Primer Examen Parcial 17/4/2003

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1 MR990. Control de Proceo Indutriale Salvador Macía Hernández 7730 Primer Examen Parcial 7/4/003 PRIMER INCISO Sea el itema hidráulico/eléctrico iguiente: R q R q L Ct C Generador de voltaje vt () kq() t R Encuentre la función de tranferencia que relacione a la alida (oltaje del capacitor) con el flujo de entrada q (t), cuando: Ct3, R, R, K5, L0., C0.5 y R Ete itema lo podemo dividir en do parte. La parte hidráulica y la parte eléctrica. La parte hidráulica la vimo en clae y abemo que podemo obtener u modelo y en bae a ee modelo lo podemo ubtituir por un circuito RC que tenga la mima expreión algebraica en u modelo. Teniendo en cuenta la limitacione que el mimo modelo preenta. Partiendo de lo anterior y con el apoyo de alguno libro, vamo a obtener el modelo del itema hidráulico y vamo a encontrar un circuito eléctrico que tenga el mimo modelo.

2 Primer hay que dejar en claro que el agua que entra e la mima que ale y que e acumula en el tanque. Aí, i medimo en un intervalo de tiempo el agua que ale, el agua que e queda almacenada en el tanque y el agua que entra. Notaremo que: Agua que ale + Agua que e queda en el tanque Agua que entra Hay que recordar que eto e en un intante de tiempo, y que para medir ea cantidad de agua, e neceario, medir el caudal y el intervalo de tiempo, lo multiplicamo y lito. q dt + A dh q dt Pero el agua que ale, etá en función de la altura del tanque y de la reitencia de preenta la válvula: q h R Entonce que la expreión queda de la iguiente manera: h A dh q dt R dt A dh h q dt R A dh h + q dt R Si tomamo en cuenta el imil que exite entre el flujo y la corriente eléctrica, entre el potencial (h) y el voltaje, entre la reitencia hidráulica de la válvula y una reitencia, entre un tinaco y un capacitor, podemo armar el iguiente circuito:

3 En donde la corriente del capacitor e una contante por la derivada del voltaje y la corriente del reitor e el voltaje entre la reitencia: d Ic C dt ; I R R Entonce la corriente de entrada q e: q C d + dt Y como obervamo, eta ecuación y la del tanque tienen la mima forma, ólo que h e, C e A, y R e R. Por tanto tienen el mimo modelo y para fine de análii e le puede ubtituir. Y eo e lo que vamo a hacer. En vez de poner el itema con el tanque, vamo a poner el itema en u conjunto, con puro componente electrónico. Y aí ya entramo netamente en mi área de conocimiento, y lo reolveremo con mayor facilidad. R El modelo anterior e el imil de nuetro itema, i ven, hemo cambiado la parte hidráulica por el circuito RC y hemo pueto una fuente de corriente alterna, por que en el iguiente incio no piden la repueta en el tiempo a ea eñal de entrada. Hemo ubtituido el generador por una fuente de voltaje dependiente de la corriente q que paa por la reitencia R. La ganancia de eta fuente e de 5, e decir, i paa un ampere por R, la fuente dependiente generará 5 volt en la otra maya. Cabe eñalar que eta do maya etá ailada una de otra. Aunque la fuente e dependiente de la corriente de la otra maya, no paa ninguna corriente de una maya a la otra. E como i tuvieran un optoacoplador.

4 Ya que ete circuito e encillo, podemo calcular rápidamente el valor en etado etacionario a una entrada de un ampere de DC. Como e DC e conideran todo lo capacitore como circuito abierto y todo lo inductore como corto circuito. Si e aí en la maya de la izquierda circulará toda la corriente q por la reitencia R y eto hará que la fuente dependiente genere 5dc. Y como el circuito de la derecha e una maya imple, todo u elemento etán en erie, y ya que, el capacitor e un circuito abierto, conumirá todo el voltaje de la fuente. Por eo podemo aegurara que en un tiempo infinito el voltaje del capacitor erá 5dc a una entrada de Ampere DC de la fuente Q. Eto no da la ganancia en etado etacionario que e de 5. Y con eto podemo verificar la función de tranferencia que obtengamo y tener má certidumbre en lo que etamo haciendo. Para encontrar, de forma má rápido la función de tranferencia, paamo toda la impedancia en término de una frecuencia compleja. Como e muetra en la figura iguiente: Aí, alta a la vita que la corriente q, que paa por R e el divior de corriente: R q q q Ct + R 3 + q + ( ) 6

5 SEGUNDO INCISO Y para acar el voltaje del capacitor: c 5q... 5q C 5q L + C+ R Pero q ya lo habíamo obtenido... 4 ( 6 )( ) 5q q c Entonce la función de tranferencia, e: c 00 G () 3 q Dividimo el término independiente del numerador (00) entre el del denominador (0) y no dio lo mimo 5 de ganancia en etado etacionario que habíamo calculado ante. Por tanto e corroboró el reultado. Encuentre la repueta en el dominio del tiempo cuando, q(t)co[0.t] Lo primero que hay que obervar e que q e el caudal con el que e llena el tanque, depué hay que obervar que no dicen que el caudal q depende del tiempo y igue un comportamiento trigonométrico por la función Co[0.t]. Eto quiere decir que probablemente tienen una bomba que regula el caudal, y aí como le otorga agua al tanque (gato poitivo), aí mimo la vuelve a tomar (gato negativo). El tubo debe de llegar hata abajo del tanque, de modo que pueda aborber el mayor fluido poible. Pero la función e coenoidal, por tanto comienza en + (otorga agua al tanque), paa por cero (no entra, no ale agua), luego va a - (aborbe toda el agua que otorgó al tanque, y eo uponiendo que puede recuperar el agua que alió por q), y luego igue aborbiendo pero con menor intenidad hata llegar a cero. Pero como toda el agua que entregó al tanque ya la aborbió, y como partimo de condicione iniciale cero (el tanque no tenía agua), entonce lo que va a aborber e puro aire y lo má probable e que ea bomba no aguante el ritmo y truene. E por eo que intuimo que el objetivo de ete incio e puramente matemático.

6 Análii de circuito en ingeniería; William Hayt, Jack Kemmerly. 5a Edición Sitema de control en ingeniería; Paul Lewi,, Chang Yang Elemento de control automático de proceo; Ruy Renau Balleter La tranformada de Laplace de la función de entrada e la iguiente: { } Q() L Co[. 0t] Multiplicamo la eñal Q() por la función de tranferencia G(), para obtener la eñal de alida en : c() G() Q () ( )( ) Separando en fraccione parciale, con la ayuda de Mathematica... c() ( + ) De tabla podemo acar rápidamente que el primer término e: L. { 6( + )} 9846 y que el último término e: e { + } { + } + { (. ). (. ) + ( 0. )} L L L REFERENCIAS: Laplace Tranform; Murray R. Spiegel, a y el término de enmedio... Edición Sin[ 0. t] Co[ 0. t] L { } L { ( ( )) } { } ( ) (. + ) ( ( )) + ( ( )) +... L t 5 ( e 55 t 55 Co 4 t 0 974e Sin 4 t )... [ ] +. [ ] t Con lo que ya tenemo la repueta en el dominio del tiempo. El último término dio la repueta forzada y lo do primero término dieron lo tranitorio.

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