Matemáticas UNIDAD 1 HOJAS DE TRABAJO SECTOR. Material de trabajo para los estudiantes. Preparado por: Héctor Muñoz

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1 HOJAS DE TRABAJO SECTOR Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 1 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 Unidad 1 1. ALGUNAS CONSIDERACIONES PREVIAS En las páginas que siguen se presenta una serie de Hojas de Trabajo con sugerencias de actividades destinadas a lograr los aprendizajes que se esperan en esta Unidad. Demás está insistir en la importancia de la actividad del estudiante para que se produzca el aprendizaje, de modo que se recomienda que el profesor o la profesora tome las medidas del caso para que todos los estudiantes desarrollen estas actividades así como otras que el docente pueda proponer basándose en su propia experiencia o utilizando el texto entregado por el Ministerio. Para facilitar la reproducción de las Hojas de Trabajo propuestas algunas de ellas se han diseñado para ser trabajadas en grupo. Otras, en cambio, es preferible que se trabajen en forma individual. En cada Hoja de Trabajo se indica si se trata de actividades grupales o de trabajo individual. Las Hojas de Trabajo destinadas a ser desarrolladas en grupo pueden reproducirse en menor número, de modo que haya un ejemplar por cada 4 a 6 estudiantes. Las destinadas al trabajo individual deberían ser reproducidas de modo que cada alumno o alumna dispusiera de una copia. También es posible utilizar un retroproyector o un proyector conectado a un computador para proyectar las Hojas de Trabajo de modo que todo el curso pueda verlas y trabajar con ellas. A continuación se hace una breve descripción de cada una de las Hojas de Trabajo propuestas para esta Unidad. 2. PRESENTACIÓN DE LAS HOJAS DE TRABAJO PROPUESTAS HOJA DE TRABAJO Nº 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) LOS NÚMEROS DE 1, 2 Y 3 CIFRAS Y HOJA DE TRABAJO Nº 2 (TRABAJO INDIVIDUAL) LOS NÚMEROS DE 4, 5 Y 6 CIFRAS Estas dos Hojas de Trabajo tienen como objetivo actualizar los conocimientos de los estudiantes en relación con los números naturales de hasta 3 cifras y los números naturales de hasta 6 cifras. Actualizar y consolidar estos conocimientos es fundamental ya que el estudio de los números de más de 6 cifras se basa directamente en las características y propiedades de los números de 6 cifras o menos. Es conveniente que cada estudiante desarrolle todas las actividades propuestas, ya sea en horas de clases o a modo de tarea para la casa. Cada actividad debería ser analizada y discutida con todo el curso. Si se detectan vacíos o debilidades, es necesario buscar formas de superarlas mediante algún tipo de actividad remedial. HOJA DE TRABAJO Nº 3 (TRABAJO GRUPAL) EL NÚMERO Unidad 1 AMPLIACIÓN DE CONOCIMIENTOS ACERCA DE LOS NÚMEROS NATURALES Esta Hoja de Trabajo apunta a destacar rasgos importantes de la formación del número un millón (actividades 1 y 2) y a desarrollar un sentido de la cantidad que representa este número, considerando que un millón equivale a veces (actividades 3 a 5). Se sugiere desarrollar esta Hoja de Trabajo en grupos, estimulando la discusión al interior de los grupos e invitando a los alumnos y alumnas a proponer otros ejemplos similares que permitan formarse una idea de cuán grande es el número FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 Unidad 1 HOJA DE TRABAJO Nº 4 (TRABAJO GRUPAL) LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DE MÁS DE 6 CIFRAS En la Hoja de Trabajo Nº 4 se ejercita la lectura y escritura de números de más de 6 cifras. Conviene insistir en la necesidad de separar las cifras en dos grupos, tal como se describe en el punto 3 del material de apoyo para el docente. Es recomendable complementar estas actividades con ejercicios de lectura y escritura de números. Por ejemplo: Cómo se leen los siguientes números? Cómo se escriben los siguientes números? a. Diecisiete millones ochocientos noventa y dos mil b. Trescientos veinte millones dos mil cinco c. Dos mil veinte millones d. Dos mil millones veinte e. Dos millones mil veinte f. Dos millones veinte mil En esta Hoja de Trabajo algunas de las actividades tienen gran cantidad de lectura. En estos, casos, para prevenir eventuales dificultades por un desarrollo insuficiente de las habilidades de lectura comprensiva, es conveniente formular un conjunto de preguntas destinadas a garantizar que todos los estudiantes entienden la información entregada y tienen claridad acerca de lo que se pide. HOJA DE TRABAJO Nº 5 (TRABAJO GRUPAL) DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS DE MÁS DE 6 CIFRAS En esta Hoja de Trabajo se ejercitan dos formas de descomposición de números de más de 6 cifras. En las primeras actividades se trabaja la descomposición canónica, subrayando el hecho que esta descomposición deja en claro el valor representado por cada dígito en el número (actividades 1 y 2). La actividad 3 se centra en el valor de posición. La actividad 4 se refiere a la descomposición en 2 sumandos: los millones y las unidades restantes. Esta descomposición es muy útil para la lectura de números grandes y para formarse una idea de cuán grande es la cantidad representada por el número. HOJA DE TRABAJO Nº 6 (TRABAJO GRUPAL) INTERPRETACIÓN DE NÚMEROS GRANDES Con diversos ejemplos de situaciones reales en que se emplean números grandes en esta Hoja de Trabajo se espera ir desarrollando el sentido de la cantidad representada por estos números. En especial, se ejercita la ubicación de un número o de una cantidad dentro de intervalos lo que ayuda a formarse una idea de la cantidad representada. En la actividad 3, se espera que los alumnos y alumnas lleguen a la conclusión que el premio citado corresponde a cerca de 3 mil millones de pesos y que don Alejandro tendría que trabajar meses para que su sueldo llegara a alcanzar la suma que obtuvo el feliz ganador del premio. Si aproximamos el número de meses del año a 10, podemos concluir que ese tiempo equivale a más de 200 años, es decir, bastante más que el tiempo en que don Alejandro estará trabajando durante toda su vida. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

4 Unidad 1 HOJA DE TRABAJO Nº 7 (TRABAJO GRUPAL) COMPARACIÓN DE NÚMEROS GRANDES Y HOJA DE TRABAJO Nº 8 (TRABAJO INDIVIDUAL) REDONDEO DE NÚMEROS GRANDES En estas Hojas de Trabajo se ejercita la comparación de números grandes y el redondeo a distintos niveles de precisión. Se trata de habilidades importantes en relación con el dominio de los números grandes. En la última actividad de la Hoja de Trabajo nº 8 se da mucha información y se pide que los estudiantes comparen los datos dados y extraigan conclusiones libremente partir de esos datos. Esta puede resultar una actividad muy interesante que estimula la creatividad de los alumnos y alumnas. Así, por ejemplo, además de las establecer secuencias de menor a mayor o viceversa entre los valores de las distancias al Sol o de los tamaños, se puede determinar cuál es el mayor y cuál es el menor de los planetas, qué planetas son mayores o menores que la Tierra, si hay alguna relación entre distancia al Sol y tamaño, etc. Es posible que algún estudiante pregunte por qué no se ha incluido a Plutón entre los planetas. En 2006 en una reunión de la Unión Astronómica Internacional se adoptó una definición de planeta que dejaba fuera a Plutón y a otros cuerpos celestes similares a Plutón. De modo que desde entonces el Sistema Solar tiene, oficialmente, solo 8 planetas. HOJA DE TRABAJO Nº 9 (TRABAJO INDIVIDUAL) OPERACIONES CON NÚMEROS GRANDES En esta Hoja de Trabajo se ejercitan las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de números grandes. Al mismo tiempo, se espera ir desarrollando habilidades propias de la resolución de problemas. Se sugiere invitar a los estudiantes a resolver una a una las actividades de la Hoja de Trabajo para luego efectuar discusiones colectivas que refuercen los aprendizajes logrados. Es importante asegurarse de que los alumnos y alumnas han comprendido plenamente cada una de las actividades propuestas. Para ello, proponga preguntas que apunten a aclarar de qué se trata cada actividad, qué tipo de información se proporciona, qué se desea determinar, si la información dada es suficiente, cómo podemos proceder para responder las preguntas planteadas. Es recomendable poner énfasis en el contexto de cada actividad de modo que para el estudiante no se trate simplemente de efectuar cálculos con los datos dados, sino que de averiguar algo acerca de los dinosaurios, o de la población mundial o de la compra de un departamento, etc. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

5 Hoja de Trabajo N 1 Hoja de Trabajo N 1 TRABAJO INDIVIDUAL LOS NÚMEROS DE 1, 2 Y 3 CIFRAS 1 Cuántos números de 2 cifras hay en total? Cuántos números de 3 cifras hay en total? Cuántos símbolos distintos se necesitan para escribir los números desde 0 hasta 999? En base a ejemplos, explica en qué consiste el principio de valor de posición para números de 2 cifras y para números de 3 cifras. 2 Cuál es el mayor de los números de 3 cifras que se puede formar con dígitos distintos? Qué valor representa cada dígito en el número que formaste? Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con el 8, el 0 y el 5, suponiendo que el número puede tener dígitos repetidos? Cuál es el mayor de ellos? Qué valor representa cada dígito en este último número? (c) Cuál es el menor de los números que se pueden formar con el 8, el 0 y el 5? Qué valor representa cada dígito en este número? 3 (c) Por qué el número 742 y el número 247 representan valores diferentes a pesar de que están formados por los mismos dígitos? Escribe un número de 3 cifras en que un 6 represente un valor de 60 unidades. Cuántos números de 3 cifras hay en total que cumplen esta condición? Existe algún número de 3 cifras en que un 6 represente 240 unidades? Explica tu respuesta. 4 Qué relación ves entre la descomposición 418 = y el principio de valor de posición? Escribe una descomposición del número 392 en que se destaque el valor representado por cada dígito. (c) A qué número corresponde la descomposición ? Y la descomposición ? (d) El hermano menor de Isabel dice que el número doscientos diez se escribe: Qué error cometió? Cómo le ayudarías a corregir su error? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4

6 Hoja de Trabajo N 2 Hoja de Trabajo N 2 TRABAJO INDIVIDUAL LOS NÚMEROS DE 4, 5 Y 6 CIFRAS 1 Cómo se lee el número ? Y el número ? Y el número ? Cómo se escribe el número treinta mil sesenta? Y el número novecientos mil ciento ocho? Y el número quinientos mil tres? 2 Qué año viene después del 2009? Y después del 2099? Y después del 2999? Escribe un número que sea mayor que pero menor que (c) Escribe un número que sea mayor que pero menor que En las siguientes igualdades se multiplica un número por Anota en tu cuaderno cuánto debería valer x para que se cumpla la igualdad en cada caso = x = x x = x = (c) Se llaman múltiplos de mil a los números que resultan de multiplicar un número natural cualquiera por Por ejemplo, es un múltiplo de porque resulta de multiplicar 7 por Qué característica en común tienen todos los múltiplos de mil? Un kilómetro tiene mil metros. La distancia entre Chañaral y Copiapó es 165 kilómetros. A cuántos metros equivale esta distancia? 4 Don Darío compra un libro que vale $ Le pasa a la cajera 8 billetes de mil pesos. Cuánto más tiene que pasarle para completar el precio del libro? El hijo de don Darío escribe esta descomposición: = Es correcta la descomposición que hizo el niño? Qué relación ves tú entre esta descomposición y la pregunta anterior? (c) Completa las siguientes descomposiciones anotando el valor de x que corresponde en cada caso = x x = = x FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 5

7 Hoja de Trabajo N 3 Hoja de Trabajo N 3 TRABAJO GRUPAL EL NÚMERO En la secuencia de los números naturales el dígito que está en la posición de las unidades va aumentando de 1 en 1, como se ve en este ejemplo: Cuando se llega a 9 en la posición de las unidades, se produce una variación. Qué sucede en tal caso en la posición de las unidades? Qué otros cambios se producen en los dígitos que ocupan otras posiciones? Qué características tiene el número que sigue a un número formado solo por nueves? 2 Cuántos ceros tiene el número un millón? Qué número viene inmediatamente antes de un millón en la secuencia numérica? 3 En la ciudad en que vive Ramón hay un estadio con capacidad para unas personas. Cuántas veces debería llenarse este estadio para completar un millón de espectadores? Según el último censo, la población de la Región del Maule es de cerca de habitantes. Aproximadamente cuántos habitantes le faltan para llegar a tener una población de un millón de personas? 4 Isabel quería saber si el libro que estaba leyendo tenía más o tenía menos de un millón de palabras. Vio que cada página tenía 30 líneas y en cada línea había en promedio unas 10 palabras. Aproximadamente en cuántas páginas se alcanzan las mil palabras? Alrededor de cuántas páginas debería tener el libro para completar un millón de palabras? 5 Se necesita poco más de 3 años para completar días. Aproximadamente en cuánto tiempo se completa un millón de días? (c) (d) Un año tiene alrededor de horas. Se completa un millón de horas en un milenio? En un año hay poco más de minutos. Aproximadamente en cuánto tiempo se completa un millón de minutos? Un día tiene alrededor de segundos. Aproximadamente en cuánto tiempo se completa un millón de segundos? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 6

8 Hoja de Trabajo N 4 Hoja de Trabajo N 4 TRABAJO GRUPAL LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DE MÁS DE 6 CIFRAS 1 El recuadro muestra 4 formas de escribir la población de Chile según el censo de Como se puede ver, en los 4 casos, el número tiene los mismos dígitos y en el mismo orden. Los 4 números solo se diferencian en la forma en que se han agrupados los dígitos. Cómo se hizo la separación entre cifras en los tres últimos casos? Cuál de estas formas de separación facilita la lectura del número? La tabla muestra la población de las 4 Regiones más pobladas de Chile, de acuerdo con datos del censo de Están ordenadas de norte a sur. (No se considera aquí la Región de Los Lagos que posteriormente al Censo se dividió en 2 Regiones). Región Población Valparaíso Metropolitana Maule Bío-Bío Cómo se lee cada uno de estos números? Tenían en 2002 todas estas Regiones más de un millón de habitantes? Cuáles de estas Regiones tenían más de 1 millón pero menos de 2 millones de habitantes? Tenía la Región Metropolitana más de habitantes por sobre los 6 millones? 3 Cómo se lee cada uno de los números que se indican a continuación acerca de la población de China, India y Brasil? Según el Centro de Información e Investigación sobre la Población de China (CPIRC), la población de China en enero de 2008 era de habitantes. Según la organización médica asiática Medindia, la población de India en enero de 2008 era de habitantes. Según el Instituto Brasileño de Geografía y Estadística, la población de Brasil el 25 de enero de 2008 a las 11:58 horas era de habitantes. 4 Cómo se escribe cada uno de los números que aparecen en la información que se da a continuación? La Tierra se formó hace cuatro mil quinientos a cuatro mil seiscientos millones de años. Se estima que en nuestro planeta ha habido vida desde hace unos tres mil novecientos millones de años. Hace unos doscientos cincuenta millones de años se produjo la más catastrófica extinción de especies en toda la historia de la vida en la Tierra. De cada 100 especies que existían en ese entonces, alrededor de 95 desaparecieron. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 7

9 Hoja de Trabajo N 5 Hoja de Trabajo N 5 TRABAJO GRUPAL DESCOMPOSICIÓN DE NÚMEROS DE MÁS DE 6 CIFRAS 1 A continuación se muestra una descomposición para el número = Esta descomposición refleja el valor representado por cada dígito en el número. Qué valor representa el 2 en el número ? En la descomposición dada más arriba, cuál es el sumando que expresa el valor representado por el dígito 2 en este número? Por qué los 2 sietes que aparecen en el número representan valor diferentes? (c) El número tiene 7 cifras. Pero en la descomposición dada más arriba hay solo 6 sumandos. A qué se debe esta diferencia? 2 En el ejemplo de la pregunta anterior, a la derecha del signo igual se tiene la siguiente adición: Qué resultado esperarías obtener si se efectúa esta adición? Haz la suma y verifica si tenías razón. Descompón los siguientes números de modo que la descomposición refleje el valor representado por cada dígito Escribe un número en que un 9 represente unidades, otro 9 represente unidades y un tercer 9 represente unidades. 4 A qué números corresponden las siguientes descomposiciones? Completa las siguientes descomposiciones anotando el valor que debería tener x = x = x = x (c) Escribe el número que resulta en los siguientes casos: A 256 millones se le suma 20 mil. A 2 mil 735 millones se le suma 108 mil. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 8

10 Hoja de Trabajo N 6 Hoja de Trabajo N 6 TRABAJO INDIVIDUAL INTERPRETACIÓN DE NÚMEROS GRANDES 1 La luz se propaga a una increíble velocidad. En el vacío, recorre metros en 1 segundo. En cuál de los intervalos que muestra el recuadro se encuentra este número? En cuál de los intervalos del recuadro se encuentra cada una de las cantidades mencionadas en la siguiente información? - Menos de 1 millón - Entre un millón y diez millones - Entre diez millones y cien millones - Entre cien millones y mil millones - Entre mil millones y diez mil millones - Entre diez mil millones y cien mil millones - Más de cien mil millones - La Tierra tiene un diámetro de metros y gira alrededor del Sol a una distancia de metros. - Demora segundos en completar una vuelta alrededor del Sol. - El mayor de los planetas es Júpiter. Tiene un diámetro de metros y gira alrededor del Sol a una distancia de de metros. 2 En una Hoja de Trabajo anterior se afirmaba que la población de China en enero de 2008 era de habitantes. En cuáles de los siguientes intervalos se puede situar la población de ese país? (Puede haber más de una posibilidad). - Entre mil millones y 2 mil millones de habitantes - Entre millones y millones de habitantes - Entre millones y millones de habitantes - Entre millones y millones de habitantes La población de India en enero de 2008 era de habitantes. Ubica este valor en intervalos similares a los de la pregunta anterior. 3 En enero de 2008 uno de los juegos de azar entregó el mayor premio en la historia de estos juegos en Chile: $ Cómo se lee este número? Esta cantidad de dinero es más o es menos de 1 millón de pesos? Es más o es menos de mil millones de pesos? Es más o es menos de 10 mil millones de pesos? Don Alejandro es ingeniero y gana $ mensuales en su trabajo. Cuántos meses tendría que trabajar para ganar una cantidad de dinero similar al premio mencionado en la pregunta anterior? Ese tiempo es más o es menos de 10 años? Es más o es menos de 100 años? Es más o es menos de 200 años? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 9

11 Hoja de Trabajo N 7 Hoja de Trabajo N 7 TRABAJO INDIVIDUAL COMPARACIÓN DE NÚMEROS GRANDES 1 Qué número es mayor: uno formado por ocho nueves o uno formado por nueve ochos? Cuál es el mayor número que se puede formar con los diez dígitos, sin repetir ninguno? (c) Escribe un número que sea mayor que pero menor que Consuelo opina que para comparar números grandes, lo primero que conviene hacer es fijarse en la cantidad de cifras que tiene cada número. Te parece correcto lo que plantea Consuelo? Refuerza tu respuesta con ejemplos. Y qué habría que hacer si los dos números que quieres comparar tienen la misma cantidad de cifras? 3 Según el Instituto Nacional de Estadísticas, en junio de 2050 habrá en Chile hombres y mujeres. De acuerdo con este dato, ese año habrá más hombres o más mujeres en el país? A continuación se dan datos acerca de la población estimada para en Chile y en los países limítrofes: Argentina: Bolivia: Perú: Chile: habitantes habitantes habitantes habitantes Ordena estos países de menor a mayor población. 4 La tabla muestra las distancias al Sol y el diámetro de cada uno de los 8 planetas del Sistema Solar. Qué conclusiones puedes extraer de esta tabla si comparas los distintos valores? Planeta Distancia al Sol (km) Diámetro (km) Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 10

12 Hoja de Trabajo N 8 Hoja de Trabajo N 8 TRABAJO INDIVIDUAL REDONDEO DE NÚMEROS GRANDES 1 La siguiente tabla muestra la población de las diferentes Regiones, según al Censo de (Recuerda que hasta 2007 el territorio nacional se dividía en 13 Regiones) Región Población Roblación (redondeada a la centena de mil) I Tarapacá II Antofagasta III Atacama IV Coquimbo V Valparaíso XIII Metropolitana VI Lib. Gral. B. O Higgins VII Maule VIII Bío-Bío IX La Araucanía X Los Lagos XI Aysén del Gral. C. Ibáñez del C XII Magallanes y Antártica Chilena Redondea cada uno de estos valores a la centena de mil y anota los valores redondeados en la tercera columna de la tabla. Utiliza los valores redondeados para ordenar las Regiones de menor a mayor población. Hay Regiones que aparecen con igual población al redondear a la centena de mil? Qué se puede hacer en tal caso para completar el orden en las Regiones? 2 (c) Escribe varios redondeos diferentes para la distancia de la Tierra al Sol, que es de kilómetros. La luz recorre metros en cada segundo. Redondea este valor a los miles. Redondea este valor a la decena de mil. Redondea este valor a la centena de mil. Redondea este valor a los millones. Redondea este valor a la decena de millones. Redondea este valor a la centena de millones. Por qué crees tú que los últimos valores redondeados son iguales entre sí? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 18

13 Hoja de Trabajo N 9 Hoja de Trabajo N 9 TRABAJO INDIVIDUAL OPERACIONES CON NÚMEROS GRANDES 1 Los dinosaurios aparecieron en la Tierra hace unos doscientos treinta millones de años y se extinguieron hace unos sesenta y cinco millones de años. Podemos determinar con estos datos durante cuánto tiempo hubo dinosaurios en la Tierra? Los antepasados de los actuales humanos con características que pueden ser consideradas humanas aparecieron en la evolución hace unos 6 a 7 millones de años. De acuerdo con esto, hubo algún período durante el cual coexistieran humanos y dinosaurios? 2 Se estima que a comienzos de 2009 había en el mundo habitantes y que durante este año se producirán nacimientos y defunciones. De acuerdo con estos datos, se espera que la población mundial aumente o disminuya durante el año 2009? Podemos determinar con los datos dados en cuántos habitantes variará la población mundial durante el año 2009? (c) Cuánto será la población mundial a comienzos de 2010? (d) Paula dice que en el año 2008 el aumento de la población mundial será entre 4 y 5 veces la población total de Chile, que a comienzos de año era de habitantes. Tiene razón? 3 La familia Cárdenas quiere comprar un departamento que vale $ Han vendido una casa en $ y un sitio en $ Les alcanza ese dinero para comprar el departamento? Cuánto dinero les falta o les sobra? 4 Joao dice que la población de Brasil es 5 veces mayor que la de Argentina. Ernesto lo niega. Para salir de dudas, han averiguado que en 2007 la población de Brasil era de aproximadamente habitantes y la de Argentina era aproximadamente habitantes. Quién tenía razón, Joao o Ernesto? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 19