en cuenta que u 4 3 u nos da su deccón sentdo. u despeando el vecto untao, tendemos que (puesto que el módulo del vecto es ): u PRODUCTO DE UN ESCLR POR UN VECTOR Sea un escala (un númeo) t, al multplcalo po un vecto se tene (eactamente gual que cuando se multplcan funcones): t t t Como vemos, al multplca un vecto po un escala se obtene oto vecto, cuas componentes han quedado multplcadas po dcho escala po tanto: El vecto que se obtene es de la msma deccón sentdo (s el escala es postvo) que el vecto, solo que su módulo ha quedado multplcado po el escala. Evdentemente, s el escala es negatvo el vecto tendía la msma deccón, peo el sentdo opuesto. De acuedo con la segunda le de Newton F ma, po tanto la fuea la aceleacón son dos vectoes de la msma deccón del msmo sentdo.

8 Eemplo: Multplca po el vecto 3 4 compoba que el nuevo vecto tene la msma deccón sentdo que su módulo es dos veces mao que el del vecto El ángulo que foma el vecto con el ee X vene dado po: 4 α actag 53,3º 3 el ángulo que foma con el ee X es 8 α actag 53,3º 6 el módulo de es: el módulo de es: Ya te habás dado cuenta de que habíamos utlado el concepto de poducto de un escala po un vecto antes de eplcalo, poque no es n más n menos que lo que hcmos al defn un vecto como poducto de su módulo po su vecto untao. COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR Se llaman así a los cosenos de los ángulos que el vecto foma con los ees. Po conveno a los ángulos se les asgnan las letas α, β γ a los ángulos que el vecto foma con los ees X, Y Z espectvamente. cos α cosβ cos γ Como puedes magna, conocendo los cosenos dectoes de un vecto su módulo tambén podemos epesa al vecto.

9 SUM DE VECTORES Cuando se suman dos vectoes se obtene oto vecto C, cuas componentes son guales a la suma de las componentes de los vectoes. Recueda que suma vectoes es como suma funcones del tpo: f3 con f 54, con lo que ff (5)(34) C ( ) ( ) Geométcamente dos vectoes se suman taando po el etemo de uno de ellos un vecto paalelo al oto, e gual a él, unendo el ogen del pmeo con el etemo del segundo, dcho de ota foma es como desplaa uno de los vectoes hasta hace concd su ogen con el etemo de segundo unlos como se ha dcho: Tambén pueden taase po el etemo de cada vecto paalelas al oto un el ogen de los vectoes con el punto de cote donde estaía el etemo: Popedades de la suma de vectoes: Conmutatva: socatva: ( C) ( ) C Ha que tene cudado poque, s ben la suma de dos vectoes es gual a oto vecto se escbe: C, po lo geneal esa gualdad no puede escbse paa sus módulos, de manea que C solamente se cumple esa gualdad en el caso de que los vectoes tengan la msma deccón.

10 Eemplo: Dados los vectoes 3 4 obtene el vecto suma. Smplemente lo que ha que hace es pone los vectoes uno debao del oto sumalos: 3 4 C (3 ) Como puedes compoba los módulos de los vectoes son 5 mentas que C6,4, po tanto: C DIFERENCI DE VECTORES Resta dos vectoes es gual que sumale a uno el opuesto al oto, es dec que: ( ) Se dce que dos vectoes son opuestos cuando tenen el msmo módulo, la msma deccón, peo sentdos contaos. El vecto opuesto se obtene cambándole el sgno a todas las componentes del vecto, es dec, multplcándolo po. Eemplo: Dados los vectoes S el vecto gáfcamente seía: 3 4, obtene el vecto entonces el vecto opuesto es, así que: 3 4 C ( ) (3 ) 4 4

11 Recueda: Sempe que haa que suma vectoes debes hace lo sguente: S venen dados en funcón de sus componentes, se suman membo a membo como hemos vsto antes S venen dados como módulo deccón (que seá pobablemente el caso más fecuente) debes hace lo sguente: Eleg un sstema de efeenca, que puede se cualquea, po lo tanto el que más nteese, es dec aquel en el que la maoía de los vectoes tengan las deccones de los ees. Descompone todos los vectoes en ese sstema de efeenca, es dec ponelos en funcón de sus componentes Una ve hecho esto, se ponen unos debao de otos se suman membo a membo Eemplo: Imagna que de una satén de mgas tan el mado, la mue la suega, todos en el msmo plano. El mado ta con una fuea de 90N, la mue con una fuea de 60N, fomando un ángulo de 30º con la que hace el mado, la suega con una fuea de 40N, pependcula a la que eece el mado. Calcula la fuea esultante sobe la satén. Pmeo elegmos un sstema de efeenca, como puede se cualquea, poque una popedad mpotante de los vectoes es que su módulo deccón no dependen del SR, elegemos uno como el de la fgua que a tene dos vectoes descompuestos al tene la deccón de los ees: Una ve elegdo el SR descompuestos todos los vectoes según los ees, solo nos queda sumalos: F 90 F 60cos30 60sen30 F 3 40 Su módulo deccón: F R (90 60cos30) (60sen30 40) 4 70 FR ,3N 70 α actag 6,4º º 4

12 Eemplo: Cuando un nño está sobe un tobogán nclnado 37º sobe la hoontal, sobe él apaecen 3 fueas, tal como se dbuan en la fgua: El peso, que sempe es pependcula haca la tea, supongamos que vale 5N. La eaccón del plano, tambén llamada nomal (poque sempe es pependcula al plano) que en este caso vale 4N la fuea de oamento, que sempe lleva la deccón del movmento el sentdo contao, supongamos que vale N. a) Obtene la fuea esultante en un SR cuo ee X sea paalelo al movmento b) Obtene la fuea de oamento en un SR, cuo ee X sea hoontal c) Compoba que el valo de la fuea esultante en ambos casos es el msmo. a) En pme luga dbuamos el SR. En él podemos ve como los ángulos señalados son guales poque tenen sus lados pependculaes. hoa descomponemos el peso según los ees taando po el etemos del vecto unas paalelas a los ees. La componente según el ee Y vale 5 cos37 la componente según el ee X vale 5 sen37 (Pocua dbua las paalelas ben no de cualque manea) F R F R F Ro P 5sen37 5cos 37 N 4 ( 5sen37) (5cos37 4) b) hoa vamos a esolve el msmo eecco, peo efendo los vectoes a un SR con el ee X paalelo a la hoontal:

13 F R F R F Ro cos37 sen37 P 5 N 4sen37 4cos37 ( cos37 4sen37) (sen37 5 4cos37) 0,8 0,6 c) El vecto esultante en cada SR ha sdo: F R F R F R N α 0º 0,8 0,6 F R N α 37º Salta a la vsta que ambos vectoes tenen dstntas componentes que po tanto las componentes de un vecto dependen del SR elegdo paa efelo. Sn embago el módulo del vecto es el msmo en ambos casos aunque el ángulo que foma con el ee X no lo es, su deccón sí, a que como puedes ve ambos SR están gados un ángulo de 37º po tanto la elacón ente los ángulos es α α 37º PRODUCTO ESCLR DE DOS VECTORES Po defncón, el poducto escala de dos vectoes es gual al poducto de sus módulos po el coseno del ángulo que foman. Po tanto, como su nombe ndca, el esultado es un escala, es dec un númeo. Se nota con un punto gueso ente ambos vectoes: cos α De la defncón de poducto escala se deduce que: El poducto escala de dos vectoes pependculaes ente sí, es dec que fomen 90º, es nulo poque cos900. sí pues: cos

14 El poducto escala de un vecto untao po él msmo es gual a la undad: cos0 pat de la defncón de poducto escala puede deducse ota foma alteatva paa calculalo. Vamos a efectua el poducto escala de dos vectoes en funcón de sus componentes (Recueda que se multplcan eactamente como s se tataa de polnomos) nos queda que: Popedades del poducto escala: Conmutatva: No puede tene la popedad asocatva poque sencllamente es mposble multplca tes vectoes escalamente, peo sí se cumple C ) ( C) ( aunque el esultado de ello obvamente es un vecto. Dstbutva: C C) ( Intepetacón geométca del poducto escala: El poducto escala de dos vectoes es gual al poducto del módulo de uno de ellos po la poeccón del oto sobe él. Veamos: α cos P P tambén P Ángulo que foman dos vectoes: El poducto escala puede utlase paa sabe s dos vectoes son pependculaes, poque en tal caso el esultado seía nulo. Peo tambén puede utlase paa sabe el ángulo que foman dos vectoes ente sí, a que: cos α de aquí: cos α natualmente α es el aco coseno de esa epesón

15 Eemplo: Obtene el poducto escala de los vectoes Qué ángulo foman ente sí? Paa calcula el ángulo que foman los vectoes necestamos conoce los módulos, así que: El ángulo que foman es: α accos accos 4º5 5 3 PRODUCTO VECTORIL DE DOS VECTORES El poducto vectoal de dos vectoes es oto vecto C que tene: El módulo es gual al poducto del módulo de los vectoes po el seno del ángulo que foman los vectoes po el camno más coto: C senα La deccón es la pependcula al plano que foman los vectoes El sentdo vene dado po la egla del tonllo, es dec, apunta haca donde lo haía un tonllo que gase como lo hace el pme vecto paa concd con el segundo po el camno mas coto. Tambén puedes utla la egla de la mano deecha que consste en coloca la mano sobe el pme vecto ceala en el sentdo que lo haía el vecto paa concd con el segundo po el camno mas coto, el pulga nos ndcaá el sentdo del poducto vectoal:

16 Notacón: Se nota con un aspa o el símbolo (como una v nvetda). Utlaemos sempe la segunda foma poque el aspa es fácl de confund con una equs. De la defncón de poducto vectoal se deduce que: El poducto vectoal de dos vectoes de la msma deccón es nulo poque sen00. 0 Cuando ealcemos el poducto vectoal de dos vectoes untaos dstntos se obtene oto tambén untao pependcula al plano que foman. Po eemplo: sen90 como sabemos esto es solo el módulo del vecto, su deccón seá la pependcula al plano que contene los vectoes, es dec, su deccón seá según el ee Z, su sentdo según la egla de la mano deecha haca aba, po tanto: sí pues, con la auda de la fgua aplcando la egla de la mano deecha podemos compoba que: hoa vamos a ve como a pat de la defncón de poducto vectoal puede deducse la foma paa calculalo a pat de sus componentes. asta con multplca como s se tatase de polnomos, peo cudando de no altea el oden, poque como hemos vsto más aba no tene la popedad conmutatva

17 agupando queda: ( ) ( ) ( ) Pecsamente este vecto concde con el desaollo del sguente detemnante: en la pmea fla se ponen sempe los vectoes untaos. En la segunda fla las componentes del pme vecto en la tecea fla las componentes del segundo vecto. (S alteamos el oden de alguna fla, como sabemos, obtendíamos el detemnante cambado de sgno po tanto el vecto opuesto.) Popedades del poducto vectoal: NO tene la popedad conmutatva, a que s se altea el oden de los vectoes se obtendía el vecto opuesto, así que: o ben que: ( ) socatva: ( C) ( ) C Dstbutva: ( C) C Intepetacón geométca del poducto vectoal: El módulo del poducto vectoal de dos vectoes es gual al áea del paalelogamo que ambos vectoes foman ente sí. senα h ase altua ea eatángulo

18 Eemplo: Obtene el poducto vectoal de los vectoes Cuál es el áea del tángulo que foman ente sí? Ya calculamos en el eecco anteo el módulo de esos vectoes el ángulo que foman ente sí, po tanto el módulo del vecto que esulta de multplcalos vectoalmente es, de acuedo con la defncón: senα 5 3 sen4º5 6 La deccón del vecto seá la pependcula al plano que foman los vectoes, que como solamente tenen componentes según los ees X e Y evdentemente están en ese plano po lo tanto el vecto C debe tene la deccón del ee Z, es dec la deccón del vecto untao o de según sea su sentdo. Como se deduce de la fgua, al aplca la egla de la mano deecha, el vecto esultante tenen deccón sentdo del vecto, po lo tanto el vecto poducto vectoal seá: C 6 l msmo esultado habíamos llegado s esolvemos el detemnante: (0 36) Y el áea del tángulo que foman los vectoes es: 6 eatáng ulo 8 u (Con u queemos ndca undades cuadadas, a que no sabemos en que están meddas las dvsones de los ees)

19 MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO DE UN PUNTO Imagna el vecto que tene su ogen en el punto O su etemo en cualque luga del vecto. El momento del vecto especto de un punto O es po defncón gual al poducto vectoal de M El módulo del momento, tenendo en cuenta que se tata de un poducto vectoal, seá: M senα d El ángulo α es el ángulo que foma el vecto con el vecto. Fíate en la fgua. En el tángulo ectángulo en amallo, la hpotenusa es el módulo del vecto uno de los catetos es d, que epesenta la dstanca más cota del punto O al vecto. d sen( π α) senα donde se ha tendo en cuenta que el sen ( π α) senα sí que fnalmente podemos pone que M senα d Eemplo: Una pueta tene m de ancha. S eeces una fuea de 0 N en el bode, calcula el momento de la fuea especto de las bsagas en los sguentes casos: a) Cuando la fuea fome un ángulo de 90º especto de la pueta b) Cuando fome un ángulo de 37º con la pueta c) Cuando la fuea tenga la msma deccón que la pueta. El momento de que la fuea eece especto de las bsagas es según el ángulo que fome la fuea con la pueta tendemos: M Fsenα así que a) M Fsenα 0 sen90 0 N m b) M Fsenα 0 sen37 N m c) M Fsenα 0 sen0 0

20 Como ves, no es la fuea aplcada a una pueta la esponsable de que ge, sno el momento que povoca la fuea. Ya sabes po epeenca que cuando tenes que cea una pueta, en especal s es mu pesada, que: Sempe le empuas en el bode, poque de esa foma haces que el módulo de sea mao po tanto el momento de la fuea Sempe pocuas empuale en deccón pependcula a la fuea paa que el seno del ángulo sea mámo. Nunca se te ocuía empuale en la deccón de la pueta. Sabes que así po mucha fuea que ealces nunca la vas a move, poque sen 0 0 el momento nulo. TEOREM DE VRIGNON Dce que en un sstema de fueas concuentes el momento de la fuea esultante, especto de un punto, es gual a la suma de los momentos de cada fuea, efedos natualmente al msmo punto. (Es evdente que el teoema es váldo no solo paa el vecto fuea sno paa cualque tpo de vecto.) v v M M v v M M 3 la demostacón es mu smple: v v v v M M M M 3 F F F3 (F F F3 ) F v M Eemplo: Paa sub un cubo de agua que pesa 00 N utlamos una polea de 0 cm de ado eecemos al oto lado una fuea de 50 N. Calcula el momento que hace ga la polea. La fuea esultante, puesto que una polea deal smplemente modfca la deccón de la fuea, es de 50 N. De acuedo al teoema de Vagnon, el momento del sstema seá gual al momento de la fuea esultante, po tanto: M FR 0, 50 0 N m Tambén podemos calcula el momento de cada fuea po sepaado sumalos. (tenendo en cuenta que son vectoes): M 0, 50 0, 00 0 N m El sgno menos del segundo momento es debdo a que poduce un go en sentdo contao al pmeo. Recueda que se tata de vectoes.

21 DERIVD DE UN VECTOR Como mu ben sabes, la devada de una constante es nula, po lo tanto paa que un vecto admta devada es pecso que vaíe especto del escala al que se deva. En muchos casos, en físca, los vectoes van a vaa con especto al tempo, en otas palabas son vectoes que dependen del tempo epesentaemos como (t) o smplemente peo sn olvda que dependen del tempo, po eemplo: 3t 4 ntes de contnua es mu mpotante ecoda que un vecto se compone de módulo, deccón sentdo, que po lo tanto éste puede vaa especto al escala, en módulo o en deccón o en ambas cosas a la ve, que en todos los casos admtía devada. Imagnemos un vecto (t) que vaía en módulo /o en deccón con especto al tempo. S lo epesentamos en tes nstantes podía se: S después de dbua el vecto en vaos nstantes unmos los etemos de todos ellos obtendíamos la cuva que descben los etemos del vecto. hoa magnemos el vecto en un momento dado al cabo de un nstante t l cabo del ntevalo de tempo t el vecto seá (t t) se habá ncementado en. Recodando la suma de vectoes, de la fgua se deduce que: o ben que: (t) (t t) (t t) (t) S ahoa multplcamos a ambos membos de la gualdad po / t ecuedas que al multplca un vecto po un escala se obtene oto vecto en la msma deccón sentdo cuo módulo queda multplcado po el escala.

22 S t es un ntevalo pequeño su nvesa seá gande, po tanto / t en la msma deccón sentdo que, peo con un módulo mao: seá un vecto t (t t) (t) t S t lo hacemos cada ve meno meno, seía como toma límtes a la epesón anteo cuando t tende a ceo, tendemos lo que po defncón es la devada: (t t) (t) d lm t 0 lm t 0 t t dt Imagna que s el ntevalo de tempo t lo vamos tomando cada ve más pequeño (puesto que tende a ceo) entonces el vecto / t va sendo cada ve más tangente a la cuva que descben los etemos del vecto. Justamente en el límte, cuando t 0, el vecto seá tangente a la cuva: La devada de un vecto especto de un escala es oto vecto, cua deccón es la tangente a la cuva que descben los etemos del vecto sn deva, cuas componentes son las devadas de las componentes del vecto. d d dt dt d dt d dt En la fgua se epesenta el vecto en dos nstantes su devada en esos nstantes. Como puedes ve es tangente a la cuva que descben los etemos del vecto-

23 Eemplo: Dado el vecto t (t 4) obtene el vecto devada del msmo en los nstantes t t3 segundos. Paa obtene la devada de un vecto no ha más que deva sus componentes especto al tempo, así que: d t dt en los nstantes que se pde, el vecto devada es (no ha más que susttu t po su valo) : d d 6 dt dt t Paa compendelo meo dbua el vecto (t) en vaos momentos (paa eso no ha más que dale valoes al tempo obtendemos el vecto en esos momentos). Luego vamos a un los etemos del vecto, obtenendo así la cuva que va descbendo. Po últmo dbuaemos los vectoes devada en los nstantes t t3 segundos. Debes obtene una gáfca paecda a la sguente: t 3 Consecuencas de la defncón de devada de un vecto:. S el vecto solamente vaía en deccón, peo no en módulo, entonces el vecto su devada son pependculaes. En efecto, a que s el vecto solo vaía en deccón sus etemos descben una ccunfeenca la tangente a una ccunfeenca es pependcula al ado, es dec al vecto.

24 . S el vecto solamente vaía en módulo, peo no en deccón, entonces el vecto su devada son paalelos. En efecto, pues s el vecto no vaía en deccón sus etemos descben una ecta, la que los contene, la tangente a una ecta es ota ecta montada sobe ella. 3. Tenendo en cuenta que un vecto puede epesase en funcón de su vecto untao de la foma: s devamos esa epesón. (Se hace eactamente gual que s se deva un poducto cualquea, es dec, seía la devada del pmeo po el segundo sn deva más el pmeo sn deva po la devada del segundo.) u d d u dt dt du dt La devada de un vecto puede descomponese en dos vectoes: El pme sumando es un vecto en la deccón sentdo de. Efectvamente, a que tene la deccón sentdo de su vecto untao. El segundo sumando es un vecto nomal al vecto. Efectvamente, a que se tata de la devada de un vecto untao po tanto solo puede vaa en deccón,, como hemos aonado anteomente, un vecto que solo vaía en deccón su devada son pependculaes.

25 Eemplo: En qué casos la devada del módulo concde con el módulo de la devada de un vecto? S te paas a lee este tabalenguas hasta entende lo que dce, veás que en ealdad es una tonteía. Veamos, un vecto puede epesase como: s devamos: d d u dt dt u du dt es evdente que, en geneal, el módulo de la devada la devada del módulo de un vecto son dfeentes: d d dt dt Solamente seán guales cuando el segundo sumando de la gualdad sea nulo, lo seá s: 0, es dec s se tata de un vecto nulo. du 0 eso sucedeá s el vecto untao u es constante poque en tal caso su dt devada seá nula, es dec, sucedeá s no camba en deccón, puesto que su módulo sempe vale. Po tanto la conclusón es que, la devada de un vecto concde con el módulo de la devada, cuando el vecto sea nulo o ben solo cambe en módulo, peo no en deccón.