MATRICES DE NÚMEROS REALES

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1 MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m i m j j ij mj n n in mn El elemento situdo en l fil i y en l column j se represent como ij. Ejemplo: est es un mtriz x (o de orden ) es decir tres fils y tres columns. En est mtriz tenemos que: est es un mtriz x B est es un mtriz x Cd fil (o cd column) puede considerrse un vector de n componentes (o de m componentes) Por ejemplo L mtriz se puede considerr como un fmili de vectores del espcio vectoril R ( )( )() o como un fmili de vectores del espcio vectoril R ( )( )

2 MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- TIPOS DE MTRICES. Mtriz cudrd es l que tiene el mismo número de fils que de columns. Por ejemplo est serí un mtriz cudrd de orden (cutro fils y cutro columns) Mtriz nul es l que tiene todos sus elementos nulos. Por ejemplo est serí l mtriz nul de orden. Mtriz digonl es l que tiene todos sus elementos nulos excepto los de l digonl principl. Por ejemplo est serí un mtriz digonl de orden : Mtriz unidd es en l mtriz cudrd en l que todos los elementos de l digonl principl son unos y los demás ceros. Por ejemplo est es l mtriz unidd de orden tres. Mtriz fil es l que sólo tiene un fil: ( - ) Mtriz column es l que sólo tiene un column: 9.- CONCEPTO DE MTRIZ INVERS Dd un mtriz cudrd se dice que tiene invers o que es inversible si existe otr mtriz cudrd - que cumple:. - = -. = I n

3 MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr En donde I n es l mtriz unidd del mismo orden que l mtriz. l mtriz - l llmmos invers de l mtriz..- OPERCIONES CON MTRICES Sum Pr poder sumr dos mtrices y B ests deben ser del mismo orden m x n. Los elementos de l mtriz sum se obtienen sumndo los elementos de y B que ocupn ls misms posiciones. L mtriz sum tmbién será de orden m x n. Es decir: C = + B con c ij = ij + b ij Ejemplo: B C = + B = Producto de un número rel por un mtriz. Dd un mtriz de orden m x n y se define el producto. como l mtriz de orden m x n cuyos elementos son. ij. Es decir cd elemento de l mtriz se multiplic por el número rel.. = Producto de dos mtrices. Pr que dos mtrices se puedn multiplicr debe tener l primer el mismo número de columns que de fils teng l segund. L mtriz producto tiene el número de fils de l primer mtriz y de columns de l segund mtriz. Supongmos un mtriz de orden m x n y un mtriz B de orden n x p (observ que el número de columns de l primer y de fils de l segund coinciden). L mtriz C =. B es de orden m x p siendo sus elementos de l form: c ij i b j ib j ib j inbnj ikbkj (no os susteis es fácil) k n k Es decir pr obtener un elemento culquier (c ij ) de l mtriz. B se multiplicn uno uno los elementos de l fil i de por los de l column j de B y se sumn todos los productos. Ejemplo: multiplic ls siguientes mtrices

4 MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr multiplicmos cd elemento de l primer fil de l primer mtriz por cd elemento de l primer column de l segund mtriz y summos los productos. Esto constituye el primer elemento de l mtriz producto. Luego lo mismo con l primer fil de l primer mtriz y l segund column de l segund mtriz... l segund fil de l primer mtriz con l primer column de l segund.... ( ).... ( )... ( ).. ( )..( ).. ( ).( ).. ( ).( ).( ) ( )...( ). ( )..( ). ( ). Otro ejemplo: (l mtriz producto tiene el número de fils de l primer y el número de columns de l segund ) No se puede hcer el producto en este cso y que el número de columns de l primer mtriz es y el número de fils de l segund es. Observmos que el producto de mtrices no es conmuttivo..- RNGO DE UN MTRIZ Llmmos rngo de un mtriz l máximo número de fils (o de columns) que son linelmente independientes. Ejemplo: El rngo de est mtriz es y que ls dos fils son dos vectores de R 9 linelmente dependientes (y ls dos columns tmbién). (-9 ) =.( -) (ó tmbién ( 9) () ). Es decir el número de fils (o columns) independientes es.

5 MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr Ejemplo: Clcul el rngo de l mtriz. Vemos si ls dos fils (vectores de R ) son dependientes o independientes..( ) () ( ). imposible no existe.. Luego el máximo número de fils L.I. es y el Rg = (por lo tnto el número de columns L.I tmbién debe ser es decir ls tres columns deben ser L.D) Trnsformciones que no modificn el rngo de un mtriz El rngo de un mtriz no se modific si: Se lter el orden de ls fils (o columns) de Se prescinde (prescindir = quitr) de un fil (o column) que se combinción linel de ls demás fils (columns). Se elimin un fil (column) de ceros Se multiplic un fil (column) por un número distinto de cero. Se sum un fil (column) un combinción linel de ls demás fil (columns). Ejemplo. Clcul el rngo de l mtriz. El rngo no se modific si l tercer fil le restmos l sum de ls dos primers. Esto se expres sí: F = F (F + F ) (es decir sustituimos l fil tres por ell mism menos l sum de l fil uno y l fil dos) Rg Rg Rg

6 MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr Vemos que en est últim mtriz es imposible poner l fil como combinción linel de l fil o l revés luego el rngo es. (podemos deducir que en l mtriz hy dos columns que son combinción linel de otrs dos) Método de Guss pr clculr el rngo de un mtriz Teorem. El rngo de l siguiente mtriz (mtriz tringulr todos los elementos de l digonl principl ii son distintos de cero y los que están debjo de l digonl principl son ceros) es r es decir el número de fils. rn rr n r n r n r El método de Guss consiste en convertir un mtriz en un mtriz tringulr usndo ls trnsformciones que no modificn el rngo. Ejemplo. Clcul el rngo de l siguiente mtriz Es cómodo tener un como elemento podemos intercmbir ls columns c y c (Ojo: son igules los rngos no son igules ls mtrices)

7 MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr Es conveniente seguir un cierto orden os recomiendo que primero convirtis en ceros todos los elementos de l primer column menos el primero. El segundo elemento y es un cero y no hce flt. Pr ello hcemos los siguientes cmbios (siempre que quermos hcer ceros en un column debemos jugr con fils): F = F F y F = F F. Directmente podemos eliminr l fil y que es igul que l fil (es decir prescindimos de un fil que es combinción linel de ls demás) hor hcemos un cero en l segund column justo debjo de l digonl principl pr ello hcemos l trnsformción: F = F + F (no puedo jugr con l fil y l fil y que entonces deshgo el cero que y hbí conseguido en l fil ) Luego el rngo de l mtriz es.

8 MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr PROBLEMS (los de mtriz invers no).- Dds ls mtrices 9 9 C B Clcul: + B + B B C (C B) + (C ) B. B. C.- Dds ls mtrices 9 D C B Clcul: ).B b) B.C c).b.c d).d e) D..- Clcul el rngo de ls siguientes mtrices: C B.- Encuentr l mtriz X que verific:.x + B = C siendo

9 MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr 9 C B.- Clcul l potenci n-sim ( n ) de l mtriz.- Clcul l mtriz ( t. - ) siendo.- Hll l mtriz M que verific: M.- Pr dos números culesquier y b se cumple ( + b) = + b + b ( b) = + b - b Se cumple lo mismo pr dos mtrices culesquier y B? es decir que ( + B) = + B + B ( - B) = + B - B Rzon l respuest. 9.- Se llm mtriz simétric tod mtriz cudrd que coincide con su trspuest es decir un mtriz cudrd es simétric si cumple = t. Por ejemplo l mtriz es simétric. Se llm mtriz ntisimétric tod mtriz cudrd cuy opuest coincide con su trspuest es decir un mtriz cudrd es ntisimétric si = t. Por ejemplo l mtriz

10 MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr es ntisimétric. Demuestr que tod mtriz M de dimensión x se puede expresr como l sum de un mtriz simétric S y un ntisimétric de ls misms dimensiones que M..- Dds ls mtrices = B C Clcul l mtriz X que verific.- Clcul. B X B = C Es posible clculr B.? por qué? B.- Un fábric de electrodomésticos export lvdors (L) frigoríficos (F) y lvvjills (V) dos píses P y P. L siguiente mtriz expres en miles ls uniddes de cd tipo de electrodoméstico exportds cd ňo cd pís El precio de cd electrodoméstico en miles de sk durnte los últimos tres ňos viene ddo por l mtriz C 9 C 9 Clcul l mtriz que relcion ls vents totles en los tres últimos ňos con los píses los que se export. En qué pís es myor el vlor de lo exportdo en el último ňo?.- Clcul el rngo de l siguiente mtriz

11 MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr 9.- Clcul l invers de l siguiente mtriz

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