TEMA 7 : FUNCIONES. Ejercicio: Justifica por qué los diagramas anteriores no representan funciones.
|
|
- Antonio Márquez Salas
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 . CONCEPTO DE FUNCIÓN TEMA 7 : Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El espacio que recorre un móvil con movimiento uniforme depende del tiempo invertido. La fuerza con que se atraen dos masas depende de la distancia entre sus centros. En estos ejemplos, la epresión depende de puede cambiarse por es función de. Llamamos función f del conjunto A en el conjunto B a una relación de dependencia en la que a cada elemento (variable independiente) de A le corresponde un único elemento y (variable dependiente) de B. Se simboliza: f : A B y Al conjunto A se le llama conjunto inicial y al conjunto B conjunto final. Si al elemento de A le corresponde el elemento y de B, decimos que y es la imagen de, o que es una antiimagen de y. En la siguiente figura se representa una función mediante diagramas de conjuntos: Observa que todos los elementos de A tienen una única imagen, pero que no todos los elementos de B han de tener antiimagen, ni ésta ha de ser única Sin embargo, los siguientes diagramas no representan funciones: Ejercicio: Justifica por qué los diagramas anteriores no representan funciones. Si tanto A como B son conjuntos de números reales, la función f se llama función real de variable real. En ocasiones, una función se puede epresar mediante una fórmula que permite calcular las imágenes de los elementos del conjunto inicial y las antiimágenes de los elementos del conjunto final. Por ejemplo, si consideramos la función que a cada número real,, le asigna su triple, podemos f : R R escribir:, o más abreviadamente:. Esta fórmula se denomina epresión analítica de f. / IBR IES LA NÍA
2 º) Epresa mediante una función: a) Asignar a cada número real el cuadrado de dicho número. b) El coste de una llamada telefónica, si el establecimiento de llamada es de 0 y la tarifa por minuto, de 0. c) Asignar a un nº el cuadrado del perímetro del triángulo equilátero que tiene por lado dicho número. d) El área de un cuadrado en función de su diagonal. e) La suma de las longitudes de un lado de un triángulo y su altura correspondiente es 0cm. Epresa su área en función de la altura e indica su dominio. º) Considera las siguientes funciones y calcula las imágenes de - y, y las antiimágenes de -5 y 5 por cada una de ellas: a) b) + c) 5 d). DOMINIO Y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN En general, en la epresión de una función no se suele indicar ni el conjunto inicial, A, ni el conjunto final, B. Estos conjuntos suelen determinarse según el tipo de función y la forma en que se eprese. Por ejemplo, en la función real de variable real no se puede sustituir por 0, o en la función g ( ) + tampoco. Así pues, 0 no puede estar en el conjunto inicial o dominio de ninguna de estas funciones. En una función real de variable real, f (), el dominio es el subconjunto de números reales que tienen imagen por f. El recorrido o imagen de f () es el conjunto de valores que son imágenes de los elementos del dominio. En el ejemplo anterior, la función g () sólo tiene imágenes positivas o cero, por tanto sólo Re c ( g) 0,+ pertenecerán al recorrido los números mayores o iguales que 0: [ ) Cuando una función está epresada con su gráfica, determinar su dominio es observar el conjunto de valores reales del eje de abscisas que tienen imagen. Un procedimiento visual consiste en proyectar la gráfica sobre el eje de abscisas; en este D ( f ), 5, +. caso ] ] ] [ Para el recorrido haríamos un procedimiento similar pero proyectando sobre el eje de ordenadas; en este caso Rec ( f ), ] ] / IBR IES LA NÍA
3 Ojo!: No todas las gráficas representan funciones; debemos comprobar que todos los valores de tienen una sola imagen: Estas dos gráficas sí representan funciones, ya que si levantamos verticales en cada valor de sólo cortamos la gráfica una vez Sin embargo, las dos siguientes no corresponden a funciones pues hay elementos de que tienen más de una imagen Cuando una función viene dada por su epresión analítica: o Si es una función polinómica tiene por dominio todo R, al estar siempre definidas las operaciones suma, multiplicación y potencia de números reales. o Si es una función racional, es decir, su epresión es el cociente de dos polinomios, el dominio está formado por todos los números reales que no anulan el denominador. o Si es una función irracional, es decir, presenta un radical que contiene a la variable independiente, depende de que el índice de la raíz sea par o impar. Si es par el dominio son los valores de que hacen el radicando positivo o nulo. Si es impar, no hay ninguna restricción por parte de la raíz. º) Sea f la función representada en la figura. Halla: a. La imagen por f de 0, y b. Las antiimágenes por f de y e y c. La epresión analítica de f(). / IBR IES LA NÍA
4 4º) Indica cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función. Justifica la respuesta: 5º) En la figura se representa la función f : a) Indica su dominio y su recorrido. b) Halla la imagen de -, - y c) Halla la antiimagen o antiimágenes de - y 0. 6º) Indica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones a partir de su gráfica: 7º) Halla el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: a. + b. d. c º) A partir de las gráficas, halla: 4/ IBR IES LA NÍA
5 a) El dominio y el recorrido de las funciones. b) f (), f (6), f (7), f ( ), f ( 9 ), f (0), f (), f ( ) c) g ( 4), g ( ), g (0), g (), g ( ), g (0) d) h ( 5), h ( ), h ( ), h (0), h (), h (5), h ( ), h ( ), h () 9º) Halla el dominio de las siguientes funciones: a. b. + + c d. + e. 6 + f. + g. 9 h. + 9 i. 5 j k. + 4 l. + + m n. + 0º) Calcula el recorrido de las siguientes funciones: a. b. o. 4 + p. 4 + q. r s t u v. w. c. + d DEFINIDAS A TROZOS Una función definida a trozos (o definida por intervalos) es aquella que tiene varias epresiones analíticas diferentes, dependiendo del valor de la variable independiente. 5/ IBR IES LA NÍA
6 si Así, la función dada por: si < < o bien si una función definida en tres trozos. ], ] ], [ [, + [ si si es si Para calcular la imagen de un elemento observamos a qué intervalo pertenece y lo sustituimos en la epresión analítica correspondiente a dicho intervalo. Por ejemplo: Si 4, sustituimos en. Así f ( 4) Si, la imagen no está definida, ya que - no pertenece a ningún intervalo de definición de la función. Si 0' 5, sustituimos en. Así f ( 0'5) Si, sustituimos en. Así f ( ) Puesto que las epresiones que definen cada uno de los trozos tienen sentido para cualquier número real, el dominio está formado por la unión de los intervalos dados en la definición de la función. D ( f ) ], ] ], [ [, + [ ], ] ], + [ Si observamos la gráfica de la función vemos que su recorrido es: Rec ( f ) [, + [ º) Representa gráficamente las siguientes funciones e indica el dominio y el recorrido de cada una de ellas: a. b. c < < < 6 < 0 < 0 > 0 º) Halla el dominio de las siguientes funciones: a. 6 < 0 d. e. b. 0 + < 0 0 > + < < < < < < < 5 > 5 6/ IBR IES LA NÍA
7 < + 5 c. < 4 > º) En el recibo del agua de un municipio se cobra una cuota fija de 4. Los primeros 50 m consumidos se pagan a 0 /m y, a partir de ahí, el precio es de 0 5 /m. Determina la función que permite conocer el importe de la factura según los metros cúbicos de agua consumidos. 4º) Calcula la epresión analítica de la función representada en la gráfica e indica su dominio y su recorrido: 5º) Epresa la función valor absoluto de, como una función a trozos. 6º) Representa gráficamente las siguientes funciones e indica su dominio y su recorrido: a) + b) 4. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN 4. PERIODICIDAD: Considera la función representada en la figura. Las imágenes de -,0,,4,. coinciden. También coinciden las imágenes de -,-,,,. De hecho la imagen de cualquier número real coincide con la de +, +4,.Decimos que esta función es periódica, con período fundamental. Una función f es periódica de período T si cumple que: f()f(+t) Desde el punto de vista gráfico, son funciones que se repiten cada cierto intervalo de amplitud T. Ejemplo: Aquí tienes las gráficas de dos funciones periódicas. Indica su período fundamental 7/ IBR IES LA NÍA
8 4. ACOTACIÓN Observa de nuevo la primera gráfica del apartado anterior.la función está acotada porque las imágenes están comprendidas entre y 0. Su representación gráfica está comprendida entre dos rectas horizontales de la forma y k. Una función está acotada superiormente si eiste un número real, k, tal que k para cualquier D( f ). El número k es una cota superior de la función. Una función está acotada inferiormente si eiste un número real, k, tal que k para cualquier D( f ). El número k es una cota inferior de la función. Si la función está acotada superior e inferiormente, decimos que está acotada. 7º) Indica cuáles de la funciones del ejercicio 6 de la página 4 son: a. Periódicas y averigua su período fundamental. b. Acotadas y determina una cota superior y una cota inferior. 8º) Estudia la acotación de las funciones del ejercicio 6 de la página 4 y de la siguiente: 4. SIMETRÍAS Considera la función f representada en la figura. Cualquier número real que consideremos y su opuesto tienen la misma imagen. Decimos que la función es par y la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas. Una función es par si verifica f( )f() En esta otra gráfica cualquier número real que consideremos y su opuesto tienen imágenes opuestas. Decimos que la función es impar y su gráfica es simétrica respecto al origen. Una función es impar si verifica f( ) f() 9º) Estudia la simetría de las funciones dadas por las siguientes gráficas: 8/ IBR IES LA NÍA
9 0º) Estudia la simetría de las funciones del ejercicio 6 página 4. º) Completa, si es posible, la gráfica de las siguientes funciones para que f() sea una función a) par b) impar º) Estudia la simetría de las siguientes funciones: +,. 4,,, 4.4 SIGNO DE UNA FUNCIÓN Determinar el signo de una función es hallar para qué valores de es f()>0 y f()<0. Para estudiar este signo deberemos resolver una inecuación. Si disponemos de la gráfica de la función estudiar el signo equivale a determinar los intervalos en que está por encima o por debajo del eje de abscisas. 9/ IBR IES LA NÍA
10 º) Estudia el signo de las funciones cuya gráfica está representada en el ejercicio 8 de la página 4. 4º) Determina los intervalos de signo constante de la siguientes funciones: a. + 6 b. + c. d. Todas las funciones del ejercicio. 4.5 MONOTONÍA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Se dice que f es creciente en un intervalo si dados dos puntos cualesquiera y de dicho intervalo se verifica que si < entonces f ( ) f ( ). Se dice que f es decreciente en un intervalo si dados dos puntos cualesquiera y de dicho intervalo se verifica que si < entonces f ) f ( ). ( Una función tiene un máimo relativo en si eiste un intervalo que contiene a, tal que f ( ) en dicho intervalo. Una función tiene un mínimo relativo en si eiste un intervalo que contiene a, tal que f ( ) en dicho intervalo. 5º) Las gráficas de las funciones, +, + son: a) Da los intervalos de monotonía de las tres. b) Estudia los etremos relativos y absolutos. 6º) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos de: 7º) Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de + 7,, + 0/ IBR IES LA NÍA
11 5. OPERACIONES CON Dadas dos funciones reales de variable real f y g se definen las operaciones adición, sustracción, multiplicación y división de la siguiente forma: Adición: ( f + g)( ) + g( ) Sustracción: ( f g)( ) g( ) Multiplicación: ( f g)( ) g( ) División: ( f : g)( ) g( ) Estas funciones están definidas cuando pertenece al dominio de f y g simultáneamente. En el caso del cociente además se debe cumplir que g ( ) 0. Ejercicio: 8º) Dadas las funciones diferencia de ellas., g ( ), calcula la función suma f + g, la función f f g, la función producto f g y la función cociente, y halla el dominio de cada una g 6. COMPOSICIÓN DE En el conjunto de las funciones reales de variable real podemos definir otra operación, absolutamente diferente a las anteriores, llamada composición de funciones. Si f y g son dos funciones reales de variable real se llama función compuesta de f y g, y se escribe go f, a la función que se obtiene aplicando g a la imagen de por f: ( g o f )( ) g [ ] (f compuesta con g) Observa en el esquema anterior que la eistencia de la función go f está garantizada siempre que esté en el D(f) y además el Re c ( f ) esté contenido en D(g). Análogamente se define la función g compuesta con f : ( f o g)( ) f [ g( ) ] 9º) Dadas las funciones y g ( ) 7, halla si es posible ( f o g)( ), ( go f )( ), ( go f )(0). 0º) Dadas las funciones + y g ( ), calcula: / IBR IES LA NÍA
12 a) ( go f )() b) ( go f )( ) c) ( f o g)( ) d) ( f o g)( ) º) Calcula las funciones compuestas que se indican a continuación, siendo + 5, g ( ), h ( ) : + a) go f d) ho g b) f o g e) go ho f c) ho go f º) Dadas las funciones y g ( ), calcula las composiciones f o g y el dominio de cada una. go f y 7. FUNCIÓN INVERSA Consideremos la función f que asigna a cada número real el doble de dicho número. También podemos considerar la función que a cada número real le asigna su mitad. Representamos esta función por f y la llamamos función inversa de f. f : R R 4 6 f : R R 4 6 Luego, si la función f hace corresponder al nº su imagen yf(), la función corresponder al nº yf() el valor original (de alguna manera por f ) f hará f invierte el proceso realizado Dada una función f() se llama función inversa de f(), a otra función f ( ) que cumple: o ( f o f )( ) y ( f f )( ) / IBR IES LA NÍA
13 No todas las funciones admiten inversa, sólo aquellas que no tengan elementos del dominio con la misma imagen (inyectivas). De lo contrario, para un valor de y habría varios posibles valores de, y f no sería una función. No tiene inversa Sí tiene inversa En general, para calcular la función inversa de una función se intercambia por y, y se despeja y en función de. Para comprobar si la función obtenida es efectivamente la inversa de la original justificamos que al componerlas se obtiene la identidad. º) Comprueba que las funciones que hemos definido como ejemplo al iniciar este apartado son inversas. º) Calcula la función inversa de las siguientes funciones:, + h ( ) 4º) Dadas las funciones + y f, g go f. 5º) Dadas las funciones g ( ) g ( ) +,, calcula el dominio de: f, g, f+g, f g, f.g, 9 5, g ( ), comprueba que ( go f ) f g o / IBR IES LA NÍA
f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Más detalles, o más abreviadamente: f ( x)
TEMA 5: 1. CONCEPTO DE FUNCIÓN Observa los siguientes ejemplos: El precio de una llamada telefónica depende de su duración. El consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad del mismo. La factura
Más detallesFunción es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama x e y. Viene representado por: y f (x)
TEMA 9: :.- CONCEPTO DE FUNCIÓN: Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama e y. Viene representado por: y (, donde es la variable independiente e y es la variable
Más detallesUnidad 6: Funciones reales de variable real.
Funciones reales de variable real 1 Unidad 6: Funciones reales de variable real. 1.- Concepto de función. Expresión analítica de una función. Variables x e y Existe relación entre x e y No hay relación
Más detalles= x De este modo: Esto es un ejemplo de FUNCIÓN.
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 6 FUNCIONES REALES. PROPIEDADES GLOBALES.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. DOMINIO Y RECORRIDO. Recuerda que hay distintas ormas de epresar una unción. Enunciado o descripción verbal:
Más detallesTEMA 8: FUNCIONES. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco.
2009 TEMA 8: FUNCIONES. Primer Curso de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s. Fuentesaúco. Manuel González de León. mgdl 01/01/2009 1º E.S.O. TEMA 08: Funciones. TEMA 08: FUNCIONES. 1. Correspondencia.
Más detallesEl subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.
Concepto de función Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real (uno y sólo uno).
Más detallesAlonso Fernández Galián
Alonso Fernández Galián TEMA 3: ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Para representar gráficamente una función deben estudiarse los siguientes aspectos: i) Dominio. ii) Puntos de corte con los ejes de
Más detallesFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
Pag. 1 FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 1.- Aplicaciones y Funciones. Definiciones. 2.- Tipos de funciones. 3.-Operaciones con funciones. 4.-Composición de funciones. 5.- Función identidad y funciones
Más detallesUNIDAD 3: FUNCIONES -PROPIEDADES GLOBALES -OPERACIONES -FUNCIONES ELEMENTALES -INTERPOLACIÓN
UNIDAD 3: FUNCIONES -PROPIEDADES GLOBALES -OPERACIONES -FUNCIONES ELEMENTALES -INTERPOLACIÓN 46 OBJETIVOS DIDÁCTICOS En esta unidad aprenderás a:. Analizar si una gráfica es o no función.. Analizar las
Más detallesFUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO
FUNCIONES REALES 1º DE BACHILLERATO CURSO 2007-2008 Funciones reales Definición Clasificación Igual de funciones Dominio Propiedades Monotonía Extremos relativos Acotación. Extremos absolutos Simetría
Más detallesFUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =
Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.
Más detallesCARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
. DOMINIO CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN inio de o campo de eistencia de es el conjunto de valores para los que está deinida la unción, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente.
Más detallesCURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. Unidad didáctica 7. Funciones reales de variable real CONCEPTOS BÁSICOS
Unidad didáctica 7 Funciones reales de variable real CONCEPTOS BÁSICOS Se llama función real de variable real a cualquier aplicación f : D R con D Œ R, es decir, a cualquier correspondencia que asocia
Más detalles{ 0} - Dominio de. f(x) f(x) g(x) g(x) = f(x) = g(x) x 16. f g. Solución: Para hallar el punto de equilibrio basta resolver el sistema: + =
Funciones Se ha hecho un estudio de mercado en el que la curva de oferta de un determinado producto viene dada por la función,7 8 la curva de demanda por, -. Si el punto de corte de ambas curvas es el
Más detallesTEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
MATEMÁTICAS I LÍMITES-CONTINUIDAD TEMA 9 : LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 1. LÍMITES EN EL INFINITO En ocasiones interesa estudiar el comportamiento de una función (la tendencia) cuando los valores
Más detallesRESUMEN DE FUNCIONES. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I
RESUMEN DE FUNCIONES. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I 1.- INTRODUCCIÓN Definición: Una función real de variable real es una aplicación entre dos subconjuntos de los números reales, de modo
Más detallesMatemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul
Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Unidad I (Capítulos 3 y 5 del texto) Funciones y Gráficas 1.1 Definición y notación de función. 1.2 Dominio y rango
Más detallesApuntes de Funciones
Apuntes de Funciones El concepto de función es un elemento fundamental dentro del análisis matemático, así como en sus aplicaciones. Esta idea se introdujo con el objetivo de matematizar la transformación
Más detallesFunciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x
Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que
Más detallesMatemática A 2º Año I.S.C.A.B. J. Aguilar - F. Díaz - A. Fortes
Matemática A º Año I.S.C.A.B. J. Aguilar - F. Díaz - A. Fortes REPARTIDO N 1 Ejercicio 1 Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto
Más detalles7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el
Más detallesTema 7.0. Repaso de números reales y de funciones
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Análisis: Repaso de números reales y de funciones 47 Tema 70 Repaso de números reales y de funciones El conjunto de los números reales El conjunto de los números
Más detallesTEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS
Más detallesFUNCIONES. La variable x se denomina variable independiente y la variable y es la variable dependiente. x y
. DEFINICIÓN FUNCIONES Una unción real de variable real es una relación entre dos variables numéricas e y de orma que a cada valor de la variable le corresponde un único valor del la variable y. La variable
Más detallesTEMA 0: REPASO DE FUNCIONES
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES Recordamos que una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los números reales A en el conjunto de los números reales de forma que a cada elemento
Más detallesTEMA 0 FUNCIONES ***************
TEMA 0. Definición y terminología.. Funciones conocidas. 3. Operaciones con funciones. 4. Funciones inversas. FUNCIONES ***************. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable
Más detallesFUNCIONES ( ) Racionales: ( ) Irracionales: ( ) Logarítmicas: ( )
FUNCIONES Definición. Función real de variable real es una aplicación del conjunto de los números reales en sí mismo, de tal forma que a cada número real le hace corresponder otro número real. CORRESPONDENCIA
Más detallesf: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f.
TEMA 5: FUNCIONES ELEMENTALES. 5. Función real de variable real. 5. Operaciones con funciones: composición e inversa. 5.3 Construcción de gráficas de funciones elementales y sus transformaciones. 5.4 Interpolación
Más detalles3º ESO PMAR FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES
FUNCIONES.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Definición: Una función es una relación entre dos variables de tal forma que a cada valor de la primera (variable independiente, ) le corresponde un valor o
Más detallesBloque 3. Análisis. 2. Tipos de funciones
Bloque 3. Análisis 2. Tipos de funciones 1. Función lineal Es una función polinómica de primer grado y tiene una ecuación del tipo: y = mx. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas,
Más detallesFunciones en explícitas
Funciones en eplícitas.- Sea la función f() e, se pide:. Dominio.. Signo de f() en función de.. Asíntotas. 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. 5. Concavidad y conveidad. Puntos
Más detallesSi se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,
Más detallesTema 5 Inecuaciones y sistemas de inecuaciones
Tema Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Inecuaciones lineales PÁGINA 9 EJERCICIOS. Comprueba en cada caso si el valor indicado forma parte de la solución de la inecuación. b de la inecuación Sustituimos
Más detallesFunciones reales de variable real.
CONOCIMIENTOS PREVIOS. Funciones reales de variable real.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas.
Más detallesLa variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.
Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio
Más detallesUNIDAD 6.- Funciones reales. Propiedades globales (temas 6 del libro)
(temas 6 del libro). EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN - Epresión mediante una tabla de valores La tabla de valores de una unción está ormada por dos ilas o columnas. En la primera ila o columna iguran los valores
Más detalles, 0 ; Decrece: 0 2, 0 ; 0, 2. d f x x x x. a f x. b f x. Solucionario tema 9: Estudio de Funciones. Ejercicio 1. Ejercicio 2
Solucionario tema 9: Estudio de Funciones Ejercicio Estudia la gráica siguiente: Dominio Recorrido 0, 4 Puntos de corte con los Ejes Con el Eje Y: 0, 4 Puntos máimos y mínimos: Máimo absoluto: 0, No hay
Más detallesf : R R Definición 2. Se llama dominio de una función f (lo denotaremos por Dom f) al conjunto de valores para los que está bien definida f(x) :
Resumen Tema 2: Funciones Concepto de función. Gráficas Definición. Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R que a cada número le hace corresponder otro valor f(). f() Definición
Más detallesTema 8: Funciones I. Características.
Tema 8: Funciones I. Características. Iniciamos la primera parte de los dos temas que vamos a dedicar al bloque de análisis, en el cual vamos a conocer y definir el concepto de función y los principales
Más detalles1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los nº reales ( R ) en otro subconjunto de R f : D R R Se representa de la siguiente forma: Una
Más detallesEL BLOG DE MATE DE AIDA 4º ESO: apuntes de funciones pág. 1 FUNCIONES
EL BLOG DE MATE DE AIDA 4º ESO: apuntes de funciones pág. 1 FUNCIONES 1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una relación de dependencia entre dos variables de modo que a cada valor de la primera le
Más detallesSoluciones a los ejercicios propuestos Unidad 5. Funciones reales de variable real Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad. Funciones reales de variable real Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I CONCEPTO DE FUNCIÓN. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN. A partir de los
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,
Más detallesRESUMEN PARA HACER EL ANÁLISIS COMPLETO DE UNA FUNCIÓN:
RESUMEN PARA HACER EL ANÁLISIS COMPLETO DE UNA FUNCIÓN: Ejemplo: 1 Dominio Representación de en el intervalo [,] Los puntos que no pertenecen al dominio de una función racional, son aquellos que anulan
Más detallesUNIDAD 6: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES
UNIDAD 6: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES 1. EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN - Epresión mediante una tabla de valores La tabla de valores de una unción está ormada por dos ilas o columnas. En la primera
Más detallesFunciones y Función lineal
Profesorado de Nivel Medio Superior en Biología Funciones Función lineal Analicemos los siguientes ejemplos: 1) El gráfico que figura más abajo muestra la evolución de la presión arterial de un paciente
Más detallesTEMA 6: FUNCIONES ELEMENTALES
MATEMÁTICAS CCSSS I TEMA 6: FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES II. FUNCIONES POLINÓMICAS Las funciones polinómicas son todas aquellas cuya epresión analítica es la de un polinomio: f a + a + a + + a ( ) o...
Más detalles2.2.1 Límites y continuidad
. Listas de ejercicios de Cálculo Diferencial. Listas de ejercicios de Cálculo Diferencial.. Límites y continuidad 3. Hallar el dominio de las funciones reales de variable real dadas por: a) f () = b)
Más detalles= x. o bien: De este modo, 3 6. Esto es un ejemplo de FUNCIÓN.
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 8 FUNCIONES.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Recuerda que hay distintas ormas de epresar una unción. Enunciado o descripción verbal: A cada número se le hace corresponder su doble.
Más detallesREPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se
Más detallesProfesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA
Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una
Más detallesF U N C I O N E S R E A L E S D E V A R I A B L E R E A L
F U N C I O N E S R E A L E S D E V A R I A B L E R E A L 1. C O N C E P T O D E F U N C I Ó N Una función f del conjunto A en el conjunto B es una relación de dependencia entre dos magnitudes A y B, de
Más detallesAPUNTES DE MATEMÁTICAS
APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 7: FUNCIONES 1º BACHILLERATO 1 ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN...3 1.1. CONCEPTO DE FUNCIÓN...3. Definición de Dominio...3.1. CÁLCULOS DE DOMINIOS...3 3. Composición de funciones...4
Más detalles3º ESO FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES
º ESO FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. FUNCIONES.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Definición: Una función es una relación entre dos variables de tal forma que a cada valor de la primera (variable
Más detalles12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo
Más detallesBLOQUE 1. LOS NÚMEROS
BLOQUE 1. LOS NÚMEROS Números naturales, enteros y racionales. El número real. Intervalos. Valor absoluto. Tanto el Cálculo como el Álgebra que estudiaremos en esta asignatura, descansan en los números
Más detallesDe los tres conceptos que se estudian es este tema, funciones, límites y continuidad, el primero y el último son muy sencillos de comprender.
INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. Este tema lo iniciamos recordando el concepto de función y dando algunas nociones básicas sobre funciones, para dar paso al estudio del límite de una función, cálculo
Más detallesFicha 1. Formas de expresar una función
Ficha 1. Formas de expresar una función 1. En unas instalaciones deportivas cobran 5 euros por la entrada, que da derecho a la utilización de todas las dependencias salvo las pistas de tenis, por las que
Más detallesUNIDAD 8.- Funciones racionales (tema 8 del libro)
(tema 8 del libro). FUNCIÓNES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA k Las funciones de proporcionalidad inversa son funciones cuya epresión es de la forma f ( ) Las gráficas de estas funciones son o se llaman hipérbolas
Más detallesI N E C U A C I O N E S
I N E C U A C I O N E S DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Forma general: a + b> 0 a + b 0 a + b< 0 a + b 0 Para resolverlas se siguen los mismos pasos que en las ecuaciones de primer grado con una incógnita:.
Más detallesTema 5: Funciones. Límites de funciones
Tema 5: Funciones. Límites de funciones 1. Concepto de función Una aplicación entre dos conjuntos y es una transformación que asocia a cada elemento del conjunto un único elemento del conjunto. Una función
Más detallesTEMA 8 : APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS
TEMA 8 : APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS 1. MONOTONÍA Una función es creciente en un punto 0 cuando para puntos próimos a 0 se cumple que al aumentar también aumenta f() y al disminuir también disminuye f().
Más detallesEje OY (Vertical) => Se hace la x = 0, y se despeja la y. Corte (0,y)
Estudio de funciones y su representación gráfica. TIPO I. Funciones Polinómicas. Ejemplo: y 4 1º. Dominio. El dominio de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. En
Más detallesTEMA FUNCIONES 4º ESO
TEMA FUNCIONES 4º ESO 1) Definiciones: Concepto de función. Dominio y recorrido de una función. Función inyectiva. Gráfica de una función. (pág. 158) 2) Cálculo del dominio de una función 3) Cálculo de
Más detallesUna función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes o variables x e y, de manera que a cada valor
RESUMEN TEORÍA FUNCIONES: 4º ESO Op. B DEFINICIONES: Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes o variables x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor
Más detallesEjercicios de números reales
Ejercicios de números reales Ejercicio nº.- Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:,7 7 4 7 Ejercicio nº.- Considera los siguientes números: 9,000000..., 8,... Clasifícalos
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS TEMA 2: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. APLICACIONES.
EJERCICIOS RESUELTOS TEMA : DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. APLICACIONES. Ejercicio 1 Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones y simplifícalas: a) f ( ) sine b)
Más detallesTEMA1: CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES.
TEMA: CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES.. Límite en un punto ( a) La condición necesaria y suficiente para que eista el límite de una función en un punto es que eistan los dos límites laterales de la función
Más detallesUna función es una correspondencia única entre dos conjuntos numéricos.
FUNCIONES Qué es una función? Una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números de modo que a cada valor del conjunto inicial, llamado dominio, se le hace corresponder un valor del conjunto
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta
Más detallesComprueba que 5 2 es una raíz del polinomio 2x3 9x x 5. EJERCICIO RESUELTO. Entonces: x 3 + 2x x + 3 = ( x + 1) ( x 2 + x + 3)
Polinomios 7. Teorema del resto. Factorización Polinomios Actividades Aprenderás a Identificar el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma a como el valor numérico para = a. Aplicar
Más detallesFUNCIONES REALES. D(f(x)) = R {Raices del denominador} { Indice impar D(f(x)) = D(g(x)) Indice par D(f(x)) = R {P untos del radicando negativo}
FUNCIONES REALES Una función real se define como una aplicación entre dos conjuntos de números reales. Esta aplicación asigna a cada elemento del primer conjunto un único elemento del segundo conjunto.
Más detallesFunciones reales de variable real
Tema Funciones reales de variable real Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.. Conceptos Generales Definición.
Más detalles1.- DOMINIO DE LA FUNCIÓN
En este resumen vamos a tratar los puntos que necesitamos para poder representar gráficamente una función. Empezamos viendo la información que podemos obtener de la expresión matemática de la función.
Más detallesDos curvas interesantes: Unidad 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES TRACTRIZ INTRODUCCIÓN
Unidad 10: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES INTRODUCCIÓN Concepto de función Una de las ideas más fecundas y brillantes del siglo XVII fue la de la coneión entre el concepto de función y la representación gráfica
Más detallesINICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. en un intervalo al siguiente cociente:
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Crecimiento de una Función en un Intervalo Tasa de Variación Media (T.V.M.) Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función y f() en un intervalo
Más detallesFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
MatemáticasNM Curso 0- FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. Determina gráficamente el dominio y recorrido de cada una de las siguientes funciones: a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = + d) f() = + e) f()
Más detalles1. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos que se indican. 1
6 Derivadas CRITERIOS DE EVALUACIÓN ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN A. Calcular la tasa de variación media de una función en un intervalo.. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS TEMA 11 Y 12. FUNCIONES. FUNCIÓN LINEAL Y CUADRÁTICA. Apellidos y Nombre:.Curso: 3º E.S.O. Grupo:.
EJERCICIS RESUELTS TEMA 11 1. FUNCINES. FUNCIÓN LINEAL CUADRÁTICA Apellidos y Nombre:.Curso: º E.S.. Grupo:. 1 El coste del recibo del teléfono depende de los minutos hablados y una cuota fija de 1 euros.
Más detallesConcepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B
Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. 2º Bachillerato de Humanidades. Concepto de función
2º Bachillerato de Humanidades. Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir
Más detallesFunciones reales de una variable real
Funciones reales de una variable real Funciones Definición (informal): Sean A y B dos conjuntos, una función f de A en B es una correspondencia que a cada elemento de A le asigna un y sólo un elemento
Más detallesNo es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.
FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 03 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesINTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES.
INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. Este capítulo puede considerarse como una prolongación y extensión del anterior, límite de sucesiones, al campo de las funciones. Se inicia recordando el concepto de función
Más detallesFunciones, Límites y Continuidad
Tema Funciones, Límites y Continuidad Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real, así como de los límites en dichas
Más detalles4º ESO APLICADAS FUNCIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa FUNCIONES
FUNCIONES.- CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Definición: Una función es una relación entre dos variables de tal forma que a cada valor de la primera (variable independiente, ) le corresponde un valor o
Más detallesFUNCIONES PRÁCTICA N 2
Capitulo II FUNCIONES PRÁCTICA N. En cada uno de los siguientes casos dar la ley de la función descripta: a) El área de un rectángulo es de 0 cm². Epresar el perímetro del mismo en función de la longitud
Más detalleslím x 1 r x a, donde a es un nº que cumple que el ) es algún 1. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición más formal
Más detallesTema 4: Funciones. Límites de funciones
Tema 4: Funciones. Límites de funciones 1. Concepto de función Una aplicación entre dos conjuntos A y B es una transformación que asocia a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B.
Más detalles9 Funciones elementales
9 Funciones elementales ANALIZA Y DECIDE Qué tipo de curva no se utiliza en los ramales de entrada salida de las autopistas? Cuál es la más adecuada? Un arco de circunferencia no se utiliza en los ramales
Más detallesMATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO IES LOS CARDONES PLAN DE REPASO SEPTIEMBRE FECHA DE ENTREGA Día del examen de septiembre
MATEMÁTICAS I 1º BACHILLERATO IES LOS CARDONES 016-017 PLAN DE REPASO SEPTIEMBRE 017 COTEIDOS MÍIMOS: - ESTRATEGIAS, HABILIDADES, DESTREZAS Y ACTITUDES GENERALES. - NÚMEROS REALES. - SUCESIONES.. - TRIGONOMETRÍA.
Más detallesApellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: Día: CURSO
EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO (ANÁLISIS) Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: Día: CURSO 56 Instrucciones: a) Duración: HORA y MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios
Más detallesTEMAS 4 LAS FUNCIONES ELEMENTALES
TEMA 4 FUNCIONES ELEMENTALES MATEMÁTICAS CCSSI º Bach. TEMAS 4 LAS FUNCIONES ELEMENTALES Son funciones? EJERCICIO : Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función.
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detallesTema 10: Funciones racionales y potenciales. Asíntotas.
1 Tema 10: Funciones racionales y potenciales. Asíntotas. 1. Funciones racionales. Una función racional es de la forma =p()/q(), donde p() y q() son polinomios, con q()0. El dominio de una función racional
Más detallesUna función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo.
3.1. Función constante Una función constante es aquella que tiene la forma yf()c, donde c es un número real fijo. El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una recta
Más detallesPropiedades de las funciones derivables. Representación gráfica de funciones. Determinar los puntos de inflexión. (Junio 1997)
Matemáticas II. Curso 008/009 de funciones 1 1. Determinar las asíntotas de f () =. Estudiar la concavidad y conveidad. 1 + Determinar los puntos de infleión. (Junio 1997) 1 Por un lado, lim 1 = 0 y =
Más detalles