DESPLAZAMIENTO VECTORES

Transcripción

1 CAPÍTULO DESPLAZAMIENTO ECTORES Hemos indicdo que un cuerpo se mueve cundo cmi de posición en el espcio. Es mu importnte en Físic ser medir ese cmio de posición, introduciendo el concepto de desplzmiento. Este concepto dee contener e indicr no sólo l mgnitud del cmio de posición, sino demás, l dirección en que se h efectudo el cmio. Si un cuerpo se h movido de l posición A l posición B, no importndo qué trectori h B seguido, definimos como desplzmiento de este AB cuerpo l trzo dirigido que v desde l posición A l finl B. A El desplzmiento de A B, que podemos simolizr por AB, es uno de los ejemplos del ente mtemático que indic mgnitud dirección, llmdo vector. Supongmos que un turist cmin lo lrgo de 2 Norte desde 4 Poniente hst 2 Oriente. El desplzmiento correspondiente lo representmos por el vector: NORTE 9 NORTE 11 NORTE PO 8 NORTE 7 NORTE cu mgnitud, de cuerdo l escl del plno, es proximdmente 650[m]. Otr person prte de l intersección entre 3 Poniente 4 Norte, nd por 4 Norte hst 1 Oriente, luego dol j por 1 Oriente hst l 2 Norte. 5 PONIENTE 4 PONIENTE 4 NORTE 3 NORTE 2 NORTE 6 NORTE 5 NORTE 3 PONIENTE 2 PONIENTE 1 PONIENTE AENIDA LIBERTAD 1 ORIENTE 2 ORIENTE 137

2 El desplzmiento de est person, de proximdmente 470[m] de mgnitud, está indicdo por el vector d : TRAYECTORIA d DESPLAZAMIENTO Desde l esquin de 5 Norte con Sn Mrtín, un petón se dirige por Sn Mrtín hst 8 Norte en seguid regres por 4 Poniente hst 5 Norte. Su desplzmiento corresponde l vector Δ r de l figur. L mgnitud de este vector es proximdmente 200[m]. Ejemplo Representemos, escl, l siguiente trectori de un móvil que prtiendo de un punto A vij: 40[km] l S, luego 55[km] l E, 70[km] l N finlmente 20[km] l SO. Determinemos l distnci recorrid l mgnitud dirección del desplzmiento en este movimiento. Elegimos como sistem de referenci el punto inicil A l dirección Sur Norte, con un [km] escl decud diujmos los sucesivos desplzmientos. L distnci recorrid lo lrgo de l trectori, es: ( )[km] = 185[km] L mgnitud del desplzmiento totl en este movimiento es igul l mgnitud del vector daf diujdo entre l posición inicil A l finl F. Su vlor es de 44[km], proximdmente. A 69 daf F L dirección del desplzmiento l podemos expresr medinte el ángulo formdo por el correspondiente trzo dirigido un dirección de referenci. En este cso el ángulo formdo por el vector daf l dirección Sur-Norte es proximdmente 69. Fíjese que l representr l informción sore el movimiento, hemos indicdo no sólo ls mgnitudes de los sucesivos desplzmientos, sino tmién sus direcciones, sin ls cules no podrímos determinr l trectori descrit por el móvil. Similrmente, el desplzmiento resultnte qued determindo sin migüedd l indicr su mgnitud su dirección. 138

3 Ejercicios 5-1) Determine el menor vlor de l longitud de l trectori l mgnitud del vector desplzmiento pr ir desde l intersección de 6 Norte con Sn Mrtín, hst l intersección de 8 Norte con 2 Oriente. 5-2) Un niño en su iciclet efectú un circunvlción un mnzn de su ciudd, regresndo l mismo punto de prtid. Determine l mgnitud del desplzmiento. 5-3) Un jugdor de fútol entrenndo trot 40[m] lo lrgo de l orill de l cnch después de girr en 30 hci l cnch, trot 20[m] más. Represente, escl, l trectori el desplzmiento del jugdor. Determine l mgnitud del desplzmiento su dirección respecto l orill de l cnch. 5-4) Supong que l Tierr descrie un circunferenci lrededor del Sol un distnci de 150 millones de kilómetros. Represente escl l trectori el desplzmiento de l Tierr cundo d un curto de vuelt. Escoj un sistem de referenci decudo. Determine l mgnitud del desplzmiento de l Tierr. 5-5) Un futolist chute un tiro lire desde un distnci de 30 metros del rquero, que está en el centro del rco. L pelot entr justo rozndo el verticl el horizontl del rco. Consígse ls dimensiones del rco. Hg un digrm de l escen, situndo l futolist en l form que usted estime conveniente. Determine l mgnitud del desplzmiento de l pelot. Piense si cmindo l posición del futolist, mnteniendo los 30 metros, vrí l mgnitud del desplzmiento de l pelot. oculrio: esclres En el estudio de l Físic encontrmos cntiddes como tiempo, ms, crg eléctric, tempertur, energí, etc., que quedn completmente expresds por un número rel un unidd de medición correspondiente. Al trjr, en el contexto de l Físic clásic no reltivist, con ls mgnitudes de este tipo de cntiddes físics, usmos el álger de los números reles, lo que está de cuerdo con los experimentos. Dichs cntiddes son cntiddes esclres. Tmién en Físic encontrmos otrs cntiddes que sólo quedn determinds cundo se conoce, demás de su mgnitud, su dirección, que oedecen regls lgerics propis. Al igul que el desplzmiento, l velocidd, celerción, fuerz, torque, intensidd de cmpo eléctrico, etc., gozn de ls propieddes de los vectores. 139

4 ectores: representción notción Representmos los vectores por trzos dirigidos. Simolizmos los vectores por un expresión literl con un flech encim, por ejemplo:, E, CD. E D CD C En el vector CD el orden de ls letrs indic el punto inicil el finl, respectivmente. L mgnitud, norm o módulo de un vector l expresmos encerrndo su símolo entre dole rrs o quitndo l flech l expresión literl correspondiente. Por ejemplo: l mgnitud de l escriimos: = l mgnitud de CD l escriimos: CD = CD Al representr vectores escl, l longitud de los trzos empledos l hremos proporcionl sus mgnitudes. Por ejemplo: P 1 = P 1 = 10 P 2 = P 2 = 20 P 3 = P 3 = 30 P 1 P 2 P 3 B 1 = B 1 = 1, 4 B 2 = B 2 = 4,2 B 3 = B 3 = 7,0 B 2 B 3 B 1 ector cero o vector nulo Un vector cu mgnitud es cero se denomin vector cero. Lo simolizmos por 0 o simplemente 0. Convenimos que el vector 0 tiene culquier dirección. L mgnitud de todo vector no nulo es, por definición, un número positivo. 140

5 ectores igules Dos vectores que tienen l mism mgnitud l mism dirección son igules. L iguldd de vectores es, por convenio, independiente de sus posiciones. Por ejemplo, en l figur tenemos que: = = c = c Aunque dos vectores tengn igul mgnitud, ellos pueden ser diferentes. En l figur se muestr que: d = e, d e d e tmién, unque: dirección de f = dirección de g, f g. f g Multiplicción de un vector por un esclr Al multiplicr un vector por un esclr λ result otro vector λ cu mgnitud es λ veces l mgnitud de : λ = λ cu dirección es igul l dirección de si λ > 0, opuest l de si λ < 0. λ,con λ =1,5 > 0 λ,con λ = 1,5 < 0 Tmién se suele decir que el vector que result l multiplicr un vector por un esclr λ negtivo ( λ < 0 ) tiene igul dirección sentido contrrio que el vector. L frse entre comills es equivlente dirección opuest. Nos sentiremos lires de usr culquier de estos convenios, siempre que no se presenten migüeddes de interpretción. 141

6 Dos vectores prlelos, no nulos, son proporcionles. Esto lo escriimos: = α o = β ( β = 1/ α ) Tenemos ls siguientes relciones entre el esclr cero el vector cero : 0 = 0, pr todo vector λ 0 = 0, pr todo esclr λ con lo cul, si λ u = 0, entonces λ = 0 o u = 0, o mos. Adición de vectores L sum vectoril + es por definición un vector cuo punto inicil es el inicil de cuo punto finl es el finl de, colocdos como se muestr en l figur. Este método de relizr l dición de vectores es conocido como regl del triángulo. De l figur djunt se infiere que: + = + es decir, l dición de vectores es conmuttiv. Otro método pr relizr l sum de dos vectores es conocido como l regl del prlelogrmo. Sen dos vectores. Pr sumr los vectores se diujn con su inicio en común. Luego se trz, por el extremo de cd uno, un prlel l otro. L sum + es l digonl correspondiente l vértice con el inicio de los vectores. Anlice este método pr compror que es coherente con l definición inicil de l sum de vectores. Amos métodos serán usdos en los futuros desrrollos. 142

7 L multiplicción por un esclr es distriutiv con respecto l dición de vectores. Es decir: λ ( + ) = λ + λ cu demostrción se reliz plicndo en l figur djunt los teorems de proporcionlidd de trzos en figurs semejntes. λ λ Mgnitud de l sum + * Si mos vectores tienen igul dirección se cumple que: + = + + Si los dos vectores son perpendiculres podemos plicr el Teorem de Pitágors otenemos: + = Si los vectores tienen direcciones opuests result: + = si > + se cumple + = + cundo lo que equivle decir que: + = 143

8 En generl, l mgnitud de l sum + depende de ls direcciones reltivs de de, cumpliéndose que: Rest de dos vectores Se llm ditivo inverso del vector l vector que tiene l mism mgnitud que l dirección opuest. Tl vector result de multiplicr por el esclr 1: ( 1) = Pr efectur l rest se sum vectorilmente l vector el ditivo inverso del vector, es decir: = + ( ) como se ilustr en l figur djunt. Oserve que, si se uicn los vectores con su origen en común se construe el prlelogrmo, un de sus digonles represent el vector +, l otr, l diferenci o. En este último cso, l dirección del vector diferenci v hci el vector minuendo, es decir, el que está en el inicio de l rest

9 Ejemplos sore operciones con vectores Ddo el vector indicdo en l figur, construmos los vectores c = 1,8. = 2,7 Pr resolver este ejercicio recordmos que el vector es prlelo (igul dirección) l vector su mgnitud (módulo, norm) es 2,7 veces mor: = = 2,7 = 2,7 = 2,7 0,7 El vector c tiene dirección contrri l del vector su módulo es 1,8 veces el módulo de. c = c = 1,8 = = 1,8 = 1,8 0,8 Note que, siendo el módulo del vector, es positivo ( >0) por tnto: = 2,7 > 0 c = 1,8 > 0 c Se v = 3,4 d 1, 9 d d un vector ddo. Determinmos el vector w = v u donde u = 2,3 d + 0,8 d Los vlores u v en función de d son: u = 2,3d + 0,8d = ( 2,3 + 0,8 ) d = 3,1d con lo cul: v = 3,4d 1,9 d = ( 3,4 1,9 ) d = 1,5 d w = v u = 1, 5 d 3,1 d = 1, 6 d Un form más direct de hcer tl diferenci es: w = 3,4d 1, 9 d ( ) ( 2,3d + 0,8d) ( ) d = = 3,4 1, 9 2,3 0,8 = 1, 6 d 145

10 Un rco prte de un puerto recorre 120 [km] hci el Norte luego 270[km] hci el Noreste. Determinemos su uicción finl respecto l punto de prtid. El recorrido del rco lo representmos, escl, en l figur djunt, donde P indic el puerto de prtid, A el punto donde gir l NE B l posición lcnzd. Entonces, los sucesivos desplzmiento están ddos por los vectores PA módulos: AB, de N B NE = PA = 120[km] = AB = 270[km] PB L uicción finl del rco está determind por el vector PB : = PA + AB Por tnto, l mgnitud del desplzmiento totl es d = PB el ángulo 32, respecto l dirección Sur Norte. O A P φ S 365[km] su dirección está dd por E Es decir, el rco está 365[km] del puerto en dirección de 32 l Este del Norte. Dos vectores A B formn entre sí un ángulo de 52 ; el módulo de A vle 3,2[mm]. Cuál dee ser el módulo de B pr que el vector A B se perpendiculr A? Pr resolver gráficmente este prolem: Diujmos escl el vector A. En el inicio de A copimos el ángulo de 52. B A B Levntmos un perpendiculr l vector A en su punto finl. 52 A L intersección de l perpendiculr con el ldo lire del ángulo nos determin el punto finl del vector B. Tomndo en cuent l escl usd, el módulo del vector B result ser proximdmente igul 5,2 [mm]. 146

11 Demostremos que si OA OB CAPÍTULO / DESPLAZAMIENTO ECTORES son dos vectores no nulos no prlelos, culquier vector en el plno determindo por ellos puede ser expresdo en l form λ OA + μ OB siendo λ μ dos esclres decudos. A Los vectores OA OB nos determinn un plno. A Escogemos un punto C ritrrio de ese plno. Por C trzmos prlels OA OB O determinndo los puntos B A C = λ OA Entonces: OC = OA '+ OB ' pero como: OA ' result: OC = λoa + μ OB OB ' = μ OB B B con OA Hiendo escogido un punto C de modo ritrrio, hemos prodo que culquier vector coplnr OB Sen = OA, puede ser expresdo en l form λ OA + μ OB. = OB c = OC puntos A, B C son colineles se cumple que c = λ + μ con λ + μ = 1. tres vectores ddos con un punto común O, ritrrio. Si los Pero colineles. De l figur podemos escriir que: AB = AC = c AC = μ AB ( ), por tnto c = μ ( ) de donde c = μ + 1 μ Hciendo demostrr. por ser A, B C λ = 1 μ tenemos que: O c = λ + μ con c A C B λ + μ = 1, relción que uscámos Además, en este cso ls longitudes de los trzos AC CB están en l rzón μ λ. Un demostrción es l siguiente: Como AC = μab, l longitud del trzo AC es: 147

12 AC = AC = μ AB = μ AB l longitud del trzo CB es: CB = AB AC = ( 1 μ ) AB = λ AB es decir AC :CB= μ : λ Demostremos que en un prlelogrmo ls digonles se dimidin. Sen = AB = AD D C Se P el punto de intersección de ls digonles. Y que los puntos finles de, AP son colineles. AP = λ + μ con λ + μ = 1 A P B AP ( ) por ser AP Por otr prte = ν + De lo nterior deducimos que: λ + μ = ν + ( ) ( ) = ( ν μ). Es decir : λ ν prlelo con AC. Siendo que l iguldd α p = β q con si α = β = 0, tenemos que: p q vectores no prlelos no nulos, sólo se cumple λ ν= 0 ν μ = 0 Como demás λ + μ = 1, según condición nterior, result: λ = μ = ν = 1 2 Por tnto, P es punto medio de AC BD. 148

13 Demostremos que ls trnsversles de grvedd de un triángulo son concurrentes se cortn en l rzón 2:1 prtir del vértice. Sen D F puntos medios de dos ldos C del triángulo. Hgmos AB = c, AC = AD = d De cuerdo l resultdo del prolem nterior. 1 d = AF = c 2 Se cumple de 2 + c ( ) que A E F P D B Se P el punto de intersección de ls trnsversles de grvedd con vértices en A C. Entonces: AP = λ d = λ 2 + c ( ) Como los puntos C, P F son colineles, podemos escriir: c AP = ν + μ siendo ν + μ = 1 2 λ por consiguiente: + c c 2 ( ) = ν + μ 2 λ 2 ν = μ 2 λ 2 c Además, ddo que c no son prlelos se cumple: λ 2 ν= 0 μ 2 λ 2 = 0 considerndo ν + μ = 1, result: Luego : AP = 2 3 AD, de donde μ = λ = 2 3 ν = 1 3 tmién AP :PD = 2:1 CP :PF = μ : ν = 2:1 Procediendo de mner nálog pr ls dos trnsversles con vértice en A B, se complet l demostrción. 149

14 Ejercicios 5-6) Diuje un vector culquier luego constru los vectores: 4 ; 3; 2,3 ; 2 ; 4 5 1, 9 5-7) Sen c vectores ddos. Clcule ls siguientes sums de vectores: 2,3 + 3,4 0,6 + 0,8 5,8 =? 4,1 c 3,5 c + 3 c/5 3 c/10=? 1, 5 + 3,5 0,6 + 0,8 =? 3,2 c + 2,3 c 1, 7 c + 1, 4 c =? =? 5-8) Sen, c tres vectores prlelos que cumplen demás ls condiciones: = 1, 7 = 1, 2 c Exprese en función de cd uno de los siguientes vectores: p = 0,6 + 1, 4 1, 6 c r = 1, 2 2,3 + 2,3 c 4 t = c 3 2 q = c 3 4 s = 2,3 7 1, 2 c u = 0,8 + 1, 5 2,3 c Exprese tmién estos vectores en términos de luego en términos de c 5-9) Demuestre que son prlelos si λ + μ = 0 siendo λ μ distintos de cero. 5-10) Un eroplno vuel 180[km] hci el Este luego 120[km] 50 l Norte del Oeste. Determine gráficmente el desplzmiento resultnte (mgnitud dirección). 5-11) Efectúe gráficmente ls siguientes sums vectoriles: - Un vector de módulo 2,3[cm] hci el Este más un vector de módulo 3,1[cm] hci el Noreste. - Un vector de módulo 9,2[cm] hci el Este más un vector de módulo 12,4[cm] hci el Noreste. Compre ms sums Se cumple λ + λ = λ( + )? 5-12) Se ABCD un prlelógrmo sen = AB = AD. Exprese BC, CD, CA BD en términos de. 5-13) Se dn dos vectores U tles que vectores U. Exmine posiiliddes. Comente. A D U + = U. Determine el ángulo que formn los B C 150

15 5-14) Se A un vector fijo se B el símolo de todos los vectores de igul módulo que A pero de dirección vrile. Exmine el vlor de l expresión A B A, preocupándose en qué csos es mor, igul o menor que cero. 5-15) Ddos dos vectores F 1 F 2 tles que F 1 = 5,0[N], gráficmente el módulo de F 1 F 2 el ángulo que formn F ) Diuje dos vectores A A + B A + B A B A B. F 2 = 4,2[N] F 2. F 1 + F 2 = 2,3[N], determine B culesquier. erifique, por gráficos que se cumple 5-17) Considere tres vectores A, B C que tienen un origen común O. Qué condiciones deen stisfcer tles vectores pr que O sus extremos sen los vértices un prlelógrmo? 5-18) Diuje un vector p de 4,0[cm] de módulo, en dirección 70 l Este del Norte otro vector q de 6,5[cm] de módulo en dirección 130 l Este del Norte. Constru el vector r = 2p + 3 q. Determine el módulo l dirección de r. 5-19) Diuje un vector C. Constru dos vectores A B de tl modo que C se l sum de A B. Al representr un vector ddo como l sum de dos vectores quedn éstos determindos sin miguëdd? 5-20) Diuje un vector C. Exprese C como l sum de vectores A Discut si l solución es únic. B que cumpln A = B. 5-21) Diuje un vector C. Exprese C como l sum de vectores A B tles que A B Es l solución únic? 5-22) Ddos los vectores p, q r, constru los vectores, q r p q p p r = p c = 2 3 = r ) Ddos dos vectores c d, constru: u = 2 c 3 d v = 5 c + d 2 2 c tles que: 5-24) Se v un vector no nulo culquier. Exprese, en función de v, un vector en l dirección v que teng módulo uno. 5-25) Ddo un vector esclres λ μ, demuestre que λ μ ( ) = μ λ 2 ( ). 5-26) Sen ABC un triángulo equilátero de ldo, F el pie de l perpendiculr jd desde el vértice C. Clcule los módulos de los vectores AF, CF AF + FC. 5-27) Sen, c tres vectores de igul módulo, cus direcciones formn ángulos de 0, con respecto cierto ro ddo. Determine l sum + + c. 5-28) Constru un pentágono regulr. Desde su centro diuje los vectores sus vértices. Determine l sum de tles vectores. 151

16 5-29) Sen A, B, C D cutro puntos no linedos situdos en un mismo plno. Encuentre tres puntos M, N Q, tles que: BM = CD, BN = AC CQ = NB 5-30) Considere dos puntos A B. Determine lo menos dos puntos Q tles que ( ). AB + AQ = 2 AB AQ 5-31) Dos vectores p q son perpendiculres tienen mgnitudes 4 9 respectivmente. Determine gráficmente l mgnitud l dirección de p q. Clcule l mgnitud de tl diferenci compárel con l otenid gráficmente. 5-32) Un hexágono regulr está formdo por seis vectores de igul módulo. Sen f dos vectores dcentes. Exprese, en términos de f, los vectores correspondientes los otros ldos los vectores correspondientes ls digonles desde el punto A. f A 5-33) Ddo un triángulo ABC un punto A, se pide completr un nuevo triángulo de modo que pr un punto O culquier se cumpl: OB ' = OA ' + OB OA OC ' = OA ' + OC OA Cómo es el nuevo triángulo con respecto l primero? 5-34) Considere dos puntos A B. Determine los menos un punto P tl que AB AB AP. + AP se ortogonl 5-35) Sen, c tres vectores que tienen un punto inicil común O. Demuestre que si existen tres esclres λ, μ ν tles que λ + μ + ν c = 0 λ + μ + ν = 0, entonces, los puntos terminles de, c son colineles. 152

17 Componentes vectoriles de un vector Hemos prendido que l dición de dos o más vectores d como resultdo un vector. Consideremos hor el prolem recíproco: ddo un vector encontrr los vectores sumndos. Fácilmente nos dmos cuent que un vector se puede expresr como l sum de numerosos conjuntos de dos, tres o más vectores. Por ejemplo, ddo el vector podemos escriir: = p + q + r + s tmién: = u + v + w como se muestr en l figur. Estos vectores no necesrimente están en un mismo plno. A los vectores que sumdos dn el vector originl los llmremos componentes vectoriles del vector. En prticulr, podemos descomponer un vector en dos componentes vectoriles. El prolem consiste en encontrr dos vectores u v que sumdos den un vector conocido. El prolem sí presentdo no tiene solución únic. El prolem qued determindo si gregmos l condición de que los vectores u v sen coplnres con el vector ddo que tengn direcciones fijs determinds. Se el vector ddo sen MM NN ls direcciones exigids. Trzndo por el punto finl ls prlels ess direcciones otenemos los vectores c que cumplen: = + c Notemos que hor tenemos sólo un pr de vectores que sumdos dn. Por tnto, esos vectores son ls componentes vectoriles únics de con ls condiciones que hemos fijdo. M c N N M 153

18 ector unimodulr o unitrio Ddo culquier vector v, distinto de cero, llmmos vector unimodulr en l dirección de v l siguiente vector: El vector û tiene mgnitud o módulo 1: û = v v ; v 0 ( ) û = v v = 1 v v = 1 crcteriz un determind dirección. Supong que l velocidd de un vión es: v = 350 km / h (, hci el norte) L mgnitud de est velocidd es el esclr positivo v = 350 km / h Hgmos el producto del vector v por el esclr 1 v, es decir, dividmos el vector por su propi mgnitud: 1 v v = vv = ( ) 350 km h, hci el norte 350 km h El resultdo es un vector que tiene igul dirección que v v = 350 km h 350 km h = 1 sin uniddes, es decir, un vector unitrio: v, cu mgnitud es v = 1 sin uniddes v, hci el norte ( ) Podemos designr este vlor usndo el símolo û norte, en donde l flech de vector h sido reemplzd por un pequeño techo que indic que el vector tiene mgnitud 1. û norte = ( 1 sin uniddes, hci el norte ) Aunque el vector û norte fue otenido prtir de un velocidd, este vector en sí no tiene ningun relción con l velocidd del vión. Es un vector dimensionl de mgnitud 1 que punt hci el norte. En consecuenci, puede ser utilizdo pr expresr culquier otro vector que esté en l dirección surnorte, como puede verse en los ejemplos que vienen continución 154

19 Ejemplos L fuerz F = ( 17[N], en dirección sur), puede expresrse como: F = 17[N] û norte L velocidd del vión puede escriirse como: v = 350 km h û norte Podemos estlecer como principio generl que st un solo vector unitrio pr expresr todos los vectores prlelos o ntiprlelos un dirección dd. Culquier vector prlelo v se puede escriir en l form α û. Por ejemplo, si p v : p = p u û u donde p u es un esclr positivo (negtivo) si p tiene igul (opuest) dirección que u. El módulo de p es: p = p u û = p u û = p u û p Esto es, el vlor soluto del esclr p u es igul l módulo del vector p. Componentes esclres de un vector olvmos considerr el prolem de escriir un vector ddo como l sum de dos componentes vectoriles coplnres con direcciones fijs. Crctericemos tles direcciones fijs por dos vectores unimodulres û ˆv respectivmente. Se el vector ddo, podemos entonces escriir: = p + q Como p = α û q = β ˆv, siendo α β ˆv û esclres, result: = α û + β ˆv lo que solemos escriir: = u û + v ˆv p ˆv ṷ q 155

20 A estos números u v le llmmos ls componentes esclres de en ls direcciones û ˆv respectivmente. Notmos que, en el ejemplo diujdo, l componente esclr u es negtiv l v es positiv. Ddo que el cálculo de ls componentes esclres de un vector es prticulrmente simple cundo ls direcciones fijds son perpendiculres, restringiremos nuestro estudio sistems de ejes coordendos ortogonles. Estos sistems de coordends son los de mor uso en los primeros niveles de Físic. Mediciones en triángulos semejntes con un ángulo común Diujmos un ángulo α. Construimos perpendiculres uno de sus ldos, formándose un conjunto de triángulos rectángulos, semejntes, con un ángulo común. Designmos por 1, 2, i..., n 1, 2,, i, n ls longitudes de los ctetos por c 1, c 2, c i,, c n ls longitudes de ls correspondientes hipotenuss. c i i α i Pr cutro de tles triángulos medimos ls longitudes de sus ldos clculmos los cuocientes presentdos en l tl. i [mm] i [mm] c i [mm] i c i i c i i i 29,0 7,4 29,8 0,248 0,973 0,255 67,0 17,8 69,2 0,257 0,968 0,266 97,0 25,9 100,4 0,258 0,966 0, ,0 32,0 124,0 0,258 0,968 0,

21 Procediendo de mner nálog con un ángulo diferente, otuvimos los siguientes resultdos de l tl. i [mm] i [mm] c i [mm] i c i i c i i i 27,0 58,3 646,4 0,905 0,419 2,159 36,0 77,7 85,7 0,907 0,420 2,158 42,0 90,5 99,8 0,907 0,421 2,158 51,0 110,0 121,3 0,907 0,420 2,157 L geometrí estlece, en los teorems de figurs semejntes, que ls longitudes de ldos homólogos son proporcionles, es decir, que ls rzones entre ells son constntes. Medinte ls tls nteriores queremos que usted visulice, en prticulr, que en triángulos rectángulos semejntes los cuocientes entre ls longitudes de los ldos tienen vlores constntes que dependen de los ángulos de esos triángulos. Consideremos un triángulo rectángulo. Con respecto l ángulo α, un cteto lo llmmos opuesto l otro dcente. Los cuocientes: cteto opuesto = hipotenus c cteto dcente = hipotenus c cteto opuesto = cteto dcente α c son crcterístics del ángulo α se designn por nomres especiles : Seno de α.. sen α = /c Coseno de α.. cos α = /c Tngente de α..tg α = / Ests relciones se ls hemos presentdo usted pr que podmos operr con ells en el cálculo de componentes de vectores. Usted estudirá Trigonometrí en form fundmentl detlld en sus cursos de Mtemátic. 157

22 Ejemplos Consideremos un triángulo rectángulo isósceles. En él: = 2 2 c = + = 2 Por tnto: 1 sen 45 = = = = 2 2 = cos 45 c 2 2 tg45 = = 1 c 45 Consideremos un triángulo equilátero de ldo. Su ltur es h = 3 2 (plique Pitágors). Entonces: sen 60 = h = 3 2 0,866 = cos h cos 60 = 2 = 1 2 tg 60 = h 2 = 3 1,732 0,500 = sen /2 /2 tg 30 = 2 h = 1 3 0,577 Diujemos dos vectores A B tles que A B. Se C un vector en el plno determindo por A B que forme un ángulo α con el vector A. Determinemos dos esclres λ μ, tles que C = λ A + μ B. Entonces, pr el cso diujdo: λ A = μ B = C λ = A C C cosα cosα senα B α A C μ = C B senα C μ B α λ A 158

23 En prticulr, si elegimos A = B = 1, result: C A = λ = C cosα C B = μ = C senα Los números C A C B son ls componentes esclres del vector C en ls direcciones de A B respectivmente. Tmién decimos que C A C B son ls proecciones del vector C sore ests misms direcciones. Componentes ortogonles de un vector v Elijmos un sistem de dos ejes ortogonles. Denotemos por î ĵ los vectores unimodulres ( î = ĵ = 1 ) en l direcciones del eje x del eje respectivmente. v Se tles ejes. un vector en el plno formdo por ĵ î α x Este vector está determindo si conocemos su módulo, =, su dirección. Podemos indicr l dirección por el ángulo que form con el eje x : α v = (,î ). Tmién el vector está determindo por sus componentes en l dirección x en l dirección. = C x + C C x, C : componentes vectoriles ( ) ( ) = x î + ĵ x, : componentes esclres Donde C x = x C = Ams crcterizciones del vector están relcionds por: x ( v) ( ) = cos α = sen α v ( ) 2 2 x = + tg α = v x α x 159

24 Si 0, sus componentes positivo, los signos de de. x x pueden ser positivs o negtivs. Siendo su módulo dependen de los signos de ( v ) sen α cos( α ) v, esto es de l dirección Al trjr en el espcio euclidino de tres dimensiones escogemos un tríd de ejes perpendiculres entre sí. Llmemos î, ĵ ˆk los vectores unimodulres en ls direcciones de los ejes, x,, z respectivmente. Un vector en el espcio lo expresmos como: = x î + ĵ + z ˆk z ˆk ĵ Siendo x, z sus componentes esclres o proecciones sore los respectivos ejes. î x z z z z α x x β x γ x c x El módulo del vector está ddo por: = = c 2 + z 2, con = x + c por lo tnto: î, ĵ, ˆk : = = x z 2 L dirección del vector qued determind por los ángulos que él form con los vectores α = (, î ) β = (, ĵ ) γ = (, ˆk ) 160

25 los que se determinn, por ejemplo, usndo cosα = x, tgγ = 2 2 x + z otrs relciones nálogs que dejmos usted l tre de uscr. El producto de un esclr λ por un vector A = A x î + A ĵ + A Z ˆk es: ( ) λ A = λ A x î + A ĵ + A z ˆk = λ A x î + λ A ĵ + λ A z ˆk Al expresr los vectores A B por sus componentes rectngulres, relizmos su dición en l siguiente form: A + B = A x î + A ĵ + A z ˆk ( )+ B x î + B ĵ + B z ˆk ( ) = A x î + A ĵ + A z ˆk + Bx î + B ĵ + B z ˆk = ( A x + B x )î + ( A + B )ĵ + ( A z + B z)ˆk L sum sí otenid es igul lo que result usndo el método geométrico ntes visto, como se puede compror en l figur djunt. Si S = A + B, entonces: S x = A x + B x S = A + B Pr que los vectores = x î + ĵ + z ˆk = x î + ĵ + z ˆk sen igules, sus componentes deen ser igules, esto es: x = x = z = z L iguldd de dos vectores en un espcio de tres dimensiones implic tres ecuciones esclres: 161

26 Ejemplos Clculemos l sum de los vectores A = 3,1î 2ĵ + 7 ˆk B = 2,2 î + ĵ + 0,2 ˆk. A + B = 3,1î 2 ĵ + 7 ˆk ( )+ 2,2 î + ĵ + 0,2 ˆk = ( 3,1 2,2)î + ( )ĵ + ( 7 + 0,2 )ˆk = 0,9 î ĵ + 7,2 ˆk ( ) Le recomendmos que represente gráficmente los vectores A, B Sen = 3 î 6 ĵ + 8 ˆk Clculemos l mgnitud de. = 3 î + 2 ĵ + 6 ˆk dos vectores ddos. A + B. Por lo tnto: = ( 3 i 6 j + 8k ) 3 i + 2 j + 6 k ( ) ( ) i + ( 6 2) j + ( 8 6) k = 3 3 = 8 ĵ + 2 ˆk = ( 8 ) 2 + ( 2) 2 = 68 8,2 Un vector de módulo 5,0 form un ángulo de 30 con el eje z. Su proección en el plno x form un ángulo de 45 con el eje x. Clculemos los componentes esclres del vector. El módulo de es = = 5 z L proección p de sore el plno x es: p = cos 60 =5,0 0,50 = 2,5 entonces: x = p cos 45 2,5 0,71 1, 8 = p sen45 2,5 0,71 1, 8 30 z = p cos30 5,0 0,87 4,4 45 p x 162

27 ector posición Pr indicr l uicción de un punto es necesrio elegir previmente un sistem de referenci. Tomemos como referenci un sistem de ejes coordendos ortogonles con origen O. En tl sistem, l posición de un punto P está dd por el vector OP son ls coordends x p, p,z p cus componentes { } del punto P. OP = x p î + p ĵ + z p ˆk Este vector OP es el vector posición del punto P suele notrse por r p = OP. L distnci del punto P l origen O es igul l módulo del vector posición OP : d OP = OP = x 2 p p + z p * Encontremos l distnci entre los puntos A B cus coordends, en un sistem de referenci escogido, son respectivmente: { x A, A,z A } { x B, B,z B } Los vectores posición de estos puntos son: ra = OA = x A î + A ĵ + z A ˆk rb = OB = x B î + B ĵ + z B ˆk De l figur vemos que l distnci entre los puntos A B es l mgnitud (norm, módulo) del vector AB : d AB = AB = AB Y que se cumple: OA + AB = OB Se tiene: AB = OB OA = r B r A 163

28 Expresndo este vector en término de sus componentes: AB = ( x B x A )î + ( B A)ĵ + ( z B z A)ˆk otenemos: d AB = AB = ( x B x A ) 2 + ( B A ) 2 + ( z B z A ) 2 ** Clculemos l distnci entre los puntos A B ddos por { } m A = 0;4,0; 2,0 (coordends expresds en metros). OB { } m B = 6,0 ; 3,0 ; 1,0 OA = 0 î + 4,0 ĵ 2,0 ˆk = 4,0 ĵ 2,0 ˆk AB = 6,0 î 3,0 ĵ + 1, 0 ˆk = 6,0 î 3,0 ĵ + ˆk = OB OA d AB = AB = 6,0 î 7,0 ĵ + 3,0 ˆk = ,0 = 94 9,7 m Represente los vectores OA, OB AB! Ejercicios 5-36) Determine un vector que teng l mism dirección pero sentido contrrio que el vector A = 3 î 4 ˆk cuo módulo se ) Considere los siguientes vectores: A = 3 î 2 ĵ B = î + 3 ĵ C = 2 î 3 ĵ D = 2 î 3 ĵ Determine los vectores: A + B, en form lgeric en form gráfic. Compre. C D, 2 A 3 D, 3 A 2 B + 4 C 5 D 5-38) Determine los vectores A B pr los cules se tiene: A + B = 11î ĵ A B = 5 î + 11 ĵ 5-39) Un vector v, de módulo 6,0, form un ángulo de 30 con el eje z. Su proección sore el plno x form un ángulo de 60 con el eje x. L proección de un vector w sore el eje z es 4,0. L proección del vector w en el plno x vle 6,0 hce un ángulo de 120 con el eje x. Clcule ls componentes esclres del vector v w. 164

29 5-40) Sen p = 2 î 3 ĵ + 7 ˆk, q = î ĵ + 10 ˆk, c = 3 î 5 ĵ + 4 ˆk tres vectores que tienen un punto inicil común. erifique si los tres puntos finles de esos vectores están sore un mism rect. 5-41) Ddos los vectores A = 3 î + 4 ĵ B = î + ĵ, clcule l mgnitud l dirección resultnte (sum), l mgnitud dirección de A B el ángulo entre A B. Resuelv este ejercicio gráficmente compre. 5-42) Ddo un vector A, hg un discusión de ls posiiliddes pr un vector B un esclr λ tl que se cumple l iguldd A + B = λ A. 5-43) En referenci los vectores de l figur djunt se notn ls siguientes relciones: ) ) c) d) e) v + w x + z μ = 0 v + w + x z μ = 0 x + + z + μ v w = 0 μ + v + z = x w v + w + z = μ x H entre ells lguns corrects? 5-44) Determine l mgnitud del vector A = î + ĵ + ˆk 5-45) Ddo los vectores F 1 = 4 î 2 ĵ + 3 ˆk F 2 = 4 î + 2 ĵ + ˆk, clcule: F 1 + F 2, F 1 + F 2, F 1 F 2 F 1 F ) Ls rists lterles de l pirámide de se cudrd determinn los vectores A, B, D. Exprese el vector A en término de C los vectores B, C D. A B D C 5-47) Considere los siguientes cutro pres de vectores: 3i ˆ+ 9j ˆ 3i ˆ 9j ˆ 2i ˆ+ 6j ˆ 3i ˆ ˆj 2i ˆ ˆj 8i ˆ+ 2j ˆ 7i ˆ+ 7j ˆ 3i ˆ+ 3j ˆ Cuál de ellos corresponde dos vectores mutumente perpendiculres? 165

30 5-48) Cierto vector P cmi con el tiempo según l relción P()= t 2t î t2 ĵ, siendo t el tiempo expresdo en segundos. Clcule el vlor de P() t en el instnte t = 2,0[] s. 5-49) Determine los vectores A B pr los cules se tiene: A + B = 7 ĵ 6 ˆk A B = 3 ĵ + 12 ˆk 5-50) Siendo que A = λ B, exmine ls condiciones pr que: A se igul A se mor que B se mor que λ B B A 5-51) Dos persons prten de un mismo punto se mueven del siguiente modo: un de ells recorre 10[km] en l dirección del vector = 3 î + 4 ĵ l otr recorre 5[km] en l dirección del vector = 8 î 6 ĵ. Determine l distnci que sepr ms persons un vez finlizdos sus recorridos. 5-52) L medin de un triángulo es l rect que une los puntos medios de dos ldos. Demostrr, utilizndo vectores, que l medin mide l mitd del tercer ldo. C A B 5-53) Ddos los vectores A = 4 î + 3 ˆk B = 2 î ˆk, clcule l mgnitud l dirección de l resultnte (sum) l mgnitud dirección de l diferenci B A. Resuelv tmién este ejercicio gráficmente compre. 5-54) Considere los puntos A, B C uicdos como se muestr en el sistem de coordends ortogonles de l figur djunt. Clcule: ( AB BC) + AB + BC ( ) CO + AB x 3 A 2 1 z C B 5-55) Ddo el vector A = 3 î + 2 ĵ, clcule el vector unitrio  en l dirección de A. 166

31 5-56) En referenci l figur djunt se hn notdo ls igulddes: e = c + d e = c + d e = e = e d Son lguns de ells corrects? c 5-57) Clcule el módulo de +, siendo = 4 î 2 ĵ = 4 î + 3 ĵ. 5-58) Un person prte de un punto P pr llegr otro punto Q dee recorre 5[km] en l dirección NE. Luego dee dirigirse l punto R pr lo cul dee recorrer otros 5[km] en l dirección del vector = 12 î + 16 ĵ, estndo el eje x orientdo en l dirección SE. Determine el vector de desplzmiento totl. 5-59) Un tlet corre por un pist como l indicd en l figur. Represente gráficmente los vectores desplzmiento respecto l punto de prtid A cundo ps por B, C, D E. Determine l mgnitud l dirección de tles vectores. A 100[m] B C E D 5-60) Siendo que u = 6 î + 12 ĵ v = 12 î + 6 ĵ, exmine l vlidez de l siguientes firmciones : u = v u es perpendiculr con v u + v = u v u + v = v u 5-61) Sen p = 2 î 3 ĵ, q = î ĵ r = 3 î 5 ĵ tres vectores que tiene un punto inicil común. erifique si los tres puntos finles de esos vectores están sore un mism rect. 5-62) Clcule el módulo de ˆi ˆj el módulo de ˆj+ kˆ. 167

32 5-63) Dos trencitos A B corren por ví circulres como ls que se indicn en l figur. El tren A demor 8[min] en dr un vuelt complet el tren B sólo demor 4[min] en ello. Si mos trenes prten simultánemente de l estción T, clcule pr 2[min] después de l prtid: El vector posición r A del tren A con respecto l estción. El vector posición r B del tren B con respecto l estción. El vector desplzmiento reltivo r A r B de B con respecto A. 5-64) Ddo los vectores A = 3 î 3 ĵ + ˆk B = î ˆk, clcule A + B, A B, A + B A B. 5-65) Ddo el vector H = 3 î + 4 ĵ, encuentre los vectores en l dirección del vector H en l dirección opuest, cus mgnitudes sen ms igules uno. 5-66) Sore un cuerpo ctún dos fuerzs tl como se muestr en l figur. Los módulos de ess fuerzs vlen F 1 = 40 kp F 2 = 70 kp Clcule l fuerz resultnte F 1 + F 2. F 1 60 F ) Sore un cuerpo se plicn tres fuerzs, ls que expresds en un mism unidd, que no se indic, son: F 1 = 6 î, F 2 = 4 ĵ F3 = 6 î + 4 ĵ Clcule l fuerz resultnte F 1 + F 2 + F 3 168