APUNTES Y PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS ESPECIALES

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1 APUNTES Y PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS ESPECIALES

2 6 TREVERIS multimedia Introducción Los Apuntes: Estos apuntes resumen y adaptan el contenido del libro oficial de Matemáticas Especiales del Curso de Acceso Directo de la UNED. La experiencia demuestra que el libro es poco asequible para los alumnos, de modo que se ha tratado de hacer unos apuntes comprensibles y, sobre todo, orientados a aprobar el examen, pues se ha tenido en cuenta lo que habitualmente es materia de examen. No debe olvidarse que estos Apuntes son un resumen del libro (aunque completos, es decir, no se deja de lado nada de lo que es objeto de examen). Por ello, el libro debería servir para profundizar en algunos conceptos que el alumno estime que en los Apuntes han quedado excesivamente resumidos, Los Problemas: En la colección de Problemas que aquí se ofrece figuran prácticamente todos los que han aparecido en exámenes de Matemáticas Especiales del Curso de Acceso Directo de la UNED los últimos años éstos aparecen con una clave; por ejemplo: J996 significa Junio 99, examen tipo B, pregunta número 6 junto a otros ideados para rellenar lagunas en la transición de uno a otro. Los Problemas de Clase son los que el Tutor autor de este material explica en la pizarra durante sus tutorías, y los Problemas propuestos se resuelven de forma parecida a los de clase (en cada uno propuesto se indica el número del problema de clase al que se parece). Se da la solución de todos los problemas propuestos, y algunas indicaciones cuando son difíciles. Estudiar matemáticas consiste básicamente en hacer ejercicios continuamente. Por ello, una vez resueltos los propuestos en este material el alumno debería seguir con los del libro oficial de problemas. Material complementario: Los Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales se ofrecen gratuitamente en Internet, en También se pueden adquirir impresos en dicha página web. En ese caso se regala, en formato electrónico, para imprimir: una nueva colección de cientos de problemas ordenados desde dificultad cero hasta el nivel requerido, escrita de tal manera que un ejercicio ayuda a resolver el siguiente en la lista, método original que ha demostrado dar excelentes resultados. la solución a los problemas de clase que figuran en el presente material, ya que actualmente sólo se ofrece la solución a los problemas propuestos y, en algunos casos, ayuda para resolverlos. Además, quienes adquieran el material dispondrán de un tutor virtual para consultar dudas durante todo el curso de forma completamente gratuita en TREVERIS multimedia quiere agradecer a todos los usuarios de este material su confianza. ( EditorialTréveris, S. L., 000 Reservados todos los derechos)

3 Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales 7 Índice 9 Primera parte: APUNTES Tema 0: Operaciones algebraicas básicas 9 Temas y : Números enteros, racionales y reales 7 Temas y 4: Conjuntos, Combinatoria Temas 5 y 6: Probabilidad, Estadística 7 Temas 7, 8 y 9: Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones 45 Temas 0, y : Geometría y trigonometría 50 Tema 4: Números complejos 5 Temas y 5: Vectores 6 Tema 6: La recta 65 Temas 8, 9 y : Sucesiones, límite de sucesiones; introd. al límite de funciones 68 Temas 0 y : Funciones y polinomios 75 Tema : Continuidad de funciones 77 Temas 4, 6 y 7: Derivadas 80 Tema 5: Estudio y representación de funciones; más sobre límite de funciones 88 Temas 8, 9 y 0: Integrales indefinidas y definidas 9 Segunda parte: PROBLEMAS 95 Temas y : Números enteros, racionales y reales 97 Temas y 4: Conjuntos, Combinatoria 99 Temas 5 y 6: Probabilidad, Estadística 0 Temas 7, 8 y 9: Matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones 05 Temas 0, y : Geometría y trigonometría 07 Tema 4: Números complejos 08 Temas y 5: Vectores 0 Tema 6: La recta Temas 8, 9 y : Sucesiones, límite de sucesiones; introd. al límite de funciones Temas 0 y : Funciones y polinomios 4 Tema : Continuidad de funciones 6 Temas 4, 6 y 7: Derivadas 8 Tema 5: Estudio y representación de funciones; más sobre límite de funciones 0 Temas 8, 9 y 0: Integrales indefinidas y definidas

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5 Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales 9 Primera parte: APUNTES

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7 Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales Tema 0: Operaciones algebraicas básicas Generalidades: propiedades conmutativa, asociativa y distributiva 5.- Simplificar: a + a? 5a + 7? a + a a? 7 +?? 5a? 5 a? (Sol.:?a? ) Para simplificar la expresión anterior deben tenerse en cuenta varias reglas. Regla.- Los paréntesis marcan la máxima prioridad en las operaciones algebraicas. Por tanto, si es posible, debe tratar de simplificarse previamente el contenido de cada paréntesis. En este problema sólo cabe simplificar el primero, 5a + 7? a ; los demás no pueden simplificarse porque no cabe hacer dentro de ellos ninguna operación, como veremos más abajo. Simplifiquemos, pues, 5a + 7? a. Esta expresión es un trinomio (polinomio de tres miembros). Los signos + y - separan un polinomio en monomios. El orden en que estén escritos los monomios de un polinomio es irrelevante (propiedad conmutativa de la suma (y la resta), Regla ). Por ejemplo, el trinomio anterior también podía haberse escrito: 7 + 5a? a o?a a o 7? a + 5a, etc. [Esta propiedad es muy útil para evitar errores al hacer sumas de números con distinto signo. Por ejemplo, si piden hacer la siguiente operación:? + 5, podemos darle la vuelta escribiendo: + 5?, o, lo que es lo mismo, 5? (pues un signo + al principio puede suprimirse). Evidentemente, 5? es mucho más fácil de interpretar que? + 5.] [También pueden introducirse paréntesis arbitrariamente en el trinomio considerado para asociar monomios, escribiendo, por ejemplo: 5a + 7? a o 5a + 7? a (propiedad asociativa de la suma (y la resta), Regla ). Es decir, si hay que efectuar una suma con tres sumandos (como es el caso), pueden sumarse primero dos cualesquiera y el resultado sumarlo al tercer sumando.] [Nota: al emplear la palabra suma nos referimos indistintamente a suma o resta; téngase en cuenta que restar 6? es lo mismo que sumar los números 6 y?.] Un monomio pueden constar de letras, números o números y letras. Sólo se pueden sumar (o restar) aquellos monomios en los que todas las letras sean iguales y estén elevadas a iguales potencias (Regla 4). Por ejemplo, se pueden sumar entre sí los monomios 5a y?a, pero no 5a y 7. De la misma manera, se pueden hacer las siguientes sumas: 5ab? ab (= 4ab); ab + ab (= ab );? a + a c c (= a );? a? a (?5 a) pero no cabría sumar 5ab?b ni ab + ab ni? a + a ni? a? a. c c c De todo lo dicho debe quedar claro que 5a + 7? a = 4a + 7., con lo que la expresión inicial queda: = a + a? 4a a a? 7 +?? 5a? 5 a? Dentro de los demás paréntesis no se puede efectuar operación alguna. La única manera de seguir simplificando es quitar los paréntesis. Para ello hay que seguir ciertas reglas. Un paréntesis con un signo + delante puede quitarse directamente.(regla 5). Es el caso del segundo paréntesis. Un signo delante de un paréntesis permite quitar el paréntesis pero cambiando el signo de los monomios que hay dentro (Regla 6). Es el caso del segundo paréntesis. Un número o letra delante de un paréntesis multiplica (sin olvidar su signo) a todos los monomios que hay dentro del paréntesis (propiedad distributiva, Regla 7). Es el caso de los paréntesis tercero, cuarto y quinto. Con lo dicho, la expresión queda: = a + a? 4a? 7 + a a? 8? 6? 0a? 5a + 5 =?a? donde se han tenido en cuenta las reglas de la multiplicación (y división) de signos: + + = + +? =?? + =??? = + Operaciones con fracciones 7Multiplicación y división A veces, resolver una expresión algebraica requiere manipular fracciones. Multiplicarlas es fácil: se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí (Regla 8). Para dividir dos fracciones se multiplican en cruz, es decir, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda (resultado que va arriba en la fracción final) y el denominador de la primera por el numerador de la segunda (lo cual va abajo) (Regla 9):

8 TREVERIS multimedia a 6 5 = 6a 5 a : 5 = 0a 9 Otro ejemplo: efectuar x? x (Tener en cuenta primero que esa expresión indica la multiplicación de una cantidad, x, por una fracción negativa; es decir, no es una resta; sería una resta si no existiera el paréntesis: x? x. En segundo lugar, tener en cuenta que el producto escrito se puede poner también como: x 6?x.) Es fácil ver que la solución es?x 7Simplificación El resultado de las fracciones hay que simplificarlo si es posible. Por ejemplo, las siguientes pueden simplificarse dividiendo arriba y abajo por el mismo valor (Regla 0): 5 0 = [hemos dividido arriba y abajo por 5] 4 a 6a = [hemos dividido arriba y abajo por a; para dividir 6a entre a se dividen números entre números y letras entre letras: 6 entre es y a entre a es (que no se escribe, porque = )] 7Suma y resta Para sumar (o restar) fracciones hay que encontrar primero el mínimo común múltiplo (mcm) de sus denominadores. A su vez, para ello previamente hay que factorizar los denominadores, es decir, convertir cada uno de ellos en producto de factores primos. (Un número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por ; por ejemplo,,,5,7,, y 7 son primos, pero no lo son 4,6,8,9,0,, etc.) Una vez factorizados, para calcular el mcm se toman los factores comunes y no comunes elevados a los mayores exponentes (Regla ). Por ejemplo, calcular el mcm de 5, 75 y 00. Primero factorizamos los tres números tratando de dividirlos sucesivamente por números primos empezando por el y siguiendo con el,5, etc. Por ejemplo, para factorizar 00 se empieza dividiendo por ; el resultado 50 se divide de nuevo por = 5 ; como 5 no es ya divisible por probamos con el siguiente primo (); tampoco es divisible, pero sí lo es por 5; 5 entre 5 da 5; volvemos a dividir por 5 y el resultado final es, que es donde hay que llegar. 00 queda factorizado, entonces, como: 00 = 5 5 (= 5 ) Las tres factorizaciones quedan así: 5 = 5 75 = = 6 5 Todos los factores encontrados son, como se ve,, 5 y (elevados a distintas potencias según el número factorizado). El y el son factores no comunes a las tres factorizaciones: los tomamos elevados a los mayores exponentes encontrados y ; el 5 sí es común; lo tomamos elevado a la mayor potencia encontrada: 5. El mcm se calcula, entonces, efectuando el producto = 00. Vamos a aplicar esto. Supongamos la siguiente suma (o resta) de fracciones: 6 5? Para resolverla se calcula el mcm de los denominadores (ya lo hemos hecho: mcm = 00). Luego se procede así: se escribe un signo igual y una raya larga de fracción en cuyo denominador irá el mcm encontrado. En el numerador irá la suma (o resta, según el signo) de cada uno de los numeradores de las tres fracciones multiplicado por el resultado de dividir el mcm entre el? = 00 66?64+46 denominador correspondiente (Regla ): 6 5? = operación ha sido una simplificación, dividiendo numerador y denominador por ). También pueden hacerse operaciones de este tipo que incluyan letras: 4 a + b 6a Las factorizaciones de los denominadores son: a = 6 6 a y 6a = 6 6 a El mcm es, entonces: 6 a 6 = 6a Entonces: 4 a + b 6a = 46 6a +b6 6a a 6a = 6a 46 a +b6 6a = a+b 6a = 00 7?+ = = 6 5 (la última En cierto momento hemos tenido que dividir 6a. Para ello se dividen primero los números (6 entre ) y luego las letras a (Regla ) (a entre a da a de la misma manera que 5 entre 5 da 5). Efectuar las siguientes operaciones con fracciones: ? 0a = (Sol.: 94?000a Ayuda: 0a se puede convertir en la fracción a ) 5.-? ab + 7 a b = (Sol.:?a b +7 a b ) a+ b + a = 0 a + b = (Sol.: a+0b 0 Ayuda: primero se resuelve el paréntesis del numerador de la primera fracción, lo que da a+b. Esta fracción se multiplica por 6, lo que da 6a + b [tener en cuenta que 6 a+b es lo mismo que 6 a + b, por aplicación de la propiedad conmutativa de la multiplicación-división]. Hecho esto nos encontramos con que debemos sumar la fracción compleja 6a+b con la fracción compleja reduciendo a fracción simple. Lo explicamos con otro ejemplo: una fracción compleja como la siguiente: a 5 6 7, que hay que empezar a b c d se reduce a una simple multiplicando los extremos y dejando arriba el resultado (a 6 d) y multiplicando los medios dejando abajo el resultado

9 Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales (b 6 c), quedando, pues, la fracción a6d b6c. Hay fracciones complejas algo diferentes, como a c d o a b c. En realidad es lo mismo, teniendo en cuenta sólo que la primera equivale a a cd y la segunda a a b c ) Simplificar 6ab? 5 a + ab + c + (Sol.: ab? 5a? 5c + ) 56.- Simplificar a b? a b + a ab (Sol.: a b) 57.- Simplificar a 5? a + + 6a a (Sol.: 5 a) Efectuar las siguientes operaciones y simplificar al máximo: a? a = (Sol.:? 4? a) a + b + c? a + 5b 4 + c = (Sol.:?5a+8b+5c 4 ) 50.- a+b + 5a a + + b? 5ab = (Sol.: a+b+0a ) 5.- a a +? a a + = (Sol.: a? a? a ) Vamos a practicar ahora con una extensión de la propiedad distributiva. Para multiplicar dos paréntesis que contienen al menos un binomio cada uno, se multiplica el primer monomio del primer paréntesis por el primero del segundo, luego el primer monomio del primer paréntesis por el segundo del segundo; el primero del primero por el tercero del segundo, y así sucesivamente, y todos los resultados van sumados o restados entre sí, según su signo. Al terminar esta serie, se repite de igual modo para el segundo monomio del primer paréntesis, luego para el tercero, etc. (Regla 4). Siempre hay que tener en cuenta los signos de cada monomio. Si se están multiplicando tres paréntesis, se opera primero con dos de ellos (cualesquiera, ya que el orden de los factores no altera el producto propiedad conmutativa ) y al resultado se le multiplica el tercer paréntesis. Con un ejemplo lo entenderemos mejor:?a b?a + b? 4c? = a? ab + 8ac + a? 5a + 5b? 0c? 5? 7ab + 7b? 8bc? 7b = = a? 9ab + 8ac? a? b? 0c? 5 + 7b? 8bc Ejercicios 5.- a + 5 b + 7 c?? 5abc? a + 5b? 5c + 5 = (Sol.:? 4abc? ab + 7ac? 9a + 5bc) 5.- a + 4b = (Sol: 4a + 6ab + 6b ) 54.- a + b a? b = (Sol: a? b ) 55.-?a? b? c + 5b + 7a? 5ab = (Sol.:? 7a? a? 7ab? 7ac? 5b? c? 5bc? b) 56.-? a + b? c a + b + 5? a 5? b?a = (Sol.: 4a? a b ab + ac? 75a + bc? b ) Factor común Sacar factor común.es, en cierto modo, una operación inversa a la aplicación de la propiedad distributiva. Consiste en ver qué factores son comunes a los monomios que forman un polinomio y extraer estos factores de cada monomio. Lo veremos con un ejemplo: Sacar factor común en: 5a + 5a? 75a. Aunque con un poco de práctica esta operación se llega a hacer de forma automática, el proceso requeriría una factorización previa en factores primos: 5 6 a 6 a a? a 6 a 6 a. Puede comprobarse que lo común a los tres monomios es 5 6 a. Estos factores se extraen, pues, de cada monomio, multiplicando a un paréntesis donde quedarán los factores no extraídos, con sus signos (Regla 5): 5 6 a 6 a + 5? a 6 a = 5a a a [Si el resultado obtenido se opera, aplicando la propiedad distributiva, llegaremos de nuevo a la expresión original, 5a + 5a? 75a ; por eso la operación de sacar factor común puede considerarse recíproca de la de aplicar la propiedad distributiva.] Otros ejemplos: sacar factor común en las siguientes expresiones: 6ab + b + c (Sol.: 6b a + b + c ) (en el tercer monomio no se ha podido sacar nada; por tanto, se deja tal como está) ab + b + a (Sol.: a b + a + b ) (en este caso también podríamos haber sacado factor común b, y habría quedado b a + b + a ) A veces puede ser útil (o, simplemente, nos lo pueden exigir en un problema) sacar determinado factor común aunque aparentemente no lo sea. Por ejemplo, sacar factor común x en la siguiente expresión: 7x + x? 6 Sol.: x 7 + x? 6 En estos casos hay que trabajar un poco por tanteo, y siempre comprobar si lo hemos hecho bien aplicando la propiedad distributiva al resultado para ver si nos da la expresión original (Regla 6) a) Sacar factor común 7x en la siguiente expresión: 4x? 7x (Sol.: 7x x? ) b) Sacar factor común 7 en la misma expresión (Sol.: 7 x? x) 58.- Sacar factor común todo lo posible en la expresión: a b? 6a b? 6a 4 b 4 (Sol.: a b? 8a? a b ) 59.- Sacar factor común z en la siguiente expresión: z? z + 4z (Sol.: z 4? z + z )

10 4 TREVERIS multimedia 50.- Sacar factor común? en?a? b + 4c (Sol.:? a + b? c ; la comprobación de que está bien se tiene, de nuevo, al efectuar la operación inversa:? a + b? c =?a? b + 4c ). Potencias y raíces La mayoría de las propiedades de las potencias y raíces se deducen entendiendo bien el concepto de potencia y dos reglas que veremos más abajo 7Multiplicación y división La regla principal a tener clara es el concepto de potencia, es decir, entender que a significa a 6 a 6 a y que b 5 = b 6 b 6 b 6 b 6 b. De aquí se deducen reglas como la del producto de potencia: a m 6 a n = a m+n. (Regla 7). Un ejemplo: a 4 6 a 5 = a 4+5 = a 9 porque: a 4 6 a 5 = a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a = a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a 6 a = a 9. Debe tenerse en cuenta que sólo se pueden multiplicar potencias con la misma base, como en el ejemplo anterior; es decir, no cabe hacer ninguna operación en a 6 b 6 excepto si el exponente es el mismo; así, cabe efectuar por ejemplo: = = 0 [y en general: a c 6 b c = ab c (expresión en la que el paréntesis es imprescindible para no confundir con ab c ; en esta última, el exponente sólo afecta a b)]. La división se hace de la siguiente manera: a m = a m?n (Regla 8). Veamos un ejemplo: a 7 = a 4. La razón podemos a n a entenderla de nuevo si aplicamos el concepto de potencia: a 7 = a6a6a6a6a6a6a a6a6a = a 6 a 6 a 6 a = a 4. a [Lo que hemos hecho es lo siguiente: hemos cancelado tres de los factores a de arriba con tres de los de abajo; esto se puede hacer en una fracción siempre que los factores estén multiplicando a los demás, nunca si están sumando o restando (por ejemplo, no cabe cancelar nada en a+b+c a a pesar de que el factor a está arriba y abajo. Siempre que surjan dudas con esto conviene recurrir a un ejemplo semejante en el que sustituyamos las letras por números. Por ejemplo, en la expresión a6a6a6a6a6a6a a6a6a sustituyamos cada a por un : y operemos directamente arriba y abajo: = = 6, pero como 6 = 4 queda demostrado que a6a6a6a6a6a6a a6a6a es a 4. Ahora, sustituyamos letras por números en a+b+c a, haciendo por ejemplo la a igual a, b = 5 y c = 6 Con estas sustituciones veremos que a+b+c a no puede ser igual a b + c porque +5+6 no es igual a (= ), sino a, pues =. También cabe aplicar cancelaciones en expresiones como b = b6b b 5 b6b6b6b6b = b6b6b =. b En casos como éste en que la potencia superior es menor que la inferior hay que dejar en el numerador un. Para entenderlo, hagámoslo con números; por ejemplo, supongamos que en la expresión b hacemos b 5 b =, es decir: 5 = 4 = 8 (la última operación ha sido una simplificación de la fracción dividiendo arriba y abajo por 4). Pero como 8 =, escribir 8 es como si hubiéramos escrito b, lo que confirma que b 5 =. b 5.- Efectuar las siguientes operaciones aplicando las reglas de multiplicación y división de potencias: a) 6 (Sol.: 5 ); b) 6 (Sol.: ); a) a 6a (Sol.: ); c) a 6 b 6 a (Sol.: a 4 b ; en este caso y otros en el que hay potencias de distinta 4 a 5 base se multiplican entre sí sólo las que tienen la misma base); d) a4 b c ac (Sol.: a b ); e) abc (Sol.: 8a b c 4abc ). 7a? = a Si al operar b hubiéramos seguido estrictamente la regla de la división de potencias dada más arriba, habríamos b 5 llegado a la expresión b?, mientras que por el método de ir cancelando hemos llegado a. Por qué resultados b diferentes? Porque no son diferentes. Si ambas reglas son válidas (y lo son), los resultados deben ser iguales. Es decir, que b? =. Esto es importantísimo y debe tenerse muy en cuenta, porque este tipo de potencias negativas aparece muy a b menudo. En general, se puede decir que a? = a, o, lo que es lo mismo: a = a? (Regla 9). Dicho de otro modo: siempre que encontremos una potencia con exponente negativo podemos transformarla en una fracción con un en el numerador y la misma potencia pero con exponente positivo en el denominador (y también vale lo inverso a esto). Incluso, cuando convenga, pueden hacerse otros cambios de lugar de la potencia (y, por tanto, de signo del exponente). Por ejemplo, una potencia con exponente positivo se puede transformar en una fracción con un en el numerador y la misma potencia con exponente negativo en el denominador. Dicho de otro modo y generalizando: una potencia puede cambiarse de lugar en numerador y denominador con sólo cambiar el signo del exponente. Así, las expresiones siguientes:,,? a b, y a, pueden transformarse, respectivamente, en b?, a?,?b? y ab? (nótese que en la segunda expresión el exponente? afecta tanto al como al a, pues el paréntesis así lo indica, pero en la tercera y cuarta el exponente? sólo afecta a la b). Una expresión como a c puede transformarse de muchas formas, como: a cb?, a o b? b c? b a? c? b a? c? Por supuesto, cualquiera de estas transformaciones sólo se llevan a cabo cuando conviene a la hora de simplificar la resolución de un ejercicio. Y una llamada de atención: no se pueden hacer estas transformaciones de este tipo: en b? (y sí en a +b a ), ya que los cambios de lugar en las fracciones sólo se pueden aplicar a factores (que multiplican o dividen), no a = b? a 6b a monomios que suman o restan o, en general, a sumandos.. Sabiendo esto, una división de potencias siempre se puede resolver transformándola en una multiplicación. Así por

11 Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales 5 ejemplo, a 4 a = a 4 a?, que, siguiendo la regla de la multiplicación, conduce a: a 4+? = a, resultado idéntico al que habríamos llegado aplicando la regla de la división. 5.- Simplificar, dejando el resultado en el denominador y luego en el numerador: abcd (Sol: 6b d 4 8a? bc? d 8? ab? cd? ) y 7Potencia de potencias Para resolver una potencia de potencia se multiplican los exponentes. Es decir: a m n = a m6n.(regla 0). Vayamos a un ejemplo: Resolver. (Sol.: = 6, lo que podemos demostrar desarrollando las potencias: = 6 6 = = = 6. ) 5.- Efectuar y simplificar a? a? (Sol.: ) 7Potencia de un producto y una suma La potencia de un producto (o cociente) de factores es el producto (o cociente) de las potencias de esos factores. Es decir: abc m = a m b m c m Efectuar 4a b?? (Sol.: b 6a 4 ) 55.- Efectuar a b 4 (Sol.: a4 b 6 ) La potencia de una suma (o resta) no es la suma (resta) de las potencias de los sumandos. Se puede calcular convirtiéndola en un producto de la siguiente manera (por ejemplo): a + b = a + b a + b a + b, que se resuelve multiplicando primero los dos paréntesis y el resultado por el tercero Efectuar? a (Sol.: 9? 6a + a ) 57.- Efectuar?? a + b (Sol.:? a 6? a 4 + a 4 b + 6a b? a? a b + b? b + b? ) 7Propiedades de las raíces La principal propiedad de una raíz tipo m a n es que se puede transformar en a n m. (Regla ). Por ejemplo, a = a = a. Hecho esto la raíz se puede tratar como una potencia, y esa es la manera más segura de operar con raíces complicadas. Por ejemplo, efectuar: a 5 6 a (Sol.: a 5 6 a = a 9 6 = 6 a 9 ; y recordar que para multiplicar ambas potencias debe dejarse la misma base y sumar los exponentes). Hay que tener en cuenta que en general no se puede sumar ni restar raíces [no cabe resolver, por ejemplo, a 5 + a, aunque sí se podría sacar algún factor común una vez transformadas en potencias; sólo en casos en que se trate con raíces de igual índice e igual radicando, como por ejemplo + 5, se puede hacer la suma (= 7 )]. Es decir, la suma de dos raíces no es la suma de las raíces de los sumandos. Pero la raíz de un producto (cociente) sí es el producto (cociente) de las raíces: abc = a b c (Regla ). A veces es conveniente sacar todo lo que se pueda de una raíz. Por ejemplo, en a 5 b se puede sacar algo, ya que a 5 b = a 5 b = a a a b = a a a b (hasta aquí hemos aplicado dos veces la Regla ) y esto último se puede simplificar hasta: aa a b = a a b. Una raíz elevada a una potencia es la raíz del radicando elevado a esa potencia (y al revés). Por ejemplo: 58.- Tratar de simplificar al máximo, sacando lo que se pueda de la raíz 6a b 6 bc (Sol.: 4ab b c 59.- Tratar de simplificar al máximo, sacando lo que se pueda de la raíz a 5 a = 5 a (Sol.: 7a ; lo mejor es hacerlo así: a = a = a = a = 7a ) 7Racionalización Cuando después de alguna operación quede alguna raíz en un denominador (como en la solución del ejercicio 8) es conveniente racionalizar, es decir, eliminar esa raíz. Es fácil: en caso de que sea cuadrada, se multiplican numerador y denominador de la fracción por esa raíz (recordemos que en una fracción siempre que se multiplique arriba y abajo por el mismo factor el valor de ésta no cambia, aunque presente formalmente otro aspecto). Ejemplo: racionalizar c (Sol.: c = c c c = c c = c c = c c ) Si la raíz es de otro grado (cúbica, cuarta, etc...) se multiplica arriba y abajo por la misma raíz elevada a un grado menos. Ejemplo: racionalizar (Sol.: c = c = c = c c c c c c Si en el denominador hay una suma, se multiplica arriba y abajo por el conjugado de esa suma (es decir, por el mismo monomio pero con el signo central cambiado). Por ejemplo, racionalicar :?+ b?6+ b = =?? b?? b?? b?+ b 9?b = c c )

12 6 TREVERIS multimedia 50.- Racionalizar (Sol.: ) y (Sol.: + )? Consejos para evitar errores típicos 7 Cuidado con el uso de los paréntesis! Hay que ser rigurosos con el uso de los paréntesis. Éstos se usan para indicar prioridad o para agrupar una serie de términos indicando así que están sometidos a la misma operación. Cuando no son estrictamente indispensables no se ponen (y existen unos convenios sobre ello que hay que aprender con la práctica), pero a veces, aunque no estén, en ciertas opreaciones hay que tenerlos en cuenta. Por ejemplo, es un error común no tener en cuenta que el numerador de una fracción va entre paréntesis, aunque no se indique, operando (mal) como sigue (se trata de una suma de fracciones, donde aplicamos las Regla vista antes):? +a 5 + a 0 6? +6a+a = = 0?4+7a 0 El error está en no haber considerado que el signo? antes de la fracción afecta a odo el numerador, pues éste es un paréntesis. Teniendo esto en cuenta, la forma correcta de hacer la suma anterior es, pues:? +a a =?4?6a+a = 0?4?5a 0 En general, siempre que temamos confundirnos podemos escribir paréntesis para no olvidarnos de que están. Por ejemplo, para evitar confusiones en la suma anterior podemos escribirla así desde el principio:? +a 5 + a 0 7La propiedad distributiva en la división En ocasiones, para simplificar, es útil aplicar la propiedad distributiva en la división, que es equivalente a la de la multiplicación. Así, del mismo modo que efectuamos + a = 6 + 4a, también puede hacerse lo siguiente: 9?a =? a (otra opción es casar factor común arriba primero y luego cancelarlo con el del denominador). 7Las fracciones admiten múltiples formas Una fracción se puede escribir de muchas formas, y eso hay que tenerlo en cuenta. Por ejemplo, todas las formas siguientes de la fracción ab son equivalentes: cd ab cd fl ab cd fl a b cd fl ab cd fl ab c d fl ab cd etc. Del mismo modo, un signo? delante de una fracción afecta al numerador o al denominador (no a los dos al mismo tiempo: si se aplica a uno de ellos ya no hay que aplicarlo al otro; normalmente se hace en el numerador). Por ejemplo, son equivalentes las siguientes expresiones:? a+b?c fl? a+b?a fl a+b??a A su vez, la segunda expresión anterior es equivalente a:?a?b?a, y la tercera, a: a+b.en la segunda y tercera fracciones?+a hemos tenido que escribir paréntesis porque el signo afecta a todo el numerador o denominador. En la primera no se escribe por convenio. Se pueden hacer transformaciones inversas. Por ejemplo, supongamos que nos dan escrito: 5?a y queremos cambiar??b esta fracción, por motivos de operatividad, de modo que el signo vaya en medio. No puede hacer así: 5?a fl? 5?a, ya que el??b?b signo menos que lleva el sólo le afecta a él, tal como nos lo han indicado (si sería correcto lo siguiente: 5?a fl???b 5?a ). Pero?b es fácil ver que?? b fl? + b. Ahora el signo? ya afecta a todo el numerador y se puede hacer la transformación: : 5?a fl?? +b 5?a +b Todo esto es útil en algunos casos en que entendemos mejor la operación haciendo cambios de este tipo. Por ejemplo, una resta de fracciones la podemos transformar en una suma:? 4a fl 5 +?4a = 5 56+?4a = 5 0?a 5 7Que no vayan un signo menos y uno de multiplicación seguidos Si nos dicen: multiplicar por?a + no escribamos 6?a +, en primer lugar porque ello lleva a confusiones, y en segundo porque debe multiplicar a todo?a +, según se desprende del enunciado. La forma correcta de escribirlo es 6?a +, (el punto se puede omitir), y la de efectuarlo es: 6?a + =?9a + 6 7Cambiar el signo un producto y una suma Si nos dan una multiplicación de factores y nos piden cambiarle el signo, basta cambiar el signo de todo el conjunto. Por ejemplo, si nos dicen cambiar el signo de ab la solución es?ab (y no??a?b ni nada parecido. En realidad. cambiar el signo es multuplicar por?.

13 Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales 7 Un producto de factores con signo? admite, por otra parte, múltiples formas. Así,?5a b se puede escribir, además: 5?a b o 5?a b, etc. [Obsérvese la importancia del paréntesis. Si en esta segunda expresión no lo hubiéramos escrito nos habría quedado 5? a b, que es un binomio (formado en este caso por los monomios 5 y?a b), mientras que 5?a b es en realidad un monomio.] Esto en cuanto a la multiplicación (y división). En sumas y restas se opera de forma distinta. Sea el siguiente trinomio: + 5a? b al que nos piden que le cambiemos el signo. Multiplicamos para ello por?, y eso implica multiplicar por? cada uno de los monomios:? + 5a? b =?? 5a + b (en la práctica basta cambiar el signo de cada uno de los sumandos o monomios). En el caso siguiente: + 5 a +? b se opera igual: se cambia el signo de cada sumando, pero hay que entender que 5 a + es todo él un sumando. Cambiar el signo a esa expresión da, pues,?? 5 a + + b y no?? 5 a? + b [Si previamente hubiéramos convertido + 5 a +? b en 8 + 5a? b por resolución del paréntesis y hubiéramos cambiado de signo la expresión resultante, habríamos obtenido?8? 5a + b, lo mismo que al desarrollar?? 5 a + + b. Esto justifica la norma que hemos indicado.]

14 8 TREVERIS multimedia Temas y : Números enteros, racionales y reales Divisibilidad, factorización, mínimo común múltiplo, máximo común divisor, operaciones algebraicas, intervalos, ecuaciones e inecuaciones, potencias, ecuaciones de segundo grado, logaritmos, ecuaciones logarítmicas y exponenciales 7Números Tipos de números Naturales (N):,,,4,5,6... Enteros (Z): todos los naturales, y además, los del tipo?4,0,?7... Racionales (Q): todos los naturales y enteros, y además, los del tipo, 7,? 4 9,? Reales (R): todos los naturales, enteros y racionales, y además, los del tipo...,, ^... (los dos últimos se llaman irracionales: tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente y no pueden convertirse en una fracción; en cambio, el. es equivalente a la fracción 0, y por eso se dice que es racional). Números primos Son aquellos que sólo son divisibles (es decir, la división da un número entero) por sí mismos y por. Por ejemplo, 5 es primo, porque sólo es divisible por 5 y por, pero 6 no lo es, pues es divisible, además de por 6 y por, por y por. Factorización en primos Llamaremos así a la operación de descomponer un número como producto de factores primos. Para hacerlo, se empieza tratando de dividir el número por ; si da un resultado entero, se divide de nuevo por, y así hasta que sea posible; luego se trata de dividir por todas las veces posibles, luego por 5,7,,,7... (en general, por todos los primos). Al final, si el número no es divisible por nada más (es decir, es primo), lo dividiremos por sí mismo. Como ejemplo factorizaremos el número 5544; el resultado es 7, donde expresamos con las potencias el número de veces que aparece cada factor en la factorización (así, el aparece tres veces) Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm) Para hallar el mcd de dos números los factorizaremos, y luego multiplicaremos los factores comunes elevados al menor exponente que tengan. Para hallar el mcm de dos números los factorizaremos, y luego multiplicaremos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.. 5Ejemplo. Calcular el mcd y el mcm de los números: = = 5 mcd 550,900 = 5 = 950 mcm 550,900 = 5 7 = y 900. Primero los factorizamos: El mcd en este caso es el número más alto que existe que es divisor al mismo tiempo de 550 y 900 (cuando decimos que es divisor se debe entender, evidentemente, que la división da un número entero); ese número es 950. Y el mcm es el número más pequeño que es múltiplo al mismo tiempo de 550 y 900, siendo ese número (compruébese que es divisible por 550 y 900). Operaciones con enteros Se llama valor absoluto de un número al valor de ese número con signo positivo, independientemente del que tuviera. El valor absoluto se expresa entre barras. Así, el valor absoluto de? se expresa? y es. También es cierto que +5 = 5. En adelante, considérese sumar y restar como la misma operación: restar dos números es lo mismo que sumar al primero el negativo del segundo. Por ejemplo: 5? = 5 +? Para sumar dos enteros con el mismo signo se suman sus valores absolutos y se deja el mismo signo; para sumar dos enteros con distinto signo, se resta el valor absoluto del mayor menos el del menor y se deja el signo del mayor: = 55? 6 =? 5?5 + 6 = 5?5? 6 =? Para facilitar las sumas (o restas) hágase uso, si es necesario, de propiedades de los números como la conmutativa (el

15 Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales 9 orden no importa) o asociativa (al sumar tres números se pueden sumar primero dos de ellos cualesquiera y al resultado sumarle el tercero). Por ejemplo: 5?5 + =? 5 = 6 (obsérvese que es más fácil interpretar la segunda suma que la primera; no olvidar que cada número debe ir con su signo) 5?5 + 8? 9 =?5 + 8? 9 = 8? 5? 9 =? 9 =?6 Un signo + delante de un paréntesis permite quitar el paréntesis dejando los signos que están dentro del paréntesis; un signo? ante un paréntesis cambia los signos que están dentro: 5 +?8 + 7? 9 =? 8 + 7? 9 =?7 5??8 + 7? 9 = + 8? = Según eso se debe entender que podamos hacer las siguientes transformaciones si en algún momento nos conviene: =??8 5? 4 + =? 4? 5 + 8? 5 = + 8? 5 =??8 + 5 Para la multiplicación y división de números con signos se emplean las siguientes reglas: = +? 6? = + + 6? =?? 6 + =? + : + = +?:? = + +:? =??: + =? Operaciones con fracciones $Multiplicación: se multiplican los numeradores y los denominadores: 4 5 = 60 = (la última operación realizada es una simplificación de la fracción, algo que debe 5 hacerse (siempre que sea posible) dividiendo arriba y abajo por el mismo número hasta que no se puedan obtener números naturales más pequeños) $División: se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el resultado es el numerador de la fracción final; el denominador de ésta es el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda: 5 : 4 = 8 9 (irreducible) $Suma y resta: se busca el mcm de los denominadores, y ese será el denominador de la fracción final; luego, cada numerador de las fracciones que estamos sumando se multiplicará por el resultado de dividir el mcm por su denominador; la suma o resta (según el signo) de estos productos será el numerador de la fracción final: 5? ? los cuatro denominadores son,8,4 y, siendo su mcm = 4; ese será el denominador de la fracción final. Se divide a continuación 4 entre (= ) y se multiplica por (que es el numerador de la primera fracción); se hace igual con las otras fracciones, respetando siempre los signos, y queda: 5? ? = 6?6+76?64 =? 4 8 Prioridades a la hora de operar. Para operar en el numerador de la penúltima fracción del ejemplo anterior ( 6? ? 6 4), se deben efectuar primero las multiplicaciones y luego las sumas; esa es una regla de prioridad. La prioridad principal la marca un paréntesis y, aunque no esté escrito, se entiende que en expresiones como el producto está dentro de un paréntesis (se dice que la multiplicación y la división unen, y la suma y la resta separan), por lo que el resultado es 6, no 6. Del mismo modo, en el resultado es 7, no 5. En general, no es fácil enunciar unas reglas de prioridad, que sólo se aprenden con la práctica. La principal es la ya dicha: la máxima prioridad la marca un paréntesis, y cuando hay paréntesis anidados (unos dentro de otros), se deben resolver antes, si es posible, los más internos. El problema suele estribar en que normalmente en los enunciados de los ejercicios se prescinde de los paréntesis cuando no se consideran necesarios (siguiendo convenios universalmente aceptados). Varias normas a tener en cuenta en este sentido son, entre otras:. un producto o un cociente se entiende que va dentro de un paréntesis. el numerador y el denominador de una fracción se entiende que van cada uno dentro de un paréntesis. la propia fracción va toda ella dentro de un paréntesis 4. una raíz equivale a un paréntesis, y también su contenido va dentro de paréntesis 5. los logaritmos y las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc) equivalen a paréntesis 6. se pueden operar dos paréntesis (por ejemplo, multiplicarlos) sin necesidad de resolver cada uno por separado previamente, pero para ello hay que aplicar ciertas reglas especiales según el caso (en algunas ocasiones, la propiedad distributiva). Ilustraremos estas reglas con algunos ejemplos: es como si se escribiera, combinando las reglas anteriores: ; efectuamos primero el paréntesis más 4 4 interno 5 6 4, y luego sumamos,con lo que queda: (habiendo suprimido al final paréntesis innecesarios) a 4 este caso es casi como el anterior; ahora bien, 5 6 a no se puede simplificar más (en todo caso, se escribe más

16 0 TREVERIS multimedia simplemente como 5a), y tampoco sepuede sumar con. No obstante, se puede aplicar una regla especial, la propiedad +56a distributiva de la divisón respecto a la suma (o resta). Así, puede resolverse como a. En general, la propiedad 4 distributiva mencionada puede expresarse como: a+b c = a c + b c. 5? 5 + =?5 (en este caso ya dan los paréntesis en el enunciado del ejercicio; todo lo que hay que hacer es resolver ambos previamente) 5? b + a no se pueden resolver los paréntesis previamente (pues no cabe sumar + a), pero se puede aplicar una regla especial para operar con los paréntesis sin necesidad de resolverlos previamente: aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma:? b + a = 6 + a? b? ba (en general: a + b c + d = ac + ad + bc + bd y a b + c = ab + ac, reglas en las que hay que tener en cuenta los signos de cada elemento) es como si se hubiera escrito + 5, cuyo resultado es 7 (nótese que + 5 no es igual a + 5) es como si se hubiera escrito 4 6 9, cuyo resultado es 6 = 6 (nótese que es igual a = 6 = 6; es decir, la raíz de un producto (o cociente) es lo mismo que el producto (o cociente) de las raíces, pero la raíz de una suma (o resta) no es lo mismo que la suma (o resta) de las raíces, como se vio en el anterior ejemplo es lo mismo que +6 + = 8 4 = = 5? es lo mismo que = 6 =? 5?76 5??6 6 6 (nótese que el signo? que estaba en el denominador lo hemos puesto delante de la fracción; eso siempre es válido; es decir, es lo mismo escribir?4 que? 4 que 4? ) 5 +5?a +5?a 8?a 6?a es lo mismo que escribir = = Como dentro de los paréntesis no se puede a+ a+ a+ a+ operar más, se deja así, aunque suprimiendo los ya innecesarios: 6?a. a+ Cuando un numerador y un denominador contienen factores comunes que están (tanto en el numerador como en el denominador) multiplicando a todo lo demás, pueden cancelarse. Por ejemplo, eso ocurría en el anterior ejemplo cuando llegábamos a 8?a ; vemos que arriba y abajo aparece el a+. (Puede resultar curioso que hayamos llegado a dos multiplicando a todo lo demás; entonces, los cancelamos y queda: 8?a a+ resultados aparentemente distintos; en realidad son el mismo: 8?a es la misma fracción que 6?a a+ más simplificada al haber dividido en la segunda cada monomio por ). Otros ejemplos: a+ pero la primera está = = = [hemos escrito las dos últimas igualdades para indicar otra propiedad: es exactamente lo mismo multiplicar primero 5 por 6 y luego dividir el resultado por que dividir primero 5 entre y multiplicar luego el resultado por 6 o que efectuar primero la división de 6 entre y después multiplicar el resultado por 5 compruébese ; en general, si hay sumas o restas eso no es posible]. 5No cabe cancelar el en , ya que la expresión equivale a, lo que nos permite comprobar qu el del 6 6 numerador no multiplica a todo el resto del numerador, sino sólo a 5. 7Ecuaciones Intervalos Los números reales pueden representarse por los infinitos puntos de una recta:,,,,,====,====,,,,,, ==, ====,===, La figura es el segmento de recta que va, aproximadamente, entre el número real?7 y el 7 (sólo se han escrito los enteros, pero entre cada dos enteros hay infinitos números reales. Por ejemplo, entre el y el 4 están el.5, el., el número ^ o el 0. En matemáticas se considera mayor (>) todo número que esté a la derecha de uno dado en esa recta, y es menor (<) si está a la izquierda. Por ejemplo (mírese la recta y aplíquese lo dicho, teniendo en cuenta también el significado ordinario de mayor y menor ) cabe escribir: > (que es equivalente a escribir < ); >?; >?00;?.44 <? >? Los signos, tienen el significado de menor o igual y de mayor o igual, respectivamente, y cabe escribir? 0 5? 49 En la figura, los segmentos destacados con trazo doble se llaman intervalos. El representado a la derecha puede escribirse?,? y lo leeremos intervalo cerrado entre? y? si queremos meter en él los infinitos números reales que hay entre? y? incluidos el? y el? ; o puede escribirse?,?, y lo leeremos intervalo abierto entre? y?, si no se quiere incluir a ninguno de los dos. Otras posibilidades son?,? (cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, qu incluye al? pero no al?) y?,?. Estos dos últimos son intervalos semiabiertos. También cabe hablar de semirrectas abiertas y cerradas. Por ejemplo, todos los números mayores que incluido el constituyen la semirrecta cerrada x. Para decir que un número cualquiera x está dentro del intervalo?,? escribiremos x 5?,? (se lee x pertenece al intervalo?,? ) o bien lo indicamos así:? x? (es equivalente escribir? x?). En la recta del dibujo, el intervalo marcado con doble trazo a la derecha quiere representar al 4.6,6.65

17 Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales Potencias La propiedad fundamental de las potencias es su propia definición. En este sentido, debe tenerse muy claro, por ejemplo, que 5 = 5 5 5, que a 5 = a a a a a o que 5a = 5a 5a. Otra propiedad fundamental menos evidente es la de la potencia negativa: en general a?b = a b Con estas dos es fácil deducir las demás: & a m a n = a m+n (comprobación con números: = = 5 7 ) & a m a n = a m?n (comprobación con números: 5 = = = ) & a m n = a m n (comprobación con números: 5 = = 0 ) Si las bases son distintas no se puede operar con ellas, excepto que sean iguales los exponentes: & a n b n = ab n (comprobación con números: 5 = = = = 5 ) & a n b n = a b n (comprobarlo con números) También deben tenerse en cuenta todas las propiedades señaladas al revés ; por ejemplo, que ab n = a n b n o que a m?n = am. a n A veces, al operar con potencias aparece una expresión del tipo a 0 ; debe saberse que cualquier número elevado a 0 es igual a (ya que an a n es, pero también es igual a a 0 por la regla de la división de potencias). Raíces La propiedad principal de las raíces es que se pueden expresar como potencias de la siguiente forma: m a n = a n m Aunque esa potencia tenga un exponente fraccionario, a ella se le pueden aplicar todas las propiedades vistas antes. Ejemplos: = = = ? 4 6 = 4 4 = 4 = 8 = 8 = = = = 4 4 En este ejercicio se han hecho a propósito distintas manipulaciones para mostrar cómo se pueden tratar raíces. Por ejemplo, al empezar el ejercicio se sustituyó 6 8 por ; debe constatarse que la sustitución es perfectamente válida, pues 4 = ; y debe comprenderse que el cambio se ha hecho para procurar que todos los radicandos contuvieran el 4. Otra operación interesante es 8 = ; ésta es una operación típica de simplificación de raíces. Se trata de sacar todo lo posible de la raíz. Para ello se empieza por convertir el radicando en un producto de factores de potencias cuyo exponente coincida con el índice de la raíz, para luego sacarlas fuera, como se puede apreciar en ese nuevo ejemplo: 5 8 = 5 5 = = 5. Hemos aplicado ahí la propiedad de las raíces consistente en m a b = m a m b [demostración: m a b = a b m = a m b m = m a Otra propiedad interesante es: m a n = m a n [demostración: m a n = a m n = a m n = a n m = m a n (otra demostración diferente para el caso particular de m b ] 4 5 es: 4 5 = = = = 5 4 = 4 5 ] 8 En general, teniendo en cuenta el significado real de una potencia (por ejemplo, que : a = a a a), y las propiedades: a n = a y m a n = a n?n m podrían resolverse todos los problemas de raíces y potencias por lógica, sin conocer ninguna regla más.. Una práctica común en matemáticas es eliminar raíces de los denominadores, lo que se llama racionalizar ; veremos dos casos: a) en el denominador hay una raíz y nada más; entonces se multiplica numerador y denominador por esa raíz tantas veces como sea necesario para anularla (recordemos que si en una fracción numerador y denominador se multiplican ambos por la misma expresión, la fracción no cambia): 5 5 = = = 5 5 = = 5 5 = b) en el denominador hay una expresión del tipo a + b o a + b o a + b; entonces se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador, siendo los conjugados de las expresiones escritas anteriormente esas mismas expresiones pero con el signo central cambiado: 5?? =? +??? + =? +? =? Ecuaciones simples

18 TREVERIS multimedia Una ecuación consta de dos miembros separados por un signo = ; resolver una ecuación de primer grado consiste en dejar la incógnita sola en uno de los miembros. Para ello, se pasan todos los elementos que contengan la incógnita a un mismo miembro, y los demás al otro (para cambiar de miembro, lo que suma pasa restando, y al revés). Finalmente, el número que acompañe a la incógnita pasará al otro miembro dividiendo o multiplicando, según multiplicara o dividiera a la incógnita, respectivamente. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado: 5x = 6; x = 6 = 5 x = 7; x = 7 = (el signo de multiplicación lo escribimos indistintamente o 6, pero en algunos casos ni siquiera usaremos símbolo, como cuando escribimos 5x, que debe entenderse que quiere decir 5 6 x) 5x + = 4; x = 4? ; x = ; x = 5?x + = 4x? 7; + 7 = 4x + x; 0 = 5x; 0 5 = x; = x 5?? x =? x aquí multiplicaremos por? en ambos miembros en virtud de una propiedad de la siguiete propiedad de las ecuaciones: si se multiplica a ambos lados de la igualdad por un mismo número, la ecuación no varía (lo mismo pasa si dividimos por un número o sumamos o restamos un número o elevamos a un exponente ambos miembros completos). Al multilplicar por? conseguiremos quitar los signos negativos y, lo que es más importante, los denominadores de las fracciones:??? x =?? x ; + 4x = x; =?x;? = x; x =? 5 4 x? 5 = x+? 4 x + en este caso, en que los denominadores no son iguales, para poder eliminarlos conviene 5 multiplicar las cinco fracciones (la última es ) por el mcm de los cinco denominadores, que es 60: x? = 60 6 x+? x La propiedad asociativa de la multiplicación y la división nos dice que para 5 multiplicar 60 6 es lo mismo multiplicar primero 60 6 y dividir el resultado por 4 que dividir primero 60 entre 4 y 4 multiplicar el resultado por. Pues bien, en estos casos siempre haremos primero la división. Al final nos quedará siempre una igualdad sin denominadores. En este caso es: 5 6 x? = 5 6 x +? 6 x Simplificando: 45x? 00 = 0x + 5? x + 80; 45x? 0x + x = ; 7x = 95; x = 95 7 Para resolver una ecuación ecuación quitar primero los denominadores(multiplicando todos los sumandos por el mcm); luego efectuar los paréntesis que sea posible; finalmente, pasar a un lado todos los monomios que contengan la incógnita, y al otro los que no (recordando que al cambiar de miembro un monomio hay que cambiar su signo; finalmente, todo lo que multiplique a la incógnita debe pasar al otro miembro dividiendo (pero manteniendo su signo + o?) y todo lo que esté dividiendo a la x debe pasar al otro miembro multiplicando (pero sin cambiarle el signo que tuviera). La prueba de una ecuación La solución de toda ecuación debe probarse. Para ello basta sustituir la solución en la ecuación original y ver si la satisface. En el caso anterior: ? 5 = ? Operando a ambos lados de la igualdad se llega al mismo valor: 5 = 6 5 lo que demuestra que la ecuación está bien resuelta. 6 Inecuaciones simples Formalmente, la única diferencia entre una inecuación simple y una ecuación es que en la segunda, en vez del símbolo = figura alguno de los siguientes, llamados de desigualdad: >, <,,. Las reglas son prácticamente las mismas que para las ecuaciones, pero ha de tenerse en cuenta que si se multiplican ambos miembros por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad. Veamos un ejemplo: 5?x + 4; En esta ecuación, para quitar fracciones y que al mismo tiempo la x quede positiva es conveniente multiplicar a ambos lados de la desigualdad por? ; pues bien, como estamos multiplicando por un número negativo hay que invertir la desigualdad, cambiando por : x? 6?8; x?8 + 6; x? La solución es, pues, todo número x menor o igual? Ecuaciones de segundo grado Son del tipo ax + bx + c = 0; Tienen dos soluciones, que son: lo que se resume habitualmente con x =?b + b? 4ac a x =?b b?4ac a x =?b? b? 4ac a

19 Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales 5Resolver: x? x = 0, Se escribe la ecuación de manera que tenga la forma x? x? 0 = 0 x =?b b?4ac =????466?0 a el? de esa expresión; así: 6 = x = +9 4 = 5 x =?9 4 =? +80 = ax + bx + c = 0 y luego se aplica la fórmula indicada: ; Las dos soluciones se obtienen tomando primero el signo + y luego Como dijimos antes, los resultados de una ecuación de cualquier tipo siempre pueden y deben comprobarse; para ello sustituimos los valores obtenidos para x en la ecuación original y comprobamos si la igualdad se cumple. Por ejemplo, para x =? :??? = 0; = 0; 0 = 0 luego? es una solución válida para x; comprobarlo para 5. 5Resolver: x 4? x = 0 Ecuaciones como la anterior, que sólo contienen potencias cuarta y segunda de x se llaman bicuadradas. Se solucionan haciendo x = m y sustituyendo en la ecuación original, que quedará de segundo grado en m : m? m = 0; las soluciones son m =? y m = 5. Como x = m las soluciones de x serán, evidentemente: x = 5, x =? 5, x =? y x =?? (estas dos últimas soluciones son complejas, lo que explicaremos más adelante, en el capítulo correspondiente). Logaritmos log b n La expresión anterior se lee logaritmo en base b de n. Su solución es un número l que cumple: n = b l Por ejemplo: log = porque 000 = 0 log 9 8 = porque 8 = 9 log 7 = porque 7 = Existe también la operación llamada antilogaritmo, que es la inversa. Así, el antilogaritmo de en base 0 es 0 = 000. Los logaritmos tienen tres propiedades muy útiles: logm n = nlogm log m 6 n = logm + logn log m n = logm? logn Estas reglas permiten averiguar logaritmos de ciertos números conocidos los de otros: 5Calcular log 0 6 sabiendo que log 0 p 0.. log 0 6 = log 0 4 = 4log 0 u. 5Supóngase que se conocen los valores de log y de log 5 ; cuál es el log 75 en función de log y log 5? log 75 = log 5 6 = log 5 + log = log 5 + log 7En ciertas ecuaciones aparecen logaritmos. Se resuelven aplicando las dos propiedades vistas y, si al final una expresión del tipo loga = logb de ahí se deduce que a = b suprimiendo los logaritmos ( atención!: no se pueden suprimir en expresiones como ésta: loga + logb = logc salvo que los dos primeros los agrupemos previamente, según una de las propiedades vistas: log ab = logc ) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas teniendo en cuenta todo lo dicho: 5log x + log x = ; log x 6 x = ; log x = ; x = (aquí hemos aplicado el antilogaritmo, es decir, si log b n = l eso implica que n = b l ); x = ; x = 5log 0 x? log 0 00 = ; log 0 x 00 = ; x 00 = 0 ; x = 000 5log 0 x = log 0 x; log 0 x = log 0 x ; como ambos miembros completos están afectados de la operación log, podemos suprimirla: 8x = x ; y dividiendo ambos miembros por x : 8x = ; x = 8. 7En ciertas ecuaciones en que la incógnita figura como exponente en una potencia a veces hay que recurrir a los logaritmos para solucionarlas. Estas ecuaciones se llaman exponenciales. Veremos un ejemplo: 55 x? 5 x = Ésta se puede solucionar así: 5 x? 5 x = ; 5 x? 5 x = ; 5 x? 5 x = ; ahora se hace 5 x = m y queda: m? m? = 0, cuyas soluciones son m =? y m = ; por tanto 5 x =? y 5 x =. Tomamos logaritmos en la segunda igualdad: log5 x = log; xlog5 = log; x = log (también debería tomarse log 5 logaritmo en la primera igualdad, pero en este caso no encontramos una solución porque la expresión log? no tiene sentido: ni el logaritmo de un número negativo ni el de 0 está definido en el campo de los números reales. Por otro lado, el log en cualquier base es 0.

20 4 TREVERIS multimedia Hay un tipo particular de logaritmo llamado neperiano. Sus propiedades son idénticas a las anteriores; su característica diferencial es que su base es el llamdo número e (número irracional cuyas primeras cifras son.788).