Tema 3: Cinemática del punto

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1 Tema 3: Cinemática del punto FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1

2 Índice Introducción Ecuaciones de una curva Velocidad y aceleración Movimientos elementales Rectilíneo Circular Geometría de curvas 2

3 Introducción Punto material: la partícula es un punto sin dimensiones La posición en cada instante viene dada por el vector de posición r=op El punto describe una curva en el espacio, la P trayectoria La velocidad v da la tasa de variación de la posición La aceleración a da la tasa de variación de la velocidad Z El tiempo es el parámetro en función del que se describe el movimiento 3

4 Cinemática del punto Introducción Ecuaciones de una curva Velocidad y aceleración Movimientos elementales Rectilíneo Circular Geometría de curvas 4

5 Ecuaciones de una curva La posición del punto se describe con un vector de posición referido al origen del triedro de referencia P Z C Ecuaciones parámetricas de la curva C O El parámetro varía al recorrer la curva Se puede reparametrizar las ecuaciones Ecuaciones implícitas de la curva C 5

6 Ecuaciones de una curva: ejemplo Z x=0 z=0 C Curva C : Eje O Ecuaciones parámetricas Ecuaciones implícitas 6

7 Ecuaciones de una curva: ejemplo Z Curva C : Circunferencia de radio R, en el plano z=0 y centrada en el origen x 2 +y 2 =R 2 z=0 C C R R Ecuaciones parámetricas Ecuaciones implícitas 7

8 Diferencial de una función f(x) dx x df f x x+ x La derivada da la tasa de variación de la función El diferencial de una función es el cambio de la función ante una variación muy pequeña de la variable independiente En Física, la derivada se puede tratar como el cociente de dos diferenciales 8

9 Diferencial de una función Ejemplo Diferencial de la función df f(x) Un dx produce df distintos según en que punto de la curva nos encontremos df dx dx 9

10 Integral definida f(x) f(x i ) a x i b En Física, una integral definida es una suma de cosas pequeñas Se puede sumar cualquier objeto matemático: vectores, áreas, volúmenes, productos escalares... 10

11 Integral definida Longitud de una circunferencia La longitud es la suma de los módulos de todos los dr d Área del círculo R El área del círculo es la suma de las áreas de todos los triángulos 11

12 Índice Introducción Ecuaciones de una curva Velocidad y aceleración Movimientos elementales Rectilíneo Circular Geometría de curvas 12

13 Movimiento unidimensional Velocidad uniforme v x(t) d T v 0 t El cociente es siempre el mismo independientemente del intervalo de tiempo considerado x(t) T t 13

14 Movimiento unidimensional Velocidad no uniforme Velocidad media x(t) d v(t) El intervalo de tiempo de muestreo es muy grande No da una descripción precisa del movimiento dt T t Velocidad instantánea El intervalo de tiempo de muestreo es muy pequeño x(t) Proporciona una funcion v(t) La descripción del movimiento es precisa T t 14

15 Movimiento unidimensional Velocidad no uniforme Aceleración x(t) d v(t) El intervalo de tiempo de muestreo es muy pequeño Proporciona una funcion a(t) La descripción del movimiento es precisa dt T t La aceleración es la derivada segunda de la posición a(t) T t 15

16 Movimiento tridimensional La curva C es la trayectoria de la partícula: el conjunto de puntos que recorre durante su P movimiento Z C r (t) es la ley horaria Las ecuaciones de las componentes en función del O tiempo son las ecuaciones horarias La misma trayectoria puede describirse de diferentes modos, es decir, con diferente velocidad y aceleración 16

17 Movimiento tridimensional Intervalo temporal de muestreo grande Z C No da una descripción precisa del movimiento O Intervalo temporal de muestreo pequeño La descripción del movimiento es precisa Z C En cada instante, dr es tangente a la trayectoria O 17

18 Velocidad Velocidad media Z C No da una descripción precisa del movimiento O Velocidad instantánea La descripción del movimiento es precisa El dt es físico, no matemático Z C Unidades en SI O 18

19 Velocidad instantánea ds En cada instante es tangente a la trayectoria El desplazamiento en un instante dt y en un intervalo t son Z O C Puede expresasrse como tres ecuaciones vectoriales, una para cada componente 19

20 Velocidad instantánea La distancia recorrida en un instante dt y en un intervalo t son Z C O El módulo de la velocidad es la celeridad o rapidez 20

21 Aceleración Durante el movimiento, la velocidad puede cambiar su módulo y su dirección La variación del módulo está relacionada con la celeridad El cambio en la dirección está relacionado con como se Z C curva la trayectoria La aceleración es la tasa de variación de la velocidad O Apunta hacia la parte cóncava de la trayectoria Unidades en SI Z C O 21

22 Aceleración Dada la aceleración, podemos calcular la velocidad en cada instante Z C Puede expresasrse como tres ecuaciones vectoriales, una para cada componente O 22

23 Triedro intrínseco (de Frenet) Vector unitario tangente a la trayectoria Vector tangente C Descomponemos la aceleración en una componente tangente a la velocidad y otra perpendicular Z O Vector normal Completamos el triedro Vector binormal El triedro es intrínseco a la curva. No depende de cómo se recorra ni del sistema de ejes y coordenadas que se utilice 23

24 Velocidad y aceleración en el triedro intrínseco Velocidad P C Aceleración R O Tangencial Normal Radio de curvatura Curvatura Centro de curvatura 24

25 Velocidad y aceleración en el triedro intrínseco Expresiones P C R O Significado de las componentes de la aceleración Información signo Nulidad permanente a T Variación del módulo de v Positivo (acelerado) o negativo (retardado) Movimiento uniforme ( v constante) a N Variación de la dirección de v Siempre positivo Movimiento rectilíneo 25

26 Determinación de los elementos de la trayectoria Velocidad P C R Aceleración O Curvatura Triedro intrínseco 26

27 Índice Introducción Ecuaciones de una curva Velocidad y aceleración Movimientos elementales Rectilíneo Circular Geometría de curvas 27

28 Movimientos elementales: rectilíneo La trayectoria es una línea recta Aceleración s(t) Velocidad Posición s(0) 28

29 Movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente acelerado Movimiento rectilíneo uniforme (m.r.u.) Aceleración Velocidad s(t) Posición Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) Aceleración s(0) Velocidad Posición 29

30 Movimiento circular La trayectoria es una circunferencia Velocidad angular Aceleración angular Posición (t) s(t) Velocidad Aceleración R Relación entre magnitudes lineales y circulares 30

31 Movimiento circular uniforme La aceleración angular es cero Velocidad angular Ángulo barrido Variables cinemáticas (t) s(t) R El movimiento es periódico 31

32 Movimiento circular: descripción vectorial Se define el vector velocidad angular ω Módulo Recta soporte: eje de giro Sentido: regla del tornillo Se define el vector aceleración angular α Velocidad y aceleración O P Los vectores ω y α son vectores deslizantes 32

33 Índice Introducción Ecuaciones de una curva Velocidad y aceleración Movimientos elementales Rectilíneo Circular Geometría de curvas 33

34 Parametrización de un curva Una misma trayectoria puede ser recorrida con diferentes velocidades La geometría de la trayectoria es independiente de como se recorra Una curva se puede parametrizar de muchas maneras El triedro intrínseco en cada punto es independiente del parámetro que se utilice 34

35 Triedro intrínseco (de Frenet) Curva parametrizada en función de un parámetro λ Vector unitario tangente a la curva en cada punto C Vector tangente Z El vector normal indica la variación de la dirección de T O Completamos el triedro Vector normal Vector binormal El triedro es intrínseco a la curva. No depende de cómo se recorra ni del sistema de ejes y coordenadas que se utilice 35

36 Parametrización de una circunferencia Parametrización con el ángulo Triedro intrínseco Vector tangente R Vector normal Indica la dirección en la que varía el vector tangente Vector binormal 36

37 Parametrización de una circunferencia Parametrización con el tiempo Triedro intrínseco Vector tangente R Vector normal Vector binormal En cada punto de la curva los vectores del tridero son los mismos independientemente del parámetro que se utilice 37

38 Triedro intrínseco o de Frenet: siginificado Línea recta Línea plana Curva alabeada C Vector tangente uniforme Contenida en un plano Vector tangente variable Vector normal N apunta en la dirección en que se tuerce la curva No contenida en un plano Vector binormal B = T x N 38

39 Parámetro arco ( o natural) El parámetro arco es la distancia recorrida sobre la curva s(θ) La curvatura en cada punto es el módulo de la derivada del vector tangente cuando está expresado en el parámetro arco R Si se usa otro parámetro hay que utilizar la regla de la cadena 39

40 Resumen Introducción Punto material, posición, velocidad, aceleración, tiempo Ecuaciones de una curva Velocidad y aceleración Triedro intrínseco: aceleración tangencial y normal Movimientos elementales Rectilíneo Circular 40

41 Resumen Geometría de curvas Parametrización Triedro de Frenet Parámetro arco Curvatura 41

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