Control estadístico de procesos con dinámica: revisión del estado del arte y perspectivas de futuro

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1 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 46, Núm. 155, 2004, págs. 19 a 47 Conrol esadísico de procesos con dinámica: revisión del esado del are y perspecivas de fuuro por ALBERTO FERRER Dpo. Esadísica e Invesigación Operaiva Aplicadas y Calidad Universidad Poliécnica de Valencia RESUMEN En ese rabajo se presena una revisión bibliográfica del esado del are en la aplicación del Conrol Esadísico de Procesos (Saisical Process Conrol, SPC) en procesos con dinámica, ípicos en los modernos enornos alamene auomaizados ano de la indusria de piezas, como de la de procesos, donde la correlación enre las observaciones forma pare del sisema de causas comunes de variabilidad. Se presena en primer lugar una revisión de las esraegias de moniorización desarrolladas para adapar los gráficos de conrol esándar a procesos con inercia. Seguidamene se inroduce la esraegia combinada ESPC (Engineering Saisical Process Conrol), inegración del SPC con la eoría de conrol de procesos (Engineering Process Conrol, EPC), que aprovecha la información valiosa que proporciona la propia dinámica de los procesos, juno con la exisencia de variables de conrol, fácilmene manipulables, para mejorar el conrol de los procesos. Se presenan diversas aplicaciones reales exiosas de la esraegia combinada ESPC y se apunan algunas líneas de invesigación abieras.

2 20 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Palabras clave: Auocorrelación; Conroladores con resricciones; Gráficos de conrol; Modelos ARIMAX; Moniorización esadísica de procesos; Regulación de procesos. Clasificación AMS: 62M10; 62N10; 93A25; 93B30; 93B52 1. INTRODUCCIÓN El Conrol Esadísico de Procesos (Saisical Process Conrol, SPC), cuyos fundamenos son esablecidos por Waler Shewhar en la década de los años 1930 (Shewhar 1931) descansa sobre un concepo esencial: el de la diferenciación enre causas comunes y causas especiales de variabilidad. Las primeras, que son aquellas que esán permanenemene presenes en cualquier proceso como consecuencia de cómo ha sido diseñado y de cómo es operado normalmene, producen en sus resulados una paua de variabilidad esable y predecible en el iempo que configura lo que se denomina proceso bajo conrol esadísico y define la capacidad del mismo. Las causas especiales, por su pare, ienen un carácer esporádico y punual, esando asociadas a anomalías no previsas que provocan las denominadas salidas de conrol del proceso. El objeivo del SPC es el de esablecer un sisema de observación, permanene e ineligene, que deece precozmene la aparición de causas especiales de variabilidad y ayude a idenificar su origen, con el fin úlimo de eliminarlas del proceso y de omar medidas que evien su reaparición en el fuuro (Romero 2000). Su fundameno es la oma periódica de muesras y la represenación gráfica de esadísicos adecuadamene elegidos para moniorizar eficienemene los parámeros clave del proceso, y que acúan como señales de aviso de las salidas de conrol del proceso. Esos gráficos de conrol, bien uilizados, consiuyen una herramiena de mejora muy úil y poderosa por diferenes moivos: implican a operarios, encargados, écnicos y direcivos en la gesión de la calidad; evian ano los problemas de sobreajuse o infraajuse de los procesos; permien diferenciar enre problemas punuales, que pueden resolverse mediane simples acuaciones locales, y problemas asociados a las causas comunes de variabilidad, cuya resolución exige acuaciones sobre el sisema que deben planearse desde la Dirección; y posibilian esablecer la capacidad real del proceso. Enre los méodos del SPC, desacan los gráficos de conrol propuesos por Shewhar (Shewhar 1931) y oros de desarrollo poserior, como los gráficos de sumas acumuladas (CUSUM) (Page 1954, 1961; Barnard 1959), o los de medias móviles y los gráficos EWMA (Exponenially Weighed Moving Averages) (Robers 1959; Huner 1986). En el empleo y diseño de esos gráficos se asume que las

3 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS CON DINÁMICA: REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE Y PERSPECTIVAS DE FUTURO 21 observaciones son esadísicamene independienes, siendo ésa una hipóesis clave en las propiedades esadísicas de esos gráficos. Sin embargo, esa suposición es frecuenemene violada en muchos procesos indusriales modernos. Así, aunque en la indusria de piezas (auomóvil, elecrónica, ec.) radicionalmene esa hipóesis ha sido razonable en la prácica, por lo que los gráficos de conrol han resulado excelenes herramienas para manener los procesos bajo conrol esadísico, sin embargo, con el desarrollo explosivo de las nuevas ecnologías que facilian la auomaización de los procesos, es frecuene enconrar disposiivos que proporcionan en un enorno CIM (Compuer Inegraed Manufacuring) información sobre cada pieza fabricada, o sobre parámeros operaivos del proceso (v.g. presión del circuio hidráulico del brazo del robo que debe aladrar la pieza), no pudiendo aceparse como válida la hipóesis de independencia en los daos (Keas y Hubele 1991; Keas y Mongomery 1991). Eso mismo ocurre, por ora pare, en las indusrias de procesos con procedimienos de fabricación en coninuo o por loes, ípicos de secores como el peroquímico o el farmacéuico, donde es frecuene la exisencia de auocorrelaciones enre medidas sucesivas. La presencia de correlación no debe inerprearse como una causa especial de variabilidad, sino como pare del sisema de causas comunes inrínseco al proceso en cuesión, consecuencia de la presencia de elemenos inerciales como flujo de maerias primas, anques de almacenamieno, reacores, reflujos, condiciones ambienales, ec. con iempos de residencia o dinámicas (inercias) mayores que la frecuencia de muesreo. Por ejemplo, si en un proceso de fabricación de polieileno mediane un reacor en lazo, las moléculas de eileno ienen un iempo de residencia en el reacor de unas cuaro horas y se oma una muesra del reacor cada hora, hay moléculas que han coexisido en el reacor en varias omas de muesra, por lo que es esperable enconrar correlaciones enre muesras consecuivas (Capilla e al. 1999). En general odos los procedimienos de fabricación presenan ciera inercia frene a la acción de parámeros ambienales, el cambio de maerias primas o al ajuse de sus condiciones operaivas, por lo que un aumeno de la frecuencia de muesreo puede llegar a generar la aparición de auocorrelación enre observaciones cercanas en el iempo. Tras esa inroducción, el rabajo se esrucura como sigue: en la sección siguiene se revisa el comporamieno de los gráficos de conrol en presencia de correlaciones y las soluciones planeadas para mejorar sus propiedades esadísicas; en la ercera sección se inroduce la esraegia ESPC, inegración del conrol esadísico con el conrol auomáico de procesos; en la úlima sección se presenan algunas conclusiones y líneas abieras de invesigación en esos emas.

4 22 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA 2. GRÁFICOS DE CONTROL CON DATOS CORRELACIONADOS Diversos auores han esudiado el comporamieno de los gráficos de conrol en presencia de auocorrelación (Bagshaw y Johnson 1975; Capilla 1991; Consable y Yen 1991; Goldsmih y Whifield 1961; Harris y Ross 1991; Johnson y Bagshaw 1974; Vasilopoulos y Samboulis 1978). En los gráficos de medias móviles, CUSUM y EWMA, la correlación posiiva (la más frecuene en la prácica indusrial) disminuye noablemene el ARL bajo conrol (in-conrol Average Run Lengh, o número medio de muesras enre dos falsas salidas de conrol consecuivas), lo que se raduce en la prácica en un mayor número de falsas alarmas. Eso provoca la sensación de que el proceso esá permanenemene fuera de conrol, lo que no se corresponde con la realidad y suele conducir a un sobreajuse del proceso y al abandono poserior de su uso como herramiena de mejora. La jusificación de esos resulados se encuenra en la modificación que sufre la varianza del esadísico que se grafica cuando se calcula a parir de observaciones correlacionadas. Con correlación posiiva la varianza es mayor que la que se asume en la consrucción y diseño del gráfico (v.g. para un proceso AR(1) con φ=0.7, la desviación ípica de la media muesral con amaño de agrupamieno n=5 es casi el doble que en el caso independiene, σ / n ). Adicionalmene, la aplicación de recorridos móviles para esimar la desviación ípica mediane la expresión R / d 2 (n) subesima la σ real de la población, pueso que las diferencias enre medidas consecuivas son, en general, más pequeñas que en el caso de independencia. Eso provoca una subesimación imporane de la ampliud real de los límies de conrol. Juno con esa frecuencia elevada de falsas alarmas, los gráficos de conrol ambién pueden mosrar escasa poencia para deecar cieras salidas de conrol del proceso (v.g. con correlación posiiva, un salo brusco enre dos observaciones consecuivas, que con daos independienes no endría por qué considerarse una señal de fala de conrol, puede indicar la aparición de una causa especial de variabilidad no deecada por el gráfico de conrol). El fenómeno conrario se produce en el caso de que la correlación sea negaiva. En ese caso la sobresimación de la varianza real provoca unos límies de conrol innecesariamene amplios que, aunque bajo conrol reducen el porcenaje de falsas alarmas, merman la sensibilidad de los gráficos para deecar cambios reales en el proceso (aumenan el ARL fuera de conrol, es decir, el número medio de muesras desde que se produce la salida de conrol hasa que se deeca). Ese mal comporamieno de los gráficos de conrol esándar en presencia de correlación ha moivado en los úlimos veine años un gran inerés cienífico por

5 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS CON DINÁMICA: REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE Y PERSPECTIVAS DE FUTURO 23 desarrollar nuevas esraegias de moniorización eficienes en procesos con dinámica, que permian deecar la presencia de causas especiales de variabilidad cuando la auocorrelación en los daos forma pare de las causas comunes, pero eliminando los problemas de frecuenes falsas alarmas o escasa poencia que planean los gráficos de conrol radicionales en ese conexo. Hasa la fecha se han propuesos varias soluciones. Una consise en la modificación de los parámeros de diseño y las reglas de inerpreación de los gráficos de conrol esándar (Shewhar, CUSUM y EWMA) para compensar el efeco de la correlación sobre sus propiedades esadísicas (Alwan 1992; VanBrackle y Reynolds 1997; Vasilopoulos y Samboulis 1978). Si el nivel de auocorrelación no es alo, ese méodo puede funcionar bien en la prácica. Ora posible solución (Berhouex e al. 1978) consise en filrar la serie de observaciones mediane el modelo ARIMA adecuado (Box e al. 1994) y a coninuación llevar un gráfico de conrol de la serie de residuos del modelo. Si ése esá bien ajusado, los residuos o errores de predicción a un paso (diferencia enre el valor observado en el insane y el predicho por el modelo en -1) esán incorrelacionados, por lo que pueden uilizarse los gráficos de conrol esándar. Alwan y Robers (1988) proponen llevar en paralelo al gráfico de conrol de los residuos, oro gráfico, sin incluir límies de conrol, de las predicciones del modelo. El primer gráfico sirve para deecar la presencia de causas especiales de variabilidad, mienras que el segundo refleja las causas comunes, grafica la rayecoria suavizada del proceso y puede faciliar la inerpreación de las salidas de conrol deecadas en el gráfico de los residuos. También puede añadirse en ese segundo gráfico las observaciones originales con el fin de ener información de lo que esá pasando en cada insane en el proceso. Mongomery (2001) y Mongomery y Masrangelo (1991) sugieren esimar la predicción aplicando un alisado exponencial, EWMA, a la serie original. El procedimieno en ese caso ambién consise en llevar dos gráficos en paralelo. Uno es el gráfico de conrol de los residuos del modelo (errores de predicción a un paso). El oro es un gráfico de la serie original sin límies de conrol, en el que se incluyen las predicciones EWMA con sus límies de conrol correspondienes. Teóricamene el EWMA es la predicción ópima a un paso de un modelo IMA (1,1) (Box e al. 1994), por lo que la propuesa de Mongomery sólo debe aplicarse cuando el modelo IMA(1,1) ajuse bien los daos observados. Sin embargo, en la prácica ese modelo puede considerarse razonable en muchos procesos con correlación posiiva y donde la media no flucúe demasiado rápidamene. En ese senido algunos auores (Box y Kramer 1992; Box y Luceño 1997; MacGregor 1988) consideran que el modelo IMA(1,1) es en procesos coninuos correlacionados, el equivalene al modelo Normal radicionalmene uilizado en las indusrias de piezas con baja frecuencia de muesreo relaiva a los elemenos inerciales y, por ano, con observaciones independienes.

6 24 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Recienemene, han aparecido en la bibliografía muchos rabajos de invesigación sobre las propiedades esadísicas de los gráficos de los residuos del modelo ARIMA ajusado, comparándolas con las de los gráficos radicionales en presencia de correlación (Falin e al. 1997; Harris y Ross 1991; Lin y Adams 1996; Lu y Reynolds 1999a y 1999b; Padge e al. 1992; Runger e al. 1995; Superville y Adams 1994; Vander Wiel 1996; Wardell e al. 1994; Zhang 1998). El resulado de esas invesigaciones muesra que no hay una combinación de gráficos que enga un comporamieno ópimo en un amplio rango de siuaciones. En general, los gráficos CUSUM o EWMA de los residuos muesran un comporamieno mejor que los gráficos Shewhar para deecar cieros cambios en la media de procesos con inercia. Sin embargo, en presencia de una elevada correlación posiiva, odos los gráficos de residuos manifiesan una clara incapacidad para deecar rápidamene cambios sosenidos en la media del proceso, pueso que su ARL fuera de conrol es muy elevado. Una ercera solución al problema del SPC con daos correlacionados ha sido propuesa recienemene por Apley y Tsung (2002), y consiuye una mejora del méodo propueso por Alwan y Alwan (1994). Consise en consruir en cada insane, a parir de la serie univariane de daos auocorrelacionados, un vecor mulivariane de dimensión p consiuido por una venana móvil de p observaciones consecuivas X ={x -p+1, x -p+2,..., x } a parir del cual graficar el esadísico T 2 -Hoelling: 2 1 ( X µ )' V ( X ) T = µ 0 donde V -1 es la mariz de covarianzas del vecor X. Apley y Tsung (2002) denominan ese gráfico como T 2 auorregresivo y comparan el ARL de ese gráfico con el de los gráficos CUSUM y Shewhar de los residuos suponiendo diferenes modelos ARMA(1,1). El gráfico T 2 auorregresivo funciona mejor que los gráficos de los residuos en la rápida deección de cambios moderados y grandes de la media del proceso, y es más robuso frene al incremeno de falsas alarmas que se producen cuando exisen errores de especificación o esimación en el modelo. 0, 3. INTEGRACIÓN DEL CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS (SPC) CON EL CONTROL INGENIERIL DE PROCESOS (EPC): ENFOQUE ESPC 3.1. Concepo del ESPC Las soluciones descrias en el aparado anerior para aplicar el SPC en procesos con inercia, diseñadas con el único fin de deecar causas especiales de variabilidad, desaprovechan la información valiosa que proporciona la esrucura de

7 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS CON DINÁMICA: REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE Y PERSPECTIVAS DE FUTURO 25 auocorrelaciones presene en los daos. En efeco, en procesos con dinámica, los valores observados conienen información que permie predecir la evolución fuura del proceso; información que, si se dispone de variables compensaorias fáciles de manipular, puede aprovecharse para omar acciones que mejoren dicha evolución fuura, minimizando la variabilidad predecible respeco del valor ópimo y mejorando de forma coninua la calidad del produco. Eso es especialmene necesario en procesos no esacionarios en media, muy frecuenes en procesos coninuos, pueso que deben ser inervenidos para manener el oupu en orno al valor objeivo. La filosofía clásica del SPC: no acuar a no ser que el proceso se salga de conrol, siendo razonable cuando exise un alo cose asociado a la realización del ajuse (pueso que eso puede suponer la paralización de la máquina, cambio de herramiena, reducción de la producividad, ec.), lo cual ha venido siendo frecuene en la indusria de piezas, no lo es ano cuando el cose de ajusar el proceso es prácicamene despreciable comparado con el cose de no fabricar en el objeivo, como suele ocurrir en muchos procesos coninuos. En esa siuación lo más adecuado no es ajusar el proceso sólo cuando no esé bajo conrol, sino hacerlo coninuamene mediane ajuses en variables compensaorias, de forma que se minimice la variabilidad del oupu en orno al valor objeivo, uilizando las écnicas de regulación auomáica (conrol feedback-feedforward) en lo que se conoce como esraegia de Conrol Auomáico de Procesos (Auomaic Process Conrol, APC), ambién llamada Conrol Ingenieril de Procesos (Engineering Process Conrol, EPC). El conrol feedforward se uiliza cuando las perurbaciones o ruidos a los que esá someido el sisema se pueden medir direcamene en su origen (ruidos idenificables; v.g. propiedades de maerias primas) y se puede acuar ajusando una variable compensaoria para conrarresar su efeco sobre el oupu. Cuando alernaiva, o adicionalmene, se usan las desviaciones del oupu respeco a su nominal (ruido residual o no idenificable) para calcular los ajuses compensaorios, aparece el conrol feedback, o feedforward-feedback, respecivamene. Las acciones de conrol pueden ejecuarse manualmene o mediane conroladores auomáicos, por ejemplo del ipo PID (Proporcional-Inegral-Derivaivo) muy uilizados en la indusria para conrolar parámeros de proceso (v.g., emperauras en reacores o en circuios de calefacción-refrigeración, ec.). Mediane esos algorimos de conrol se ransfiere la variabilidad del oupu, que es la que genera problemas de calidad, al inpu (variable de ajuse), cuya manipulación no supone prácicamene cose en muchos procesos coninuos reales. La venaja que ofrece ese ipo de conrol es que uiliza la información exisene en los daos del pasado para opimizar la evolución fuura del proceso.

8 26 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA La uilización de la filosofía SPC para ajusar procesos con dinámica se ha mosrado alamene ineficiene, generando un rechazo hacia esa esraegia por pare de los ingenieros de procesos (Capilla e al. 1999; Hoerl y Palm 1997). Por ora pare, una críica frecuene que se suele hacer a los enfoques EPC es que en muchas ocasiones las acciones de conrol se basan en reglas empíricas no adecuadas al proceso concreo, lo que conduce a sobreajuses o infraajuses del mismo. También se criica que al compensar la variabilidad (los conroladores acúan como cajas negras que conrarresan el efeco de las perurbaciones que desvían la caracerísica de calidad de su valor objeivo), en vez de eliminar sus causas, el EPC enmascara información que podría uilizarse para mejorar el proceso permanenemene. Aunque el SPC y el EPC se originan en secores indusriales diferenes: la indusria de piezas y la de procesos coninuos, respecivamene, hoy día las diferencias enre los procesos de ambos ipos de indusrias comienzan a difuminarse, debido fundamenalmene a la auomaización y al desarrollo especacular de las ecnologías de capación y de ransmisión de información. Dada la frecuencia con que en los modernos procesos indusriales se presenan fenómenos dinámicos que desesabilizan los procesos y hacen necesario recurrir a algorimos de conrol para raar de esabilizar su media, es indudable el inerés que iene esa nueva aproximación al problema del conrol on-line de procesos con inercia. El EPC y el SPC son realmene dos esraegias complemenarias para la mejora de la calidad que, sin embargo, hasa hace unos años se han venido desarrollando de forma compleamene independiene y en algunos casos han podido incluso considerarse como anagónicas. Una de las razones de ese anagonismo es que ambas esraegias uilizan el érmino conrol para referirse a aspecos an dispares como son la regulación y la moniorización de procesos. Las écnicas de regulación (EPC) describen méodos mediane los cuales se fuerza al proceso a seguir una políica deerminada mediane ajuses en variables compensaorias fácilmene manipulables. Por oro lado, la moniorización (SPC) se refiere al méodo mediane el cual se implana un sisema de información permanene e ineligene de la evolución del proceso a lo largo del iempo para deecar precozmene cualquier anomalía que pueda ocurrir, y ayudar en la idenificación de sus causas, con el fin úlimo de eliminarlas y omar medidas para eviar su reaparición en el fuuro (o bien, si fueran favorables, que las incorporen permanenemene en el proceso). A la hora de deerminar la esraegia de conrol adecuada es necesario disinguir si el objeivo es el conrase de la hipóesis esadísica de que el proceso es esable (esá someido sólo a causas comunes de variabilidad) y la deección de señales en procesos conaminados con ruido (objeivos ípicos de la esraegia de moniorización), o si lo que se preende es la esimación esadísica del valor de la perurba-

9 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS CON DINÁMICA: REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE Y PERSPECTIVAS DE FUTURO 27 ción acual que necesia ser compensada por el algorimo de conrol (objeivo de la esraegia de regulación). Algunos rabajos recienes (Box y Kramer 1992; Box e al. 1997; Box y Luceño 1997a; Ferrer e al. 2000; Janakiram y Keas 1998; MacGregor 1988, 1991; MacGregor y Harris 1990; Messina e al. 1996; Mongomery e al. 1994; Palm 1990; Woodall y Mongomery 1999) proponen en esos conexos la inegración de ambos enfoques SPC y EPC, raando de aprovechar las poencialidades de cada uno de ellos. Falin e al. (1993), Tucker e al. (1993) y Vander Wiel e al. (1992) denominan a esa nueva esraegia Conrol Esadísico de Procesos Algorímico (Algorihmic Saisical Process Conrol, ASPC). Por su pare, Nembhard y Masrangelo (1998) la denominan Conrol de Procesos Inegrado (Inegraed Process Conrol, IPC). Capilla e al. (1999) y Ferrer e al. (1998) desarrollan en un proceso indusrial peroquímico la nueva esraegia ESPC aplicada al conrol del índice de fluidez de un polímero medianes ajuses en la emperaura del reacor. Por su pare, Ferrer e al. (2000) discuen los beneficios del enfoque inegrado EPC/SPC en el conrol de la homogeneidad del calibre de azulejos mediane ajuses en los perfiles de emperauras del horno de cocción de una empresa azulejera. La nueva esraegia ESPC (inegración del EPC con el SPC) nace con el propósio de ser una herramiena de mejora de la calidad que reduce la variabilidad predecible (debida a las causas comunes) en las caracerísicas de calidad mediane el conrol feedback-feedforward, e incorpora un esquema de moniorización global del sisema regulado para deecar y ayudar en la eliminación de problemas no predecibles en el proceso (provocados por las causas especiales). La componene EPC de ese enfoque esudia la dinámica de las relaciones enre una o más variables oupu y una o varias variables inpu, para obener la ecuación de conrol ópimo (Box e al. 1994; Isermann 1981) que permie compensar el efeco previsible de las causas comunes de variabilidad. Por ora pare, los gráficos de conrol SPC permien reducir la dispersión a largo plazo y conribuir a la mejora coninua de los procesos mediane la deección e idenificación de causas especiales de variabilidad, implanando un sisema de moniorización permanene del proceso. La esraegia ESPC incorpora las ideas de la Teoría del Conrol con las del SPC inenando reducir ano la variabilidad a coro como a largo plazo, susiuyendo las consignas de ajusar coninuamene (EPC) o no acuar a no ser que el proceso se salga de conrol (SPC), por la de ajusar ópimamene y moniorizar el sisema regulado (ESPC).

10 28 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA 3.2. Modelos ARMAX y algorimos de conrol Una de las cuesiones clave en el desarrollo de la esraegia ESPC es el diseño del conrolador a uilizar. El algorimo de conrol ópimo (Box e al. 1994) depende de la esrucura de la función de ransferencia dinámica enre el inpu y el oupu, H(B), y de la nauraleza de las perurbaciones aleaorias N (modelo ARIMA del ruido, φ(b) d N =θ(b)a, siendo a un proceso esocásico de ruido blanco) que modelizan el sisema de causas comunes que deermina el proceso en cuesión, es decir del modelo ARMAX: ( Β) Χ Υ = ξ + Ν = Η + θ(b) φ(b) que puede represenarse esquemáicamene como: a d a θ ( B) φ( B) d N X H(B) ξ Y donde Y y X son, respecivamene, las desviaciones de la caracerísica de calidad (oupu) y de una variable de conrol manipulable (inpu) respeco a sus respecivos nominales. La nauraleza de los filros H(B) y θ (B) depende, a su vez, de la d φ(b) dinámica del proceso relaiva a la frecuencia de muesreo. Las funciones de ransferencia del ipo: Y = (gb)x = gx [1] 1

11 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS CON DINÁMICA: REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE Y PERSPECTIVAS DE FUTURO 29 se denominan de ganancia pura, y definen los sisemas en los que odo el cambio en el oupu Y inducido por un cambio sosenido en el inpu X se produce ras un solo inervalo de iempo. Ese modelo es muy frecuene en las indusrias de piezas donde, ras ajusar una máquina, el efeco se ransmie inmediaamene a la siguiene pieza producida. En las indusrias de procesos ese modelo ambién puede ser válido si el inervalo de muesreo es suficienemene grande (es decir, baja frecuencia de muesreo) relaivo a la inercia o iempo de residencia del proceso, lo que suele ocurrir cuando el valor de la caracerísica de calidad se obiene ras cososas (por cuesiones de iempo y/o dinero) y, por ano, infrecuenes deerminaciones analíicas en laboraorio. Sin embargo, cuando el inervalo de muesreo es suficienemene pequeño como para que los efecos ransiorios o dinámicos cobren imporancia, la función de ransferencia se modeliza mejor a parir de la expresión: ws(b)b Y = δ (B) r f X donde w s (B) y δ r (B) son dos polinomios en el operador B, y f es el reardo del sisema (número de inervalos de iempo compleos que arda en aparecer en el oupu el efeco del cambio en el inpu). De enre odos esos modelos, la función de ransferencia de primer orden expresada como: f w0b Y = X [2] 1 δb consiuye una aproximación razonable para caracerizar el comporamieno dinámico de muchos procesos indusriales reales (Box y Kramer 1992; MacGregor 1988). Respeco al ruido N pueden considerarse modelos de perurbaciones esocásicas esacionarios del ipo ARMA, o ambién no esacionarios del ipo ARIMA. En modelos esacionarios, a medida que va aumenando el inervalo de muesreo, la auocorrelación va perdiendo fuerza, llegándose en el límie a un proceso de ruido blanco N = a (observaciones independienes e idénicamene disribuidas), que es la hipóesis clásica del SPC radicional. Por ora pare, los disinos modelos de ruido no esacionarios, a medida que el inervalo de muesreo aumena, ienden odos al modelo límie IMA(1,1) N = (1 θb) [3] a

12 30 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Esa es una de las razones por las cuales en caracerísicas de calidad de procesos no esacionarios obenidas ras infrecuenes deerminaciones analíicas en laboraorio, el modelo IMA es muy usado en la prácica del SPC, y sus predicciones EWMA suelen dar muy buenos resulados (MacGregor 1988). Como ya se ha comenado anes, el objeivo del EPC es opimizar las acciones de conrol respeco a un crierio preesablecido. El esquema general de un proceso regulado puede represenarse como: N T: valor e = Y - T δ ( B) ψ 2( B) ω( B) ψ ( B) ω( B) B δ ( B) X objeivo C(B) H(B) 1 f Y Conrolador Proceso Los esquemas ópimos a menudo ienen en cuena diversos aspecos como: a) coses asociados a las desviaciones del oupu respeco a su nominal, b) coses debidos a las propias acciones de conrol ales como ajusar el proceso, muesrear, consumir más o menos energía, ec. (Box y Kramer 1992). En muchos procesos indusriales coninuos el cose de no fabricar en el objeivo es muy superior al reso de coses, por lo que es el único que se suele considerar en la opimización de las acciones de conrol. Suponiendo, además, que ese cose es proporcional al cuadrado de las desviaciones del oupu frene al nominal T: Cose = k(y-t) 2 minimizar dicho cose es equivalene a minimizar el error cuadráico medio, por lo que los algorimos de conrol diseñados para minimizar esa función objeivo: * f / min. E(Y +1-T) 2 = min. [σ 2 (Y +1) + (sesgo 2 )] = min. ( Y + - T) 2 [4]

13 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS CON DINÁMICA: REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE Y PERSPECTIVAS DE FUTURO 31 se denominan conroladores de error cuadráico medio mínimo (MECM) o en erminología de conrol, conroladores de mínima varianza. Esos esquemas, en cada insane de iempo, deerminan el ajuse del inpu de forma que la predicción * de mínima varianza a f pasos del oupu hecha en, Y + f / (Box e al. 1994), coincida con su nominal T. En el caso en que la función de ransferencia no refleje dinámica, es decir pueda expresarse como un modelo de respuesa rápida o ganancia pura (expresión [1]), el conrolador de mínima varianza es: * X N + 1/ 1 = [5] g N + donde * 1/ es la predicción de mínima varianza de las perurbaciones en +1, hecha en el insane. Por ano, las acciones de conrol dependen del modelo de las perurbaciones N. Suponiendo un modelo esacionario ARMA(1,1): ( 1 φb)n = (1 θb) [6] a enonces se obiene que el conrolador de mínima varianza es: φ θ i X = φ e i [7] g siendo e =Y -T, la desviación del oupu respeco a su nominal. Esa es la ecuación de un conrolador inegral con pesos exponencialmene decrecienes (pueso que φ < 1 ). Si se considera que el ruido sigue un modelo no esacionario IMA(1,1) (expresión (3)), el conrolador de mínima varianza se expresa como: i= 0 1 θ X = [8] e i g i= 0 que es la ecuación de un conrolador inegral puro, muy uilizado en indusrias de procesos para regular caudales en sisemas con respuesas rápidas conaminados con perurbaciones no esacionarias (MacGregor 1988). En el caso en que la dinámica del proceso sea imporane y pueda modelarse mediane una función de respuesa de primer orden (expresión [2]) con f=1 (lo que

14 32 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA indica que un cambio en el inpu comienza a manifesarse en el oupu al insane siguiene), el conrolador de mínima varianza es: (1 δb) = [9] * X N+ 1/ w0 y suponiendo que la perurbación sigue un modelo IMA(1,1) (expresión [3]), el conrolador de mínima varianza es: (1 θ) δ (1 θ)(1 δ) X = e ei [10] w w 0 que es la ecuación de un conrolador proporcional-inegral (PI), uno de los más uilizados en las indusrias de procesos. Aunque esos conroladores de mínima varianza son los ópimos desde el puno de visa de la minimización global de coses, pueden no ser los más adecuados en la prácica, debido a varias causas. La primera es que pueden requerir drásicas acciones de conrol que, o bien exceden los límies físicos de rango de los equipos de insrumenación, o pueden afecar oras respuesas, por lo que en muchos casos no son acepadas por los operarios del proceso. Ora limiación es que no son robusos a errores en la modelización, ya que su funcionamieno y esabilidad dependen mucho de la precisión con que se ha esimado el modelo ARMAX (Box e al. 1994; Bergh y MacGregor 1987; Harris y MacGregor 1987). Adicionalmene, ese ipo de conroladores no puede uilizarse en sisemas de fase no mínima (no inveribles), pues no serían viables ya que para cancelar una desviación del oupu en provocarían acciones de conrol cada vez más grandes en los insanes de ajuse siguienes (Capilla e al. 1999; Harris, MacGregor y Wrigh 1980). Para raar de solucionar ese problema se pueden diseñar algorimos de conrol en los que, a cosa de incremenar el error cuadráico medio (ECM) del oupu (respeco a la opción de mínima varianza), se requieren ajuses de menor magniud en las acciones de conrol. Esos algorimos de conrol alernaivos a los de mínima varianza se obienen modificando la función objeivo a minimizar [4], por ora en la que inervienen ano las desviaciones del oupu como los ajuses en la variable manipulada, por lo que reciben la denominación genérica de conroladores con resricciones. A diferencia de los conroladores de mínima varianza, esos son menos sensibles a errores en la modelización del modelo ARMAX uilizado para su diseño. Algunos ipos de conroladores con resricciones se comenan a coninuación. 0 i= 0

15 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS CON DINÁMICA: REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE Y PERSPECTIVAS DE FUTURO 33 Un grupo son los denominados conroladores cuadráico-lineales a infinios pasos, que minimizan la siguiene función objeivo: min. x1,x2,...,xn 1 lim.e N N N = 1 (Y + f 2 T) d + r( X 2 ) [11] donde el parámero de resricción en los ajuses r acúa como un muliplicador de Lagrange en el proceso de opimización, y d es el filro a aplicar para corregir la no esacionariedad del ruido N. La expresión (11) puede expresarse en forma equivalene como: min. x d { Var(Y ) + rvar( X )} donde se observa que se raa de minimizar la varianza del oupu sujea a resricciones en la varianza de los ajuses del inpu. A ese ipo de conroladores se les suele denominar conroladores de mínima varianza con resricciones (MVR). Si el proceso es inverible, haciendo r=0 se obiene el conrolador de mínima varianza. Sin embargo, si el proceso no es inverible, r=0 proporciona el esquema de regulación que minimiza la varianza del oupu condicionada a que la varianza de los ajuses sea finia. El problema de esos conroladores es que su solución es complicada, requiriendo la uilización de ecuaciones de Wiener-Hopf discreas (Harris e al. 1980). Clarke y Hasing-James (1971) y Clarke y Gawhrop (1975) proponen una alernaiva mucho más sencilla de obener conroladores con resricciones mediane la minimización de la expresión: * Y + min. x * 2 d {(Y T) + r( X ) 2 } f / + [12] donde f / es la predicción de varianza mínima del oupu Y +f hecha en el insane. Ese crierio es equivalene a minimizar la expresión: 2 d 2 { T) + r( X ) / Y,Y,...,X,X,...} min.e (Y+ f [13] x que es equivalene a [11] haciendo N=1, por lo que el conrolador de Clarke es un caso paricular del conrolador cuadráico-lineal general, en concreo es el conrolador cuadráico-lineal ópimo a un paso. Ese algorimo deermina en cada insane de iempo el ajuse a aplicar en el inpu,, para conseguir que la predicción del oupu * Y + f / d X coincida con su nominal T, sujeo a la resricción en la magniud de

16 34 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA d X dicho ajuse en,, independienemene de los ajuses pasados o fuuros. Algunos auores denominan ese ipo de conrolador como de coras miras, pueso que en la deerminación del ajuse a aplicar en cada insane de iempo no iene en cuena el efeco que ése endrá en el oupu en iempos superiores al reardo del proceso f. El crierio de Clarke (que conduce a los conroladores cuadráico-lineales ópimos a un paso) es muy uilizado en la prácica dado que su solución es muy sencilla de obener analíicamene y, para un mismo valor en la resricción de la varianza de los ajuses, provoca únicamene ligeros incremenos en la varianza del oupu respeco a los conroladores de mínima varianza con resricciones (MacGregor y Tidwell 1977). Oro aracivo de ese crierio es que conduce a conroladores en los que el parámero de resricción de los ajuses r aparece explíciamene en la ecuación del conrolador (algo que no ocurre en los conroladores de mínima varianza con resricciones), por lo que puede ser fácilmene modificado o auoajusado online. Oro grupo de conroladores con resricciones lo consiuyen los conroladores de horizone exendido (Exended Horizon Conrollers, EHC). Esos conroladores son una modificación de los de mínima varianza [4] en los que la función objeivo a minimizar es: * m/ min. ( Y + - T) 2 ; m > f. [14] Esos conroladores, en vez de conseguir que f / = T, como en el caso de los conroladores de mínima varianza, deerminan la acción de conrol en para que * Y + m/ = T, donde m>f. Eso provoca una disminución de la varianza de los ajuses (respeco al conrolador de mínima varianza), al iempo que incremena su robusez frene a errores en el modelo. Capilla e al. (1999) derivan diversos conroladores según los crierios aneriores obeniendo que el conrolador de horizone exendido (EHC) es un caso paricular del conrolador de Clarke para un ciero valor del coeficiene de resricción de los ajuses r. En el caso en que los coses de muesreo y de ajuse no se consideren despreciables (lo que puede ocurrir en indusrias de piezas, dado que los ajuses del proceso pueden suponer parada de máquinas, cambio de piezas y pérdida de producividad), los esquemas aneriores de ajuse no se deben aplicar en cada inervalo de muesreo, ya que la esraegia ópima dependerá de los coses relaivos asociados a no fabricar en el objeivo frene a los de ajusar el proceso. Box (1991), Box y Kramer (1992), Box e al. (1994), Box y Luceño (1994, 1997a) y Luceño (1998) esudian en esos conexos lo que denominan esquemas ópimos * Y +

17 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS CON DINÁMICA: REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE Y PERSPECTIVAS DE FUTURO 35 de ajuse acoado (dead band feedback adjusmen schemes, ambién llamados bounded schemes) Sisemas mono-inpu/mono-oupu Ferrer e al. (1997) exponen la filosofía de la esraegia ESPC en el caso más sencillo de un sisema mono-inpu/mono-oupu (sisema SISO, single-inpu/singleoupu). En el desarrollo de la componene EPC, el conocimieno del modelo AR- MAX del proceso permie deerminar las acciones de conrol a adopar en cada insane para minimizar la variabilidad de la caracerísica de calidad en orno a su valor nominal. El desarrollo de los esquemas de moniorización planea varias cuesiones: como qué moniorizar, y con qué herramiena. La respuesa a esas cuesiones no es fácil, pues las causas especiales se manifiesan de forma diferene según el algorimo de conrol uilizado, y la herramiena de moniorización más adecuada para deecar una causa especial depende de la forma en que dicha causa se manifiese. Sanfelj e al (1991) presenan un méodo jerárquico basado en análisis de funciones de auocorrelación y correlación cruzada para evaluar el comporamieno de sisemas regulados y ayudar al diagnósico de problemas relacionados fundamenalmene con errores de especificación del modelo, o con mal ajuse de los conroladores. La moniorización de las desviaciones del oupu permie evaluar si el algorimo de conrol esá funcionando adecuadamene. Aunque para eso es necesario además moniorizar los ajuses en la variable manipulada, pues puede ocurrir que el sisema esé someido a cambios que fuercen al conrolador a realizar ajuses cada vez mayores que, si no se deecan a iempo, pueden provocar la sauración del conrolador y la imposibilidad de seguir compensando los efecos de esas causas especiales de variabilidad, generando problemas en el proceso. Algunas causas especiales que produzcan desviaciones emporales del modelo bajo conrol se pueden manifesar como daos anómalos o pauas inusuales en la secuencia de errores de predicción, por lo que es adecuado moniorizar dichos errores. También puede aporar información valiosa la moniorización de la serie de desviaciones del oupu reconsruidas en el supueso de que no hubiera exisido algorimo de conrol. Los procedimienos de moniorización consisen fundamenalmene en la aplicación de los gráficos de conrol esándar a las magniudes resulanes del proceso regulado (errores de predicción, ajuses en las variables compensaorias, desviaciones del oupu, desviaciones del oupu reconsruidas para el caso en que no hubiera habido ajuses compensaorios, ec.). Para deerminar qué ipo de gráfico es adecuado en cada caso, es necesario conocer la esrucura de las diferenes

18 36 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA magniudes a moniorizar bajo el sisema regulado, lo que puede obenerse analíicamene a parir del modelo ARMAX y el algorimo de conrol uilizado. Si la dinámica del proceso ARMAX es Y =H(B)X +N, es posible expresar las acciones de conrol ópimo como X =G(B)Y. Susiuyendo esa ecuación en la anerior se puede obener el modelo ARMA para las desviaciones del oupu respeco al nominal, Y =A(B)a. A parir de ese modelo, susiuyendo en la ecuación de conrol, se obiene el modelo ARMA para los ajuses de la variable compensaoria, X = G(B)A(B)a. Adicionalmene, en la deducción de la ecuación de conrol, se deriva el modelo ARMA para los errores de predicción (diferencia enre el oupu observado en y el que se predijo para en el insane -f, siendo f el reardo de la función de ransferencia). Esos resulados son necesarios para el diseño de los procedimienos de moniorización. El conocimieno de la dinámica de esas variables permie modificar los parámeros del gráfico correspondiene (límies de conrol, señales de fala de conrol a emplear, ec.) con el fin de eviar la elevada frecuencia de falsas alarmas y la pérdida de poencia que supone uilizar gráficos de conrol esándar con daos auocorrelacionados (Capilla e al.1999; Ferrer e al. 1998; Ferrer e al. 2000). Capilla e al. (1999) y Ferrer e al. (1998) desarrollan en un proceso indusrial peroquímico la nueva esraegia ESPC aplicada al conrol del índice de fluidez de un polímero mediane ajuses en la emperaura del reacor. Los auores diseñan varios ipos de algorimos de conrol (mínima varianza, con resricciones, ec.) (Box e al. 1994; Bergh y MacGregor 1987; Harris y MacGregor 1987) esudiando su esabilidad y robusez frene a errores de especificación del modelo. Comparan el funcionamieno del sisema EPC frene al enfoque inegrado EPC/SPC ane diversas causas especiales de variabilidad (error de medida del índice de fluidez del polímero en laboraorio, fallo de calibración del sensor de emperaura, presencia de conaminación en el flujo de enrada al reacor, cambios en las condiciones de acivación del caalizador,...) y obienen que los conroladores diseñados, en general, son basane efecivos en la esabilización del proceso ras la presencia de las causas especiales de variabilidad. A pesar de ello, la varianza del sisema EPC aumena respeco a la siuación sin causas especiales. Eso es debido a que los conroladores ardan un iempo en cancelar el efeco de las perurbaciones, iempo en el que la variabilidad del proceso aumena. Los auores muesran cómo la incorporación de la componene SPC, para moniorizar el sisema, puede proporcionar a largo plazo una imporane reducción de variabilidad de la caracerísica de calidad, al permiir deecar las causas especiales y ayudar en su idenificación, permiiendo la implanación de medidas correcoras que evien su reaparición en el fuuro.

19 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS CON DINÁMICA: REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE Y PERSPECTIVAS DE FUTURO Sisemas bi-inpu/mono-oupu Marín e al. (1997) y Marín e al. (1998) amplían el esudio desarrollado por Capilla e al. (1999) al caso del conrol del índice de fluidez de un polímero mediane ajuses en dos variables compensaorias fácilmene manipulables: la emperaura del reacor y el caudal de enrada en el mismo de un produco químico (monómero). Considerando el principio de superposición de modelos lineales, y que las dos variables de ajuse esán incorrelacionadas, se puede añadir el efeco individual que cada variable compensaoria iene sobre la variable respuesa, eniendo en cuena que las perurbaciones pueden ser ajusadas mediane un único modelo de serie emporal. En ese caso, se asume que el modelo ARMAX de causas comunes puede expresarse como: ω1(b)b Y = δ1(b) f1 X 1, ω2(b)b + δ (B) 2 f2 X 2, θq(b) + Φp(B) d a Los auores ciados desarrollan diversas esraegias de conrol a parir de las ya comenadas en el aparado 3.2, pero paricularizándolas al caso de dos variables de ajuse, y esudian sus propiedades de robusez frene a errores de especificación de los parámeros de la función de ransferencia del modelo. Al mismo iempo derivan la esrucura de las diversas magniudes resulanes de la regulación (desviación del oupu, ajuses, ec.) El análisis de los resulados obenidos bajo conrol refleja que los algorimos de conrol bi-inpu permien reducir odavía más la variabilidad del oupu respeco al conrol con una sola variable de ajuse (mono-inpu). Se esudia ambién en esos rabajos la eficacia del sisema EPC ane diversas causas especiales de variabilidad. En los resulados obenidos se observa que el conrolador bi-inpu es preferible al mono-inpu en el senido de que da lugar a errores cuadráicos medios en el oupu menores, y al mismo iempo con menores ajuses en las variables compensaorias. En odos los casos, las causas especiales empeoran el funcionamieno del proceso (incremenan el error cuadráico medio del oupu), pues los conroladores ardan un iempo en compensar sus efecos. Por ello, los auores esudian las venajas del esquema inegrado EPC/SPC mediane la moniorización de diversas magniudes del proceso regulado, concluyendo que el esquema inegrado ESPC es preferible al EPC al permiir deecar con rapidez la presencia de las causas especiales simuladas, lo que en la prácica permiirá invesigarlas e implanar

20 38 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA medidas que evien su aparición en el fuuro, con la consiguiene mejora del proceso. 4. CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN De la descripción de la meodología EPC/SPC y de las invesigaciones indusriales referenciadas en la bibliografía se concluye que es posible reducir susancialmene la variabilidad de las caracerísicas de calidad ano a coro plazo como a largo plazo, lo que permie ano la opimización como la mejora coninua de la calidad. De ese modo se hace viable el conrol de procesos dinámicos, mejorando su capacidad, reduciendo las falsas alarmas y aumenando la escasa poencia que se iene cuando se usan las écnicas radicionales de SPC en esos conexos. Recurriendo a un ejemplo prácico se puede decir que no se puede conducir un vehículo con SPC, pero ampoco se puede deecar un fallo en el sisema de dirección del vehículo con EPC (Falin e al. 1993). Pero quizá ambas cosas son posibles con un sisema inegrado EPC/SPC. Un ema que merece ser invesigado con mayor profundidad es la forma de implanar los esquemas EPC en la prácica: uilizando una esrucura de conrolador ya prefijada que funcione razonablemene bien en un amplio rango de siuaciones, o diseñando el algorimo de conrol a parir del modelo ARMAX y de la función objeivo a minimizar. Algunos auores como Box y Kramer (1992) sugieren uilizar direcamene la esrucura del conrolador PI (proporcional-inegral) (10) expresado como: X = k P e k donde los coeficienes del érmino proporcional (k P ) e inegral (k I ) pueden ajusarse mediane écnicas de experimenación secuencial (Evoluionary Operaions, EVOP) (Box y Draper 1968) que permien experimenar en condiciones de producción normal (experimenación on-line). Box y Luceño (1997b) proporcionan un esudio muy exhausivo de esos esquemas PI comparando su funcionamieno con oros esquemas ópimos de regulación más complejos. Las venajas que ofrecen esos conroladores PI son su sencillez (los ajuses en cada insane se calculan como combinación lineal de las dos úlimas desviaciones del oupu) y facilidad de implanación (los ajuses pueden obenerse gráficamene). Tsung e al. (1998) esudian la eficiencia y robusez de los conroladores PI ane diversas dinámicas de proceso y modelos de ruido (ARMA(1,1) y ARIMA(1,1,1)). Los auores recomiendan el uso en la prácica de esos conroladores, dada su relaiva poca pérdida de I i= 0 e i

21 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS CON DINÁMICA: REVISIÓN DEL ESTADO DEL ARTE Y PERSPECTIVAS DE FUTURO 39 eficiencia respeco al conrolador de mínima varianza en un rango amplio de valores de los parámeros del modelo, y su robusez frene a errores de especificación en el mismo. En el caso en que sea necesario uilizar conroladores con resricciones, Box y Luceño (1995) ambién sugieren la uilización de conroladores PI con los parámeros adecuadamene ajusados, y comparan su buen funcionamieno relaivo a los esquemas ópimos en esas siuaciones (conroladores de mínima varianza con resricciones, expresión [11]), mucho más complicados de obener. Oros auores como Vander Wiel y Vardeman (1992) consideran, sin embargo, que aunque el conrolador PI puede ser adecuado en muchas siuaciones, es conveniene derivar el algorimo de conrol a parir de la idenificación y esimación del modelo ARMAX del sisema. Una venaja de ese méodo es que se pueden obener analíicamene los modelos que seguirán las diversas magniudes resulanes del sisema regulado (desviaciones del oupu, ajuses, ec.), y se pueden diseñar los esquemas de moniorización adecuados según su esrucura (Capilla e al. 1999). Un peligro que iene ese enfoque es que, pueso que el modelo de perurbaciones N se idenifica y esima a parir de daos hisóricos del proceso, en ocasiones puede ocurrir que un modelo no esacionario IMA(1,1) se esime equivocadamene como un modelo esacionario ARMA (1,1) con parámero φ cercano a uno, siendo ambos modelos equivalenes desde el puno de visa esadísico (Ferrer e al. 2000). El problema de ese error de modelización del ruido es que el algorimo de conrol derivado bajo la suposición del modelo de perurbaciones esacionario ARMA, en presencia de perurbaciones no esacionarias IMA, provocaría un conrolador inesable (ajuses cada vez mayores) que forzaría a la desconexión del conrolador auomáico y a una pérdida de confianza en el sisema EPC por pare de los operarios e ingenieros del proceso. Eso ambién podría ocurrir en el caso en que el modelo de perurbaciones, inicialmene esacionario, hubiera cambiado a un proceso no esacionario. Esa fala de robusez de los conroladores diseñados suponiendo modelos ARMA para las perurbaciones, ane perurbaciones no esacionarias, ha sido esudiada por varios auores (Box y Luceño 1997a; Ferrer e al. 2000; Tsung e al. 1998). Sin embargo, el modelo IMA es robuso a errores de especificación en el senido de que el conrolador diseñado según ese modelo no esacionario, en presencia de ruido esacionario, seguiría siendo esable y sólo daría lugar a un incremeno en la varianza del oupu. La robusez del modelo IMA para las perurbaciones N, en conrase con el modelo ARMA, se explica fundamenalmene porque el modelo no esacionario fuerza a la ecuación de conrol a incluir una acción inegral pura, que es capaz de compensar cambios de nivel (Box y Luceño 1997a; Ferrer e al. 2000; Tsung e al. 1998).

22 40 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA El modelo IMA, por ano, apare de ser una alernaiva más segura frene a errores de especificación del modelo, debido a su no esacionariedad, consiuye un modelo más creible frene al modelo ARMA esacionario, ya que ese úlimo asume que si el sisema funciona en ciclo abiero (sin ajuses de conrol) el oupu coninuará flucuando alrededor de su nominal sin experimenar cambios de nivel, lo que resula una hipóesis poco realisa en muchos conexos indusriales. Las venajas del modelo IMA frene a oros modelos de perurbaciones esacionarios no invalida la esraegia de diseño de los algorimos de conrol a parir de la modelización del sisema dinámico, sino que es un elemeno más a ener en cuena en el proceso de diseño. Por ora pare, los conroladores con resricciones derivados a parir del crierio de Clarke (expresiones [12] y [13]) pueden llegar a ser incluso más sencillos de obener que los conroladores PI con resricciones (Box y Luceño 1995). Además, el hecho de ener explício en la ecuación de conrol el parámero de resricción de los ajuses r puede resular ineresane desde el puno de visa de la esraegia ESPC por la posibilidad de desarrollar esquemas de conrol con parámero de resricción variable. Así, ane deerminadas señales de fala de conrol deecadas por los diferenes gráficos moniorizados, se podría raar de reducir el peso del coeficiene r para permiir acciones de conrol más agresivas que corrigieran el proceso en menos iempo. Habría que esudiar, sin embargo, ane qué ipo de siuaciones causanes de cieras salidas de conrol esadísico del proceso, ese esquema sería efecivo, ya que, por ejemplo, ane cambios en la dinámica del ruido o de la función de ransferencia, una disminución del peso del coeficiene r supondría una disminución en la robusez del conrolador, lo que podría ocasionar problemas de inesabilidad en la prácica (Capilla e al. 1999; Ferrer e al. 1998). Esas cuesiones siguen siendo objeo de debae acual en la comunidad cienífica y coninuarán siéndolo en el fuuro, por lo que esudios comparaivos de los diferenes enfoques planeados podrían aporar luz sobre esa problemáica. Oro ema abiero es cómo desarrollar la meodología ESPC en procesos muliinpu/muli-oupu (sisemas MIMO) donde exisen varias variables oupu relacionadas enre sí (v.g. disinas variables de calidad, variables de producividad, ec.), que pueden depender de más de un parámero de proceso (inpus). El diseño de sisemas de regulación auomáica (componene EPC) ha sido raado en el conexo MIMO por algunos auores (Harris y MacGregor 1987). La aplicación de la meodología ESPC en ese conexo, supone inegrar el sisema de regulación con oro de moniorización, basado en la deección de ouliers en funciones de ransferencia múliples, ema poco raado en la bibliografía exisene sobre esas cuesiones.