CAPÍTULO 0 REPASO DE CONCEPTOS GENERALES ÍNDICE

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1 CAPÍTULO 0 CAPÍTULO 0 REPASO DE CONCEPTOS GENERALES ÍNDICE 0. Introduccón. 0. Alguns nots hstórcs sore l Teorí de l Elstcdd. 0. Generlddes sore vectores, puntos esclres 0.4 Opercones elementles con vectores 0.5 Bses de vectores coordends 0.6 Notcón de índces 0.7 Nocones sore tensores. 0.8 Propeddes de ls mtrces tensores: 0.9 Repso de conocmentos sore operdores dferencles: 0.0 Algunos teorems mportntes de cálculo ntegrl

2 CAPÍTULO 0 0. Introduccón L Asgntur de Elstcdd Resstenc de Mterles se encudr en el Áre de Conocmento de " Mecánc de los Medos Contnuos Teorí de Estructurs" de cuerdo con el Ctálogo de Áres de Conocmento pulcdo por el Mnstero de Educcón Cenc de nuestro pís. Pr entender est denomncón es necesro hcer un desglose de sgnfcdos, sí Mecánc es l cenc que estud el movmento de los cuerpos; Medo Contnuo es quel que no tene dscontnuddes nvel mcroscópco o lo que es lo msmo que l mter tene un dstrucón moleculr unforme (Medo Contnuo puede ser un pez sóld, un volumen de gu o de re); por últmo Teorí de Estructurs es l prte de l Ingenerí que trt sore l determncón de los esfuerzos desplzmentos que sufre un sstem resstente (un sstem resstente sempre está consttudo por mter sóld). De lo epuesto se nfere que el concepto de Mecánc del Medo Contnuo ( o en: cenc que estud el movmento de los medos contnuos) es mu mplo englo tres grndes dscplns: Mecánc del Sóldo, Mecánc de ludos Termodnámc. Por tnto su estudo puede ser ncludo en culquer de ess tres grndes Áres. Sn emrgo, en ls Escuels de Ingeneros est mter sempre h estdo lgd l Áre de Mecánc Estructurl, sendo quzás este el motvo de que el Mnstero de Educcón uner en l msm áre Mecánc del Medo Contnuo Teorí de Estructurs. L Mecánc del Medo Contnuo es un Cenc ásc cuo oetvo es proveer lees lems teorems de índole generl váldos pr un medo contnuo dndo sustento coherenc mtemátc físc ls cencs que de ell se rmfcn, es decr l Elstcdd, l Mecánc de ludos, l Termodnámc. Estos teorems se referen l conservcón de l energí, equlro de fuerz de momentos, momento cnétco, Momentum, etc. Sn emrgo los plnes de estudo ctules no contempln su nclusón en los estudos de Ingenero Industrl por lo que estos Apuntes ntentn plr el desconocmento de los lumnos ludendo l teorem que lo fundment pero sn demostrrlo. En generl l Teorí de l Elstcdd se englo dentro del prtdo de Mecánc del Sóldo, denomnándose veces Mecánc del Sóldo Deformle pr dstngurl de l Mecánc del Sóldo Rígdo, consttue, unto con l Resstenc de Mterles, el oetvo de l Asgntur. Es necesro hcer un ncso pr clrfcr estos dos conceptos: l Mecánc del Sóldo Rígdo consder que l dstnc entre dos puntos de un sóldo culquer es nvrle en todo el proceso, sn emrgo l Mecánc del Sóldo Deformle consder que puede vrr, defnéndose un nuev vrle denomnd deformcón. Su nomre: Elstcdd Resstenc de Mterles, prece ndcr que se trt de dos sgnturs en un o de dos grndes mters en un sol sgntur. Nd ms leos de l reldd pues l Teorí de l Elstcdd estud cuerpos elástcos, es decr cuerpos que recupern su form ncl un vez hll desprecdo l cus que lo deform, l Resstenc de Mterles estud el msmo tpo de cuerpos pero con un geometrí especl, concretmente l rr. A lo lrgo del curso se verá que ms están íntmmente relconds, unque es necesro reconocer que hstórcmente sends mters ern ndependentes pues l Elstcdd ncó en l décd de 80 como un

3 CAPÍTULO 0 cenc prte e ndependente de l Resstenc de Mterles que estí. Sn emrgo prtr de los tros de Snt-Vennt, fnles del sglo XIX, l confluenc comenzó ponerse de mnfesto, prtr de l prmer décd de 90 l unón er ndscutle. Sn emrgo l ncorporcón de l Teorí de l Elstcdd los Progrms Ofcles de estudo de ls Escuels de Ingeneros Industrles de nuestro pís no fue nmedt, tenendo lugr en 947 susttuendo l sgntur " Mecánc Aplcd l Construccón" que psrí denomnrse en delnte "Elstcdd Resstenc de Mterles". Ho en dí nde dscute que pr entender Resstenc de Mterles prevmente deen herse dqurdo certos conocmentos sore Elstcdd. Por ello los estudntes estudrán en prmer lugr l Elstcdd contnucón l Resstenc de Mterles. En lo que respect l Elstcdd, se comenzrá estudndo los conceptos de fuerzs tensones, pr luego estudr ls deformcones que llevn preds l plccón de tles fuerzs. L le de comportmento, que lg mos conceptos es de vtl mportnc pr completr el modelo mtemátco, termnándose un prmer prte con l determncón de ls ecucones de Nver. Puede decrse que con ello se plnte tod l Teorí de l Elstcdd, unque lógcmente es necesro etenderse un poco más pr estudr los Teorems Energétcos el cso de Elstcdd Pln, l consdercón de ncrementos de tempertur, por últmo un ntroduccón los Métodos Numércos de cálculo. 0. Alguns nots hstórcs sore l Teorí de l Elstcdd. Puede decrse que el strónomo, ngenero, físco mtemátco Glleo-Glle (564-64) ncó el cmno del conocmento sore l Elstcdd Resstenc de Mterles l ser el prmero (l menos que se teng conocmento) que estud l resstenc de un tronco de árol fleón. Sus eperencs son recogds en su últm pulccón " Dos nuevs Cencs" (68) áscmente dscuten el prolem de l vg en voldzo. Aunque el trtmento no fue correcto n tmpoco resuelto, l cenc suele referrse este prolem como " Prolem de Glleo". Prlelmente uno de los cereros más rllntes de l Unversdd de Oford de quell époc funddor de l Rol Socet Roert Hooke (65-70) estud l elstcdd de los mterles llegndo en 660 l le que llev su nomre plcándol l cso de resortes (Hooke nventó el resorte esprl que susttuó l péndulo en los mecnsmos de reloerí). H ndcos de que Hooke no etendó su le l Elstcdd n l Resstenc de Mterles, unque esten duos sore cúpuls que hcen pensr lo contrro. Quen s lo hzo de mner fehcente fue Mrotte ( ) en 680 que deduo l msm le que Hooke l plcó vgs. Este utor, hcendo uso de un tremend ntucón mgn ls vgs formds por lámns delgds (frs) suponí que lguns se lrgn otrs se cortn respecto un que permnecí nvrle stud en l mtd de l seccón construendo sí el prmer modelo (mu smplfcdo) de Resstenc de Mterles. El prolem de Glleo vuelve ser estuddo por Jmes Bernoull ( ) (cez de l zg fmlr más curos de l cenc modern pues tnto su hermno Johnn como su neto Dnel se dedcron los msmos tems sempre con plntementos

4 CAPÍTULO 0 4 rllntes), que supone que un seccón pln ntes de l fleón permnece pln después de l fleón. No llegó l solucón defntv, pero en 77 s lo hce su hermno Johnn ( ) con el prncpo de los desplzmentos vrtules. Su neto Dnel (700-78) estud dversos prolems, entre ellos l determncón de l elástc sí como el pndeo de columns. Puede decrse que en es fech el modelo de vgs de Resstenc de Mterles est completo, en cunto tensones normles se refere fltndo nclur l nfluenc del cortnte En 784 Chrles Coulom (76-806) hce mportntes contrucones l estudo de l torsón empues de terr, en 86 Lous Mre Henr Nver (785-86) pulc su prmer grn teto de mecánc de mterles: " Resstenc Deformcón en Vgs de Culquer Seccón Trnsversl. Ho en dí se le consder funddor de l teorí mtemátc de l Elstcdd, de tener en cuent l nfluenc del cortnte en vgs, de dr solucón l fleón de plcs. Aprte Nver tene tmén el mérto de drgr e mpulsr l E cole du Ponts et Chusses l Poltechnc cun de l cenc ctul. Otros utores que contrueron l desrrollo de l Teorí de l Elstcdd en es époc fueron Lmé ( ) Clperon ( ) que resolveron prolems con clndros esfers, sí como plnter el prncpo de l guldd de tro eterno e nterno. Possón que oservó defnó l contrccón que sufrín los cuerpos cundo se trcconn. Cuch ( ) que modfc el plntemento orgnl de Nver llegndo ls ecucones que ctulmente se emplen. George Green (79-84) que plnte el revoluconro prncpo de conservcón de l energí elástc. Brre de Snt-Vennt ( ) quzás el ngenero más cuddoso en sus plntementos que h estdo. Uní un tremend ntelgenc, un hldd mtemátc nusul un vsón práctc de un prolem que hcí que enfocr el tro en l dreccón precs. Sus tros sore torsón fleón de vgs en que d un vsón correct l trtmento del esfuerzo cortnte están vgentes ho en dí. Rnkne (80-87) que otuvo ls ecucones de trnsformcón de coordends de tensones. Puede decrse que comenzos del sglo XX l Teorí de l Elstcdd est complet cs l msmo nvel que ho en dí, pero solo se hí plcdo l cso de vgs. A prtr de es fech d comenzo el desrrollo de ls plccones de l elstcdd dversos cmpos de l ngenerí Mecánc. Ce ctr Lord Rlegh, Love, Clesh en ssmologí, Lm en vrcón de plcs, Grffth en frctur, Tmoshenko en pndeo de plcs, Truesdell en lees de comportmento, un lrgo etcéter que es mposle de resumr en tn corto espco. No quser termnr sn remrcr l mportnc (nustmente olvdd por los hstordores) que h tendo en l cenc e ngenerí ctul l crecón de l E cole du Ponts et Chusses en Prs fnles del sglo XVII. Hst es fech ls unversddes seguín tenendo un mrcdo corte medevl, es decr enseñn losofí, Teologí, Derecho, Medcn. L ngenerí est restrngd los Cuerpos de Ingeneros del Eércto, los cules hcín tnto l ngenerí cvl como l mltr los monrcs solín contrtr ls grndes mentes centífcs de quell époc (Euler, Bernoull,etc) pr trr en unón de estos Cuerpos o pr resolver prolems drectmente relcondos con el mecens. A prtr de l fundcón de l E cole (ncó como nsttucón cvl que form lumnos que no ern mltres) l enseñnz de l ngenerí propc que se creen núcleos de profesores ngeneros que pensn que es necesro fomentr e mpulsr ls enseñnzs en mtemátcs mecánc como se centífc de

5 CAPÍTULO 0 5 formcón de los futuros ngeneros (ce ctr como grn mpulsor de est de Monge). Estos grupos de ngeneros (Cuch, Lgrnge, Posson,etc) fueron los que propcron el ncmento de ls ctules cultdes de Mtemátcs íscs en defntv de l Ingenerí Cenc ctul. Ests línes están dedcds todos quellos grndes ngeneros que dedcros sus esfuerzos logrr este ello fn. 0. Generlddes sore vectores, puntos esclres Como se se los esclres son números pertenecentes l conunto de los Números Reles. Los Vectores pertenecen l espco vectorl Euclídeo de dmensón : Ε, Puntos son entes socdos l espco Afín Eucldeo I. Sen A B dos puntos culesquer, en generl l segmento orentdo con orgen en el punto A fnl en el B se denomn vector: B A gur 0- El conunto de vectores en unón de ls opercones de sum, producto por un esclr, norm, producto esclr tenen l estructur de espco euclídeo Ε. do un orgen rtrro O (O Ε ) este un equvlenc entre puntos vectores pues cd punto P se le puede socr el vector OP. En resumen ls propeddes omátcs de los vectores son: Commuttv: c Asoctv: ( ) ( ) c Conunto vco: ( 0) / 0 Invers: ( ) / ( ) 0 Vectores esclres (dstrutv): α α α Elemento neutro α ( ) ( α β ) α β ( β ) ( α β )

6 CAPÍTULO Opercones elementles con vectores Los vectores pueden sumrse /o restrse de cuerdo con l regl del prlelogrmo: gur 0- L multplccón por un esclr d como resultdo otro vector gulmente orentdo pero de módulo dferente: β gur 0- Producto esclr de dos vectores: Es un opercón smétrc cuo resultdo es un esclr: λ donde Ε λ R Ls propeddes son ls sguentes: Conmuttv: α β Asoctv: ( ) c α ( c) β ( c) En generl: 0 ; s 0 0 Se denomn Norm o Módulo de un vector l ríz cudrd del producto esclr del vector por s msmo : geométrcmente se nterpret como l dstnc entre los puntos orgen destno del vector. El producto esclr puede nterpretrse geométrcmente como l proeccón de un vector sore el otro, sí:

7 CAPÍTULO 0 7 φ gur 0- cosφ Un cso prtculr nteresnte es cundo los vectores son perpendculres, resultndo: cos 90 0 Producto vectorl de dos vectores: Es un opercón hemsmétrc en el que el resultdo es otro vector pertenecente L opercón es hemsmétrc porque c Ε. tene ls sguentes propeddes: ( α β ) c α ( c) β ( c) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L nterpretcón geométrc es que el vector c es perpendculr l plno formdo por los vectores orentdo según l regl de l mno derech ( el vector c tene el sentdo del pulgr cundo el índce v del vector l ): c gur 0- L mgntud o norm del vector c es:

8 CAPÍTULO 0 8 c senφ Otr nterpretcón geométrc nteresnte es oservr que el módulo del vector c es el áre del prlelogrmo formdo por los vectores, sí: c φ gur 0-4 Producto mto de vectores: Se defne prtr del conocmento del producto esclr vectorl de vectores, sí: [,, c] ( c) Ovmente el producto mto es un esclr tene ls sguentes propeddes: [,, c] [, c, ] [ c,, ] [, c, ] [,, c] [ c,, ] [ β λ d ] ( c) β [,, c] λ [ d,, c] S [,, c] 0,, c no son lnelmente ndependentes L nterpretcón geométrc del producto mto es el volumen del prlelepípedo que formn los tres vectores: c 0.5 Bses de vectores coordends En el espco euclídeo Ε se puede estlecer un se de tres vectores lnelmente ndependentes ( e, e, e ) de tl form que culquer vector puede ser epresdo como un comncón lnel de l se, sí:

9 CAPÍTULO 0 9 e e e Los coefcentes,,, se denomnn coordends de en l se ( e, e e ) Cundo los vectores (, e e ), e, son mutumente perpendculres entre s se dce que l se es ortonorml. Un sstem de referenc es crtesno cundo se dspone de un orgen O ( O e, e e pertenecentes Ε. En este I ) un se de vectores ( ), sstem ls coordends crtesns de un punto culquer ( pertenecente son ls coordends del vector ( Ε ) de tl form que: I ) O gur 0-5 En funcón de ls coordends en un se ortonorml el producto esclr de dos vectores es: En l denomncón clásc de un sstem de referenc crtesno se emple l notcón X, Y, Z pr referrse los tres ees coordendos. Sn emrgo es convenente elegr un nomencltur dferente pr el sstem de referenc, esto que en un prncpo puede resultr etrño l lumno, pronto verá su utldd. Consste en defnr los ees de l sguente form: X X X O más genércmente: gur 0-6

10 CAPÍTULO 0 0 gur 0-7 Por otr prte, esten vrs forms de epresr l se de vectores crtesns. L clásc es trvés de ls letrs,, k. Con est nomencltur un vector se epresrí como: k Otr stnte usul es empler l notcón nteror, es decr: Y cundo se emple notcón tensorl se us: e e e e Normlmente en Teorí de Elstcdd se emplen los cosenos drectores como se del sstem crtesno. Así se un vector P de coordends (P, P, P ) que form con los ees coordendos los sguentes ángulos: X P n γ P l O α β m P X P X gur 0-8 l cos α ; m cos β; n cos γ L dstnc entre los puntos O P o módulo del vector OP es:

11 CAPÍTULO 0 OP P P P el vector untro en l dreccón de OP es: r V unt P P P P,, P P P P P P P P Sn emrgo puede oservrse que ests componentes del vector untro V unt son precsmente los cosenos de los ángulos que form el vector OP con cd uno de los ees coordendos, que denomnándolos decudmente result: r V unt γ ( cosα,cos β,cos ) ( l, m, n) 0.6 Notcón de índces Conocd como notcón de Ensten, es un ud mportnte pr smplfcr tod l escrtur de ls ecucones, se s en ls sguentes premss: - Un solo índce represent un vector vrí desde hst Eemplo: Se M un vector de componentes sore los ees,, (M, M, M ) M representrí culquer de ls tres componentes del vector M. - Dos índces no repetdos representn un tensor de orden (por eemplo ε ). Dos índces no repetdos prtculrzdos representn un térmno del tensor (por eemplo σ ). Eemplo: σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ - Dos índces repetdos mplcn sempre un sum. Eemplo: σ σ kk σ σ - S esten índces repetdos entre un multplccón o dvsón mplc un sum de l opercón multplccón o dvsón que se está relzndo.

12 CAPÍTULO 0 Eemplo de productos: ) módulo de un vector r r ds ds ds ( d d d d esclr), d, d) ( d, d, d) ( sgnfc producto En notcón de índces l opercón nteror es: ds ds ds ) Multplccón de un fl de un mtrz por un vector: Cocentes: g g g g f h f k k h h f f h σ σ σ σ - Un com (,) ndc que se relz un dervcón Eemplo: ( m ) σ σ, m L dferencl totl de un funcón f es: df f d f d f d en notcón de índces se escrrí: df f d o en: Se el sguente sstem de ecucones: df f, d

13 CAPÍTULO 0 puede ser representdo por: df df df f f f f d f d f d d d d f f f d d d df f d que l no estr el índce repetdo no mplc un sum sno culquer de ls tres ecucones. - Esten dos tensores especles que se emplen con profusón en l notcón de índces. Tles son: El tensor undd el de permutcón de índces - Tensor Undd El tensor undd se construe con l delt de Kronecker δ defncón que tene l sguente δ s ; δ 0 s Es decr: δ Aplccones: Pr demostrr l prmer de ells: σ δ σ σ σ σ δ σ k k δ δ δ km σ σ σ δ σ δ σ δ σ δ ( σδ σ δ σ δ ) ( σδ σ δ σ δ ) ( σδ σ δ σ δ ) σδ σ δ σ δ σ σ σ L segund serí: k m

14 CAPÍTULO 0 4 σ δ k σδ k σδk σδ k En est ecucón el índce puede tomr vlores,, el índce k,,, pero es mportnte drse cuent que en cd cso el índce el índce k sólo tomn un vlor determndo fo. Por tnto pr un vlor fo del índce k sólo este un sumndo dstnto de cero. Así, s k el únco sumndo no nulo es σ ( k ). S k el únco sumndo no nulo es σ ( k ). Y s k entonces es σ ( k ). En defntv se puede escrr: σ δ σ k k L demostrcón de l tercer es nmedt, pues smplemente se desrroll l sum de productos se susttue por su vlor. - Los símolos de permutcón de índces: Se suele empler l letr e pr su denomncón en generl tene l form e k es mu útl pr epresr determnntes productos vectorles. Su defncón es l sguente: El resultdo de est opercón es: e ( e e ) k 0 s dos o más índces están repetdos e k s los índces tene un permutcón pr o están studos de cuerdo con el producto vectorl -- - en cso contrro Esto conduce : e e e e e e e e e etc e e e 0 e e e

15 CAPÍTULO 0 5 Aplccones de estos símolos: Determnnte: A en notcón de índces es: A ek k que desrrolld (sólo se tenen en cuent los térmnos dstntos de cero): e e e e e e Producto vectorl: c (,, ) (, ) k ( ) ( ) ( )k, Y en notcón de índces: Que desrrolld es: o en en form de vector: c e r c c c rst s e e e t e e e c r ( c, c, c ) (, ),

16 CAPÍTULO 0 6 Otrs plccones: Trple producto esclr: e e δ δ δ e k k e mn m n m kp δ δ δ kn mnp n δ km ( B C) ek A B Ck A - Un índce no se dee repetr más de dos veces en l msm opercón, s ello ocurre se dee empler el símolo sumtoro pr tl fn. Eemplo: e B C está ml epresd pues el índce se repte tres veces. En este cso k se dee escrr: ek BC e k B C e k B C e k B C luego desrrollr cd uno de los sumndos emplendo ls regls de l notcón de índces. 0.7 Nocones sore tensores. Un tensor se puede defnr desde l ngenerí desde l mtemátc. Desde el punto de vst ngenerl un tensor es un ente que nte tl que l opercón trnsformcón de coordends lo hce según certs regls. A l hor de representr los tensores este un cert confusón entre los lumnos pues muchos tetos escren trtn un tensor ectmente gul que s fuese un mtrz. Ello ocurre cundo es mtrz es tmén un tensor lo que mplc que entonces tenen ls propeddes de mtrces tensores. En otrs plrs un tensor puede que cumpl con ls propeddes de tensor de mtrz sendo entonces ms coss l vez, pero puede que no cumpl con ls propeddes de mtrz sendo en este cso sólo un tensor. En generl los tensores crtesnos pueden ser trtdos, l morí de ls veces, como mtrces. Sn emrgo, en rs de l generldd entrenmento del lumno hc un profundzcón en tems relcondos con l mter, este utor entende que es meor trtrlos como tensores. L plr tensor, fue ntroducd por Ensten, es de orgen ltno pr sgnfcr lgo que se estr, es decr l cus de l tensón. ue desrrolld por Rcc en 890 dd conocer por su dscípulo Lev en 900 unque su uge no llegó hst que Ensten l populrzó con su fmos teorí de l reltvdd Un de ls grndes vents de los tensores es que trnsformn un vector en otro vector, es decr el producto de un tensor por un vector es otro vector, en generl sstemtzn todo lo relcondo con los cmos de sstems de referenc de mgntudes dervds (por eemplo psr de coordends crtesns esfércs los operdores dferencles, etc). Rngo de un tensor: Los tensores pueden ser esclres, vectores, etc. Un esclr es un tensor de orden 0, un vector es un tensor de orden, un mtrz de puede ser un tensor de orden. En

17 CAPÍTULO 0 7 generl el rngo de un tensor vene epresdo por el número de índces que conteng, sí: C esclr C C vector tensor de orden En generl los esclres son mgntudes que no dependen del sstem de coordends elegdo como por eemplo l ms, el tempo, l tempertur, etc. Trnsformcón de coordends Se un vector culquer cus componentes referds l sstem X, Y son respecto l sstem X, Y son. Se trt de epresr ls componentes del vector en el sstem grdo en funcón de ls componentes del vector en el sstem sn grr. Y Y Y X Y X α X X Ls relcones que se otenen de l fgur nteror son: cosα senα senα cosα > cosα senα senα cosα Que se pueden oservr en ls dos fgurs sguentes:

18 CAPÍTULO 0 8 Y Y Y α X B Y A X O α X X OA AB cos α sen α Y Y senα A Y α X Y B X O α X X OA AB cosα - senα Resultndo: L cosα senα senα cosα [ L ] L sguente fgur muestr los cosenos drectores de los ees X e Y, sí : ( cosφ, cosη) Y η Y β φ X α ( cosα, cos β ) X Como puede oservrse, el tensor de Trnsformcón de Coordends crtesns [L] se construe colocndo en fls ls componentes de los vectores untros de cd uno de

19 CAPÍTULO 0 9 los ees grdos. S, como es usul en Elstcdd, se emplen los cosenos drectores pr representr los vectores untros result, que ls fls de l Mtrz de Trnsformcón de Coordends serán los cosenos drectores de cd ee. Pr el cso trdmensonl, l mtrz de trnsformcón de coordends se construe etrpolndo los resultdos del dmensonl, sí X X X X γ X X X X X α β X (l, l, l ) X X (l, l, l ) X (l, l, l ) γ γ X β β X α α X X X [ L] l l l l l l l l l cosα cosα cosα cos β cos β cos β cosγ cosγ cosγ Trnsformcón de tensores en sstems ortonormles: Sen dos vectores, ), sí: relcondos trvés de un tensor T en un referencl (, T 0-0 S se relz un cmo de sstem de referenc los ees (,, ) result: T 0-

20 CAPÍTULO 0 0 el oetvo es encontrr un relcón entre T T. A tl fn se hce uso de l relcón otend nterormente sore el cmo de sstem de referenc de vectores, sí: L L 0- en vrtud de que l mtrz de trnsformcón de coordends es ortogonl (un mtrz es ortogonl s [M] T [M] - ) entonces: L L L L L L T 0- Por tnto prtendo de que A result susttuendo: { } [ L]{} [ L][ T]{} [ L][ T][ L] T { } [ T ] [ L][ T][ L] T 0-4 Inversmente es nmedto compror que: T [ T] [ L] [ T ][ L] 0-5 El lumno puede compror que: 0.8 Propeddes de ls mtrces: T [ ] [ L][ T][ L] T AmAnTmn T 0-9 Ls dmensones de un mtrz se otenen prtr del número de fls columns que contengn, sí un mtrz de 4 quere decr que tene dos fls cutro columns. Csos especles es cundo se trtn de mtrces fls o columns. Así un mtrz fl se denomnrí n (por eemplo un mtrz A de dmensón serí (,,c)), un mtrz column n (por eemplo un mtrz A de dmensón serí ). Usulmente se emple l notcón sguente:,, c pr denomnr un mtrz fl pr desgnr un mtrz column c Sum-rest de mtrces L opercón sum o rest de mtrces consste en sumr o restr térmno térmno ms mtrces, sí:

21 CAPÍTULO 0 ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± L opercón sum/rest es conmuttv soctv [ A ] [ B] [ B] [ A] ([ A] [ B] ) [ C] [ A] ([ B] [ C] ) Multplccón de mtrces L multplccón de mtrces se relz mednte l regl de l multplccón de fls por columns: El producto de mtrces no es conmuttvo pero s soctvo: ([ A] [ B] ) [ C] [ A] ([ B] [ C] ) El producto de un esclr por un mtrz es el producto del esclr por todos los coefcentes de l mtrz: k k k k k k k Mtrces smétrcs: Un mtrz es smétrc s se cumple que: A A. Mtrces hemsmétrcs: Un mtrz se dce que es hemsmétrc cundo: A A A 0 por eemplo: A Mtrz Dgonl

22 CAPÍTULO 0 Un mtrz se dce dgonl cundo úncmente son dstntos de cero los térmnos correspondentes l dgonl prncpl. S demás los térmnos de l dgonl prncpl todos tene vlor undd se denomn mtrz undd Mtrz Trspuest L mtrz trspuest [B] T de un mtrz [B] se construe ntercmndo fls por columns en l mtrz [B], por eemplo: [ B] [ B] T Un de ls opercones más mportntes con mtrces trspuests es: ([ A] [ B] ) T [ B] T [ A] T Tmén es fácl compror que: { C} T C Y que: ([ B] { C} ) T C [ B] T L trspuest de l trspuest de un mtrz es l mtrz orgnl: [ B] L trspuest de un mtrz smétrc es l mtrz orgnl. Un mtrz se dce que es ortogonl s [M] T [M] - T ( ) T [ B] Mtrz Invers Pr certs mtrces cudrds (como por eemplo [B]) se puede defnr l mtrz nvers de tl form que: [ B] [ B] [ I] Donde [I] es l mtrz undd [ B] es l mtrz nvers de [B] Dervd de un mtrz L dervd de un mtrz es l dervd de cd uno de sus componentes: Eemplo: d d 6 0

23 CAPÍTULO 0 L dervd de mtrces tene l sguente propedd: Integrl de mtrces d d ([ A] [ B] ) d d [ A] [ ] [ ] d[ B] L ntegrl de un mtrz es l ntegrl de cd uno de sus componentes B A d Eemplo: d Álger de tensores - Sum rest de tensores Es un opercón que d como resultdo otro tensor C cus componentes son l sum o rest de ls correspondentes componentes de los tensores prmtvos A B : C A ± B - Multplccón de tensores El producto de un tensor A por un vector C k es un tensor de rngo D k D k A Ck El producto del tensor A por el tensor B km es un tensor de rngo 4 C km C km A Bkm - Contrccón o multplccón de tensores con índces repetdos Cundo los tensores multplcr tenen un índce repetdo el resultdo es un tensor de rngo N-. Por eemplo en el cso de multplcr un tensor por un vector result: ( Rngo ) D A C ( Rngo ) Dk A Ck S se multplcn dos tensores con los dos índces repetdos el resultdo es un esclr ( Rngo 4) C A B ( Rngo 0) Ckm A Bkm - Regl del cocente Se un vector, otro vector c un mtrz. S ocurre que: un tensor entonces c es c

24 CAPÍTULO Multplccón de un esclr α por un tensor A El resultdo es otro tensor cus componentes son el resultdo de multplcr tods ls componentes del tensor por el esclr: C α A 0.0 Repso de conocmentos sore operdores dferencles: En tods ls rms de l Mecánc, del Electromgnetsmo, en generl en tod l Ingenerí los operdores dferencles son de un mportnc cptl. Los operdores dferencles son dos: el grdente el lplcno. Sn emrgo dependendo de cómo se operen se sudvden en cutro: - Grdente - Dvergenc - Rotconl - Lplcno Aún sí cd uno de ellos tene sus prtculrddes que es necesro tener en cuent. A contnucón se eponen sn demostrr ests prtculrddes eclusvmente en coordends crtesns. El operdor Grdente Se defne como un vector cus componentes son:,, z S se plc un cmpo esclr φ(,, z) φ se otene un vector que tene l sguente propedd: L dreccón del vector grdente es quell en que el cmpo vrí más rápdmente (el grdente es norml l superfce en un punto determndo). φ φ φ φ φ,, z φ φ k z H que tener en cuent que el vector grdente de φ es dferente en cd punto pues depende de ls coordends. En funcón del grdente se puede hllr l vrcón que epermente el cmpo en ls nmedcones de un punto, sí: φ φ φ dφ d d dz φ ds z El operdor dvergenc

25 CAPÍTULO 0 5 El grdente se puede plcr un cmpo vectorl dndo como resultdo un esclr denomnándosele entonces dvergenc del cmpo vectorl sí: Se un cmpo vectorl, entonces: z de dvergenc z L dvergenc en notcón de índces se escrrí:, El operdor rotconl Se un cmpo vectorl se defne el rotconl de como: Rot Como puede oservrse el rotconl es otro vector tene l sguente epresón: k z z z k z z z El operdor Lplcno El operdor lplcno se puede plcr cmpos esclres o cmpos vectorles. S se plc un cmpo esclr φ, result: z de Lplcno φ φ φ φ Normlmente no se escre lplcno de φ sno: ( ) ( ) z de grd dv φ φ φ φ φ usulmente tmén se emple l notcón sguente φ o en: φ o en notcón de índces: φ,

26 CAPÍTULO 0 6 S el operdor lplcno se plc un cmpo vectorl result otro cmpo vectorl sí: ( grd de ) ( ) dv z z z k z z z z 0. Algunos teorems mportntes de cálculo ntegrl - L crculcón del vector grdente lo lrgo de un líne cerrd es nul Γ φ ds d φ 0 consecuenc: l crculcón del grdente lo lrgo de un líne es ndependente del cmno sólo depende del vlor de l funcón en los etremos Γ - Teorem de Stokes ( ) nd Ω Ω Γ t d Γ Donde n es l norml l elemento dferencl de superfce t es el sentdo de vnce lo lrgo de l curv Γ, de tl form que s se vnz lo lrgo de l curv Γ en l dreccón de t l superfce qued l zquerd. - Teorem de l dvergenc Estlece que: V ndv Ω d Ω V n dv Ω d Ω L prmer ntegrl se denomn luo de un cmpo vectorl. S el vector cmpo el vector norml l superfce concden el fluo es mámo. En se ello se dce que s en un punto: - L dvergenc de es postv sgnfc que el fluo en ese punto ument (este un fuente)

27 CAPÍTULO L dvergenc de es negtv sgnfc que el fluo en ese punto dsmnue (este un sumdero) - L dvergenc de es nul sgnfc que el fluo entrnte slente es el msmo (no este fuentes n sumderos)