Bachillerato. Matemáticas. Ciencias y tecnología

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1 Bachillerato º Matemáticas Ciencias y tecnología

2 Índice Unidad 0 Números reales Evolución histórica Números reales La recta real. Intervalos y entornos Unión e intersección de intervalos Acotación Valor absoluto de un número real Radicales Unidad 0 Sucesiones de números reales. Logaritmos Sucesiones de números reales Operaciones con sucesiones Límite de una sucesión Cálculo de límites de sucesiones El número e Logaritmos Unidad 0 Polinomios Polinomios Operaciones con polinomios Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio Factorización de polinomios Fracciones algebraicas Operaciones con fracciones algebraicas Unidad 04 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado Ecuaciones eponenciales Ecuaciones logarítmicas Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones no lineales Inecuaciones Inecuaciones lineales con una incógnita Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita Inecuaciones lineales con dos incógnitas Otra forma de resolución Unidad 05 Números complejos Números complejos Complejos opuestos y conjugados. Afijo Representación gráfica de un número complejo Operaciones con números complejos en forma binómica Epresiones de un número complejo Operaciones en forma polar y trigonométrica Unidad 06 Razones trigonométricas Definición de las razones trigonométricas Relaciones entre las razones trigonométricas. Razones de algunos ángulos característicos.... Reducción de las razones trigonométricas Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos Razones trigonométricas del ángulo doble y del ángulo mitad Identidades trigonométricas Ecuaciones y sistemas de ecuaciones trigonométricas Unidad 07 Resolución de triángulos Resolución de triángulos rectángulos Teorema de los senos y del coseno Área de un triángulo Resolución de triángulos. Aplicaciones Unidad 08 Vectores en el plano El conjunto R Vectores en el plano Operaciones con vectores Bases de V Producto escalar y ángulo de dos vectores... 5 Unidad 09 La recta en el plano Sistemas de referencia Ecuaciones de la recta Otras ecuaciones de la recta Determinación de una recta. Puntos alineados Posición relativa de dos rectas en el plano Haz de rectas Ángulo de dos rectas Distancias Unidad 0 Cónicas Lugar geométrico. Cónicas La circunferencia

3 . La elipse La hipérbola La parábola Tangentes y normales Unidad Funciones reales de variable real Funciones, tablas y gráficas Dominio y recorrido de una función Simetrías Periodicidad Funciones crecientes y decrecientes Etremos relativos Acotación. Etremos absolutos Operaciones con funciones Composición de funciones. Función inversa. 8 Unidad Funciones elementales Función lineal Funciones cuadráticas k. Funciones del tipo Funciones polinómicas de tercer grado k 5. Funciones del tipo ( a) 6. Funciones eponenciales Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas Funciones definidas a trozos Unidad Límites de funciones. Continuidad Límite de una función en un punto Límites en el infinito Propiedades de los límites Cálculo de límites Indeterminaciones Continuidad de funciones Discontinuidades Unidad 4 Derivada de una función Tasas de variación Derivada de una función en un punto Función derivada Funciones no derivables Monotonía y etremos relativos Unidad 5 Introducción a la integral Primitiva de una función Interpretación geométrica. Propiedades de la integral indefinida Integrales inmediatas Método de integración por descomposición Método de sustitución Área bajo una curva Propiedades de la integral definida Regla de Barrow Cálculo del área de una región plana Unidad 6 Probabilidad Espacio muestral. Espacio de sucesos Probabilidad Probabilidad mediante diagramas de árbol Probabilidad condicionada Independencia de sucesos Probabilidad total Teorema de Bayes Unidad 7 Distribuciones bidimensionales Variable estadística bidimensional Distribuciones marginales y condicionadas Representaciones gráficas Parámetros estadísticos Regresión. Regresión lineal Unidad 8 Distribuciones discretas. Distribución binomial Variable aleatoria Función de probabilidad Función de distribución Parámetros de una variable aleatoria discreta Distribución binomial Unidad 9 Distribuciones continuas. Distribución normal Función de densidad Función de distribución Distribución normal Distribución normal estándar Tipificación de la variable Aproimación de la binomial a la normal TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

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5 045_06_05_U.qp //08 07:56 Página 45 UNIDAD Polinomios Sumario Los polinomios son herramientas matemáticas que se utilizan con frecuencia en diversos campos. Así, para calcular el área o el volumen de un cono, para encontrar el espacio recorrido por un móvil con una velocidad y una aceleración determinadas en función del tiempo, o para hallar los beneficios totales producidos por un capital a cierto interés a lo largo de un determinado período de tiempo se utilizan ciertas epresiones que, en realidad, son polinomios con una o varias variables.. Polinomios.. Operaciones con polinomios.. Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio. 4. Factorización de polinomios. 5. Fracciones algebraicas. 6. Operaciones con fracciones algebraicas.

6 045_06_05_U.qp //08 07:56 Página 46 0 POLINOMIOS. Polinomios Aunque eisten polinomios con varias variables, vamos a estudiar en profundidad aquellos que tienen solo una variable y cuya definición recordarás de cursos anteriores. El coeficiente a 0 recibe el nombre de término independiente. El coeficiente a n se llama coeficiente principal. Se llama polinomio con coeficientes reales en la indeterminada a toda epresión finita de la forma: donde a 0, a, a,... a n y n. P () = a 0 a a... a n n Los números reales a 0, a, a,... a n reciben el nombre de coeficientes del polinomio y cada uno de los sumandos a i i que componen el polinomio se denomina término de grado i. El polinomio cuyos coeficientes son todos nulos se llama polinomio nulo y se denota por 0 () o simplemente por 0. Amplía tus conocimientos En la web materiales_didacticos/polinomios/ inde.htm fmartinez/algebra.htm polinomios.php?a= Se define el grado de un polinomio distinto del nulo como el eponente n de la máima potencia de la indeterminada. s a) P () = 4 5 es un polinomio de tercer grado. b) Q () = 7 es un polinomio constante o de grado 0. c) R () = es un polinomio de grado 4. Si el polinomio tiene dos o más variables, el grado de cada uno de sus términos es la suma de los grados de las variables que intervienen en el término. Así, 5y y 5 es un polinomio con dos variables cuyos tres términos son de grado. Como puedes observar en estos ejemplos, en un polinomio es posible que no aparezcan los términos de algún o algunos grados. Lo que ocurre en esos casos es que el coeficiente correspondiente a ellos es cero y dichos términos no se escriben. Cuando todos los coeficientes del polinomio son no nulos se dice que se trata de un polinomio completo. Según el número de términos que componen un polinomio se establece la siguiente nomenclatura para algunos de ellos: Monomio: si todos los coeficientes son nulos ecepto uno, es decir, que el polinomio está formado por un único término. Binomio: cuando todos los coeficientes son nulos ecepto dos y, por tanto, el polinomio está compuesto por dos términos. Trinomio: cuando todos los coeficientes son nulos ecepto tres y, por tanto, el polinomio está formado por tres términos. Cuatrinomio:cuando todos los coeficientes son nulos ecepto cuatro y, por tanto, el polinomio está compuesto por cuatro términos. 46

7 045_06_05_U.qp //08 07:56 Página 47 POLINOMIOS 0 s Son monomios los polinomios: P () =, Q () = 8 y R () = 6 4 Son binomios los polinomios: P () = 7, Q () = 5 y R () = Son trinomios los polinomios: P () = 5 y Q () = 4 5 Son cuatrinomios los polinomios: P () = y Q () = Se dice que P ( ) y Q ( ) son polinomios iguales si se cumple que: Los dos polinomios tienen el mismo grado. Son iguales entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado de ambos polinomios. Vamos a hallar los valores de a, b y c para que los polinomios P () y Q () siguientes sean iguales: Polinomio opuesto El polinomio opuesto de un polinomio P () es aquel cuyos coeficientes son los opuestos de los coeficientes de P (). Se denota como P (). P () = a 7 Q () = b 7 5 c Para que ambos polinomios tengan el mismo grado es necesario que Q () no tenga término de grado tres y, por tanto, se deduce que b =0. Igualando los coeficientes de los términos de primer grado, se obtiene que a = 5 y, al igualar los términos independientes, deducimos que c =. La indeterminada de un polinomio puede sustituirse por algún valor, dando lugar a la siguiente definición: Dado un polinomio P (), se llama valor numérico del polinomio para = a, y se escribe P (a), al número real que se obtiene al sustituir la variable por el número real a. s a) El valor numérico de P () = 5 6 para = es: P () = 5 6 = 0 b) Si Q () = a 5, hallamos el valor de a sabiendo que Q () =. b) Q () = () () a () 5 = a 5 = 6 a b) Como Q () =, deducimos: 6 a = a= Actividades Clasifica los siguientes polinomios según su grado y según el número de términos que los componen. a) P() = 5 c) Q() = 6 7 b) R() = d) S() = 4 4 Determina los valores de a, b, c y d para que sean iguales los polinomios siguientes: P() = a b y Q () = c 5 d 6 Halla el valor numérico de P () = 5 4 para = y para =. 47

8 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 48 0 POLINOMIOS. Operaciones con polinomios Propiedades de la suma de polinomios Como la definición de la suma de polinomios se basa en la suma de sus coeficientes, que son números reales, verifica las mismas propiedades que la suma de dichos números: conmutativa asociativa elemento neutro elemento opuesto Vamos a recordar las operaciones habituales con polinomios: suma, resta, multiplicación y división... Suma y resta Sumar dos o más polinomios consiste simplemente en agrupar los términos del mismo grado. Dados los polinomios: P() = a 0 a a... a n n y Q() = b 0 b b... b n n se llama suma de P () y Q () al polinomio: P() Q () = (a 0 b 0 ) (a b ) (a b )... (a n b n ) n Como puede observarse, en la definición anterior hemos supuesto que ambos polinomios tienen el mismo grado ya que, en caso contrario, es suficiente con añadir a uno de los polinomios los términos nulos que sean necesarios. Para restar dos polinomios P () y Q () se suma al primero el opuesto del segundo: P () Q () =P () ( Q ()) Sean los polinomios P () = y Q () = Vamos a hallar su suma y su diferencia. P () Q () = (4 ) ( 5) 8 (5 4) 4 = P () Q () = (4 ) ( 5) 8 (5 4) 4 = Multiplicación Para multiplicar dos polinomios nos basamos en el producto de dos monomios, que se efectúa de la forma siguiente: Si a n y b m son dos monomios con coeficientes reales, su producto es el monomio ab n m, teniendo en cuenta el producto de potencias de la misma base. Una forma práctica de realizar la multiplicación de polinomios consiste en ordenar sus términos de mayor a menor grado, elegir como multiplicador el polinomio de menor grado y realizar la operación de forma similar a una multiplicación de números de varias cifras Dados dos polinomios: P() = a 0 a a... a n n y Q () = b 0 b b... b m m se define su producto, y se designa P () Q (), como el polinomio que resulta al sumar los productos de cada monomio de P () por cada monomio de Q (). Si P () = 5 y Q () = 4 5 6, su producto es: P () Q () = 4 ( 5) ( 5) 5 6 = = =

9 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 49 POLINOMIOS 0 También se puede hablar del producto de un número real por un polinomio pero, en realidad, no es más que el producto de dos polinomios, uno de los cuales es un monomio constante... División Igual que ocurre en la división de números reales, la división de polinomios no siempre es eacta, lo que da lugar a la siguiente definición: Dados dos polinomios P ( ) y Q ( ) 0 (), la división de P () entre Q () es el proceso seguido para hallar los únicos polinomios C ( ) y R ( ) tales que: P () = C ( ) Q () R (), con grado (R ()) grado (Q ()) Los polinomios C () y R () reciben los nombres de cociente y resto. Para efectuar la división se realiza el proceso siguiente:. Se ordenan los términos de los polinomios, dividendo y divisor, de mayor a menor grado y se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.. Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el resultado se resta del dividendo, obteniéndose un resto parcial.. Tomando este resto como dividendo se vuelve a repetir el proceso para calcular el segundo término del cociente. Se repite el proceso tantas veces como sea necesario hasta que se obtenga un resto parcial de grado inferior al del divisor. Este último resto parcial es el resto de la división. Propiedades de la multiplicación Teniendo en cuenta las propiedades de la suma y de la multiplicación de números reales, se deduce que el producto de polinomios verifica las propiedades: conmutativa asociativa elemento unidad Si R ( ) = 0 ( ), la división es eacta y se dice que P ( ) es divisible por Q ( ). Vamos a dividir P ( ) = entre Q () = Así, el cociente es C ( ) = y el resto es R ( ) =. Actividades 4 Dados los polinomios: P ( ) = 5 6 4,Q( ) = 7 5 y R ( ) = 5 4 9, efectúa: 5 Efectúa: a) ( ) : ( ) b) ( 4 5 ) : ( ) a) P ( ) Q ( ) R ( ) c) P ( ) Q ( ) b) P( ) Q ( ) R ( ) d) P ( ) 4Q ( ) 7R ( ) 6 Sean P ( ) = 4 a b y Q ( ) =. Calcula a y b para que la división de P ( ) entre Q ( ) sea eacta. 49

10 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 50 0 POLINOMIOS En el dividendo se ordenan sus términos de mayor a menor grado. Si en el dividendo falta el término de algún grado, se pone cero en su lugar correspondiente. Se baja el primer término (a 4 ), que será también el primer término de C ( ). Bajo el segundo término (a ) se sitúa el producto de a b y se suman, obteniendo el término b. El proceso se repite hasta el último término.. Regla de Ruffini. Raíces de un polinomio Si en una división de polinomios el divisor es de la forma ( a), siendo a un número real, se puede utilizar un método para efectuar la división conocido como regla de Ruffini. Para mostrar su mecanismo de una forma más clara vamos a suponer que tenemos los polinomios P ( ) = a 4 4 a a a a 0 y Q ( ) = a. El procedimiento será el mismo para cualquier grado de P ( ). a 4 a a a a 0 a a b a b a b a b 0 a 4 = b a a b = b a a b = b a a b = b 0 a 0 a b 0 = R De aquí se obtiene que el cociente es el polinomio C ( ) = b b b b 0 y que el resto de la división es R. El cociente resulta ser de grado inferior en una unidad al del polinomio dividendo, ya que el divisor es de grado uno, y, por tanto, también se deduce que el resto debe ser de grado cero o constante. Vamos a dividir P ( ) = entre Q ( ) = Así, el cociente es C ( ) = y el resto es R = 4. Para dividir un polinomio P ( ) cualquiera entre uno de la forma Q ( ) = a, también se puede utilizar la regla de Ruffini, teniendo en cuenta que a = ( a). Vamos a dividir P ( ) = entre Q ( ) = Así, el cociente es C ( ) = y el resto es R = 484. En relación con la regla de Ruffini, eiste un importante teorema que mostramos a continuación. Teorema del resto:el resto R de la división de un polinomio P ( ) entre Q ( ) = a coincide con el valor numérico de P ( ) para = a. En efecto, si al efectuar la regla de Ruffini obtenemos que C ( ) es el cociente de la división y que R es el resto, se deduce que: P ( ) = C ( ) ( a) R Y, sustituyendo la variable por a, se tiene que: P (a) = C (a) (a a) R = C (a) 0 R = 0 R = R 50

11 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 5 POLINOMIOS 0 Un número real r es una raíz de un polinomio P () si el valor numérico del polinomio para = r es cero. r es raíz de P () P (r ) = 0 Vamos a calcular el valor de a para que r = sea raíz del polinomio P ( ) = a 4 a. r = es raíz de P () P () = 0 a 4 a = 0 a = Raíces múltiples Si P ( ) tiene p raíces iguales a r, se dice que r es una raíz múltiple de orden p (en particular, si p toma el valor, diremos que r es una raíz doble). Para calcular las raíces enteras de un polinomio cuyos coeficientes son enteros, tendremos en cuenta que dichas raíces se encuentran entre los divisores del término independiente. En efecto, supongamos que P () = a 0 a a... a n n tiene coeficientes enteros y que r es una raíz de este polinomio. P (r) = a 0 a r a r... a n r n =0 a 0 r (a a r... a n r n ) = 0 Despejamos el término independiente: a 0 = r (a a r... a n r n ) r =(a a r... a n r n ) Al ser los coeficientes de P ( ) y r números enteros, también lo es a a r... a n r n y, por tanto, r divide a a 0. Además, ya sabemos que al aplicar la regla de Ruffini para dividir un polinomio P () entre ( a), el resto de la división coincide con P (a). Luego, si r es una raíz de P () y dividimos este polinomio entre ( r), el resto de la división será cero. a 0 Si P () =, sus raíces enteras serán divisores de y, por tanto, pueden estar entre los valores,. Al hacer por el método de Ruffini las divisiones de P ( ) entre ( ) y entre ( ), en ambas se obtiene de resto cero y, de esta forma, deducimos que las raíces de P () son y. Como consecuencia de lo anterior, deducimos: Si r es una raíz de P ( ), este polinomio será divisible por ( r). Efectivamente, dividiendo el polinomio entre ( r) y, aplicando la prueba de la división, obtenemos: P() = ( r) C () R y R = P (r) = 0, por ser r raíz de P () P() = ( r) C () Actividades 7 8 Divide P ( ) = entre: a) 5 b) Utilizando el teorema del resto, halla el valor numérico del polinomio de la actividad anterior para: a) = b) = 4 9 Encuentra las raíces de los polinomios: a) P () = 4 0 b) P () = Halla el valor de a para que P ( ) = a 4 a sea divisible por ( ). 5

12 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 5 0 POLINOMIOS Si r es una raíz múltiple de orden p de un polinomio, en la factorización del polinomio aparece el factor ( r ) p. 4. Factorización de polinomios Si r es una raíz de P ( ), este polinomio será divisible por ( r). Pero, al mismo tiempo, es posible que C ( ) tenga más raíces, con lo que puede descomponerse en más factores de la misma forma que P ( ) y, así sucesivamente, podemos generalizar la siguiente consecuencia: Si un polinomio P ( ) = a 0 a a... a n n, de grado n, admite n raíces reales r, r,..., r n, se descompone de forma única como el producto: P ( ) = a n ( r ) ( r )... ( r n ) Vamos a buscar la descomposición factorial del polinomio: P() = Como el término independiente es 0 probamos a buscar las raíces entre sus divisores, y empezamos por, como se muestra en el margen. Como el resto no es cero, no es raíz y probamos con otros divisores de 0: Obtenemos que sí es una de las raíces de P (). Para hallar otra raíz, aplicamos la regla de Ruffini al cociente de la división anterior y así sucesivamente: Podemos seguir aplicando el mismo procedimiento o, directamente, podemos resolver la ecuación 9 0 = 0. En cualquier caso se obtienen otras dos raíces que son 4 y 5. Se concluye que las raíces de P ( ) son,,, 4 y 5, y como el coeficiente principal es, la factorización del polinomio es: P ( ) = ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 5) Cuando no todas las raíces de un polinomio son reales, no podemos descomponerlo en factores lineales (o de grado ). Si intentamos factorizar P ()= 4, se obtienen como raíces y, y queda como cociente, tras las dos divisiones: = ( ), que no tiene raíces reales. Así, podemos factorizar P ( ) como: P ( ) = ( ) ( ) ( ) Actividades Factoriza los siguientes polinomios: a) P ( ) = 4 0 c) P ( ) = 4 e) P ( ) = 8 8 b) P ( ) = d) P ( ) = f) P ( ) = 9 6 5

13 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 5 POLINOMIOS 0 5. Fracciones algebraicas La división entre dos polinomios no siempre es eacta y, por tanto, el cociente de dos polinomios no siempre es otro polinomio. En este hecho basamos la siguiente definición: P() Se llama fracción algebraica a toda epresión de la forma, donde P ( ) y Q ( ) son Q() polinomios con coeficientes reales, y Q ( ) es distinto del polinomio nulo. Son fracciones algebraicas:, 7 6 y y no son fracciones algebraicas ya que el de- 0 0 nominador es nulo. Entre las fracciones algebraicas se puede definir la siguiente relación: P() R() Dos fracciones algebraicas y son equivalentes si los productos P ( ) S ( ) y Q() S() Q ( ) R ( ) son iguales. Lo escribimos: P() Q() R() = P() S () = Q () R () S() Las fracciones algebraicas y son equivalentes pues se cumple que ( ) = ( ) ( ). Las fracciones algebraicas verifican una importante propiedad, que estudiamos a continuación. Si se multiplican el numerador y el denominador de una fracción algebraica por un mismo polinomio, distinto del nulo, resulta una fracción algebraica equivalente a la inicial. P() En efecto, si consideramos la fracción algebraica y un polinomio no nulo R ( ), se cumple Q() que P ( ) Q ( ) R ( ) = Q ( ) P( ) R( ), al ser conmutativa la multiplicación de polinomios, P() P() R () y, por tanto, son equivalentes las fracciones y. Q() Q() R () Esta propiedad nos permite simplificar una fracción algebraica, dividiendo el numerador y el denominador entre un polinomio que sea factor común de los dos. Actividades Comprueba si son equivalentes a) y 4 b) y Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) b)

14 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 54 0 POLINOMIOS 6. Operaciones con fracciones algebraicas Vamos a estudiar las operaciones con fracciones algebraicas. Para la suma y la resta necesitamos, previamente, saber reducir a común denominador dos o más fracciones algebraicas. Dadas dos fracciones algebraicas, siempre eisten otras dos fracciones equivalentes a ellas que tienen el mismo denominador. P() R() P() S () R () Q () En efecto, si tenemos y, las fracciones algebraicas y tienen Q() S() Q() S () S () Q () el mismo denominador y son equivalentes a las iniciales. Además, podemos conseguir dos fracciones equivalentes cuyo denominador sea el mínimo común múltiplo de sus denominadores. Vamos a reducir a común denominador y En primer lugar, hacemos la descomposición factorial de sus denominadores: 5 5 = y = 6 6 ( ) ( ) 6 ( ) El m.c.m. de sus denominadores es: ( ) ( ) = Dividiendo este mínimo común múltiplo entre cada uno de los denominadores, y multiplicando el resultado obtenido por el numerador correspondiente, obtenemos: ( ) = = ( ) 0 0 = = Suma y resta Propiedades de la suma de fracciones algebraicas Debido a las propiedades de las operaciones de polinomios, la suma de fracciones algebraicas cumple las propiedades: conmutativa asociativa elemento neutro elemento opuesto P() R() Dadas dos fracciones algebraicas y, su suma es: Q() Q() P() R() P() R () = Q() Q() Q() Si las fracciones algebraicas tienen denominadores distintos las reducimos a denominador común y, posteriormente, las sumamos según la definición anterior = = La resta de dos fracciones algebraicas es, realmente, una suma. P() Q() R() P() = R() S() Q() S() 54

15 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 55 POLINOMIOS Multiplicación P() R() Dadas dos fracciones algebraicas y, su producto es: Q() S() 5 P() Q() R() = S() P() R () Q() S () (5 ) = = ( ) ( ) 5 6 Propiedades de la multiplicación de fracciones algebraicas La multiplicación de fracciones algebraicas cumple las propiedades: conmutativa asociativa elemento unidad elemento inverso P() P() Dada la fracción algebraica con P () 0, llamamos fracción inversa de a la fracción algebraica. Q() Q() Q() P() Utilizando la definición del producto, se deduce que todas las fracciones algebraicas, ecepto las que tienen como numerador el polinomio nulo, tienen una inversa. P() P() Q() P() Q () En efecto, dada, con P () 0, se cumple que: = =. Q() Q() P() Q() P () 6.. División Teniendo en cuenta la definición anterior de la inversa de una fracción algebraica, se define el cociente de dos fracciones algebraicas como el producto de la primera de ellas por la inversa de la segunda, por lo que para poder efectuarlo es necesario que esta última no tenga como numerador el polinomio nulo. P() R() Dadas dos fracciones algebraicas y, con R () no nulo, su cociente es: Q() S() P() Q() R() P() S() : = = S() Q() R() P() S () Q() R () 5 : 5 = = 5 6 Actividades 4 Efectúa las siguientes operaciones: 8 a) 5 9 b) c) d) 5 7 e) 8 :

16 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 56 0 POLINOMIOS Actividades resueltas 56 Dados los polinomios P ( ) = 4 a 5 6 y Q () = 4 6 5b 6: a) Determina los valores de a y b para que los polinomios sean iguales. 4 Utilizando el teorema del resto, halla el valor numérico del polinomio P () = 4 6, para =. El valor numérico P () coincide con el resto de la división de P ( ) entre. Realizamos la división por el método de Ruffini: b) Halla el valor numérico de P ( ) para =, si a tiene el 0 6 valor obtenido en el apartado anterior. 5 4 a) P ( ) = Q ( ) a = 6 y 5 = 5b a = y b = Por tanto, resulta que P () = 0. b) P ( ) = 4 ( ) 6 ( ) 5 ( ) 6 = 9 Calcula los valores de a y b para que sea eacta la división ( a b) : ( ). 5 Encuentra las raíces del polinomio P () = 4 0. Las raíces enteras del polinomio serán divisores de 0 y, por tanto, pueden estar entre los valores ±, ±, ±, ± 5, ± 6, ± 0, ± 5 y ± a b 5 4 Aplicamos el método de Ruffini: a (a ) b (a ) b 0 El resto es (a ) b y, para que la división sea eacta, el valor del resto debe ser nulo. a = 0 y b = 0 a = y b = Por tanto, los valores son a = y b =. Utiliza la regla de Ruffini para dividir el polinomio P ( ) = 4 6 entre Q ( ) =. Aplicando la prueba de la división, llamamos C ( ) y R ( ) al cociente y al resto, respectivamente, y se deduce que: 4 6 = ( ) C ( ) R ( ) Así, las raíces del polinomio P ( ) son =, = 5 y = 6. 6 Halla el valor de a para que P () = 6 a 8 6a sea divisible por ( ). Para que P ( ) sea divisible por ( ), el resto de la división ha de ser cero. Aplicando el teorema del resto, se deduce que el valor numérico del polinomio para = debe ser cero. P () = 6 a 8 6a = a 6 6a = 0 a = a = 6 Sacamos factor común : 7 Halla m y n para que P () = 4 m n 0 sea = C ( ) R () divisible por ( ) y ( 4). Para que sea divisible por ( ) y ( 4) debe cumplirse que P () = 0 Simplificamos, dividiendo los miembros de la igualdad anterior entre : y P ( 4) = 0, respectivamente. Por tanto: = C() R () 4 m n 0 = 0 ( 4) 4 ( 4) m ( 4) n ( 4) 0 = 0 Así, si dividimos entre, aplicando la regla de Efectuando las operaciones en las dos ecuaciones anteriores, se obtiene el sistema de ecuaciones lineales siguiente: Ruffini, el cociente de esta división coincide con el cociente de la división inicial, y su resto hay que multiplicarlo por para obtener el resto m n = 6 de la división inicial. m = 48m n = 44 y n = 5 0 Así, el cociente de la división de P ( ) entre Q ( ) es C ( ) = y el resto es R ( ) = =. 8 Escribe una fracción polinómica equivalente a denominador sea. Factorizamos el nuevo denominador: = ( ) ( ) De esta forma, se deduce que: 5 = ( 5) ( ) = ( ) ( ) 5, cuyo

17 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 57 9 Factoriza el polinomio P () = 7 7. Aplicamos la regla de Ruffini: Reduce a común denominador las siguientes fracciones algebraicas: 7 7, y Factorizamos los denominadores de las fracciones para calcular su mínimo común múltiplo: = ( ) 6 0 Como las raíces del polinomio son, y 6, su factorización es: 4 = ( ) ( ) = ( ) 0 P ( ) = ( ) ( ) ( 6) Halla un polinomio cuyas raíces sean, y, y cuyo término independiente es 8. Para que sus raíces sean, y, el polinomio debe ser múltiplo de: Es decir, el polinomio es: ( ) ( ) ( ) P ( ) = a ( ) ( ) ( ) = a ( 4 6) = = a 4a a 6a Si su término independiente es 8, se deduce que el valor de a es: 6a = 8 a = Por tanto, el polinomio es P ( ) = 8. Calcula el máimo común divisor y el mínimo común múltiplo de P () = y Q () = Al factorizar los dos polinomios, se obtiene que: P ( ) = ( ) ( ) ( ) Q ( ) = ( ) ( ) ( ) m.c.d. (P ( ), Q ( )) = ( ) ( ) = m.c.m. (P ( ), Q ( )) = ( ) ( ) ( ) ( ) = = La ecuación del movimiento de un móvil es E (t ) = t 6t 8, siendo t el tiempo (en segundos) y E (t ) el espacio recorrido (en metros). a) Qué espacio habrá recorrido a los 0 segundos? b) Cuánto tiempo debe transcurrir para que recorra 88 metros? a) El espacio recorrido es el valor numérico de E (t ) para t = 0: E (0) = = 48 metros b) El tiempo que debe transcurrir es el valor de t, siendo E (t ) = 88: E (t ) = 88 t 6t 8 = 88 t 6t 80 = 0 t = 0 o t = 4 Como el tiempo no puede ser un valor negativo, es necesario que transcurran 0 segundos. 4 Así, el mínimo común múltiplo de los denominadores es: m.c.m. = ( ) ( ) Así, obtenemos las fracciones equivalentes a las dadas y con denominador común: 4 4 = ( ) = ( ) ( ) = ( )( ) = ( ) ( ) = ( )( ) = ( ) ( ) Efectúa la siguiente operación con fracciones algebraicas: Aplicamos la propiedad distributiva: ( ) ( ) ( ) (4 5) ( ) ( ) Factorizamos los denominadores de las fracciones para calcular su mínimo común múltiplo: 5 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Así, el mínimo común múltiplo de los denominadores es: ( ) ( ) ( ) Obtenemos fracciones equivalentes a las dadas y con denominador común: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y operamos: ( 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) ( 4 5 0) (6 ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( 7) ( ) ( 4) ( ) ( ) ( ) = 57

18 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 58 0 POLINOMIOS Actividades propuestas Cuestiones Si P ( ) = n 5 y Q ( ) = 4 6, di para qué valores de n se verifica que: a) P ( ) Q ( ) es un polinomio de grado 6. b) P ( ) Q ( ) es un polinomio de grado 0. Se sabe que la suma de los coeficientes de un polinomio es 8. Puede dicho polinomio ser divisible por ( )? Si P ( ) = a b c 4 tiene una raiz entera r, podemos afirmar que r es un divisor de? Si M ( ) = es el máimo común divisor de dos polinomios P ( ) y Q ( ), podemos afirmar que ambos polinomios son divisibles por ( ) y por ( )? Si M ( ) = ( ) ( ) ( ) es el mínimo común múltiplo de dos polinomios P ( ) y Q ( ), podemos afirmar que ambos polinomios son divisibles por ( )? Y que al menos uno de los polinomios lo es? Completa la siguiente tabla: Grado de P ( ) Grado de Q ( ) Grado de P ( ) Q ( ) Escribe la factorización de un polinomio que tenga por raíces, y 4 y tal que al dividirlo entre ( ) el resto de la división sea 6. Si el valor numérico de un polinomio P ( ) para = 5 es cero, di cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas. a) P ( ) es divisible por ( 5). b) P (5) = 5 c) P (5) = 0 d) En la descomposición de P ( ) aparece el factor ( 5). Actividades Clasifica los siguientes polinomios según su grado. a) P( ) = 5 b) Q( ) = c) R( ) = Determina los valores de a, b, c y d para que los polinomios sean iguales. P ( ) = 5 b d 5 Q ( ) = a 5 c Halla el valor numérico de P ( ) = 5 7 8, para = y para =. Calcula el valor numérico de P ( ) = 6 para: a) = b) = 0 c) = Sabiendo que el valor numérico de P ( ) = a 6 para = es 4, calcula el valor de a. Dados P ( ) = 5 6, Q ( ) = y R ( ) = , efectúa las siguientes operaciones: a) P ( ) Q ( ) d) P( ) ( R ( )) b) P ( ) R ( ) Q ( ) e) P ( ) Q ( ) R ( ) c) P ( ) Q ( ) f) (P ( )) 5 R ( ) Dados los polinomios: P ( ) = a b 5 Q ( ) = c b R ( ) = b d calcula los valores de a, b, c y d para que se cumpla que P ( ) Q ( ) = R ( ). Sean los polinomios: P ( ) =, Q ( ) = 5 y R ( ) = 5 calcula estas operaciones: a) P ( ) Q ( ) R ( ) c) Q ( ) P ( ) R ( ) b) P ( ) R ( ) d) P ( ) Q ( ) R ( ) P ( ) Halla los valores de a y b para que: (a ) ( b) = 6 Efectúa las siguientes divisiones: a) ( 4 6 ) : ( 4) b) ( 5 7 ):( ) c) ( 4 5 ) : ( ) d) ( ) : ( ) e) (6 4 ) : ( ) Determina el cociente y el resto en las siguientes divisiones entre polinomios: a) ( ) : ( 5) b) (9 4 7 ) : ( ) c) ( ) : ( ) d) ( ) : ( ) 58

19 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 59 POLINOMIOS 0 0 Sean los polinomios: 8 Encuentra las raíces enteras de P ( ) = P() = Q() = 4 5 calcula P ( ) Q ( ), P ( ) Q ( ) y P ( ) : Q ( ). Encuentra los valores de a y b, para que la división entre los polinomios sea eacta. ( a b) : ( ) Realiza las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini. a) ( 4 ) : ( ) b) ( 4 ) : ( ) c) (5 4 ) : ( ) d) ( ) : ( ) e) ( 4 6) : Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones: a) ( ) : ( ) b) (6 4 6) : ( ) Efectúa las divisiones mediante la regla de Ruffini. a) ( 6 4 ) : ( ) b) ( ) : ( 4) c) ( 4 6) : ( 5) d) (4 4 8 ) : ( ) e) (6 9 ) : ( ) f) ( 4 4 ) : (4 ) Utilizando la regla de Ruffini, calcula el valor numérico del polinomio P ( ) = 5 4 para =, = y = 4. Mediante el teorema del resto, calcula el valor numérico del polinomio P ( ) = 5 7 para: a) = c) = b) = d) = Averigua cuáles de los siguientes valores son raíces del polinomio P ( ) = 4. a) = c) = b) = d) = Efectúa las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini. a) ( ) : ( ) b) (0 5 ) : (5 ) Halla las raíces de los siguientes polinomios: a) P ( ) = 0 4 b) Q ( ) = c) R ( ) = d) S ( ) = 7 7 Factoriza los siguientes polinomios: a) 8 8 b) 6 6 c) d) Factoriza los siguientes polinomios: a) P ( ) = b) P ( ) = c) P ( ) = d) P ( ) = e) P ( ) = f) P ( ) = Halla un polinomio cuyas raíces sean,, y 0. Encuentra un polinomio cuyas raíces sean 5, y, y el coeficiente del término de mayor grado sea. Halla un polinomio cuyas raíces sean,, y 4, y con término independiente. Calcula el máimo común divisor de los siguientes polinomios: a) P ( ) = y Q ( ) = b) P ( ) = 6 y Q ( ) = Calcula el máimo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios: P ( ) = Q ( ) = Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios: a) P ( ) = y Q ( ) = 6 b) P ( ) = Q( ) = Actividades propuestas 59

20 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 60 0 POLINOMIOS Actividades propuestas 9 Calcula el máimo común divisor y el mínimo común múltiplo 46 Sean las fracciones algebraicas: de los siguientes polinomios: A =, B = y C = a) P ( ) = Q ( ) = b) P ( ) = Q ( ) = c) P ( ) = Q ( )= 4 6 efectúa las siguientes operaciones: a) A B C b) A B C c) A C d) A : B e) (A B C) B f) (A B C) : C d) P ( ) = Q ( ) = Determina si son equivalentes las fracciones algebraicas: a) 5 0 y b) 8 y 4 9 Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones algebraicas: a) y 4 4 b) y 4 6 Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas:, 4 y Reduce a común denominador estas fracciones algebraicas:, 4 y Realiza las operaciones, simplificando el resultado. a) 4 4 b) c) d) 4 4 : Sean las fracciones algebraicas: A = 5 8, B = y C = calcula: a) A B d) B : C b) A B C e) (A B) C c) A B f) (A B C) : B Problemas Si P ( ) = 7 a ( a) (5 a), halla el valor de a para que el grado de P ( ) sea: a) Dos. b) Tres. c) Uno. Si P ( ) = 5 a 5 9 y sabiendo que su valor numérico para = es 5, calcula el valor de a. Encuentra un polinomio P ( ) de segundo grado si se sabe que el coeficiente del término de primer grado es dos unidades mayor que el del término de segundo grado; el valor numérico para = 0 es 6 y P () = 4. Si tenemos los polinomios P ( ) = a, Q( ) = b 5 6 y R ( ) = 6 c d. Encuentra los valores de a, b, c y d para que se cumpla que P ( ) Q ( ) = R ( ). El número de alumnos matriculados en un instituto entre 00 y 008 viene dado por el polinomio P ( ) = , siendo el año correspondiente. Determina el número de alumnos matriculados en los años 005 y 006, en dicho centro. 5 Un fabricante de bisutería sabe que el coste de fabricar una determinada pieza viene dado por C ( ) = 0,0 0,5 0, euros, siendo los gramos de resina que necesita. Si sabe que el precio al que puede vender cada una de esas piezas viene dado por P ( ) = 0, 0, euros, epresa en forma de polinomio los beneficios que obtendrá por la venta de una pieza. 60

21 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 6 POLINOMIOS 0 5 Halla, si eiste, el valor de a para que se cumpla la igualdad: 7 Los beneficios diarios de producción, en euros, en una fábrica de piezas de madera vienen dados por el polinomio ( ) ( a) = ( ) (a 6) P ( ) = 80, siendo el número de piezas fabricadas. 54 Determina un polinomio de primer grado P ( ) que cumple que: a) Qué beneficio se obtiene un día que produce 50 piezas? ( ) P ( ) 5 = 4 8 b) Factoriza el polinomio. 55 Si P ( ) = a b, calcula el cuadrado y el cubo de P ( ). c) Utilizando la factorización anterior, deduce cuál es el número mínimo de piezas que deben fabricarse en un día para 56 Demuestra que el polinomio P ( ) = no es divisible por ningún polinomio de primer grado. que los beneficios sean positivos, es decir, para que eistan ganancias. 57 Si P ( ) = a 5 a 8 y el valor numérico del polinomio para = es, calcula el valor de a. 7 Descompón en factores P ( ) = 4 a 4, sabiendo que r = es una raíz. 58 Encuentra el valor de a para que P ( ) = 4 sea divisible por Q ( ) = a. 59 Calcula a para que el polinomio P ( ) = a sea divisible por Q ( ) =. 60 Sin efectuar ninguna división, halla el valor de a para que P ( ) = a sea divisible por Q ( ) =. 6 Encuentra para qué valor de a P ( ) = a 6 es divisible por Q ( ) =, sin hacer la división. 6 Halla los valores de a y b para que el polinomio P ( ) = a 6 b sea divisible por ( ) y por ( ). 6 Para qué valores de a y b es el polinomio P ( ) = a b a divisible por ( ) y por ( 4)? 64 Sin efectuar ninguna división, calcula el valor de a para que el polinomio P ( ) = 4 a sea divisible por ( ). 65 Sin efectuar ninguna división, calcula los valores de a y b para que el polinomio P ( ) = a 4 b sea divisible por ( ) y por ( ). 66 Halla los valores de a y b para que el polinomio P ( ) = b 4 b a a sea divisible por ( ) y que = sea una raíz de P ( ). 67 Halla un polinomio de segundo grado cuyo término independiente es, sabiendo que los restos que se obtienen al dividirlo por ( ) y por ( ) son 7 y 7, respectivamente. 68 Encuentra un polinomio de segundo grado, P ( ), sabiendo que el coeficiente del término de primer grado es el doble del coeficiente del término de segundo grado, y que, además, P () = 9 y P ( ) =. 69 Demuestra que si P ( ) y Q ( ) son divisibles por R ( ), entonces también lo es el polinomio P ( ) Q ( ). 70 Calcula a y b para que P ( ) = a b 6 sea divisible por ( ) y por ( ) Halla un polinomio de segundo grado tal que al elevarlo al cuadrado se obtenga P ( ) = Calcula el valor de a para que sean equivalentes las fracciones algebraicas y 0 a Demuestra que si A() es equivalente a C(), y esta última B () D () es equivalente a E(), entonces A() es equivalente a E(). F () B () F () Efectúa las siguientes operaciones: a) b) 4 5 c) d) 5 4 Calcula el valor de a para que se cumpla la igualdad: a a (a ) 6 7 ( ) ( ) 6 Encuentra los valores de a para los que es irreducible, en cada apartado, la fracción algebraica. a) (a ) a b) 4 4a 6 6 c) (a ) 4a 4 Calcula los valores de a y b para que se cumpla la igualdad: a b = Actividades propuestas 6

22 045_06_05_U.qp //08 07:57 Página 6 0 POLINOMIOS NUEVAS TECNOLOGÍAS Vamos a ver cómo podemos trabajar los polinomios con el programa Derive. Producto de P ()= 4 y Q ()= 4 Pulsa en, escribe P ( ) : = 4 y pulsa en Intro. Repite la operación para Q ( ) : = 4. De nuevo, pulsa en, escribe P ( ) Q ( ) y pulsa Intro. Selecciona en el menú principal la opción Simplificar y, después, Epandir. Aparecerá la siguiente ventana: Descomposición de P ()= 9 0 Pulsa en, escribe el polinomio P ( ) y pulsa en Intro. En la línea de menú principal escoge la opción Simplificar y, a continuación, Epandir. Aparecerá esta pantalla: Comprueba que la variable es y pulsa en Factorizar. Obtendrás ( ) ( 4) ( 5), que es el resultado de la factorización. Comprueba que la variable es y pulsa en Epandir. Obtendrás el producto de P ( ) y Q ( ), que es: Pulsa en Cociente de los polinomios anteriores, escribe quotient(q(),p()), y pulsa en Intro. Pulsa en y obtendrás 6, que es el cociente de efectuar la división de Q ( ) entre P ( ). Ahora, pulsa en, escribe remainder(q(),p()), y pulsa en Intro. Pulsa en y obtendrás 88 88, que es el resto de efectuar la división de Q ( ) entre P ( ). Otra forma de efectuar la división es: Pulsa en, escribe Q( )/P( ) y pulsa en Intro. Escoge en la línea de menú principal la opción Simplificar y, después, Epandir. En la ventana que aparece pulsa Epandir y así obtienes la epresión: (88/( 4)) 6. Como puedes observar, al hallar el cociente y el resto por separado, las soluciones son más claras. 4 Máimo común divisor de dos polinomios Sean P ( ) = y Q ( ) =. Pulsa en y define los polinomios P ( ) y Q ( ). Pulsa en, escribe Poly_gcd(P(), Q()) y pulsa en Intro. Selecciona en el menú principal la opción Simplificar y, después, Epandir. Así obtendrás, que es el polinomio máimo común divisor de P ( ) y Q ( ). Para obtener este resultado factorizado, pulsa en la opción Simplificar y, a continuación, Factorizar. En la pantalla emergente pulsa de nuevo en Factorizar. PRACTICA TÚ Dados los polinomios P ( ) = 6 5 4, Q ( ) = 5 6 y R ( ) = , efectúa las siguientes operaciones: a) P ( ) Q ( ) d) P ( ) Q ( ) R ( ) b) P ( ) R ( ) Q ( ) e) P ( ) Q ( ) c) P ( ) R ( ) Q ( ) f) P ( ) ( R ( )) Factoriza los siguientes polinomios y encuentra su máimo común divisor. a) P ( )= 8 8 b) P ( )= 6 6 6

23 06_090_05_U4.qp //08 07:57 Página 6 UNIDAD Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Sumario Se denomina Álgebra a la parte de las Matemáticas que se dedica, en sus aspectos más elementales, a resolver ecuaciones, inecuaciones, sistemas de ecuaciones y sistemas de inecuaciones. Es muy importante tener en cuenta que en cada ecuación o inecuación es posible la eistencia de una situación real (física, económica, geométrica, etc.), cuyo comportamiento queda perfectamente descrito por dichas epresiones. Los algoritmos de resolución de ecuaciones e inecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la Historia. El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes, y se conoce la eistencia de problemas resueltos, por procedimientos algebraicos, que datan del año 900 a.c.. Ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado.. Ecuaciones eponenciales.. Ecuaciones logarítmicas. 4. Sistemas de ecuaciones lineales. 5. Sistemas de ecuaciones no lineales. 6. Inecuaciones. 7. Inecuaciones lineales con una incógnita. 8. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita. 9. Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. 0. Inecuaciones lineales con dos incógnitas.. Otra forma de resolución.

24 06_090_05_U4.qp //08 07:57 Página Y SISTEMAS. Ecuaciones polinómicas de primer y segundo grado Cualquier ecuación lineal o de primer grado con una incógnita se puede transformar hasta obtener una ecuación equivalente, de la forma: a b = 0 con a 0 Algoritmo es cualquier procedimiento sistemático de cálculo con el que se halla el resultado deseado. Este término proviene del nombre Al-Jwarizmi, matemático árabe del siglo IX. a b = 0 a b b = 0 b a = b a 0, a = b a a Y = b a Observa que Las transformaciones que se realizan a la ecuación inicial para obtener una epresión de este tipo se basan en las reglas siguientes: Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma epresión algebraica, la ecuación que obtenemos es equivalente. Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por un número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Estas transformaciones también se utilizan para resolver ecuaciones; así, la solución de cualquier a ecuación del tipo a b = 0, con a 0; es: =, como puedes ver al margen. b Resolvamos la ecuación 7 = 5 4. Sumamos 5 a los dos miembros: 7 5 = = 4 Sumamos a los dos miembros: = 4 = 7 Multiplicamos por los dos miembros: = 7 = 7 El proceso seguido anteriormente es el método algebraico de resolución de ecuaciones lineales. Pero también es posible resolver este tipo de ecuaciones gráficamente. Para ello, dada la ecuación a b = 0, consideramos la función y = a b, que es una función lineal cuya representación gráfica es una recta. La intersección de esta recta con el eje de abscisas nos da el punto en el cual la ordenada y toma el valor cero. El valor de la abscisa de dicho punto es la solución de la ecuación. Si queremos resolver gráficamente la ecuación = 0, consideramos la función y =, y la representamos en los ejes cartesianos. En la gráfica que aparece en el margen, se observa que el punto de intersección de la recta con el eje de abscisas es (, 0); así, la solución de la ecuación es =. 0 5 X Dada cualquier ecuación de segundo grado con una incógnita, y efectuando las mismas transformaciones que ya se han mencionado en la resolución de ecuaciones lineales, puede obtenerse otra ecuación equivalente de la forma: a b c = 0, donde a, b, c y a 0. Las soluciones de este tipo de ecuaciones se obtienen mediante la fórmula: = b ± b 4ac a 64

25 06_090_05_U4.qp //08 07:57 Página 65 Y SISTEMAS 04 La epresión = b 4ac se llama discriminante de la ecuación, y determina la naturaleza de sus soluciones: Si 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Si = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales a: = b (raíz doble). a Si 0, la ecuación no tiene solución en el campo de los números reales, porque en no eiste la raíz cuadrada de un número negativo. b ± b Resolvamos 5 6 = 0 = 4ac 5 ± ± = = = a = Recuerda que Si y son las soluciones de la ecuación a b c = 0, se cumple: = b a = c a Al igual que en las ecuaciones lineales, para resolver gráficamente la ecuación a b c = 0 consideramos la función y = a b c, cuya gráfica es una parábola. Los puntos de intersección de esta con el eje de abscisas serán de la forma (, 0) y, por tanto, las abscisas de dichos puntos serán las soluciones de la ecuación dada. Para resolver de forma gráfica la ecuación 4 = 0, consideramos la función y = 4 y mediante una tabla de valores la representamos gráficamente, tal y como aparece en el margen. Los puntos de intersección con el eje de abscisas son (, 0) y (, 0), es decir, las soluciones de la ecuación son = y =. Una ecuación de la forma a 4 b c = 0 recibe el nombre de ecuación bicuadrada, y se resuelve haciendo el cambio de variable = t. La ecuación que se obtiene con este cambio es at bt c = 0, de segundo grado; una vez resuelta, se deshace el cambio de variable para obtener las soluciones de la ecuación bicuadrada. Resolvamos la ecuación: 4 6 = 0 Haciendo el cambio = t, obtenemos: t 6 = 0 t = 6 t = 4, t = 4 Y y 0 0 Amplía tus conocimientos X Deshaciendo el cambio: = 4 = ± y = 4 Así, las soluciones son: = y =. Como puedes ver, una ecuación bicuadrada puede tener 4 soluciones, soluciones o ninguna solución real, pero no admite otra posibilidad respecto al número de soluciones. En la web materiales_didacticos/ecuaciones _sistemas_inecuaciones/indice.htm Actividades Resuelve algebraicamente las ecuaciones: a) = 5 c) 7 = 8 b) 6 9 = 0 d) = Un rectángulo es tal que su lado mayor mide el doble de su lado menor. Sabiendo que su perímetro mide 60 cm, halla sus dimensiones. 4 5 Resuelve algebraicamente las ecuaciones: a) 5 = c) = 6 0 b) = d) 6 8 = Qué valor debe tomar a para que la ecuación a 4 = 0 tenga una raíz doble? Resuelve las ecuaciones: 4 9 = 0 y = 0 65

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