Vectores y campos

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1 Vectoes y campos

2 ) Dados los vectoes a = 4$ i + 3$ j + k$ y c = $ i + $ j 7k$, enconta las componente de oto vecto unitaio, paa que los tes vectoes sean mutuamente pependiculaes. Paa que los tes vectoes sean mutuamente pependiculaes, se tiene que veifica simultáneamente que a, además c y po último que a c, es deci que sean pependiculaes a, la condición de que dos vectoes sean pependiculaes es que el poducto escala de amos sea nulo. El poducto vectoial de los dos vectoes del enunciado es nulo, como se puede compoa fácilmente: a c = = 0 Planteando que los vectoes del enunciado tienen que se pependiculaes al vecto, otenemos las siguientes ecuaciones: c = + 7 = 0 La ota ecuación la sacamos del hecho de que el vecto que nos piden es unitaio, po lo tanto: + + = Lo cual nos popociona un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: = 0 Opeando y esolviendo nos queda: + 7 = = y z z = 0, = 0,5 = 0,86 ) La ecta de acción del vecto pasa po los puntos (0,,) y (3,0,4), saiendo que el módulo del vecto es 5. Detemina: a) El momento del vecto especto del oigen de coodenadas ) La distancia ente la ecta de acción del vecto y el oigen de coodenadas. c) El momento del vecto x y especto del eje que tiene po ecuación = = z 3 Paa detemina el momento del vecto especto del oigen de coodenadas, deemos tene pimeo las componentes catesianas del vecto. Paa ello y puesto que conocemos el módulo del vecto, podemos otene las coodenadas catesianas del vecto multiplicando el módulo del vecto po un vecto unitaio en la diección de la ecta de acción del vecto, el vecto unitaio en la diección de la ecta dada, se calcula deteminando el vecto unitaio en la diección del vecto que va de uno a oto punto. El vecto que pasa po los dos puntos viene dado po. uuu AB = B A = ( 0,, ) ( 3,0, 4) = ( 3,, ) uuu 3,, 3 AB = uuu = =,, AB AB ( ) Po lo tanto, las componentes del vecto seán: = 5,, =,,

3 El momento del vecto especto del oigen de coodenadas viene dado po el poducto vectoial de un vecto que va desde el oigen de coodenadas hasta cualquiea de los puntos de la ecta de acción del vecto, po el popio vecto, en este caso, usaemos el vecto que va desde el oigen de coodenadas hasta el pime punto que va el polema, usando el hecho de que el vecto que va desde un punto a oto es el esultado de esta las coodenadas el extemo menos las del oigen: = (0,, ) (0, 0, 0) = (0,, ) uu M = = = 5,, =,, Haciendo el poducto vectoial, tenemos: uu M = = 0 =,, La distancia ente la ecta de acción y el oigen de coodenadas es una de las aplicaciones que tiene el momento de un vecto especto a un punto, se define la distancia ente el oigen de coodenadas y la ecta de acción del vecto como el cociente ente el módulo del momento especto del oigen de coodenadas patido po el módulo del vecto en cuestión: uu M d = = 4,35 El momento de un vecto especto de un eje, se define como el poducto escala del momento especto a un punto del eje, que este caso seá el (0,,) po un vecto unitaio en la diección del eje, que en este caso seá: u = = 4 $ 3 u =,, Po lo tanto, el valo del momento especto del eje, vendá dado po: uu $ M eje = M u =,,,, 0, = ) Si v = a cost + sin t, donde a y son vectoes constantes y t una vaiale, detemina: a) Cuántos planos definen los tes vectoes ) Qué oientación tiene a dv d v c) Otene el valo de v dt dt Dos vectoes definen un plano, dicho plano viene dado po el poducto vectoial de un vecto po el oto, po lo tanto, y en pincipio 3 vectoes definiían 3 planos, sin emago, en este caso solo definiían, ya que el vecto v es cominación lineal de los otos dos, po lo que los tes vectoes definen solo un plano, o lo que es lo mismo son coplanaios

4 La oientación que tiene un poducto vectoial de dos vectoes es un vecto pependicula a los dos vectoes que se multiplican y en el sentido que maca la ley del sacacochos. Paa otene el valo de la expesión que se indica en el enunciado, en pime luga, vamos a deiva el vecto v : dv = asin t + cost dt d v = a cost sin t dt Haciendo el poducto vectoial de estos dos vectoes: dv d v = ( asin t + cost) ( a cost sin t) = dt dt = a asin t cost + a sin t a cos t cost sin t = = 0 + a sin t + cos t + 0 = a Po último, tenemos que multiplica este esultado po el vecto en cuestión, nos queda el esultado final de que: dv d v v = ( a cost + sin t) a = cos t ( a ( a ) ) + sin t ( ( a ) ) = 0 dt dt Ya que tenemos un poducto mixto de tes vectoes en los que dos de ellos son iguales, en este caso el esultado es nulo, se puede azona esto desde el punto de vista geomético, es deci, el poducto mixto epesenta el volumen enceado po el paalelepípedo que deteminan los tes vectoes, si dos de ellos son iguales, no deteminaán ningún paalelepípedo y, po lo tanto el volumen, y consiguientemente el poducto mixto, seá nulo. 4) Un vecto de modulo 4 tiene cosenos diectoes -/, ½, y el estante es desconocido, peo saemos que es meno que ceo. Oto vecto de módulo 6 es u u pependicula a los vectoes m = i + 3 j + 4k y n = 5i j + 3k y sentido de m n, un tece vecto c, unitaio tiene cosenos diectoes positivos e iguales ente si. Halla: a) Los vectoes a, y c. u ) La ecuación de la ecta sopote R = a + + c, saiendo que pasa po el punto (3,- 4,) Paa calcula las componentes catesianas del vecto que nos dan, tenemos que multiplica su módulo po sus cosenos diectoes, de estos cosenos diectoes conocemos dos, peo desconocemos el oto, po lo tanto, podemos usa la elación que hay ente ellos: cos α + cos β + cos γ = + + cos γ = cos γ = 0,5 cosγ = 0, 707 Po lo tanto el vecto vendá dado po: v = 4,,0'707 = (,,'83) El segundo vecto nos dice que es pependicula a dos dados y que lleva la diección y sentido de su poducto vectoial, po lo tanto, el vecto llevaá la diección del vecto poducto vectoial mxn

5 u Pm n = 3 4 = 7$ i + 4$ j 9k$ $ = =,, Po lo tanto el vecto pedido vendá dado po la expesión: = $ = 6,, = ( 3'5, '9, 3'93) El tece vecto, lo hallaemos usando el dato que nos dan, es deci que los tes cosenos diectoes del vecto son iguales ente si, po lo tanto, podemos escii que: cos α + cos β + cos γ = cos α + cos β + cos γ = x + x + x = x = 3 Si además es unitaio, saemos que su módulo es, po lo tanto, paa halla sus coodenadas catesianas, solo tenemos que multiplica el módulo del vecto po un vecto cuyas componentes sean los cosenos diectoes del vecto. c =,, ) Paa calcula la ecuación de la ecta sopote, tendemos en cuenta que necesitamos un punto po el que pasa la ecta, que nos lo popociona el enunciado, y un vecto diecto de la misma que seá el vecto suma de los tes vectoes hallados, conociendo estos datos, la ecuación de la ecta viene dada po: Donde: x x y y z z = = v v v ( x, y, z ) = ( 3, 4, ) ( vx, vy, vz ) = ( '0,5'48,0'53) x 3 y + 4 z = =,0 5, 48 0'53 5) Sea un vecto de módulo 5 y cuya ecta de acción pasa po los puntos A (3,6,4) y B (0,6,8). a) halla el momento del vecto especto al punto C (,,8). ) Halla el momento del vecto especto a un eje que pasa po C y es paalelo al vecto (análogo al polema ) 6) Dado el campo v = 3( x y) i + y j 4x zk, a. compoa que es consevativo. Calcula div (ot v ) Paa compoa que el campo es consevativo, es condición necesaia y suficiente que el otacional del campo sea nulo, po lo tanto, hay que calcula el otacional del campo vectoial que nos da el polema y compoa que el esultado es idénticamente igual a ceo:

6 v = x y z v v v Sustituyendo las coodenadas del campo vectoial que nos popociona el polema tenemos el siguiente deteminante v = x y z 3( ) 4 x y y x z El esultado nos queda: ( 4x z) ( y) $ ( 4x z) ( 3( x y) ) v = = $ i j + x y z y z x z 3( x y) y 4x z $ y + k ( 3( x y) ) 0 x y Po lo tanto el campo no seá consevativo: ) Paa ealiza el segundo apatado, necesitamos, en pime luga, conoce el valo del otacional del campo, que lo tenemos del apatado anteio: ( 4x z) ( y) $ ( 4x z) ( 3( x y) ) v = = $ i j + x y z y z x z 3( x y) y 4x z $ y + k ( 3( x y) ) = 0$ i + 8x $ j + 6( x y) k $ x y Tenemos que calcula la divegencia del campo otenido, usando la definición de divegencia, según la cual, la divegencia de un campo vectoial viene dada po la siguiente expesión: u E E x y Ez E = + + x y z Haciendo que las componentes del campo u E sean las componentes del campo vectoial otenido en el apatado anteio como esultado de calcula el otacional del campo v, tenemos que: u E E 0 ( 8 ) ( 6 y x ( x y) ) x Ez E = + + = + + = 0 x y z x y z Siendo esta una popiedad geneal de los campos vectoiais, es deci, que la divegencia de un otacional es siempe idénticamente igual a ceo. 7) Halla el gadiente del campo escala U = x + y + z. Halla la divegencia del gadiente anteiomente calculado y el otacional del mismo

7 El gadiente de un campo escala tansfoma un campo escala, como el que tenemos en un campo vectoial como el que otendemos una vez que calculemos el gadiente. La definición de gadiente es: U U $ U U = $ i + j + k$ x y z Aplicado al campo que nos da el enunciado: U U $ U $ x y $ z U = $ i + j + k = $ i + j + k$ = xi $ + y j + zk$ x y z x y z Ahoa tenemos que calcula la divegencia y el otacional del campo anteiomente calculado, esto es: E E ( ) ( ) ( x y E x y z z ) ( U ) = + + = + + = + + = 6 x y z x y z El otacional del campo otenido seá: z ( y) $ ( z) ( x) $ ( y) ( x) v = = $ i j + k = 0 x y z y z x z x y x y z Po lo tanto, el campo otenido al hace el gadiente del campo escala U dado en el polema es un campo consevativo. u 8) Halla la ciculación del campo $ 3 E = xyi $ + y z j + z k$ ente los puntos (0,0,0) y (,,), a lo lago de la cuva de ecuaciones paaméticas x=t, y=t z=t, y a lo lago del segmento que une amos puntos, Se puede deci que el campo es consevativo? La ciculación del campo vectoial se define como: C f = 0 u Ed En el caso del campo vectoial que nos da el polema, la ciculación quedaá como: f f $ 3$ $ $ 3 C = ( xyi $ + y z j + z k ) ( dxi $ + dy j + dzk ) = ( xydx + y zdy + z dz) 0 0 Ahoa usaemos las ecuaciones paaméticas de la cuva que ecoe la patícula paa tansfoma la integal en 3 vaiales (x,y,z) en una integal en una sola vaiale (t) x = t y = t z = t Sustituyendo en la integal teniendo en cuenta que las difeenciales son: x = t dx = dt y t dy tdt = = z = t dz = dt y que los límites de la integal son 0 y, esto se compuea sin más que sustitui los puntos inicial y final en las ecuaciones paaméticas compoando que en el punto (0,0,0) t=0 y en el punto (,,) t=.

8 t t t C = t dt + t tdt + t dt = + + = + + = Si ahoa calculamos la ciculación a lo lago de la línea que une los puntos dados en el polema, en pime luga, tenemos que tene en cuenta que la ecuación de la ecta que une los dos puntos dados en el polema es: x = y = z dx = dy = dz Esto lo vamos a utiliza paa pone la integal de la ciculación, que en pincipio está dada en 3 vaiales (x,y,z) en función de solo una vaiale, po ejemplo x: x x x 5 C = x dx + x dx + x dx = + + = + + =

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