Unidad 8. Geometría analítica. BACHILLERATO Matemáticas I

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1 Unidad 8. Geometría analítica BACHILLERATO Matemáticas I

2 Determina si los puntos A(, ), B (, ) y C (, ) están alineados. AB (, ) (, ) (, ) BC (, ) (, ) ( 8, ) Las coordenadas de AB y BC son proporcionales, por tanto, A, B y C están alineados. Determina k para que los puntos A(, ), B (, ) y C (6, k) estén alineados. Debe ocurrir que AB y BC sean proporcionales. AB (, 4) k 8 k BC ( 4, k ) 4 k 6 4 Sean A(8, ) y B ( 4, ) dos puntos. Calcula: a) M, punto medio de A y B. b) S, simétrico de A respecto a B. c) P, tal que A sea el punto medio del segmento BP. a) M c8 4, + m (, ) b) B es el punto medio entre A y S (x, y ) Z 4 x 8 8 x ( 4, ) x 8 y ] + 6 e +, o 8 [ y ] 8 y 6 \ S ( 6, 6) c) P es el simétrico de B respecto de A 8 A es el punto medio entre B y P. P (x, y) (8, ) x 4 y + e, o 8 P (, 6) Z 8 x ] 4 8 x [ y ] + 8 y 6 \

3 6 Determina los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales, siendo A(, ) y B (, 4). Buscamos las coordenadas de los puntos M, M de la figura. Y B M A M X AB (7, ) M (x, y ) 7 x+ 6 8 x AB AM 8 ( 7, ) ( x, y ) 8 8 M + c, m y 8 y M (x, y ) AM x 8 x AM 8 ( x, y ) c +, m 8 8 M 8, c m y 8 y 7 Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A(, ), B (, ) y C (6, ). Sea D (x, y ). Debe cumplirse: AB DC 4 6 (, ) (6 x, y) 8 x x 8 8 D (, 6) y y 6 D (x, y) A (, ) C (6, ) B (, )

4 9 Escribe las ecuaciones vectoriales y paramétricas de la recta que pasa por A y tiene dirección paralela al vector d. a) A(, 7), d(4, ) b) A(, ), d(, ) Obtén puntos más para cada recta. a) Ecuación vectorial: (x, y) (, 7) + k (4, ) Ecuaciones paramétricas: x + 4k y 7 k Dando valores al parámetro k, obtenemos puntos: (, 6), (, ) b) Ecuación vectorial: (x, y) (, ) + k (, ) Ecuaciones paramétricas: x + k y k Puntos: (, ), (, 4)

5 Escribe la ecuación de la recta que pasa por P y Q de todas las formas posibles. a) P (6, ) y Q (, ) b) P (, ) y Q (, 6) c) P (, ) y Q (8, ) d) P (, ) y Q (, ) a) PQ ( 6, 7) Ecuación vectorial: (x, y) (6, ) + t ( 6, 7) Ecuaciones paramétricas: x 6 6t y + 7t Ecuación continua: x 6 y Ecuación implícita: 7x + 6y Ecuación explícita: y 7 x+ 6 b) PQ (, 4) Ecuación vectorial: (x, y) (, ) + t (, 4) Ecuaciones paramétricas: x y + 4t Ecuación continua: x y 4 Ecuación implícita: x c) PQ (8, ) Ecuación vectorial: (x, y) (, ) + t (8, ) Ecuaciones paramétricas: x 8t y Ecuación continua: x y 8 Ecuación implícita y explícita: y d) PQ (, ) Ecuación vectorial: (x, y) (, ) + t (, ) Ecuaciones paramétricas: Ecuación continua: x y Ecuación implícita: x Ecuación explícita no tiene. x y t

6 Determina un vector normal y la ecuación implícita de cada una de las siguientes rectas: a) r : x + y b) s: a) n (, ) Ecuación implícita: x + y + k x t + y t Como pasa por P (, ), sustituímos sus coordenadas en la ecuación de la recta para calcular k. + + k 8 k r : x + y + b) n (, ) Ecuación implícita: x + y + k Como pasa por P (, ), sustituímos sus coordenadas en la ecuación de la recta para calcular k. ( ) + + k 8 k s : x + y + Obtén, para cada una de las siguientes rectas, un vector dirección, un vector normal y su pendiente: x t a) r : b) r y t : x + y c) r : x + d) r 4 4 : y x + d: vector de dirección; n: vector normal; m pendiente. a) d (, ); n (, ); m b) d (, 4); n ( 4, ); m c) d (, ); n (, ); m no se puede calcular porque es una recta vertical. d) d (, ); n (, ); m 4 Determina un punto y un vector dirección de cada recta. Utilízalos para dar sus ecuaciones continuas y paramétricas. a) x y + b) y (x ) + 7 c) x d) y x + d: vector de dirección a) d (, ); P c, m b) d (, ); P (, ) Ecuaciones paramétricas: Ecuación continua: x l y Ecuaciones paramétricas: + l y x Ecuación continua: x y c) d (, ); P (, ) d) d (, ); P (, ) x l y + l Ecuaciones paramétricas: x Ecuaciones paramétricas: y l x l y + l Ecuación continua: x y Ecuación continua: x y

7 Comprueba si el punto P (, 7) pertenece a alguna de las siguientes rectas: x a) r : b) s : x y y t a) Sustituímos las coordenadas de P en la ecuación de la recta: x 8 8 t y t 7 t Hay solución, luego P r. b) x y luego P s. 6 Halla el valor de k para que la recta x + ky 7 contenga al punto A(, ). (, ) 8 + k( ) 7 8 k 8 k

8 x t Dada la recta r :, obtén en forma explícita las siguientes rectas: y + t a) Paralela a r que pasa por A(, ). b) Perpendicular a r que pasa por B (, ). r : x t 8 v y + t r (, ) a) v s (, ), A(, ) 8 s : y (x + ) 8 s : y x 6 b) v s (, ), B(, ) 8 s : y (x + ) + 8 s : y x + De una cierta recta r conocemos su pendiente m. Halla la recta s en cada caso: a) s es paralela a r y pasa por (, ). b) s es perpendicular a r y pasa por (, ). a) Al ser paralela, tiene la misma pendiente. Además, pasa por (, ). Por tanto, s : y x. b) Al ser perpendicular, su pendiente es m. Por tanto, y ( x ) + 8 y x + 7.

9 4 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por el punto P (, ) y es: a) Paralela a la recta x y +. b) Perpendicular a la recta x + y. c) Paralela a la recta y. d) Perpendicular a la recta x +. a) r tiene vector de dirección d (, ) y pasa por P (, ) 8 r : x y + b) r tiene vector de dirección d (, ) y pasa por P (, ) 8 r : x y + c) Es paralela al eje OY y pasa por P (, ) 8 r : y d) Es paralela al eje OX y pasa por P (, ) 8 r : x El vector normal de la recta r es n(, ). Obtén, en cada caso, la ecuación de la recta s. a) s es paralela a r y contiene al punto P (, ). b) s es perpendicular a r y pasa por Q (, ). a) s tiene vector de dirección d (, ) y pasa por P (, ). s : x y + b) s tiene vector de dirección d (, ) y pasa por Q (, ). s : x y

10 De un triángulo conocemos el vértice A(, ) y la recta r : x y + 6 que contiene al lado BC. Halla la altura relativa al vértice A. h A es perpendicular a r y pasa por A (, ). h A tiene vector de dirección d (, ) y pasa por A (, ). h A : x y Calcula las ecuaciones de las mediatrices del triángulo de vértices A(, ), B (, ) y C (, 4). a) m a es perpendicular a BC y pasa por M BC. BC tiene vector de dirección BC (, ). M BC c +, + 4m (, ) m a tiene vector de dirección d (, ) y pasa por M BC (, ). m a : y

11 b) m b es perpendicular a AC y pasa por M AC. AC tiene vector de dirección M AC c +, + 4m (, ) A C (4, 6). m b tiene vector de dirección d (6, 4) y pasa por M BC (, ). m b : x y 6 4 c) m c es perpendicular a AB y pasa por M AB. AB tiene vector de dirección AB (4, 4) 4(, ). M AB c +, + m (, ) m c tiene vector de dirección d (, ) y pasa por M AB (, ). m c : x y 8 x + y Halla, en cada caso, el valor de k para que la recta r : y kx + sea: a) Paralela al eje OX. b) Perpendicular a la recta x + y + 7. Pendiente de r : m k a) Pendiente del eje OX : m', luego m m' 8 k b) Pendiente de x + y + 7 : m', luego m 8 k m'

12 Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas. Calcula el punto de corte cuando sean secantes. x t + a) r : x + y + 7 ; s : y t b) r : x + y + ; s : x + y + x t x t c) r : ; s : ) y t + y t d) r : y x + ; s : y x + a) Buscamos un vector dirección de cada recta: r : x + y n r (, ) 8 v r (, ) x t+ s : 8 v y t s (, ) Como los vectores dirección son proporcionales ( v s v r ), las rectas o son paralelas o son coincidentes. Como P (, ) s y P r, las rectas son paralelas. b) Buscamos un vector dirección de cada recta: r : x + y + 8 n r (, ) 8 v r (, ) s : x + y + 8 n s (, ) 8 v s (, ) Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes. c) Buscamos un vector dirección de cada recta x t r : 8 v y t+ r (, ) x t s : 8 v y t s (, ) Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes. d) m r ; m 8 Las rectas son perpendiculares. y x+ y x+ 8 x, y 8 Punto de corte P (, ). 6 Calcula el valor de los parámetros k y t para que las siguientes rectas se corten en el punto A(, ): r : kx ty 4 s : tx + ky Aé r 8 k t 4 k t 4 Resolviendoelsistema: 4 4 Aé s 8 t + k k+ t k, t 7 Determina k para que las rectas r y s sean paralelas. r : x y s : x + y 6 k Para que sean paralelas, sus vectores dirección han de ser proporcionales, es decir: 8 k 6 k 4

13 8 Halla el valor de k para que estas rectas sean coincidentes: r : x + y + x 6t + k s : y 4t + Expresamos ambas rectas en forma implícita: r : x + y + s : 4x + 6y 4k Para que r s, estas ecuaciones tienen que ser proporcionales, y por tanto: 4k 8 k 4 9 Calcula k para que r y s sean perpendiculares. r : y x + s : x + ky + m r ; m k Para que sean perpendiculares, m r m Luego, k 8 k 6 s. Ángulos 4 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas: a) r : y x + ; s : y x + b) r : x y + 7 ; s : x + 6y x t x t c) r : ; s : y t y 4 + t d) r : x y ; s : y + r a) : y x + s: y x sus pendientes son: m m tg a mr ms ( ) + m m + ( ) r s r s 8 a 4 v (, ) r b) w (, 6) r 4 % % v : w 8a/ r, r vw, 8 cos a 8a 9 v w v w c) Los vectores dirección de esas rectas son d (, ) y d (, ). Entonces: d: d cos a d d + 8 a 4 a (, ) r d) a (, ) r 4 % % 8a/ r, r a, a 8 a: a 8 cos a, 447 8a 6 6 ' 8, " a a 4

14 4 Calcula n de modo que la recta x + ny forme un ángulo de 6 con el eje OX. Y r tg 6 m 4 Como tg 6 m r r, se tiene que: n 6 X 8 n n 44 Calcula m y n en estas rectas sabiendo que r pasa por el punto P (, 4) y que r y s forman un ángulo de 4 : r : mx y + s : nx + 6y 8 P é r 8 m m r : x y + 8 y x+ 8 m r s : nx + 6y 8 8 y n x m n s ms mr ( n/ 6) ( /) tg 4 n 8 + mm ( n/ 6)( /) n Hay dos posibilidades: s r n 8 8 n 8 n 8 n n n 8 8 n 8 + n 8 n n 6

15 4 Las rectas r : x y + 6, s : x + y 6 y t : x y 4 son los lados de un triángulo. Represéntalo y halla sus ángulos. Y r s t X d r (, ), d s (, ), d t (, ) cos(,) [ r s cos(,) [ r t cos(, Z s t) Página (, ): (, ) (, ): (, ) (, ): (, ) Distancias y áreas,49 8 (,) [ rs 6 6',8 8 (,) [ rt 4 ',8 8 (, Z st) 8 4' 46 Calcula k de modo que la distancia entre los puntos A(, k) y B (, ) sea igual a. A (, k ), B (, ), AB (, k ) dist (A, B ) AB ( ) + ( k) k + k 4 8 k + 4k k 47 Determina, en cada caso, si el triángulo ABC es equilátero, isósceles o escaleno. a) A(, ), B (, ), C (, ) b) A(, ), B (, ), C (, 7) c) A(, ), B (, ), C (, ) a) dist (A, B ) ( ) + ( ) dist (A, C ) ( ) + ( ) dist (B, C ) ( ) + ( ) Triángulo equilátero. b) dist (A, B ) ( ) + ( ) dist (A, C ) ( + ) + ( 7) dist (B, C ) ( + ) + ( 7) Triángulo isósceles. c) dist (A, B ) ( + ) + ( ) dist (A, C ) ( + ) + ( + ) dist (B, C ) ( + ) + ( + ) Triángulo isósceles.

16 48 Halla la longitud del segmento que determina la recta x y + al cortar a los ejes de coordenadas. Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas. Calculamos primero dichos puntos: x y+ 8 y+ 8 y 8 Ac, m es el punto de corte con el eje Y. x x y+ 8 x+ 8 x 8 B(, ) es el punto de corte con el eje X. y Luego AB dist( AB, ) ( ) + c m Halla las distancias de O(, ) y P (, ) a estas rectas: x 6t a) x 4y + b) x + c) d) (x, y) c, m + (, )k y 8t a) dist (O, r ) u 9+ 6 dist (P, r ) b) dist (O, r ) dist (P, r ) ( ) u ( ) c) r : x y 8 8x 6y 6 8 d) r : dist (O, r ) dist (P, r ) x + dist (O, r ) dist (P, r ) u 8 ( ) u u 8 O r u y 8 x+ y 8 x y+ 8 x 4 y ( ) u 7 u Determina c para que la distancia de r : x y + c al punto (6, ) sea de unidades (hay dos soluciones). 6 + c 6 6+ c c dist (P, r ) + 9 Z ] c ] 8 c Hay dos soluciones: [ c ] 8 c \ Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas. x y + P x y

17 Halla la distancia entre los siguientes pares de rectas: x a) r : x + ; r' : y + 4k b) r : y x + ; r' : x y + a) P' (, ) r' dist (r, r' ) dist (P', r ) b) Las rectas son paralelas. P' (, ) r' r : x + y dist (r, r' ) dist (P', r ) 9+ u 4+ 9 u Comprueba que el triángulo de vértices A(, ), B (, ) y C (4, ) es rectángulo y halla su área. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: _ AB ( + ) + ( ) b AC ( 4+ ) + ( ) ` + ( ) BC 4+ ( ) b a Área AB BC, u 8 Por tanto, el triángulo es rectángulo.

18 4 Dado el triángulo de vértices A(, ), B (4, ) y C (6, 8), calcula su área. Y C a b c B A X Área base altura Base dist (A, C ) ( 6) + ( 8) u Altura dist (B, lado AC ) Lado AC : AC (6, 8) r : x y 8 8x 6y 8 4x y dist (B, lado AC ) 7 u Área base altura 7 7 u

19 8 Calcula las ecuaciones de las alturas del triángulo de vértices A(, ), B (4, 7) y C (6, ). Halla el ortocentro. Y B h C h A A X h B C h A es perpendicular a BC y pasa por A (, ). BC (, ) (, ) h A tiene vector de dirección d (, ) y pasa por A (, ). h A : x + y 8 x + y 8 x y + 7 h B es perpendicular a AC y pasa por B (4, 7). AC (8, 4) 4(, ) h B tiene vector de dirección d (, ) y pasa por B (4, 7). h B : x 4 y 7 8 x 8 y 7 8 x y h C es perpendicular a AB y pasa por C (6, ). AB (6, 6) 6(, ) h C tiene vector de dirección d (, ) y pasa por C (6, ). h C : x 6 y + 8 x 6 y 8 x + y El ortocentro es el punto de intersección de las alturas. Como las tres alturas se cortan en el mismo punto, para calcular el ortocentro es suficiente con resolver el sistema formado por dos de las alturas. x y 8 x 4, y x+ y Las coordenadas del ortocentro son c4, m.

20 9 Da las ecuaciones de las mediatrices del triángulo de vértices A( 4, ), B (4, ) y C (, 4). Halla el circuncentro. m b Y m c B m a M AC M BC X A M AB C m a es perpendicular a BC y pasa por M BC. BC tiene vector de dirección BC (, 6) (, ). M BC (, ) m a tiene vector de dirección d (, ) y pasa por M BC (, ). m a : x y 8 x y m b es perpendicular a AC y pasa por M AC. AC tiene vector de dirección A C (6, 6) 6(, ). M AC (, ) m b tiene vector de dirección d (, ) y pasa por M BC (, ). m b : x + y 8 x + y m c es perpendicular a AB y pasa por M AB. AB tiene vector de dirección AB (8, ) 8(, ). M AB (, ) m c tiene vector de dirección d (, ) y pasa por M AB (, ). m c : x El circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices. Como las tres mediatrices se cortan en el mismo punto, para calcular el circuncentro es suficiente con resolver el sistema formado por dos de las mediatrices. x 8 x, y x+ y Las coordenadas del circuncentro son: (, ).

21 6 En el triángulo de vértices A(, ), B (9, ) y C (, 7), determina las ecuaciones de las medianas y calcula el baricentro. Y C n a n b M AC M BC B A M AB n c X n a pasa por A y por M BC. M BC c, 9 m c6, 9 m AM 6, 9 BC c m ( 4, ) n a tiene vector de dirección d (4, ) y pasa por A (, ). n a : x y 8 x 4y 4 n b pasa por B y por M AC. M AC c, 7 m BM, A C c m (, ) n b tiene vector de dirección d (, ) y pasa por B (9, ). n b : x 9 y 8 x 9 y + 8 x + y 9 n c pasa por C y por M AB. M AB c 9, m CM, 6 AB c (, 4 ) m n c tiene vector de dirección d (, 4) y pasa por C (, 7). n c : x y 7 8 4x + y 7 8 4x y El baricentro es el punto de intersección de las medianas. Como las tres medianas se cortan en el mismo punto, para calcular el baricentro es suficiente con resolver el sistema formado por dos de las medianas. x 4y 8 x 4, y 4x y+ 9 Las coordenadas del baricentro son: (4, ).

22 64 De un rombo ABCD sabemos que los vértices B y D están en la recta r : y x + y que A(4, ). Halla las coordenadas de C. La diagonal BD están en la recta r. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en el punto medio, luego la perpendicular trazada desde A a la recta r, que llamaremos s, cortará a r en el punto medio M entre A y C (x, y ). La recta s perpendicular a r tiene pendiente m y pasa por A (4, ). s : y x + k Sustituimos las coordenadas de A en la ecuación para calcular k. 4 + k 8 k 8 s: y x + M r» s y x+ y x+ 8 x, y 8 M (, ) Z x 8 (, ) x y ] + 4 x 4 4 c +, m 8 [ 8 C ( 4, 4) y ] 8 y 4 \

23 67 El lado desigual del triángulo isósceles ABC, tiene por extremos A(, ) y B (4, ). El vértice C está en la recta x y + 8. Halla las coordenadas de C y el área del triángulo. La recta del lado desigual (base) tiene como vector dirección AB (, ): x + t r : 8 x y + 8 r : x y y + t La recta que contiene la altura tiene por vector dirección a (, ) AB y pasa por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por M c, m: Z x ] t h c : 8 x y [ 8 h y + t 6 c : x + y 4 8 h c : 6x + y ] \ C s» h c donde s : x y + 8. x y+ 8 6x+ y 6 8 6x+ y 6x+ y y 6 8 y 6 8 x x + 8 x Luego: C c, m AB CM Área base altura () Z ] AB (, ) 8 AB 4 () [ CM, ] c m 8 CM 6 \ c 8 m 6 4, 7

24 7 Determina, en cada caso, un punto P de la recta r : y x + tal que: a) La distancia de P a s : x 4y + sea. b) P diste unidades del eje OX. c) La distancia de P al eje OY sea 4 unidades. d) P equidiste de las rectas x y + y x + y +. a) P (x, y ) P é r 8 y x + x 4y+ dist (P, r) 9+ 6 Las coordenadas de P son la solución del sistema de ecuaciones: y x+ x 4( x+ ) + x 4y Z ] x 4 ( x+ ) + ] 8 x x 8 y [ 8 x 4( x ) x 8 y x ] \ Soluciones: P (, ), P c, m 7 7 b) Eje OX: y dist (P, OX ) y Las coordenadas de P son la solución del sistema de ecuaciones: Z y x+ x + 8 x x + ] x 8 y y 8 8 [ 8 x + 8 x x 8 y 4 4 ] \ Soluciones: P (, ), P (4, ) c) Eje OY: x x dist (P, OX ) 4 Las coordenadas de P son la solución del sistema de ecuaciones: Z y x+ x ] 8 x 4 4 x 4 8 y x 8 [ 8 4 x 8 x x 8 y ] \ Soluciones: P (4, ), P ( 4, ) d) dist (P, r) x y+, dist (P, r' ) + x+ y+ + Las coordenadas de P son la solución del sistema de ecuaciones: y x+ x y+ x+ y+ 8 x ( x+ ) + x+ ( x+ ) x ( x+ ) + x+ ( x+ ) + 8 x x 8 y 8 8 x ( x+ ) + ( x+ ( x+ ) + ) 8 x x 8 y 4 Soluciones: P (, ), P (, 4)

25 7 Dadas r : x y 7 y s : x ky 8, calcula k para que r y s se corten formando un ángulo de 6. cos ([ rs,) (, ): ( k, ) 8 cos 6 k k k+ 9 k+ 9 k Z ] k k 4 ] k [ k + 6 ] 8 k 4 + k \ + 9 Soluciones: k 4 ; k 4 +

26 77 Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por A(, ) y forman un ángulo de 6 con x y. b : x y 8 su pendiente es m b tg 6 m 8 m 8 + m + m Z ] ] + m m 8 m + 8 [ + ] m m 8 m + \ Teniendo en cuenta que pasan por A (, ): r : y ( x + ) + + r : y ( x + ) + ecuaciones punto-pendiente 78 Dada la recta r : x y +, halla la ecuación de la recta simétrica de r respecto al eje de abscisas. Calculamos P r» OX : x y+ 8 x, y 8 P c, m y Buscamos un punto Q de r y encontramos su simétrico, Q', respecto de OX: Q c, m 8 Q' c, m La recta r' pasa por P y por Q': PQ' c, m (, ) 6 r' : x + y 79 Halla la recta, t, simétrica a r : x + 4y + 9 respecto de la recta s : x y 6. Y X l r Q M Q' s t Calculamos P r» s : x+ 4y+ 9 8 x, y 8 P (, ) x y 6 Buscamos un punto Q P de r y encontramos su simétrico, Q', respecto de s. Q é r 8 x 8 y Q (, )

27 Simétrico de Q respecto de s : Calculamos la recta l perpendicular a s que pasa por Q : l tiene vector de dirección d (, ) y pasa por Q (, ). l : x + y + 8 x y+ 6 8 x y 7 M s» l x y 7 8 x, y 4 8 M (, 4) x y 6 M es el punto medio entre Q y Q' (x, y ). Z x 8 x (, 4) x y ] e, o 8 [ y ] 4 8 y \ La recta t pasa por P y por Q' (, ): 8 Q' (, ) PQ ' (, ) (, ) t : x 8 La recta b : y x + 4 es la bisectriz del ángulo formado por las rectas r : x + y 8 y s. Halla la ecuación de s. Y Q M Q' s X l r b s es la simétrica de r respecto de b. b tiene pendiente m. Calculamos P r» b : x+ y 8 8 x, y 8 P (, ) y x+ 4 Buscamos un punto Q P de r y encontramos su simétrico, Q', respecto de b. Q é r 8 x 8 y Q (, ) Para hallar el simétrico de Q respecto de b, calculamos la recta l perpendicular a b que pasa por Q: l tiene vector de dirección d (, ) y pasa por Q (, ). l : x y + 8 x y + 8 x y 4 M b» l y x+ 4 8 x 4, y 8 M (4, ) x y 4

28 M es el punto medio entre Q y Q' (x, y): (4, ), x y x x y y e o Z [ \ ] ] ] 8 Q' (, ) La recta s pasa por P y por Q' (, ) ' PQ (, ) s : x y

29 86 Dos de los lados de un paralelogramo están sobre las rectas x + y y x y + 4 y uno de sus vértices es el punto (6, ). Halla los otros vértices. Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice: r: x+ y x+ y r : 8 x y+ 4 x+ y 4 Luego un vértice es A (, ). y 6 8 y 8 x + 8 x El vértice que nos dan, C (6, ), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores (pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustituyendo los valores de x e y por las coordenadas de C ). Así pues, el vértice C no es consecutivo de A. Sean s r una recta que pasa por C y s r una recta que pasa por C. Se trata de las rectas sobre las que están los otros lados. Así, los otros vértices, B y D, serán los puntos de corte de: r» s B r» s D A r B s r D C s x+ y+ a s : 8 s : x y 6 C é s a 8 a 6 + x y+ b s : 8 s : x y 6 C é s b 8 b 6 x+ y B r» s : x y 6 Resolviendo el sistema: De la primera ecuación 8 x y 8 en la segunda 8 y y y 4 8 x 8Bc, 4 m x+ y+ 4 D r» s : x+ y 6 8 x 6 y 8 6 y y y 8 x 8 8 Dc8, m

30 9 Un punto P, que es equidistante de los puntos A(, 4) y B (, 6), dista el doble del eje de abscisas que del eje de ordenadas. Cuáles son las coordenadas de P? d (P, OX ) d (P, OY ) 8 y x 8 y x y x AP PB 8 ( x ) + ( y 4 ) ( x) + ( 6 y) 8 8 x + 9 6x + y + 6 8y x + + x + y + 6 y 8 8 6x 8y + x y x 4y x y + 9 Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones: y x P : 8 4x x+ 9 8 x 9 8 y 9 4x y+ 9 Luego: P c 9, 9m y x P : 8 4x+ x+ 9 8 x 9 4x y y Luego: P c, m 9 De todas las rectas que pasan por el punto A(, ), halla la pendiente de aquella cuya distancia al origen es. Esas rectas tienen por ecuación: y + m (x ) 8 mx y + ( m ) d (, r ) 8 m m m 8 8 m m m ( m ) m m 4m m m 8 m 4 94 Halla el punto de la recta x 4y que con el origen de coordenadas y el punto P ( 4, ) determina un triángulo de área 6. OP ( 4, ). Lado OP : y Base 4 u Área base altura altura 6 8 altura

31 El punto C (x, y ) verifica: C é r y dist (C, lado OP ). Z x 4y y 8 x ] 8 [ y ] y 8 x \ Hay dos soluciones: C c, m y C ' c, m y Y C P O X C' x 4y y