Apéndice 4. Introducción al cálculo vectorial. Apéndice 2. Tabla de derivadas y de integrales inmediatas. Ecuaciones de la trigonometría

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1 Apéndices Apéndice 1. Intoducción al cálculo vectoial Apéndice. Tabla de deivadas y de integales inmediatas Apéndice 3. Apéndice 4. Ecuaciones de la tigonometía Sistema peiódico de los elementos

2 Apéndice 1. Intoducción al cálculo vectoial Magnitudes físicas Los cuepos pesentan cietas popiedades que se pueden medi y que eciben el nombe de magnitudes. Así tenemos la masa, la longitud, la duación de un suceso, la velocidad, la fueza, la enegía, etc. Sin embago, algunas de estas magnitudes pueden queda definidas con un valo numéico y una unidad, como po ejemplo al afima que la tempeatua del aula es de 0 ºC. Se dice que son magnitudes escalaes. O uuu OP P Po el contaio, otas magnitudes necesitan paa queda deteminadas, además de un númeo y de una unidad, la diección y el sentido en que actúan, se conocen como magnitudes vectoiales. Po ejemplo: la velocidad, la fueza, la intensidad de los campos gavitatoio y eléctico, etc. Fig.A1. Repesentación geomética de un vecto. Magnitudes vectoiales Las popiedades físicas que vienen medidas po magnitudes vectoiales, se epesentan mediante un elemento matemático designado como vecto. Su epesentación gáfica es un segmento con una flecha situada en un etemo, fig. A.1., nombándose mediante una leta y una flecha encima vecto ; o con dos letas, donde la pimea indica el oigen O y la segunda uuu el etemo del vecto punto P, se lee vecto OP. Los vectoes se caacteizan po su módulo, diección y sentido. Fig.A.. Repesentación de un vecto y de su vecto opuesto. El módulo de un vecto detemina el valo de la magnitud física que epesenta, se simboliza po. Cuando se dibuja el vecto gáficamente, su longitud se suele toma popocional al valo del módulo. La diección es la de la ecta que contiene al vecto. El sentido dento de la ecta que contiene al vecto, puede se hacia uno o hacia oto lado. Así en la fig. A. los vectoes epesentados tienen el mismo módulo y diección, peo sentidos contaios y paa epesalo se designan con vectoes y. Este último vecto se llama vecto apuesto al pimeo. Z k Vectoes unitaios Se llaman vectoes unitaios aquellos que tienen de módulo la unidad. Si tomamos un sistema de ejes catesianos en las tes dimensiones del espacio, con oigen en un punto O, sistema (O,X,Y,Z). Los vectoes unitaios según estos tes ejes se llaman vectoes unitaios pincipales y se designan espectivamente como: i, j, k, ve la fig.a.3. X i O j Y Se puede detemina un vecto unitaio en la diección de cualquie vecto, obteniéndose un vecto unitaio u (se lee vecto unitaio en la diección del vecto ) que tiene de módulo la unidad, peo su diección y sentido son los mismos que los del vecto. Se detemina el vecto unitaio, dividiendo el vecto consideado ente su módulo. u = Fig.A.3. Vectoes unitaios pincipales según tes ejes pependiculaes X, y, Z. De la anteio ecuación se deduce, que un vecto se puede epesa como el poducto de su módulo po el vecto unitaio en su diección, = u.

3 Componentes de un vecto Consideemos un vecto con oigen en O y etemo en P, epesentado po uuu OP = en la fig.a.4. Poyectando el vecto sobe los ejes obtenemos los segmentos, y, z, llamados componentes del vecto según los ejes. uuu Si el vecto OP = foma con los ejes tes ejes ángulos espectivos:, β, γ y su módulo es. De las elaciones tigonométicas en un tiángulo ectángulo deducimos las siguientes ecuaciones: = cos ; y = cos β ; z = cos γ Donde cos, cos β, y cos γ se designan como cosenos diectoes. Epesión de un vecto en función de sus componentes y de los vectoes unitaios. Como en las diecciones de los ejes están situados los vectoes unitaios pincipales, se puede epesa un vecto en función de sus componentes y de los vectoes unitaios en la foma. = i + y j + z k uuu El módulo del vecto OP =, es su longitud en el sistema catesiano de efeencia. Aplicando pimeo el teoema de Pitágoas a las componentes del vecto, e y, se detemina el valo de la diagonal OA del ectángulo que foma la base OA = + y. Aplicándolo de nuevo el teoema de Pitágoas al tiángulo OAP, esulta finalmente paa el módulo del vecto. = + y + z z k i O j = OP uuu Fig.A.4. Repesentación de un vecto y de sus componentes catesianas. z P A y Ejemplo Dado el vecto de posición, = 3 i + 4 j 5 k. Detemina su módulo, el vecto unitaio en su diección y el ángulo que foma con cada uno de los ejes. γ P = OP uuu = + y + z = = 50 = 5 3i + 4 j 5 k u = = = i + j k O β y Compueba calculando el módulo de u que vale la unidad. Paa halla los ángulos que foma el vecto con los ejes, es necesaio calcula antes los cosenos diectoes. 3 cos = = ; 5 y 4 cos β = = ; 5 z 5 1 cosγ = = = 5 Fig.A.5. Los ángulos que foma un vecto con los ejes de coodenadas, se designan espectivamente po, β y γ. Y los ángulos: 3 = ac cos = 64,9º ; 5 4 β = ac cos = 55,6 ; 5 1 γ = ac cos = 135,0º

4 Opeaciones con vectoes Los vectoes son elementos matemáticos que se pueden suma, esta, multiplica po un númeo, y multiplica ente sí, pesentando dos tipos de poducto, el poducto escala y el poducto vectoial. F 1 F Suma de vectoes Cuando se tata de suma dos vectoes se emplea el método del paalelogamo, que consiste en foma un paalelogamo con los dos vectoes como aistas, tazando paalelas a cada uno de ellos. La diagonal mayo es el vecto suma y su módulo se obtiene de aplica el teoema del coseno al tiángulo fomado po los dos vectoes como lados, fig.a.6. F Fig.A.6. Suma de dos vectoes po el método del paalelogamo. F = F + F + F F cos 1 1 Cuando el ángulo que foman los vectoes es de 90º la elación anteio queda educida al teoema de Pitágoas. F Cuando se tienen que suma vaios vectoes y la popiedad física que epesentan no se altea al desplazalos de un punto a oto, (se llaman vectoes libes), entonces esulta más cómodo paa sumalos geométicamente emplea el método del polígono. Se sitúan unos vectoes a continuación de otos y el vecto suma F, también llamado esultante, se obtiene uniendo el oigen del pime vecto con el etemo del último, fig.a.6 F 1 F F 4 F 3 F F i = Cuando los vectoes se epesan en función de sus componentes, entonces el vecto esultante se obtiene sumando ente sí, todas las componentes coespondientes a cada uno de los vectoes unitaios. F = F1 + F = F1 i + F1y j + F1z k + F i + F y j + Fz k F = F + F i + F + F j + F + F k 1 1y y 1z z Fig.A.6. Sumando vectoes po el método del polígono. Resta o sustacción de vectoes Paa esta dos vectoes, se suma el pime vecto con el opuesto al segundo. De este modo se tansfoma la opeación de esta, en una suma del pime vecto con el opuesto al segundo, fig.a.7. v = v v = v + v 1 1 Paa esta dos vectoes cuando están en función de las componentes, se opea del siguiente modo. v = v v = v i + v j + v k v i + v j + v k v = v v i + v v j + v v k 1 1 1y 1z ( y z ) 1 1y y 1z z Un ejemplo de suma vectoial, lo constituye el pincipio de supeposición, que se aplica paa compone campos vectoiales, como el electostático E, el magnético B o el gavitatoio g. v v v v 1 v 1 Fig.A.7. Resta de dos vectoes v 1 y v

5 Poducto de un escala po un vecto El poducto de un escala m po un vecto v, es un nuevo vecto p cuyas componentes quedan multiplicadas po este númeo, m v = p. En consecuencia, el vecto p tiene su módulo m veces mayo, la diección la misma que la del vecto v y el sentido puede se el mismo o el contaio, según que m sea un númeo positivo o negativo. Ejemplos de este poducto, lo constituyen el momento lineal, en el que m es la masa del cuepo y v el vecto velocidad, o también la fueza del campo eléctico E sobe una caga, ± q que vale F =± q E Poducto escala de dos vectoes F F cos Se define el poducto escala de dos vectoes F y ; como un númeo, obtenido mediante el poducto de sus módulos po el coseno del ángulo que foman. F = F cos Obseva en la fig.a.8, que F cos es la poyección del vecto F sobe el vecto, de modo que el poducto escala de dos vectoes puede también definise, como el poducto del módulo de uno de los vectoes po la poyección del oto sobe él. Fig.A.8. La poyección del vecto F sobe el vecto vale F cos. El valo del poducto escala de dos vectoes es distinto, si se va vaiando el ángulo que foman los dos vectoes ente sí: Si son pependiculaes el poducto escala nulo, pues cos π/ = 0. Si tienen la misma diección y sentido dan un poducto escala máimo, pues foman un ángulo = 0º y cos 0º = 1. Si teniendo la misma diección sus sentidos son contaios, el poducto escala es mínimo, poque foman 180º y cos 180º = El poducto escala de los vectoes unitaios pincipales, toma un valo que es la unidad o ceo. Se detemina estos númeos, aplicando la definición del poducto escala a todas las paejas fomadas. s i i = 1; j j = 1; k k = 1; i j = 0 ; i k = 0 ; j k = 0 B A. Si dos vectoes están epesados en función de sus componentes y de los vectoes unitaios pincipales, se demuesta fácilmente que el poducto escala se calcula mediante la ecuación. F = F i + F j + F k i + y j + z k = F + F y + F z y z y z Si el vecto F es una fueza y el vecto un desplazamiento, entonces el poducto escala epesenta el tabajo físico. Oto ejemplo es la potencia instantánea, que esulta de multiplica escalamente la fueza F que actúa sobe un móvil, po el vecto velocidad instantánea v. También es un poducto escala el flujo de un campo vectoial a tavés de una supeficie: así el flujo del campo magnético B a tavés de la supeficie A, fig. A.9., el flujo del campo eléctico o el del campo gavitatoio. Fig.A.9. Una supeficie se epesenta mediante un vecto A, de diección pependicula a la misma y de módulo igual al áea de la supeficie. El flujo de un campo vectoial como po ejemplo el campo magnético B, a tavés de una supeficie A, es oto ejemplo de aplicación del poducto escala de dos vectoes, pues se define como Φ = B A

6 El poducto escala tiene la popiedad distibutiva del poducto especto de F + F = F + F la suma: a Poducto vectoial de dos vectoes El poducto vectoial de dos vectoes a y b, es un nuevo vecto c. La opeación se indica de dos maneas, situando un angulito o un aspa, ente los dos vectoes. c = a b ; c = a b c b Al vecto c po definición, se le asigna una diección, un sentido y un módulo. Sentido de gio La diección es pependicula al plano fomado po los dos vectoes a y b. En la fig.a.10. (pate supeio) tiene la diección de la ecta pependicula a este plano. El sentido es el de avance de un destonillado que al gia lleve al pime vecto a sobe el segundo b, con el gio más coto. En la fig.a.10, el sacacochos giaía a deechas, con lo que avanzaía hacia abajo. El módulo de c, se detemina multiplicando los módulos de los dos vectoes po el seno del ángulo que foman. c = a b sen Obseva en la fig.a.11. que el módulo del poducto vectoial de dos vectoes es igual al valo del áea del paalelogamo fomado po los dos vectoes como lados. En efecto, b sen = h, es la altua del paalelogamo, po lo que el módulo del poducto vectoial se puede pone. c = a h Que no es ota cosa que el poducto de la base po la altua del paalelogamo cuyos lados valen a y áea. Popiedades b. Po lo tanto c es igual a su El poducto vectoial no goza de la popiedad conmutativa. a b = c ; b a = c Al conmuta dos vectoes esultan vectoes opuestos. Sentido de avance Fig.A.10. El poducto vectoial de dos vectoes es un nuevo vecto pependicula al plano fomado po ellos y cuyo sentido es el de avance de un tonillo que al gia lleve al pimeo de los vectoes, sobe el segundo con el gio más coto. b h En la fig.a.11. el segmento h es pependicula a los dos lados de longitud a po lo tanto es la altua del paalelogamo. a Popiedad distibutiva del poducto espeto de la suma. a ( b + c ) = a b + a c

7 k El poducto vectoial de dos vectoes de igual diección es nulo, poque foman 0º ó 180º cuyo seno vale ceo. Invesamente, cuando el poducto vectoial de dos vectoes es nulo, podemos asegua que los vectoes son paalelos. Poducto vectoial de los vectoes unitaios Z Si se multiplican vectoialmente ente sí, vectoes unitaios pincipales i, j, k, distintos, esulta que po tene de módulo la unidad y foma 90º, se obtiene el oto unitaio que falta. Compueba con la fig.a.1 y la definición de poducto vectoial, que se veifica: i j = k ; j i = k ; i k = j ; k i = j, j k = i ; k j = i i O j Y i i = 0 ; j j = 0 ; k k = 0 X Deteminación del poducto vectoial en función de las componentes Si los vectoes vienen epesados en función de sus componentes y de los vectoes unitaios pincipales, el poducto vectoial se puede detemina teniendo en cuenta la popiedad distibutiva del poducto especto de la suma y los valoes del poducto vectoial de los vectoes unitaios. Si a y b son dos vectoes que se multiplican vectoialmente esulta: a b = a i + a j + a k b i + b j + b k ( y z ) ( y z ) Fig.A.1. Poducto vectoial de los tes vectoes unitaios pincipales. Obseva como paa lleva a i sobe j con el gio más coto, gias a deechas y obtienes el vecto unitaio k, etc. Realizando los poductos vectoiales se obtiene. a b = a b a b i + a b a b j + a b a b k ( y z z y ) ( z z ) ( y y ) Algunas magnitudes que se definen con un poducto vectoial de dos vectoes son: El momento angula o cinético, L = p, que es el poducto vectoial del vecto de posición po el momento lineal, p =m. v ; M o El momento de una fueza especto de un punto, fig.a.13, es el poducto vectoial del vecto de posición po el vecto fueza, M = F o O En la otación alededo de un eje, la velocidad a lo lago de la tayectoia, es el poducto vectoial de la velocidad angula ω po el adio vecto, se epesa v = ω F La fueza que actúa sobe una caga eléctica en movimiento dento de un campo magnético, F = q v B La fueza sobe un conducto de longitud L, ecoido po una intensidad I, y situado en un campo magnético, B tiene de valo, F = I L B. El momento sobe una espia de áea S ecoida po una coiente I y situada en un campo magnético B, tiene de valo, M = I S B Fig. A.13. Momento de una fueza especto de un punto.

8 Poducto mito Se llama poducto mito, al poducto de tes vectoes que combina los poductos vectoial y escala. ( a ) b d B El esultado del poducto mito es un númeo, obtenido del modo siguiente. Se efectúa pimeo el poducto vectoial de a y de b, que popociona un nuevo vecto, c = a b, paa después ealiza el poducto escala c d cuyo esultado es un valo numéico. En definitiva: I L v c a b d = c d = un númeo v B c En el teto, lo utilizaemos únicamente paa calcula la fueza electomotiz inducida ε, poducida po el movimiento de un conducto en el seno de un campo magnético B. Si el conducto de longitud L se desplaza con velocidad v c en el seno de un campo magnético, entonces la fueza electomotiz inducida vale. v ε = B L ( c ) Obseva los vectoes en la fig.a.14. El vecto L tiene la diección del conducto, y al campo magnético B lo hemos situado pependicula al conducto y al vecto velocidad v c. El vecto que esulta del poducto vectoial de vc B, tiene de módulo. Fig.A.14. Poducto mito de tes vectoes. Obseva en la figua que pimeo hemos ealizado el poducto vectoial de dos vectoes. Después el vecto que ha esultado se ha multiplicado escalamente po el teceo. v B = v B sen = v B sen 90º = v B c c c c La diección de este vecto está sobe la de la baa conductoa, en el mismo sentido de L, de modo que foma con éste un ángulo de 0º. En v B y L vale: consecuencia el poducto escala de estos dos vectoes ( c ) v B L = v B L cos 0º = v B L = v B L Función vectoial c c c c Consideemos una vaiable escala como puede se el tiempo t y hagamos coesponde a cada valo del mismo, un valo bien deteminado de un t como aquella que vecto. Definimos así la función vectoial popociona un vecto distinto, en cada instante de tiempo consideado. = t Si todos los vectoes tienen el mismo oigen en un punto fijo O, sus etemos desciben una cuva llamada tayectoia, fig.a.15. En un sistema de coodenadas catesiano la función vectoial se epesa en función de sus componentes y de los vectoes unitaios pincipales. = t i + y t j + z t k ( t o ) X Z O ( t 1 ) ( t ) Fig.A.15. La línea que descibe t se el etemo del vecto llama tayetoia. Y

9 La deivada de una función vectoial Consideemos un valo fijo de t, y una vaiación alededo del mismo t de esta vaiable. La vaiación que sufe la función vectoial es, fig. A.16, sin embago, si establecemos el cociente incemental esulta, t t Si se calcula el límite del cociente incemental cuando el intevalo t tiende t a ceo, entonces si eiste un vecto límite, se llama deivada de especto de t. lim d t dt t 0 = ( t) t+ t Geométicamente, la deivada de la función vectoial, d dt en un instante t, es un vecto tangente a la tayectoia, fig.a.17. Si el vecto viene epesado po sus componentes catesianas, entonces las componentes del vecto deivada, son las deivadas de las componentes del vecto dado. d d ( t) d y ( t) d z ( t) = i + j + k dt dt dt dt Fig.A.16. es la vaiación que sufe t en un la función vectoial intevalo de la vaiable t. Algunos ejemplos de aplicación de la deivada: La velocidad v = d dt La aceleación a = dv dt La fueza, como deivada del momento lineal especto del tiempo F = dp dt El momento de una fueza, como deivada del momento angula especto del tiempo M = dl dt La velocidad aeola, como la deivada del áea baida po el adio vecto especto del tiempo, V A = da dt La fueza electomotiz inducida, como deivada del flujo magnético (función escala), especto del tiempo ε = dφ dt La actividad de una muesta adiactiva como deivada del númeo de patículas (función escala) especto del tiempo A= dn dt m ( t) d dt Ejemplo Dada la función vectoial valo de la deivada cuando t =. Cuando t = ; = 3t i 4t j + 6 k detemina su función deivada y el d d d d = 3t i + ( 4t) j + 6 k = 6t i 4 j dt dt dt dt d 6 i 4 j 1i 4 j dt = = Fig.A.17. El vecto d dt es tangente a la tayectoia.

10 Opeaciones con las deivadas de las funciones vectoiales La deivada de un vecto cuyas componentes son constantes, es nula. La deivada de una suma de funciones vectoiales, es la suma de las deivadas de cada una de las funciones. ( t ) = u( t ) + v t d t du t dv t = + dt dt dt Deivada del poducto escala de dos funciones vectoiales u ( t ) v ( t ) d d u ( t) d v t u ( t ) v ( t ) v ( t ) u ( t ) dt = dt + dt Deivada del poducto vectoial de dos funciones vectoiales u ( t) v ( t) d d u ( t) d v t u ( t ) v ( t ) = v ( t ) + u ( t ) dt dt dt Aplicaciones La potencia instantánea como deivada del tabajo especto del tiempo: dw d df d df P = = ( F ) = + F = + F v dt dt dt dt dt En el caso de que la F aplicada sea constante, su deivada es nula y esulta paa la potencia la ecuación, P = F v La deivada del momento angula especto del tiempo que es el momento de una fueza: dl d d d ( mv ) dp = [ mv ] = mv + = v mv + = F = M dt dt dt dt dt El poducto vectoial v mv = 0 ; po tene estos dos vectoes la misma diección. Integación de una función vectoial Si tenemos dos funciones vectoiales que designamos espectivamente po d ( t ) v ( t) y ( t) tal que veifican, que la deivada = v ( t). Diemos dt es la función pimitiva de v( t ). entonces que ( t) La integación de una función vectoial, consiste en busca la función v t y equiee la integación de pimitiva de la función vectoial integando cada una de sus componentes. En efecto:

11 v t dt v t dt i v t dt j v t dt k = + y + z Cada uno de los tes integandos, se intega igual que cualquie función escala, a la que hay únicamente hay que acompaña del coespondiente vecto unitaio. Se pesentan dos casos de integación: a) La integal indefinida. Entonces a la función pimitiva hay que añadile una constante de integación. v ( t) dt = ( t ) + C La constante C se detemina conociendo los valoes iniciales que toma la t, paa un valo paticula de t = t o función b) La integal es definida. En este caso está compendida ente dos límites llamados límite infeio t 1 y límite supeio t. t t 1 v t dt t t t t = = t 1 1 Ejemplo Calcula la integal de la función vectoial v = 3t i j + 4t k. Sabiendo que se tata de la velocidad de un móvil, que se encuenta en la posición ( 0 ) = i + j + k cuando t = ( t ) = v ( t) dt = 3t dt i dt j + 4t dt k = t i t j + t j + C 3 Paa halla C sustituimos ( t) po ( 0) y hacemos t = 0 i + j + k = 0 + C Llevando el valo de C unitaios y sumando las componentes de los mismos vectoes Empleando la integal definida esultaía: 3 t = t + 1 i + t + 1 j + t + 1 k t t t t ( t ) 0 = v t dt = 3t dt i dt j + 4t dt k ( t) ( 0) 3 = t i t j + 4 t k t 0 t i t j 4 t j i j k 3 = + + = t i t j + 4 t j t t = 1 + t i + 1 t j + 1+ t j

12 Campo escala Si una popiedad física que podemos medi mediante una magnitud escala, se encuenta definida en cada punto de una egión y además eiste una función, que asigna en cada punto, el valo de la popiedad física allí medida, diemos que en la egión eiste un campo escala. La función V que la epesenta dependeá en geneal de las coodenadas del punto, V = f (,y,z ) Son ejemplos de campos escalaes, el campo de tempeatuas o de pesiones de una egión, ya que en cada instante y en cada punto, toman un valo y solo uno. Supeficie equiescala. Eisten disitntos puntos en los que la función escala toma valoes iguales. El luga geomético de estos puntos se llama una supeficie equiescala, o isoescala, siendo su ecuación de la foma V (,y,z) = cte. Si se cota la supeficie po un plano, tenemos las líneas equiescalaes o isolíneas, luga geomético de los puntos de un plano en los que la función escala vale lo mismo. Su ecuación es V (,y) = cte, figa.18. Fig.A.18. Conjunto de puntos que tienen igual pesión en milibaes, (mba). Son las líneas isobaas empleadas en los mapas paa la pedicción del tiempo. El conjunto de las pesiones de una egión constituye un campo escala. Campo vectoial Si en cada punto de una egión eiste una popiedad física medible, que paa su coecta deteminación necesita de un valo numéico, de una diección y de un sentido, y además, eiste una función vectoial que a cada punto le asigna un vecto, que coincide con el de la popiedad física medida, diemos entonces que en la egión eiste un campo vectoial A. Cada una de las componentes del vecto A, es a su vez función del punto del espacio, fig.a.19. Como ejemplos podemos cita: el conjunto de las velocidades de todas las patículas del viento, el campo gavitatoio teeste, el campo electostático, el campo magnético, etc. Ciculación de un vecto a lo lago de una línea Si en una egión del espacio en la que cada punto está definido un campo vectoial A, se tomamos una tayectoia a lo lago de una línea, que lleva desde un punto M hasta oto N. Se define la ciculación del vecto A ente estos dos puntos, como el valo de la integal a lo lago de esta línea, del poducto escala del campo A po la difeencial del camino d, fig.a.0. Donde limitándonos al plano, éste vecto es d = di + dyj. N N yn C = M N A d = Ad + Ay dy M y Ejemplos de ciculación son el tabajo, el potencial gavitatoio y el eléctico. Ejemplo: Un vecto M A = 3y i 4y j ; se desplaza a lo lago de la cuva y = desde M(0,0) hasta el N(,4). Detemina la ciculación del vecto ente esos puntos. C M N = N M A d = (,4 ) (0,0 ) (3yi 4y j ) (di + dyj ) = M 0 3y d y dy Paa esolve la pimea integal, donde también está y (cuando la vaiable es ), hay que elacionala usando la ecuación de la cuva y = po la que cicula. 4 CM N = 3 d 4y dy = [ ] [ ] 3 4 y = 4 = z A( A, Ay, Az ) Fig.A.19. En un campo vectoial en geneal, el vecto campo es distinto en cada punto de la egión. M d A y N Fig.A.0. Paa calcula la ciculación de un vecto A ente dos puntos, a lo lago de una línea, hay que llevalo po ella desde el pime punto M, hasta el segundo N.

13 Apéndice. Tabla de deivadas y de integales inmediatas Función y =a f() y = f() + g() y = = f() g() Deivada y = a f () y = f /) + g () y = f /) g() + g () f() f ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) y = y = g( ) g ( ) y =f(v) con v=f() dy dv y = dv d y = n y = n n y = y = y = ln 1 y = y = 1 y = y = a y = a ln a y = e y = sen y = cos y = tg y = e y = cos y = - sen y = 1 cos Integal a f ( )d = a f ( )d a = constante ( + ) = + f ( ) g( ) d f ( )d g( )d = n + 1 d 1 = d = ln n+ 1 n d con n 1 cos d = sen sen d = cos e d a d = e a = ln a

14 Apéndice 3. Ecuaciones de la tigonometía Resolución de un tiángulo ectángulo Po definición: A cateto opuesto sen = ; hipotenusa cateto adyacente cos = ; hipotenusa cateto opuesto tag = cateto adyacente C γ β B CB sen = ; AB AC cos = ; AB CB tg = ; AC AC sen β = ; AB CB cos β = ; AB AC tg β = AB Cateto adyacente = hipotenusa po coseno del ángulo que foman: CB = AB cos β Cateto opuesto = hipotenusa po seno del ángulo opuesto: + β + γ = 180 = π ad ; Resolución de un tiángulo cualquiea AB = AC + CB CA= AB sen β A Cuando se conocen dos lados y el ángulo compendido, se puede usa la ley de los cosenos paa calcula el oto lado opuesto. γ β Si el ángulo es agudo: CB = AC + AB AC AB cos C B Si el ángulo es obtuso: CB = AC + AB + AC AB cos Ley de los senos: CB AC AB = = sen sen β senγ A Relaciones tigonométicas de inteés geneal sen cos 1 + = ; tg = sen cos sen (-) = - sen cos (-) = cos tg (-) = - tg sen = cos ( - 90º) ; cos = - sen ( - 90º) sen (90º - ) = cos ; cos(90º - ) = sen ; tg(90º - ) = ctg C B sen (180º - ) = sen ; cos(180º - ) =- cos ; tg(180º - ) = -tg sen (90º + ) = cos ; cos(90º + ) = - sen sen (180º + ) = sen (-) = - sen ; cos (180º + ) = - cos sen ± β = sen cos β ± cos sen β ; cos ± β = cos cos β m sen sen β 180º = π ad π 90º = ad sen = sen cos ; cos = cos sen = ( ) ; cos = ( 1+ cos ) ( + β ) ( β ) ( + β ) ( β ) β cos + cos β = cos cos sen 1 cos sen + sen = sen cos ;

15 Apéndice 4. Sistema peiódico de los elementos

A r. 1.5 Tipos de magnitudes

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