Introducción al Algebra Matricial

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1 Introducción al Algebra Matricial Alvaro G. Parra Versión preliminar y bajo revisión. Marzo 00 Alumno de Magíster en Economía Financiera de la Ponti cia Universidad Católica de Chile. Todos los errores y omisiones son míos. Si tiene comentarios, favor de enviarlos a agparra@uc.cl.

2 Índice general. Operaciones Básicas.. Algunas De niciones Matriz Matrices cuadradas Igualdad de Matrices Vectores Suma de Matrices y Multiplicación por un Escalar Suma y Resta de Matrices Multiplicación de una Matriz por un Escalar Multiplicación de Vectores y Matrices Multiplicación de Vectores Multiplicación de Matrices Más De niciones Matriz Transpuesta Matriz Identidad Matrices Idempotentes La inversa de una matriz La Traza de una Matriz Matrices Particionadas De nición Suma de Matrices Particionadas Multiplicación de Matrices Particionadas Ejercicios Propuestos Determinantes de Matrices Cuadradas.. Permutaciones e Inversiones Permutaciones El Número Epsilon El Determinante de una Matriz Cuadrada Los términos del Determinante El Determinante de una Matriz Cuadrada Menores y Cofactores La Expansión de Laplace

3 .. La Adjunta de una Matriz Cuadrada La Inversa de una Matriz Determinantes e Inversas de Matrices Particionadas Determinantes de Matrices Particionadas Inversas de Matrices Particionadas Rango de una Matriz Ejercicios Propuestos Espacios Vectoriales y Dependencia Lineal.. Sumas de Vectores y Multiplicación por un Escalar Suma de Vectores Multiplicación de un Vector por un Escalar Relaciones y Medidas de Vectores Multiplicación de Vectores La Norma de un Vector Dependencia e Independencia lineal Sistemas Homogéneos Ejercicios Propuestos Espacios, Subespacios y Bases Vectoriales Sistemas no Homogéneos Ejercicios Propuestos La Ecuación Característica de una Matriz.. El Problema de los Valores Característicos Vectores y Valores Propios La Matriz Modal Aplicaciones de la Descomposición Espectral El Rango de una Matriz La Traza de una Matriz El Determinante de una Matriz Potencias de una Matriz Matrices Idempotentes Ejercicios Propuestos Formas Lineales, Cuadráticas y Cálculo Matricial... Formas lineales Formas Cuadráticas Matrices De nidas y Semide nidas Cálculo Matricial Funciones Reales Derivadas de Funciones Reales Aproximación a una Función Ejercicios Propuestos

4 Capítulo Operaciones Básicas.. Algunas De niciones... Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de números encerrados por un par de corchetes. Algunos ejemplos de matrices son: A = ; B = Se pueden representar en una matriz datos agrupados por columnas, los pagos de un conjunto de activos en cada estado de la naturaleza, los coe cientes de un sistema de ecuaciones, etc. Por convención las matrices se representan con letras en mayúsculas. Ejemplo.. La matriz B puede ser la matriz de coe cientes del siguiente sistema de ecuaciones. x + y + z = 0 x y + z = 0 Formalmente, se dice que la matriz a a : : : a n a a : : : a n a m a m : : : a mn (.) es de orden m x n ya que tiene m las y n columnas, donde cada elemento a ij es un número o una función que pertenece a los números reales o complejos. Por ejemplo, la matriz A es de orden x y la matriz B es de x y sus elementos pertenecen a los números reales.... Matrices cuadradas. Cuando m = n, (.) es cuadrada y la llamamos matriz cuadrada de orden n. Si una matriz es cuadrada y es de orden la llamamos escalar. Un ejemplo de una matriz cuadrada es la matriz A.

5 ... Igualdad de Matrices. Las Matrices A y B son iguales, si y solo si, tienen el mismo orden y cada elemento de A es igual al correspondiente elemento de B.... Vectores A = B () a ij = b ij 8 i; j Un vector es un conjunto ordenado de números dispuestos en una la o una columna, también pueden entenderse como una matriz de una la o de una columna. Denominamos vector columna a una matriz de orden m x y vector la a una matriz de orden x n. Todas las de niciones anteriores aplican a los vectores... Suma de Matrices y Multiplicación por un Escalar... Suma y Resta de Matrices Si A y B son dos matrices de orden m x n, su suma (o resta) es una matriz C de orden m x n donde cada elemento de C es la suma (o resta) de los elementos correspondientes en A y B A B = C () c ij =a ij b ij i = ; :::; m j = ; :::; n 0 Ejemplo.. Si A= y B = entonces: A + B = = 0 + ( ) A B = = 0 ( )... Multiplicación de una Matriz por un Escalar Si se suma una matriz k veces con ella misma se obtendría una matriz en que cada uno de sus elementos sería k veces el inicial. A esto se le llama multiplicación por un escalar, donde el escalar es k. B = ka = Ak () b ij = ka ij = a ij k i = ; :::; m j = ; :::; n Ejemplo.. Sea A =, entonces: A + A + A = + + = 9 = A = A Teorema.. Sean A; B; C matrices de un mismo orden y k un escalar, entonces cumplen con las siguientes propiedades: A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C k(a + B) = ka + kb = (A + B)k

6 .. Multiplicación de Vectores y Matrices... Multiplicación de Vectores Sea A = a a ::: a m un vector de orden x m y B = b b. un vector m x, entonces su multiplicación C = AB (en ese orden) está de nida como la sumatoria de la multiplicación del elemento i de la matriz A con el elemento i de la matriz B, esto es: AB = a a ::: a m Ejemplo.. (a) (b) b b. b m b m mx = [a b + a b + ::: + a m b m ] = a i b i = [() + ( ) + ()] = [] = [ + ] = [0] Nótese que lo que se hizo fue multiplicar una la con una columna, esto hay que tenerlo muy presente en la sección que sigue.... Multiplicación de Matrices Sea A una matriz de orden m x p y B una matriz de orden p x n, es decir, la cantidad de columnas de A es igual a la cantidad de las de B, entonces cada elemento c ij de la matriz C = AB (en ese orden) se obtiene multiplicando la la i de la matriz A con la columna j de la matriz B: a a : : : a p b b : : : b n c c : : : c n a a : : : a p b b : : : b n = c c : : : c n a m a m : : : a mp b p b p : : : b pn c m c m : : : c mn donde Ejemplo..(a) si A = c ij = a i b j + a i b j + ::: + a ip b pj = AB = a a a a a a y B = px a ik b jk k= a b + a b a b + a b a b + a b a b + a b a b + a b a b + a b i= b b, entonces AB es igual a: b b

7 (b) si C = y D = 0 () + () + ( ) ( ) + () + () CD = () + 0() + ( ) ( ) + 0() + (), entonces CD es igual a: = 8 8 Teorema.. Sean las matrices A, B y C compatibles para la multiplicación y k un escalar, entonces se cumple que: A(BC) = (AB)C A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC Sin embargo hay que tener en cuenta que: (a) generalmente AB = BA: k(ab) = (ka)b = A(kB) = (AB)k (b) si AB = 0 no necesariamente implica que A = 0 o B = 0: (c) si AB = AC no necesariamente implica que B = C: Dado que AB = BA, se puede identi car dos tipos de multiplicaciones. Por ejemplo, si tenemos la multiplicación AB podemos decir que A está premultiplicando a B pero por otro lado, se podría pensar de otra forma y decir que B está postmultiplicando a A: Una vez que ya aprendimos a sumar, restar y multiplicar matrices podemos de nir más matrices... Más De niciones... Matriz Transpuesta. La transpuesta de una matriz A se obtiene intercambiando las las de A por las columnas de A y la denotamos como A 0. Si denotamos B = A 0 podemos de nir la transpuesta de A como: B = A 0 () b ij = a ji 8 i; j Ejemplo.. Las traspuestas de las matrices A y B, es decir A 0 y B 0, son respectivamente: A 0 = ; B 0 = Teorema.. Si A y B son las traspuestas de A y B respectivamente, y si k es un escalar cualquiera, entonces: (A 0 ) 0 = A (A + B) 0 = A 0 + B 0 (ka) 0 = ka 0 (AB) 0 = B 0 A 0

8 Dado lo anterior podemos de nir matriz simétrica como aquella matriz que cumple con A = A Matriz Identidad La matriz identidad es una matriz diagonal de unos, es decir, una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros y los elementos dentro de la diagonal son unos. Ejemplo.. Una matriz identidad de orden : I = I = 0 0 : Una de las propiedades de la matriz identidad es que AI = IA = A:... Matrices Idempotentes y una de orden : Son aquellas matrices que multiplicadas por sí mismas son ellas mismas, es decir, A n = A 8n N: Por ejemplo, si A = AA = A entonces A sería una matriz idempotente, la matriz identidad es idempotente. Además si la matriz es simétrica se cumple que A 0 A = A: Ejemplo.8. La siguiente matriz es idempotente A = A =... La inversa de una matriz = ya que: Si A y B son matrices cuadradas tal que AB = BA = I, entonces se dice que B es la inversa de A y la denotamos B = A : También se puede decir que A es la inversa de B. Ejemplo.9. Sea A = y B = 0, podemos decir que 0 una es la inversa de la otra ya que: 0 0 = 0 0 = Si una Matriz no tiene inversa se le llama singular y si la matriz tiene inversa, no singular.

9 ... La Traza de una Matriz La traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada, es decir, en nuestra matriz (.) es la suma de a + a + ::: + a nn = P a ii : Ejemplo.0. Sean A y B las matrices del ejemplo anterior, entonces: (a) tr(a) = + + = 8 (b) tr(b) = + + = 8 Teorema.. Sean A, B, C y D matrices cuadradas del mismo orden y k un escalar, entonces se cumple que: tr(ka) = ktr(a) tr(a) = tr(a 0 ) tr(a + B) = tr(a) + tr(b) tr(i n ) = n tr(abcd) = tr(bcda) = tr(cdab) = tr(dabc).. Matrices Particionadas... De nición Una matriz particionada es una matriz de matrices, ésta puede representar divisiones imaginarias dentro de una matriz o divisiones reales: 0 Ejemplo.. Podemos particionar la matriz B = de la siguiente 0 forma: 0 0 o de la siguiente 0 0 para ser una mejor representación del siguiente sistema de ecuaciones: x + y + z = 0 x y + z = 0 : Formalmente, si se toma la matriz (.) a a : : : a n a a : : : a n a m a m : : : a mn 8

10 y se particiona tomando s grupos de las (m ; m ; :::; m s ) y t grupos de columnas (n ; n ; :::; n t ), entonces se podría escribir (.) de la siguiente forma: A A : : : A t A A : : : A t A = A s A s : : : A st donde cada elemento A ij de A es una submatriz de orden m i x n j : Ejemplo.. Sea la matriz particionada A = 9, entonces se puede representar de la siguiente forma 8 9 A A donde A A A = ; A 9 = ; A = 8 y A =. 9 Un caso especial es el de la matriz diagonal por bloques: A 0 0 A esta matriz es de suma importancia en econometría y por eso la estudiaremos en profundidad.... Suma de Matrices Particionadas Sean A y B matrices de igual orden y particionadas de la misma forma, entonces la suma de estas matrices es de la forma: A + B ::: A t + B t C = A + B =..... A s + B s ::: A st + B st y la suma de submatrices se realiza igual que la suma de matrices. Ejemplo.. Sea A = 9 y B = 0, entonces A + B es igual a: = =

11 ... Multiplicación de Matrices Particionadas El estudio de matrices particionadas nació a partir del estudio de la multiplicación de matrices, recordemos el ejemplo.. Si A = a a a a b b y B =, entonces AB es igual a b a a b AB = a b + a b a b + a b a b + a b a b + a b : a b + a b a b + a b La pregunta que surgió fue: Qué pasa si cada uno de los elementos de las matrices A y B son, a su vez, una matriz? La respuesta es que abría que multiplicar cada uno de estos elementos nuevamente usando la multiplicación de matrices. Pero para que esta operación esté bien de nida cada una de las submatrices de la columna i de la matriz A tienen que ser conformables para la multiplicación con cada una de la submatrices de la la i de la matriz B. A A Ejemplo.. (a) Sea A = = A A 0 0, entonces AB es igual a: AB = = = B B y B = = B B A B + A B A B + A B A B + A B A B + A B = 0 : (b) Sea A = A 0 A =.. Ejercicios Propuestos A 0, entonces A 0 A 0 A es igual a: 0 A 0 A 0 A 0 = A 0 0 A 0 A 0 A 0 : A 0

12 . De las siguientes matrices, Cuáles son conformables para la suma?. Calcule la suma de aquellas que cumplen con la propiedad anterior. A = 8 : B = C = D = 9 0 E = F = G = H = Dado A = 0, B = y C = 0 : 0 a) Calcule: ) A + B: ) A C: ) A: b) Veri que: A + (B C) = (A + B) C: c) Encuentre la matriz D tal que A + D = B:. Calcule los siguientes productos: a) 8 : b) 9 8 : 0 c) 0 : 0 0 d) 0 0 : 0 0 e) 0 0 :

13 f ) 8 :. Sea A =, B = y C = : a) Muestre que AB = BA = 0; AC = A; CA = C: b) Con los resultados de (a) muestre que:. Demuestre: ) ACB = CBA: ) A B = (A B)(A + B): ) (A B) = A + B : a) tr(a + B) = tr(a) + tr(b): b) tr(ka) = ktr(a):. Calcule AB en cada uno de los siguientes casos: a) A = 0 y B = 0 0 : b) A = c) A = y C = y B = : :

14 Capítulo Determinantes de Matrices Cuadradas.. Permutaciones e Inversiones... Permutaciones Una permutación es la respuesta a la pregunta De cuántas formas distintas se pueden ordenar n números naturales distintos?, la respuesta es de n! formas distintas ya que en el primer puesto se tienen n posibilidades, en el segundo se tienen n posibilidades ya que pusimos un número en el primer puesto, en el tercero se tienen n posibilidades ya que se puso un número en el primer puesto y otro en el segundo, y así sucesivamente. Ejemplo. De cuántas formas se pueden ordenar los números naturales ; y? De! = formas distintas: Inversiones En una permutación de números naturales de a n, si un número precede a otro que es menor, decimos que estos número están invertidos y que la permutación contiene una inversión, luego el número total de inversiones que posee una permutación, por de nición, es cuántos números menores prosiguen después de números mayores. Ejemplo.: Sea una permutación de números del al, ésta posee 8 inversiones ya que es mayor que,,, y, además es mayor que y, por último es mayor que. Si el número de inversiones en una permutación es par (impar), la llamamos permutación par (impar).

15 ... El Número Epsilon Para cada permutación de números naturales del al n, se de ne el número epsilon de la siguiente manera: jj :::j n = f si j j :::j n es una permutación par si j j :::j n es una permutación impar Otra forma de verlo es de niendo como k el número de inversiones, entonces: jj :::j n = ( ) k Ejemplo.. El número epsilon de la permutación es = ( ) =. Por otro lado el de la permutación es = ( ) = :.. El Determinante de una Matriz Cuadrada... Los términos del Determinante Si se hace el ejercicio de tomar un elemento de cada la y anotar de qué columna es pero no repetimos la columna cada vez que elegimos un elemento de cada la, es decir, tenemos n elementos (uno por cada la) y todos de columnas distintas, los multiplicamos entre sí y además lo multiplicamos por el número epsilon jj :::j n donde j representa la columna del elemento de la la uno, j la columna del elemento de la la y así sucesivamente, se obtendrá un término del determinante de una matriz. jj :::j n a j a j :::a njn a a a Ejemplo.. Sea la matriz A = a a a, entonces todos los términos del a a a determinante de A son: a a a = ()a a a a a a = ( )a a a a a a = ( )a a a a a a = ()a a a a a a = ()a a a a a a = ( )a a a... El Determinante de una Matriz Cuadrada Dado lo anterior se de ne el determinante de orden n como la suma de todos los términos del determinante de una matriz de orden n, y lo denotamos como det A, o bien, jaj : det A = jaj = X jj :::j n a j a j :::a njn

16 Ejemplo.. (a) a a a a = a a + a a = a a a a a a a (b) a a a a a a = a a a + a a a + a a a + ::: + a a a + a a a + a a a (c) (d) = a a a a a a a a a + ::: +a a a + a a a a a a = a (a a a a ) a (a a a a ) + ::: +a (a a a a ) a = a a a a a a a a a + a a a a a = () () = 0 0 = = (0(0) ()) ((0) ()) + (() 0()) = ( ) ( ) + () = 9 Teorema.: Sea A una matriz cuadrada y k un escalar, entonces se cumple lo siguiente: (a) deta = deta 0 (b) Si todos los elementos de una la o una columna son ceros, entonces deta = 0 (c) Si dos las o columnas son iguales, entonces deta = 0 (d) Si B es igual a A excepto por que una la o una columna es k veces la de A, entonces se cumple que detb = kdeta (e) Si sumamos o restamos k veces una la o una columna a otra la o columna, entonces el determinante no cambia (f) Si intercambiamos las o columnas de A, entonces el determinante de la nueva matriz es deta (g) Si B es una matriz del mismo orden de A, entonces det(ab) = (deta)(detb) Ejemplo.. Calculemos los determinantes de las siguientes matrices: 0;8 0; 0; 8 (a) A = 0; 0;8 0;0 ; (b) B = 0; 0;0 0; Comencemos por la matriz A, ocupando (d) factorizamos la primera columna por 0.8 y se obtiene:

17 0; 0; 0;8 0; 0;8 0;0 0;8 0;0 0;09 por (e) restamos 0. veces la primera columna a la segunda y 0. veces la primera a la tercera: 0 0 0;8 0; 0; 0;0 0;8 0;0 0;0008 factorizando la segunda columna por 0.: 0 0 (0;8)(0;) 0; 0;0 0;8 0; 0;0008 substrayendo 0.0 veces la segunda columna a la primera se tiene que: 0 0 (0;8)(0;) 0; 0 0;8 0; 0;08 = = (0;8)(0;)( 0;08) = 0;00: Para la matriz B, restemos la segunda columna a la tercera: 8 8 y si factorizamos por 9 la primera columna se tiene que: 9 8 = 0 ya que tenemos dos columnas idénticas... Menores y Cofactores Sea A una matriz cuadrada de orden n cuyo determinante existe. Entonces el determinante de la matriz que obtenemos al eliminar la la i y la columna j de A la llamamos primer menor de A y es denotado como jm ij j o bien lo llamamos el menor de a ij : De la misma forma, el cofactor de a ij está de nido como ( ) i+j jm ij j y lo denotamos como ij: Ejemplo.. Si A = a a a a a a, entonces los menores principales y los cofactores a a a de la segunda la son:

18 y jm j = a a a a ; jm j = a a a a ; jm j = a a a a = ( ) + jm j = jm j ; = ( ) + jm j = jm j ; = ( ) + jm j = jm j Así como de nimos primeros menores, como el determinante de la matriz que resulta al eliminar una la y una columna de la matriz A, se puede de nir los segundos menores como el determinante de la matriz que resulta al eliminar dos las y dos columnas de la matriz A y así sucesivamente. Imaginemos una matriz cuadrada de orden, entonces un segundo y tercer menor son: jm ; j = a a a a a a a a a ; jm ;j = a a a a Se dice que dos menores son complementarios si uno esta conformado por las las y columnas que eliminó el otro menor. Por ejemplo, los dos menores anteriores son complementarios. Así mismo, podemos ampliar la de nición de cofactor. El cofactor del menor M(i)(j) está de nido como: A (k)(p) = ( ) (P k+ P p) M(k)(p) donde M (i)(j) y M (k)(p) son menores complementarios: Ejemplo.. consideremos la siguiente matriz: Entonces el cofactor del menorjm ; j = 0 0, es: A ; = ( ) +++ jm ; j = La Expansión de Laplace Laplace demostró que el determinante de una matriz A puede ser calculado seleccionando r las (o columnas) de A, formando todos los menores posibles de esas r las (o columnas), multiplicando todos los menores con su cofactor y sumando los resultados. Ejemplo.8. Calculemos el determinante de la matriz del ejemplo anterior seleccionando las dos primeras las, esto signi ca que vamos a tener C = menores ya que se tienen las siguientes combinaciones de columnas: la columna con la, la con la, la con la, con la, la con la, la con la.

19 = 0 0 ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 0 ) ( 0 )+++ 0 = Corolario: Sea A una matriz cuadrada de orden, entonces su determinante puede ser calculado de las siguientes formas: jaj = X j a ij ij para cualquier i, o bien jaj = X i a ij ij para cualquier j. El corolario anterior es sumamente útil al momento de invertir matrices cuadradas de orden... La Adjunta de una Matriz Cuadrada Sea A una matriz cuadrada de orden n y ij el cofactor del elemento a ij, entonces la matriz adjunta esta de nida como: : : : n : : : n adjunta A = adj A = n n : : : nn Ejemplo.9. Para la matriz A =, sus cofactores son: = ; = ; = ; = ; = ; = ; = ; = ; = y su adjunta es: adj A = Teorema.. Sea A una matriz cuadrada de orden n y adj A su adjunta, entonces se cumple que: A(adj A) = (adj A)A = jaj I 8

20 Ejemplo.0. Sea A la matriz del ejemplo anterior, entonces: A(adj A) = = = I La Inversa de una Matriz Del Teorema. se desprende una forma de calcular la matriz inversa que de nimos en el punto... Recordemos que la inversa de A es aquella matriz B que cumple con la siguiente propiedad: AB = BA = I y denotábamos a B = A : Entonces si dividimos el teorema por jaj y premultiplicamos por A ; encontramos: = jaj = jaj : : : n = jaj A = adj A jaj = jaj = jaj : : : n = jaj = n = jaj n = jaj : : : nn = jaj Ejemplo.. La inversa de la matriz A del ejemplo anterior es: A = adj A jaj = 0;8 0;9 0; = 0;8 0; 0; 0;8 0;8 0;9 Teorema.. Sean A, B y C matrices compatibles para la multiplicación, entonces se cumple que: A = jaj (A ) = A (A ) 0 = (A 0 ) Si A es simétrica, A es simétrica. (AB) = B A (ABC) = C (AB) = C B A.. Determinantes e Inversas de Matrices Particionadas... Determinantes de Matrices Particionadas El determinante de una matriz particionada es igual al de una matriz común y corriente pero como las submatrices son de menor orden que la matriz original puede que sea conveniente, para simpli car los cálculos, calcular el determinante en función de las submatrices. Acá se presentan algunos resultados importantes: 9

21 El Determinante de la Matriz Diagonal por Bloques A 0 Sea A = 0 A está de nido por: Ejemplo.. Sea A = jaj = una matriz particionada diagonal por bloques, entonces su determinante jaj = A 0 0 A = ja j ja j , entonces su determinante es: = ((0) ()())(()(8) ()(9)) = = ( )(0 ) = ( )( ) = 8 Como tarea puedes tratar de demostrar el método expandiendo por Laplace. El Determinante de una Matriz Particionada x A A Sea A = una matriz particionada, entonces su determinante está de nido por: A A Ejemplo.. Sea A = A A A A = ja j A A A = ja j A A A A A, entonces su determinante es: = = 8 0 0; 9 0; 0; 9 8 = ; = 8; ; 9 8; = (( )( 8;) ( 8;)( 9)) = ( )( 0;) = 0 0

22 ... Inversas de Matrices Particionadas Al igual que el determinante, su cálculo, puede hacerse con la matriz no particionada pero el estudio de este tipo de matrices es esencial en econometría. La Inversa de la Matriz Diagonal por Bloques A Sea A = 0 0 A una matriz particionada diagonal por bloques, entonces su inversa está de nida por: Ejemplo.. Sea A = A 0 0 A = = = = A 0 0 A, entonces su inversa es: 0 0; 0 0; 0; 0 0 = ; 0 0 0; 0; ; 0; ;9 0; 0 0; 0 0 0; 0; ; 0; ;9 0; La Inversa de una Matriz Particionada x A A Sea A = una matriz particionada, entonces su inversa está de nida por: A A Ejemplo.. A = A A A = (I + A A A ) A A A A A A donde = A A (A A ), entonces su determinante es:

23 A 0 0; = = ; = 0 0; 0; 8;, = 9 8; 0;80 0;80 0;8 0; entonces 0; 0;0 0;08 0; A = 0;0 0;080 0;9 0;0 0;9 0; 0;80 0;80 0; 0; 0;8 0;.8. Rango de una Matriz Antes de de nir el rango de una matriz se introducirá el concepto de submatriz cuadrada. Una submatriz cuadrada es cualquier matriz que se obtenga eliminando las y columnas de A, y que formen una matriz cuadrada. Ejemplo.. Sea A =, entonces todas las submatrices cuadradas de A 0 son: ; 0 ; ; ; ; 0 ; 0 ; ; Entonces el rango de una matriz es el orden de la submatriz cuadrada de mayor orden con determinante no nulo. En el ejemplo anterior el rango es ya que todas las submatrices cuadradas de orden tienen determinante no nulo, es decir, son no singulares. Corolario: Si A es una matriz cuadrada de orden n y su rango es r < n, entonces no tiene inversa de nida; ya que A = adj A jaj ;pero si r < n signi ca que jaj = 0; entonces la inversa A no está de nida. Luego, todas las matrices cuadradas invertibles tienen su rango igual a su orden ( r = n) y las llamaremos matrices de rango completo. A continuación se presentan propiedades muy útiles del rango de una matriz: (a) rango (A) = rango (A 0 ) (b) rango (AB) mn(rango (A); rango (B)) (c) rango (A) = rango (A 0 A) = rango (AA 0 ) Si A es de orden M x n con n M y B es una matriz cuadrada de rango n, entonces: (d) rango (AB) = rango (A) Piense en la diferencia entre (b) y (d)..9. Ejercicios Propuestos. Ocupando los términos del determinante calcule el determinante de las siguientes matrices: a) A = :

24 b) B = : 8 c) C = : 0 d) D = : 0 0 e) E = :. Usando las propiedades de los determinantes (teorema.) calcule el determinante de las siguientes matrices (tal como se hizo en el ejemplo.): 0;0 0; 0; A = ; B = 0; 0;9 0; : 0; 0; 0;9. Calcule todos los menores y cofactores de las siguientes matrices: 8 a) A = : 9 b) B = 9 8 : c) C = 0 : 8. Calcule todos los segundos menores, con sus respectivos complementarios, de la siguiente matriz. Luego calcule su determinante expandiendo por Laplace Calcule la adjunta y la inversa de todas la matrices del ejercicio.. Calcule el determinante y la inversa de las siguientes matrices particionadas: 0 0 a) A = : 0 0 0

25 b) B = :. Calcule el rango de las siguientes matrices e identi que aquellas que son de rango completo. a) A = : 8 b) B = : c) C = : d) D = 9 8 : 0 e) E = : 8 0 f ) F = :

26 Capítulo Espacios Vectoriales y Dependencia Lineal.. Sumas de Vectores y Multiplicación por un Escalar Se puede entender un vector de orden n x como una representación de un punto n-dimensional en un espacio vectorial de n dimensiones (R n ). Para entender más en profundidad esta idea se trabajará con vectores de dimensiones, es decir, aquellos que pertenecen a R. Ejemplo.. El vector x = [ R, grá camente: y ], representa al punto (,) en un espacio vectorial 8 * x = (; ) - x Figura.: El par ordenado (,) en un espacio vectorial de dimensiones... Suma de Vectores Al igual que la suma de matrices, la suma de vectores sólo esta de nida en vectores del mismo orden y es simplemente la suma elemento a elemento.

27 Ejemplo.. La suma de los vectores x = [ ]; x = [ ] es igual a x = [( + ) ( + )] = [ ]; grá camente: y 8 x : x x x : x - x Figura.: Suma de vectores... Multiplicación de un Vector por un Escalar La multiplicación de un vector por un escalar, al igual que la multiplicación de una matriz por un escalar, es sumar k veces el mismo vector y grá camente corresponde a aumentar en k veces la distancia del vector respecto a su origen. Ejemplo.. Sea x = [ ] un vector de dimensiones, entonces si se multiplica por un escalar k =, el nuevo vector será x 0 = [ ]; grá camente: y 8 x 0 = (; ) x = (; ) - x Figura.: Multiplicación por un escalar.. Relaciones y Medidas de Vectores... Multiplicación de Vectores Recordemos la de nición del capítulo :

28 Sea A = a a ::: a m un vector de orden x m y B = b b. un vector m x, entonces su multiplicación C = AB (en ese orden) está de nida como la sumatoria de la multiplicación del elemento i de la matriz A con el elemento i de la matriz B, esto es: AB = a a ::: a m b b. b m b m mx = [a b + a b + ::: + a m b m ] = a i b i a esta operación también se conoce como producto punto. Ejemplo.. (a) = [() + ( ) + ()] = [] (b) = [ ] = [0] Se dicen que dos vectores son ortogonales si su producto punto es igual a 0. Los vectores del ejemplo..b. son ortogonales y grá camente se ven de la siguiente forma: y i= x = (; ) * - A A AU x = (; ) x? Figura.: Vectores ortogonales Podemos apreciar que los vectores ortogonales son perpendiculares.... La Norma de un Vector La norma o largo de un vector X está de nida como la raíz cuadrada del producto punto del vector con sí mismo y lo denotamos como jjxjj : jjxjj = p q X 0 X = x + x + ::: + x n

29 Ejemplo.. Sea el vector x = [ ], entonces su norma es: p + + = ; Dado lo anterior se puede demostrar que: X 0 Y = (jjx + Y jj jjxjj jjy jj ) jx 0 Y j jjxjj jjy jj (desigualdad de Schwarz) jjx + Y jj jjxjj + jjy jj (desigualdad del triángulo) A los vectores cuyos largos son igual a se les llama vectores unitarios. Ejemplo.. Sean X 0 = ; Y 0 = 0 ; entonces se cumple que: a) X 0 Y = 0 = ( X 0 Y = = 0 ) = ((p + + ) ( p + + ) ( p ) ) X 0 Y = = (( + + 9) ( + + 9) (9 + )) = 0 = b) jx 0 Y j = jj 0 p + + p (;)() 8; c) jjx + Y jj = + p + + p p ;0 8;.. Dependencia e Independencia lineal Para facilitar el estudio de la dependencia e independencia lineal vamos a comenzar estudiando sistemas de ecuaciones homogéneos. 0 8

30 ... Sistemas Homogéneos Un sistema de ecuaciones homogéneo es de la forma: a x + b x + c x = 0 a x + b x + c x = 0 a x + b x + c x = 0 Donde x ; x y x son las incógnitas y a i ; b i ; c i para i = ; ; son los coe cientes (valores). Entonces el sistema puede representarse de las siguientes formas: a b c a b c x x = 0 0 ; a b c x 0 Sx = 0 o bien: a a a x + b b b x + c c c s x + s x + s x = 0 x = 0; Este tipo de sistemas siempre tiene al menos una solución, la cuál es x = 0, esta solución se conoce como solución trivial del sistema homogéneo. Veamos si existe otra: si se premultiplica en ambos lados por S obtenemos: S Sx = S 0 x = 0 Podemos concluir que si existe inversa, es decir, si S es de rango completo, entonces la solución trivial será única. Si reordenamos el sistema de la siguiente forma: a a a x + b b b x = podemos darnos cuenta de que si existiese otra solución aparte de la trivial, podríamos expresar el vector s en función de s y s. Luego podemos hacer la siguiente de nición: Dependencia lineal: Un conjunto de vectores n-dimensionales F son linealmente dependientes entre sí, si se puede dejar expresado un vector en función del resto. Análogamente podemos de nir dependencia lineal si el sistema de ecuaciones homogéneo conformado por todos los vectores de F tiene más de una solución, o bien, la matriz S conformada por los vectores de F no es de rango completo. Análogamente se puede de nir independencia lineal: c c c x 9

31 Independencia lineal: Un conjunto de vectores n-dimensionales F son linealmente independientes entre sí, si la solución al sistema: s x + s x + ::: + s n x n = 0 es única, es decir, la matriz S conformada por los vectores de F es de rango completo. Ejemplo.. (a) Los vectores a = ; b = ; c = son linealmente dependientes ya que c = b + a: (b) Los vectores a = ; b = ; c = son linealmente independientes ya que la matriz compuesta por los vectores a; b; c tiene determinante no nulo... Ejercicios Propuestos. Sume y gra que los siguientes vectores. a) X = 0 ; X = 0 b) X = 0 ; X = 0 0 c) X = 0 ; X = 0 d) X = 0 ; X8 = 0. Multiplique escalarmente y gra que los siguientes vectores. a) X = 0 ; k = b) X = 0 ; k = c) X = 0 ; k = d) X = 0 ; k =. Calcule el producto punto de los siguientes vectores y veri que que se cumpla X 0 Y = (jjx + Y jj jjxjj jjy jj ): a) X = 0 ; X = 0 b) X = 0 ; X = 0 c) X = 0 ; X = 0 0

32 d) X = 0 ; X8 = 0 0. Muestre que los vectores del ejercicio cumplen con la desigualdad de Schwarz y con la del Triángulo. Determine si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes a) X = 0 ; X = 0 b) X = 0 ; X = 0 ; X = 0 c) X = 0 ; X = 0 ; X = 8 0 d) X = 0 ; X = 0 ; X = 0 e) X = 0 ; X = 0 ; X = Espacios, Subespacios y Bases Vectoriales Antes de de nir espacio y subespacio vectorial tenemos que de nir conceptos: Sea F una colección de vectores n-dimensionales, decimos que F está cerrado bajo la suma si para cualquier par de vectores pertenecientes a F se cumple que su suma también pertenece a F. Análogamente F está cerrado bajo la multiplicación escalar si para cualquier vector perteneciente a F y cualquier escalar pertenecientes a los reales su multiplicación también pertenece a F: Dado lo anterior se puede de nir espacio vectorial Espacio Vectorial: Cualquier conjunto de vectores F es un espacio vectorial si F está cerrado bajo la suma y bajo la multiplicación escalar. y análogamente se de ne subespacio vectorial Subespacio Vectorial: Cualquier subconjunto F F es un subespacio vectorial si F está cerrado bajo la suma y bajo la multiplicación escalar.... Sistemas no Homogéneos Un sistema de ecuaciones no homogéneo es de la forma: a x + b x + c x = d a x + b x + c x = d a x + b x + c x = d Donde x ; x y x son las incógnitas y a i ; b i ; c i ; d i para i = ; ; son los coe cientes (valores). Entonces el sistema puede representarse de las siguientes formas:

33 a b c a b c x x = d d ; a b c x d Sx = D Nuevamente la solución será única si S es de rango completo, ya que si se premultiplica por S se obtiene: S Sx = S D x = S D Esta solución es más relevante de lo que parece, no sólo nos ayudará a resolver sistemas de ecuaciones lineales, sino que también signi ca que si la matriz S es de rango completo, entonces siempre podremos encontrar una combinación lineal x de los vectores de S que formen cualquier vector D, es decir, podremos generar cualquier vector en el espacio. Esto nos lleva a otra de nición: Base Vectorial: Un conjunto k de vectores F son una base para el espacio vectorial de k dimensiones F si estos k vectores son linealmente independientes. En otras palabras, si tenemos k vectores pertenecientes a R k linealmente independientes, podemos generar cualquier otro vector perteneciente R k a través de una combinación lineal de estos. 0 0 Ejemplo.8. Los vectores a = 0 ; b = ; c = 0 son base para el espacio 0 0 vectorial R, a su vez los vectores a y b no son base para el espacio vectorial R, pero si x son base para el subespacio de R de la forma y : 0 Vectores Elementales: Los vectores elementales E ; E ; :::; E n son vectores unitarios que sirven como base para R n y son de la siguiente forma: E = [ 0 ::: 0] E = [0 ::: 0]. =.. Ejercicios Propuestos E n = [0 0 ::: ]. Determine la dimensión del espacio vectorial que generan los siguientes conjuntos de vectores. De qué forma son estos espacios? a) X = 0 ; X = 0 b) X = 0 ; X = 0 ; X = 0.

34 c) X = 0 ; X = 0 ; X = 8 0 d) X = 0 ; X = 0 ; X = 0 e) X = 0 ; X = 0 ; X = 0

35 Capítulo La Ecuación Característica de una Matriz.. El Problema de los Valores Característicos En muchas aplicaciones de las matrices a las matemáticas, física y ciencias sociales surge el siguiente problema: Para una matriz cuadrada A de orden n se necesita encontrar los escalares y los vectores no nulos X que satisfagan simultáneamente la siguiente ecuación: AX = X Este sistema de ecuaciones se conoce como el problema de los valores característicos. Para resolver el sistema anterior es conveniente escribirlo de la siguiente forma: (A I)X = 0 lo que corresponde a un sistema de ecuaciones homogéneo con n incógnitas, el cual tendrá soluciones no triviales si el determinante de la matriz de coe cientes es nulo: a a : : : a n a a : : : a n det(a I) =..... = 0. a m a m : : : a mn La expansión de este determinante nos entrega un polinomio de grado n en ; al cual denotamos por '() y lo llamamos polinomio característico de A. La ecuación que corresponde a '() = 0 la llamamos ecuación característica de A.. Vectores y Valores Propios La solución al problema característico está compuesta por elementos:

36 (a) Las n raíces de la ecuación característica: ; ; :::; n : (b) Un vector asociado a cada raíz característica: X ; X ; :::; X n : Para aclarar los conceptos, los términos Valores Propios, Valores Eigen, Valores Característicos y Valores Latentes son iguales. Esto es porque el primer lugar donde se dio nombre al estudio de la ecuación característica fue en Alemania donde a los les llamaron Eigenwert, cuya traducción al ingles fue Proper Values pero, como se verá más adelante, con estos valores podemos caracterizar completamente a una matriz y desde entonces recibieron los nombres de valores característicos. Teorema.. La ecuación AX = X tiene soluciones no triviales si y sólo si es una raíz característica de la ecuación característica de A y la cuál tiene asociado un vector no nulo X con los cuales la ecuación se satisface. Ejemplo.. Analicemos el problema característico de la siguiente matriz: A =, cuya ecuación característica es: '() = det(a I) = = + = 0 y sus soluciones son: ( )( ) = 0 =) = ; = las cuales tienen asociadas los siguientes vectores propios: x x para : AX = X ) = ) x + x = 0 x x x + x = 0 ) podemos apreciar que la primera ecuación es igual a la segunda, entonces: x = x ) X = para : AX = X ) x x = ) x + x = 0 x x x x = 0 nuevamente estas ecuaciones son idénticas, esto siempre sucederá ya que se está cumpliendo el requisito de que (A I) sea singular x = x ) X = ) o cualquier multiplicación escalar de X ; X. Muchos softwares computacionales y libros imponen la pseudo restricción de que la norma sea unitaria (kx i k), así se cierra el problema y se evita de que existan in nitas soluciones para los vectores propios. Además, bajo ciertas condiciones, es una propiedad deseable.

37 Geométricamente, los vectores propios son los únicos que se mantienen invariantes ante el operador lineal A y cualquier otro vector que no sea el propio, se mueve a estos ante el operador lineal A. Para entender esto, vamos a seguir analizando el problema anterior: aplicaremos al operador A al siguiente vector B 0 = [0 ] : 0 = grá camente esto se ve: y 8 x = (; ) x = (0; ) - x Figura.: Transformación A al vector B Como se aprecia, al premultiplicar B por A tuvimos como resultado un vector que se encuentra a la derecha del inicial. Hagamos lo mismo con C 0 = [ 0]: = 0 grá camente se ve: 8 0 y x = (; ) - x = (; 0) - x Figura.: Transformación A al vector C

38 Acá, a diferencia del caso anterior, al premultiplicar C por A el resultado se encuentra a la izquierda del vector original. Entonces deberían existir dos vectores en los cuales, estas fuerzas se anulen y que no se muevan ni a la izquierda ni a la derecha. Repitamos el ejercicio con el vector propio X : = = 8 y 8 X 0 = (; 8) X = (; ) - x Figura.: Transformación A al vector X Se puede apreciar que si se premultiplica X por A, no se desplaza ni a la izquierda ni a la derecha, sino que aumenta en una magnitud igual a su valor propio. Como tarea repite el ejercicio con vector X. Teorema.. Si las raíces de la ecuación característica son distintas, entonces los vectores característicos asociados a cada una de estas raíces son linealmente independientes. Este teorema puede ser intuitivo por la construcción de los vectores propios, pero como podría pensarse, no podemos decir lo contrario. Teorema.. Si las raíces de la ecuación característica no son distintas, entonces los vectores característicos asociados a cada una de estas raíces pueden ser linealmente independientes como linealmente dependientes. Por ejemplo los valores propios de una matriz identidad de orden son = ; = pero cualquier vector puede ser su vector propio... La Matriz Modal La matriz modal es aquella que está compuesta por todos los vectores propios, es decir, es de la forma: M = X X ::: X n

39 si se premultiplica esta matriz por la matriz A obtenemos: AM = AX AX ::: AX n pero por de nición cada uno de los elementos es: AX AX ::: AX n = X X ::: n X n = MD 0 : : : 0 0 : : : 0 donde D es una matriz diagonal de la forma..... ; entonces podemos concluir que. 0 0 : : : n se cumple: AM = MD Esta matriz es de suma utilidad ya que nos permitirá escribir (caracterizar) la matriz original en función de su valores y vectores propios. A esto se conoce como descomposición espectral de un matriz y se deriva postmultiplicando la expresión anterior por M. Para esto tiene que existir M pero se vio que una condición su ciente para que esto se cumpla es que los valores propios sean distintos. A = MDM Ejemplo.. Continuando con el ejemplo anterior podemos decir que la descomposición espectral de A es: 0 = 0.. Aplicaciones de la Descomposición Espectral Todas las aplicaciones que siguen están sujetas a que la matriz modal sea invertible, pero podemos estar tranquilos ya que en econometría la mayoría de las matrices con las cuales se trabajará son simétricas y por lo tanto, se cumple el siguiente teorema: Teorema.. Sea A una matriz simétrica de orden k, entonces A tendrá k vectores propios distintos y ortogonales entre sí, luego la matriz modal de A es siempre invertible.... El Rango de una Matriz Ocupando la descomposición espectral de una matriz y las propiedades del rango se puede llegar a una expresión simpli cada del mismo, lo que queremos es conocer: Rango (A) = Rango (MDM ) como sabemos, M es una matriz cuadrada y suponemos que es de rango completo ya que la podemos invertir, entonces podemos ocupar la propiedad (d) del rango: Rango (A) = Rango (MD) Si además impusimos la condición que kx i k = se puede demostrar que M = M 0. 8

40 ocupando la propiedad (a) y después nuevamente la (d) obtenemos: Rango (A) = Rango (A 0 ) = Rango (D 0 M 0 ) = Rango (D 0 ) = Rango (D) Deducir el rango de D es simple ya que como D es una matriz diagonal el número de las o columnas linealmente independientes será el número de las o de columnas distintas de cero. Teorema.. El rango de un matriz A será el número de valores propios distintos de cero si y sólo si su matriz modal es invertible. Ejemplo.. La matriz A del ejemplo anterior es de rango ya que sus dos raíces ( = ; = ) son distintas de cero.... La Traza de una Matriz Al igual que el rango, se puede encontrar una expresión para la traza de una matriz a través de la descomposición espectral de ésta. Lo que se busca es: ocupando la propiedad cíclica de la traza: tr(a) = tr(mdm ) tr(a) = tr(mdm ) = tr(m MD) = tr(id) = tr(d) dado que D es una matriz diagonal que contiene las raíces de A llegamos el siguiente teorema: Teorema.. La traza de una matriz es igual a la suma de sus raíces características o valores propios. Ejemplo.. La traza de nuestra matriz A es la suma de su diagonal + =, como también la suma de sus raíces + =... El Determinante de una Matriz En este apartado vamos a tratar de encontrar una expresión para el determinante a través de la descomposición espectral. El determinante de A es igual a: jaj = MDM ocupando la propiedad de que el determinante de la multiplicación es igual a la multiplicación de los determinantes: jaj = jmj jdj M como la multiplicación es conmutativa: ocupando la primera propiedad pero al revés: jaj = jmj M jdj jaj = MM jdj = jij jdj como el determinante de la identidad es se tiene que: ny jaj = jdj = i i 9

41 Teorema.. El determinante de una matriz es igual al producto de sus raíces características. Ejemplo.. El determinante de nuestra matriz A es (()() la multiplicación de sus raíces () = :... Potencias de una Matriz ()()) =, y también Debido a lo complejo de los cálculos, una de las aplicaciones más útiles de la descomposición espectral de una matriz es su aplicación a las potencias de una matriz. Lo que queremos es encontrar una expresión para A n, pero partamos encontrando una para A : A = AA = (MDM )(MDM ) = (MDM MDM ) = (MDIDM ) = (MDDM ) = (MD M ) luego es fácil demostrar por inducción que A n = MD n M : Esta expresión es más simple que la original ya que la matriz D n es igual a: n 0 : : : 0 D n 0 n : : : 0 = : : : n n Teorema.8. Para una matriz A, se cumple que A n = MD n M para n perteneciente a todos los números enteros positivos. Se tratará de extender el teorema anterior a los números negativos pero para esto se debe encontrar otro resultado, invirtamos A: A = (MDM ) por propiedades de las matrices inversas se tiene que: A = (M ) D (M) A = MD M el resultado anterior es más importante de lo que parece. La matriz D es de la siguiente forma: = 0 : : : 0 D 0 = : : : 0 = : : : = n podemos darnos cuenta que la inversa de D es simplemente una matriz diagonal con los recíprocos de las raíces características. Esto nos permite obtener la inversa de una matriz a través de la descomposición espectral de una manera fácil y rápida. 0

42 Teorema.9. Si la matriz A existe, entonces sus vectores propios son los mismos que los de A y sus valores propios son los recíprocos de A. Podemos darnos cuenta que si una o más raíces de A son iguales a cero, es decir, A no es de rango completo. Entonces D no estaría de nida y la inversa de A tampoco. Dado el resultado podemos tratar de encontrar una expresión para A n, pero partamos por A : A = A A = (MD M )(MD M ) = (MD M MD M ) = (MD ID M ) = (MD D M ) = (MD M ) luego, nuevamente es fácil demostrar por inducción que A n = MD n M :Extendamos el teorema.8. Teorema.8. Para una matriz A, con inversa de nida, se cumple que A n = MD n M para n perteneciente a cualquier número entero. De la misma forma, se puede pensar que el resultado anterior podría expandirse a potencias con números reales, lo cual no es del todo cierto, ya que, si elevamos un número negativo por, se estará buscando su raíz cuadrada y como se sabe la raíz de un número negativo, no esta de nida. Teorema.. Para una matriz A con raíces características positivas se cumple que A n = MD n M para n perteneciente a cualquier número real. Ejemplo.. Calculemos A y A : (a) A = MD 0 M = 0 0 (b) A = MD M =... Matrices Idempotentes 0 = En el apartado anterior estudiamos las potencias de una matriz y en el que siguiente, aplicaremos lo aprendido a las matrices idempotentes. Las matrices idempotentes son aquellas matrices que cumplen con la siguiente condición A n = A, para entender que implicancia tiene esto en la descomposición espectral de una matriz estudiemos A. A = MD M = : pero si A es idempotente lo que implica que A = MD M MDM = MD M

43 la única forma que se cumpla esto es que k =, es decir, las raíces características de A tienen que ser 0 o. Supongamos que todas las raíces son. A = MIM = MM = I Si las raíces no son todas es decir, son 0 y ocupando la de nición de rango podemos a rmar que A es singular. Teorema.. La única matriz idempotente de rango completo es la matriz identidad. Teorema.. Todas las matrices idempotentes, excepto la matriz identidad, son singulares. Por último, tomando en cuenta que el rango de una matriz son los valores propios distintos de ceros y que en una matriz idempotente sus raíces son 0 o podemos concluir: Teorema.. El rango de una matriz idempotente es igual a la suma de sus raíces características, es decir, es igual a su traza... Ejercicios Propuestos. Dadas las siguientes matrices 0 0 A = ; B = ; C = D = ; F = a) Encuentre la ecuación característica de cada matriz. b) Encuentre los vectores y valores propios de cada una de esas matrices imponiendo la restricción de que kx i k =. c) Encuentre la matriz modal y su inversa para cada una de las matrices. d) Calcule M0M: Usando la descomposición espectral calcule: e) El Rango de todas las matrices. f ) La traza de todas las matrices. g) El determinante de todas las matrices. h) Las potencias de la forma A ; A para todas las matrices.

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45 Capítulo Formas Lineales, Cuadráticas y Cálculo Matricial... Formas lineales Un polinomio lineal homogéneo es un polinomio de grado y se puede representar de la siguiente forma: nx q = a x + a x + ::: + a n x n = a i x i y una representación matricial del mismo sería: i= q = x a a ::: a n. = AX x n donde q, A y X pueden pertenecer a los números reales. Este tipo de notación matricial nos será muy útil en problemas de optimización y en cualquier ámbito donde se manejen muchos polinomios y ecuaciones... Formas Cuadráticas Un polinomio cuadrático homogéneo es un polinomio compuesto de puros términos de grado y se puede representar de la siguiente forma: q = nx j= i= x nx a ij x i x j y se puede expresar a través de matrices de la siguiente forma: q = X 0 AX

46 donde A tiene la propiedad de ser una matriz simétrica y, en general, q puede ser positivo, negativo o cero dependiendo principalmente de los valores que tome X y A: Ejemplo.. Escribamos en forma matricial la siguiente forma cuadrática: q = x + x x x x + 8x x para esto debemos entender la expresión X 0 AX, con tres incógnitas esta es: q = x x x a a a a a a x x a a a = a x + a x + a x + a x x + a x x + x +a x x + a x x + a x x + a x x podemos apreciar que los elementos de la diagonal están al cuadrado y que los elementos de la forma a ij son los coe cientes de los términos de la forma x i x j, dado lo anterior nos es conveniente escribir nuestro polinomio de la siguiente forma: q = x + x x x x x x + x x + x x + 0x x + 0x x luego el polinomio en forma matricial es: q = x x x 0 0 = X 0 0 X 0 x x x Es interesante conocer cuándo el valor q de las formas cuadráticas es siempre positivo o siempre negativo. Esto es posible a pesar de que dependa de A y de X, esto lo logramos estudiando nuevamente la descomposición espectral... Matrices De nidas y Semide nidas Como dijimos en el apartado anterior, queremos saber cuando la forma cuadrática es siempre positiva o siempre negativa pero para esto debemos estudiar la descomposición espectral de A: A = MDM como en una forma cuadrática A es simétrica sabemos, por el teorema., que sus vectores característicos son ortogonales entre sí, además si imponemos la condición de que cada uno de los