Ortogonalidad y Series de Fourier

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1 Capítulo 4 Ortogonalidad y Series de Fourier El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (ángulo). Este denota entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se cruzan en un ángulo recto presentan una configuración ortogonal. La ortogonalidad es un concepto fundamental para la comprensión del análisis de funciones por medio de las transformadas de Fourier, Laplace y la transformada z. Este capítulo introduce el concepto en cuestión a partir de un contexto usualmente más familiar: la ortogonalidad de vectores. Para más información sobre la terminología matemática puede consultarse [18, 1]. 4.1 Espacios vectoriales Tradicionalmente se utiliza en ingeniería el concepto de vector como un conjunto ordenado de n cantidades, por ejemplo [x 1, x 2,..., x n ] T. En los casos particulares de vectores bidimensionales (n = 2) y tridimensionales (n = 3) se utilizan en la práctica representaciones alternativas que comprenden magnitudes y ángulos (por ejemplo, utilizando coordenadas polares, cilíndricas o esféricas). En términos matemáticos se prefiere la notación cartesiana por su generalidad: el concepto de vector es válido para todo entero n no negativo (esto es n = 0, 1,...), donde las componentes x i se toman del conjunto de los números reales IR o de los números complejos C. Sea IF un cuerpo escalar, es decir, una estructura algebraica que consiste por una parte en un conjunto de escalares y por otra parte en una colección de operaciones definidas para los elementos del conjunto: adición y multiplicación, que satisfacen, entre otras, las propiedades de asociatividad, conmutatividad y distributividad. Un conjunto de vectores V se denomina espacio vectorial sobre un cuerpo IF (por ejemplo el cuerpo de los números reales IR o el cuerpo de los números complejos C) si 131

2 4 Ortogonalidad y Series de Fourier para una operación de adición vectorial en V, denotada x + y, con x, y V; y para una operación de multiplicación escalar en V, denotada como ax, con x V y a IF se cumplen las siguientes propiedades con a, b IF y x, y, z V: 1. x + y V. (V es cerrado con respecto a la adición vectorial). 2. x + (y + z) = (x + y) + z. (Asociatividad de la adición vectorial en V). 3. Existe un elemento neutro 0 V, tal que para todo x V se cumple que x + 0 = x. (Existencia de un elemento identidad aditivo en V). 4. Para todo x V existe un elemento y V tal que x + y = 0. (Existencia de inversos aditivos en V). 5. x + y = y + x. (Conmutatividad de la adición vectorial en V). 6. ax V. (V es cerrado con respecto a la multiplicación escalar). 7. a(bx) = (ab)x. (Asociatividad de la multiplicación escalar en V). 8. Si 1 representa la identidad multiplicativa del cuerpo IF entonces 1x = x. (Neutralidad de uno). 9. a(x + y) = ax + ay. (Distributividad con respecto a la adición vectorial). 10. (a + b)x = ax + bx. (Distributividad con respecto a la adición en el cuerpo). El concepto de espacio vectorial es completamente abstracto. Para determinar si un conjunto V es un espacio vectorial deben especificarse tan solo el conjunto V, el cuerpo escalar IF y las operaciones vectoriales de adición y multiplicación escalar en V. Si las diez propiedades anteriores se satisfacen, se dice entonces que V es un espacio vectorial Combinaciones lineales Se denomina combinación lineal de los vectores u 1, u 2,..., u n de un espacio vectorial V a todo vector x del tipo x = c 1 u 1 + c 2 u c n u n con los coeficientes de la combinación lineal c 1,..., c n, que son escalares del cuerpo escalar IF relacionado con el espacio vectorial V. 132 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

3 4.1 Espacios vectoriales Un conjunto de vectores U = {u 1, u 2,..., u n } V se dice ser un conjunto ligado o linealmente dependiente si al menos uno de ellos es una combinación lineal de los demás. Se denomina conjunto libre o linealmente independiente cuando los únicos escalares c 1,..., c n para los que se cumple c 1 u 1 + c 2 u c n u n = 0 son c 1 =... = c n = 0. Se cumple además que un conjunto con un solo vector es libre si dicho vector no es nulo, el vector neutro 0 no forma parte de ningún sistema libre, todo subconjunto de un sistema libre es también libre, el número máximo de vectores de un sistema libre es igual al número de componentes que tienen dichos vectores. Un espacio se dice engendrado por el conjunto de vectores U = {u 1, u 2,..., u n } V si contiene todas las combinaciones lineales de los vectores de U, al que se denomina entonces conjunto generador del espacio. A cada elemento del conjunto U se le denomina en este contexto vector generador. Este espacio no varía si se multiplica cualquier vector generador por un escalar no nulo, se suma un generador con otro, si se suprimen los generadores que son una combinación lineal de los demás Subespacios y bases Cualquier subconjunto W del espacio vectorial V que es cerrado ante las operaciones vectoriales aditivas y de multiplicación escalar se denomina subespacio de V. Se puede apreciar que un subespacio de V es a su vez un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo IF del espacio vectorial original. Ejemplos de subespacios del espacio vectorial tridimensional IR 3 son por ejemplo todos los planos que pasan por el origen [0, 0, 0] T, si se utilizan las definiciones convencionales de adición y multiplicación. Los subespacios tienen las siguientes propiedades: Todo espacio vectorial V tiene dos subespacios: el mismo V y {0}. La intersección W 1 W 2 de dos subespacios vectoriales W 1 y W 2 del mismo espacio vectorial V es a su vez un subespacio vectorial. c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 133

4 4 Ortogonalidad y Series de Fourier La unión W 1 W 2 de dos subespacios vectoriales W 1 y W 2 del mismo espacio vectorial V no necesariamente es un subespacio vectorial. El espacio vectorial V se denomina finito si existe un sistema de vectores U = {u 1, u 2,..., u n } V que es conjunto generador del espacio vectorial. Si los vectores generadores u i son linealmente independientes entonces se dice que U es una base de V. Todo espacio vectorial finito V {0} posee al menos una base. Si existen varias bases, todas contienen el mismo número de vectores generadores. Este número de vectores es la dimensión del espacio vectorial. A la base del espacio vectorial IF n conformada por los vectores u 1 = [1, 0,..., 0] T, u 2 = [0, 1,..., 0] T,..., u n = [0, 0,..., 1] T se le denomina base canónica del espacio vectorial finito IF n. 4.2 Espacios de Hilbert Si a la estructura de espacio vectorial se le agrega el concepto de producto interno aparecen entonces los llamados espacios con producto interno o espacios pre-hilbert. El concepto de producto interno (a veces denominado producto escalar 1 ) permite introducir conceptos geométricos como ángulos y longitudes vectoriales. Por el momento conviene definir al producto interno como una función, : V V IF que satisface los siguientes axiomas: x V, x, x 0. (No negatividad). x V, x, x = 0 si y solo si x = 0. (No degenerabilidad). x, y V, x, y = y, x. (Simetría conjugada). a IF, x, y V, x, ay = a x, y ; x, y, z V, x, y + z = x, y + x, z. (Sesquilinearidad). Nótese que si el cuerpo IF corresponde a los números reales IR entonces la simetría conjugada corresponde a la simetría simple del producto interno, esto es x, y = y, x. Combinando la sesquilinearidad con la simetría conjugada se obtiene además que a IF, x, y V, ax, y = a x, y x, y, z V, x + y, z = x, z + y, z 1 Nótese que en este contexto el concepto de producto escalar es diferente a la multiplicación escalar utilizada en la definición de espacio vectorial. Para evitar confusiones se preferirá aquí el uso del término producto interno sobre producto escalar. 134 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

5 4.2 Espacios de Hilbert Utilizando el producto interno puede definirse la norma de un vector x como x = x, x (4.1) Esta norma está correctamente definida si se considera el axioma de no negatividad en la definición del producto interno. Usualmente se interpreta esta norma como la longitud del vector x. En estos espacios se dice que dos vectores x y y diferentes de 0 son ortogonales si su producto interno x, y es 0. Además, el ángulo entre los dos vectores se define indirectamente por medio de la ecuación x, y cos ( (x, y) ) = x y. (4.2) con lo que se deduce entonces que la magnitud del ángulo entre dos vectores ortogonales es de π/2, puesto que el coseno del ángulo entre ellos es cero. Si U = {u 1, u 2,..., u n } V es una base de V y cualesquiera dos vectores u i y u k (i k) son ortogonales entre sí, se dice que U es una base ortogonal de V. Si además se cumple que la norma de todos los vectores generadores u i es uno, entonces a U se le denomina una base ortonormal. Ejemplo 4.1 Si U es una base ortogonal de V, cómo se pueden calcular los coeficientes para representar un vector x V en dicha base? Si U es una base ortogonal de V se cumple para todo vector x V n x = c i u i (4.3) i=1 Realizando el producto escalar a ambos lados con un vector generador específico u k, utilizando las propiedades del producto interno descritas anteriormente, y haciendo uso de la ortogonalidad de los vectores generadores u i se obtiene u k, x = u k, n c i u i = i=1 = c k u k 2 n u k, c i u i = i=1 n c i u k, u i = c k u k, u k i=1 con lo que se deriva fácilmente c k = u k, x u k 2 (4.4) 4.1 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 135

6 4 Ortogonalidad y Series de Fourier Una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos términos se acercan arbitrariamente entre sí en tanto la secuencia progresa. Un espacio con producto interno se denomina espacio de Hilbert si es completo con respecto a la norma definida a través del producto interno, lo que quiere decir que cualquier secuencia de Cauchy de elementos en el espacio vectorial converge a un elemento en el mismo espacio, en el sentido de que la norma de las diferencias entre los elementos de la secuencia tiende a cero. Los espacios de Hilbert se utilizan en la generalización del concepto de ciertas transformaciones lineales como la transformada de Fourier, y son de crucial importancia en la formulación matemática de la mecánica cuántica. 4.3 Ortogonalidad de vectores Para un número entero positivo n, el espacio euclideano de n dimensiones se define como el espacio de Hilbert de n-dimensiones sobre IR en el que además se define la función de distancia d 2 para dos puntos x = [x 1,..., x n ] T y y = [y 1,..., y n ] T como d 2 (x, y) = n (x i y i ) 2 El espacio euclidiano representa la generalización de los espacios matemáticos en dos y tres dimensiones conocidos y estudiados ya en la antigüedad por Euclides 2. A la función de distancia d 2, basada en el teorema de Pitágoras, se le conoce como métrica euclidiana. En el espacio euclidiano se utiliza como producto interno el producto punto, definido como i=1 n x, y = x y = x i y i. (4.5) Con esto se puede definir la norma euclidiana x de un vector x como x = x, x = x x = n x i 2. Se puede deducir fácilmente que la métrica euclidiana puede reescribirse en términos de la norma: d 2 (x, y) = x y (4.6) Cualquier base para un espacio euclidiano de n dimensiones contiene entonces exactamente n vectores ortogonales entre sí. 2 Euclides fue un matemático griego del s. III a. C., quien escribió Elementos, que es la base de la geometría plana actual. i=1 i=1 136 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

7 4.3 Ortogonalidad de vectores Ejemplo 4.2 Dado un vector x = [cos(α), sen(α)] T en un espacio euclidiano bidimensional, encuentre otro vector de magnitud 1 ortogonal y demuestre que su producto interno es cero. Un vector ortogonal a x = [cos(α), sen(α)] T forma un ángulo de 90 con él. La figura 4.1 muestra una solución gráfica: el vector x = [ sen(α), cos(α)] T es perpendicular a x. sen(α) x = [ ] cos(α) sen(α) cos(α) α sen(α) cos(α) Figura 4.1: Construcción geométrica para obtener un vector ortogonal. La misma conclusión puede obtenerse utilizando identidades trigonométricas en la expresión [cos(α + π 2 ), sen(α + π 2 )]T. El producto x, x se calcula entonces como x, x = [cos(α), sen(α)] [ ] sen(α) = cos(α) sen(α) + cos(α) sen(α) = 0 cos(α) La figura 4.2 muestra la representación tradicional de un vector x en un espacio euclidiano bidimensional. Para la figura en el lado izquierdo se ha utilizado la base ortonormal canónica U = {u 1, u 2 }, con los coeficientes escalares a 1 y a 2. El lado derecho muestra el vector con otra base ortonormal U = {u 1, u 2}. Se puede apreciar que los coeficientes a 1 y a 2 de x con la nueva base U son diferentes a los obtenidos con U. Sin embargo, si se establece claramente una base, las componentes calculadas pueden utilizarse para representar a cualquier vector x de forma única e inequívoca. De esta forma, es posible representar los mismos vectores a través de los coeficientes generados para una base determinada, como lo muestra la figura 4.3 para las dos bases en la figura 4.2. Esta forma de representación vectorial facilita el manejo de vectores con más de tres dimensiones, que son difíciles o incluso imposibles de imaginar en un espacio geométrico. 4.2 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 137

8 4 Ortogonalidad y Series de Fourier a 2 x x a 2 u 2 u 2 a 1 u 1 u 1 a 1 Figura 4.2: Representación de un vector euclidiano bidimensional x utilizando dos bases ortonormales diferentes. a i a i a 1 a 2 a 1 a 2 Figura 4.3: Representación alternativa del vector euclidiano en la figura 4.2 para las bases ortonormales utilizadas allí. 4.4 Ortogonalidad de funciones La representación de un vector x a través de sus componentes para una determinada base U puede interpretarse como una función x : {1, 2,..., n} IF que asigna a cada vector generador u i con índice i {1, 2,..., n} su coeficiente correspondiente con un valor en el cuerpo IF, es decir, x(i) es una función que permite obtener el valor de los coeficientes para cada componente de la base utilizada. Extendiendo esta idea es incluso posible representar vectores con un número infinito de dimensiones, utilizando funciones de la forma x : Z IF. Para un espacio euclidiano el producto interno puede definirse como n 2 x, y = i=n 1 x(i)y(i) (4.7) 138 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

9 4.5 Series de Fourier donde n 1 y n 2 puede ser infinitas (n 1 n 2 ), expresión que generaliza al producto punto definido anteriormente en (4.5). A partir de esta representación resulta una consecuencia natural eliminar la restricción de los índices de ser números enteros, y generalizar el concepto de vectores a funciones. El espacio vectorial se transforma entonces en un espacio funcional, donde todas los conceptos introducidos anteriormente siguen siendo válidos si las propiedades básicas se mantienen. Por ejemplo, el producto interno de dos funciones definidas en un intervalo (a, b) se generaliza entonces transformando la sumatoria (4.7) en la siguiente integral x(t), y(t) = b a x(t)y(t) dt (4.8) con lo que se concluye que dos funciones son ortogonales en el intervalo (a, b) si (4.8) es cero. La norma de la función se define utilizando la ecuación (4.8), de igual forma que se hizo para los vectores con la ecuación (4.1): b x(t) = x(t), x(t) = a x(t) 2 dt (4.9) Con estas definiciones se puede incluso tomar el concepto de ángulo entre vectores (ecuación (4.2)) y generalizarlo como ángulo entre funciones: cos ( (x(t), y(t))) = x(t), y(t) x(t) y(t) con lo que se puede afirmar que el ángulo entre dos funciones ortogonales es π/ Series de Fourier Series generalizadas de Fourier Un conjunto (posiblemente) infinito de funciones ortogonales puede entonces servir de base para un espacio funcional, de la misma manera que vectores ortogonales sirven de base para espacios vectoriales. Sea U un conjunto de funciones ortogonales U = {u n1 (t),..., u 0 (t), u 1 (t),..., u n2 (t)}. Este conjunto puede entonces utilizarse como conjunto generador de un espacio funcional para toda función x m (t) = n 2 i=n 1 c i u i (t) (4.10) c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 139

10 4 Ortogonalidad y Series de Fourier donde c i representa los coeficientes escalares de la combinación lineal de las funciones generadoras u i (t). Para encontrar estos coeficientes se procede de la misma forma que para los vectores. A partir de la representación de la función x(t) x m (t) como serie (ver ecuación (4.10)), se evalua el producto interno por una función generadora particular u k (t) para obtener u k (t), x(t) n 2 u k (t), n 2 i=n 1 c i u i (t) = u k (t), c i u i (t) i=n 1 n 2 = c i u k (t), u i (t) i=n 1 = c k u k (t), u k (t) = c k u k (t) 2 con lo que se deriva c k = u k(t), x(t) u k (t) 2. (4.11) Una conclusión importante de (4.11) es que si se utiliza una base ortogonal para la aproximación de una función, el valor óptimo para los coeficientes depende tan solo de la función generadora correspondiente al coeficiente a calcular y de la función que se desea aproximar. Estos coeficientes no dependen ni del número de funciones en la base funcional, ni de la forma u otra característica de otras funciones generadoras. Si la base funcional {u k (t)}, k Z es completa, es decir, si la aproximación de la función x(t) con la serie infinita converge a la función: x(t) = k= c k u k (t) con las funciones generadoras u k (t) ortogonales y los coeficientes c k calculados con (4.11), entonces a la expansión en serie se le denomina serie generalizada de Fourier Series de Fourier Un caso especial de funciones ortogonales frecuentemente utilizadas es el conjunto generador u k (t) = e jω 0kt = e j2πf 0kt, k Z 140 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

11 4.5 Series de Fourier Estas funciones tienen como periodo común T p = 1/F 0 (comparar con la sección 1.2.3). Evaluando el producto interno definido en un periodo u i (t), u k (t) = = = Para el caso k = i se obtiene t0 +T p t 0 t0 +T p u i (t)u k (t) dt t 0 e jω 0it e jω 0kt dt = t0 +T p u i (t), u i (t) = t0 +T p t 0 e jω 0it e jω 0kt dt t 0 e jω 0(k i)t dt (4.12) t0 +T p t 0 e jω 00x dt = t0 +T p t 0 1 dt = T p (4.13) y para k i u i (t), u k (t) = ejω 0(k i)t jω 0 (k i) t 0 +T p t 0 = ejω0(k i)t0 ( e jω 0 (k i)t p 1 ) jω 0 (k i). (4.14) Considerando finalmente que Ω 0 T p = 2π se obtiene u i (t), u k (t) = ejω 0(k i)t 0 ( e j2π(k i) 1 ) jω 0 (k i) = 0 con lo que queda demostrada la ortogonalidad de las funciones u k (t) = e jω 0kt. De esta forma es posible aproximar cualquier función periódica x(t) = x(t + T p ) con la serie x(t) = n 2 k=n 1 c k e jω0kt donde n 1 y n 2, conocida como la serie de Fourier. (4.15) Si x(t) es una función real, puesto que za = za con z C y a IR, y x + y = x + y, entonces se cumple que c k = u k(t), x(t) u k (t) 2 = = c k e jω 0 kt, x(t) e jω 0kt 2 = t+tp t e jω 0kt x(t) dt e jω 0kt 2 Además, utilizando el hecho de que x+x = 2 Re{x} se puede reescribir (4.15), asumiendo c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 141

12 4 Ortogonalidad y Series de Fourier que c k = c k e jθ k como x(t) = = k= c k e jω 0kt = 1 k= c k e jω0kt + c 0 + = c 0 + = c 0 + c k e jω 0kt + c 0 + c k e jω 0kt c k e jω0kt = c Re{c k e jω0kt } = c 0 + c k e jω 0kt + c k e jω 0kt 2 c k Re{e j(ω 0kt+θ k ) } 2 c k cos (Ω 0 kt + θ k ) (4.16) Existe una tercera representación de la serie de Fourier para funciones reales x(t), que se obtiene de (4.16) utilizando la identidad trigonométrica cos(α+β) = cos α cos β sen α sen β: x(t) = a 0 + (a k cos Ω 0 kt + b k sen Ω 0 kt) con a 0 = c 0, a k = 2 c k cos θ k y b k = 2 c k sen θ k En principio, la descomposición de una función real x(t) en una serie de Fourier brindará un conjunto de coeficientes c k (o alternativamente a k y b k ) que indican qué tan fuerte es la componente k de frecuencia angular kω 0 en la función original. Esto es, la serie de Fourier es un primer paso para realizar un análisis en el dominio de la frecuencia, que será el tema del siguiente capítulo. Las llamadas condiciones de Dirichlet para la función x(t) garantizan la convergencia de la serie de Fourier en todo punto de x(t) exceptuando en sus discontinuidades, donde la serie converge al valor medio de la discontinuidad. Estas condiciones son: 1. La función x(t) tiene un número finito de discontinuidades en cualquier periodo. 2. La función x(t) contiene un número finito de máximos y mínimos en cualquier periodo. 3. La función x(t) es absolutamente integrable en cualquier periodo, esto es: t+tp x=t x(t) dt < (4.17) Sin embargo, estas condiciones son suficientes, mas no siempre necesarias; es decir, existen funciones con representaciónes válidas en series de Fourier que no satisfacen las condiciones de Dirichlet. 142 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

13 4.6 Problemas 4.6 Problemas Problema 4.1. Encuentre tres vectores ortonormales en el espacio euclidiano tridimensional y compruebe que el producto punto entre cualquier par de vectores es cero. Problema 4.2. Sean u i (t) funciones de variable y valor complejos, ortogonales en el intervalo [x 1, x 2 ]. Si la representación rectangular de dichas funciones se expresa como u i (t) = r i (t) + jq i (t) demuestre que se cumple x2 x 1 x2 r i (t)r k (t) dt = r i (t)q k (t) dt = x 1 para todo i k. x2 x 1 x2 x 1 q i (t)q k (t) dt q i (t)r k (t) dt Problema 4.3. Utilizando la función de error E(c 0, c 1,..., c n ) = x(t) x n (t) 2 = x2 x 1 x(t) x n (t) 2 dt demuestre que para funciones y coeficientes complejos los coeficientes definidos en (4.11) minimizan la función de error. (Sugerencia: Exprese c i en coordenadas rectangulares como c i = a i + jb i, y utilice los resultados del problema 4.2.) c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR 143

14 4 Ortogonalidad y Series de Fourier 144 c P. Alvarado Uso exclusivo ITCR

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