UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA INGENIERÍA EN INDUSTRIAS FORESTALES

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA INGENIERÍA EN INDUSTRIAS FORESTALES HERRAMIENTAS ESTADISTICAS PARA EL CONTROL DE PROCESOS IING.. EDUARDO DIIAZ LIIC.. DANIIEL RUIIZ

2 CONTENIDO INTRODUCCION CAPITULO I CONTROL DE CALIDAD Objetivos Introducción Conceptos de calidad Control de calidad Principios del Control de Calidad Funciones del Control de Calidad Costos de Calidad Pag CAPITULO II MEJORAMIENTO CONTINUO E INNOVACIÓN Investigaciones estadísticas La Estadística en lo Analítico y en lo Enumerativo Elementos Básicos sobre Variación Clasificación de Procesos El experimento de Deming CAPITULO III. LA TEORIA MUESTRAL Necesidad de Muestreo Tipos de Muestreo Distribuciones Muestrales 1. Distribución muestral de medias. Distribución muestral para la diferencia de medias 3. Distribución muestral de proporciones y diferencias 4. Distribución muestral de varianzas Tamaño de la muestra

3 CAPITULO IV CONTROL ESTADISTICO DEL PROCESO Objetivos Introducción Métodos Estadísticos Cartas de control Diagrama Causa-Efecto Diagrama de Pareto Gráfico de corridas Histogramas de Frecuencia Análisis de Regresión Ajustes de Curvas BIBLIOGRAFIA

4 INTRODUCCION El presente trabajo representa un breve, general e introductorio tratado sobre herramientas estadísticas aplicables al control de procesos, como un material de apoyo dirigido a los gerentes. Es de hacer notar que este papel de trabajo está sujeto a revisión y que cualquier sugerencia al respecto será muy bien aceptada. Así mismo, es conveniente señalar que los autores no pretenden reclamar la autoría de algunos trabajos a los cuales se hace referencia, dado que los mismos son productos de congresos, seminarios, lecturas, cursos y de su experiencia profesional. De esta forma, lo original de este escrito consiste en haberlos recopilados y en presentarlos de una forma resumida como una guía de estudio. Este texto difiere de las publicaciones comunes de estadística y/o control de calidad porque su principal propósito es, además de conceptualizar el control de calidad, mostrar cómo aplicar la teoría estadística a problemas derivados de la experiencia del campo laboral. La estadística descriptiva, per sé no resuelve los problemas de producción y los métodos estadísticos son herramientas que ayudan a mejorar el proceso, dando objetividad a las observaciones y no servirían si no son utilizados apropiadamente. De esta forma, se dará mayor importancia a los hechos que a los conceptos abstractos, utilizando cifras derivadas de observaciones reales, aceptando como confiable la información proveniente de la distribución normal hacia la cual tiende las observaciones cuando son grandes.

5 Los métodos estadísticos constituyen un medio efectivo para controlar la calidad en el proceso de producción; sin embargo, "lo importante no es el conocimiento de los métodos estadísticos sino más bien la actitud mental hacia su utilización",(kume, 199; p.9)).

6 CAPITULO I. EL CONTROL DE LA CALIDAD OBJETIVOS: Conocer los conceptos básicos aplicados en el control de calidad y familiarizar al lector con los principios, funciones y los costos que la calidad implica. INTRODUCCIÓN: La finalidad de todo proceso industrial es la reproducción del prototipo de un producto. Cuando el producto está bien diseñado y se fabrica cumpliendo las normas establecidas, el mismo llenará las expectativas para el cual fue elaborado y para el usuario. En consecuencia, se hace necesario que todos los productos se fabriquen ajustados a las normas, el control de calidad interviene para asegurar el fiel cumplimiento de estas normas por el producto. Lógicamente no hay dos productos iguales, por lo que la calidad varía continuamente, dependiendo del nivel de refinamiento técnico alcanzado. Puesto que la calidad es variable, va en contraposición a la uniformidad y en la práctica esta situación se obvia llegando a la transacción entre ambos, estableciendo límites para definir las variaciones con respecto a las especificaciones cualitativas permisibles y tolerables en el producto final, sin desmedro del principio de normalización.

7 Sin embargo existen elementos perturbadores que impiden que la producción se ajuste lo mejor posible a las especificaciones cualitativas, tales como: 1.- Irregularidad en las máquinas.- Imprecisiones humanas 3.- Errores de los instrumentos de control 4.- Condiciones ambientales 5.- Otros La desviación cualitativa del producto representa un aumento de los costos puesto que implica un gasto extra de materia prima o de tiempo y trabajos para realizar las correcciones de los defectos del producto acabado. Este aumento de los costos de producción sumados a los retrasos de la producción, la disminución del prestigio de la empresa, etc. son hechos graves como para no estudiarlos atentamente y buscar las medidas correctivas necesarias. El diseño de este trabajo bibliográfico va orientado a proporcionar los conocimientos mínimos necesarios que permitan comprender las técnicas estadísticas, metodología e interpretación y análisis de resultados. Para ello es necesario basarse en fundamentos de estadísticas matemáticas, así como en matemáticas avanzadas; sin embargo, la mayoría de las aplicaciones descritas sólo requieren de conocimientos aritméticos..- CONCEPTO DE CALIDAD Calidad es la aptitud de un producto para satisfacer una necesidad al menor costo posible.

8 La calidad de un producto implica dos aspectos fundamentales: a. Calidad del Diseño: Es el grado de concordancia entre el diseño y el fin para el cual fue creado; en la medida que las características previstas, los materiales y las formas concebidas por el diseñador cumplen con las necesidades del usuario. b. Calidad del Producto: Es el grado de concordancia entre el producto y sus especificaciones. Siendo el grado en el que el proceso de manufactura y mano de obra han reproducido el producto lo más cercano del diseño original. 3.- CONTROL DE CALIDAD: Es el proceso mediante el cual se miden las características de un producto, se comparan los valores con las normas establecidas y se adoptan las medidas correctivas convenientes cuando no se ajustan a las normas. La definición previa de Calidad tiene varias implicaciones y una de ellas es que con el sólo control estadístico no es posible alcanzar la satisfacción del consumidor, por lo tanto para alcanzar esta calidad se requiere además: 1. Una adecuada investigación de mercado (calidad de investigación del mercado).. Un producto con un diseño acorde (calidad de diseño). 3. Un producto fiel al diseño del prototipo (calidad de fabricación o concordancia). 4. Un producto al alcance del consumidor oportunamente (calidad de distribución).

9 5. Un producto con adecuados componentes de reemplazo (calidad de servicio). De esta forma la calidad es una resultante de todos estos elementos mencionados, que para ser alcanzada requiere de un control total de la calidad. Entre estos controles se pueden establecer (ver figura 1): Control Dinámico de la Calidad: Realizado estrictamente sobre el proceso de fabricación. Control Estático de la Calidad: Aplicado a los productos semi-elaborados y productos terminados. ENTRADA MATERIA PRIMA PROCESO DE FABRICACION PRODUCTO FINAL CONTROL DINAMICO CONTROL ESTATICO FIGURA 1. GRAFICO DE LOS TIPOS DE CONTROL

10 PRINCIPIOS DEL CONTROL DE CALIDAD 1. Con el control de calidad no se obtiene calidad del producto; ésta es una característica inherente al producto mismo. Esto es evidente, para obtener un buen nivel de calidad hay que fabricarlo puesto que el control de calidad no agrega calidad a los productos.. El equipo productor es el responsable directo de la calidad del producto de acuerdo a las directrices que el control de calidad establece. 3. No resuelve problemas de fabricación, sólo da las razones para estudiarlos. Es muy importante que el equipo productor sepa qué problemas existen y en qué sentido se manifiestan para lograr un buen nivel de calidad en la fabricación. 4. Las decisiones deben tomarse sobre la base de datos reales, la confiabilidad de los datos registrados es el punto inicial para todo análisis e interpretación de resultado. 5. Los datos deben ser compatibles y estar dispuestos de manera tal, que permitan su análisis. Esto permitirá el empleo de algunas herramientas estadísticas de las cuales el control de calidad hace uso. 6. El control de calidad debe ser activo, debe prevenir la ocurrencia de errores o defectos, mantener regulados y bajo control los procesos, evitar el desperdicio, el reproceso, las devoluciones y tomar las medidas correctivas oportunamente.

11 FUNCIONES DEL CONTROL DE CALIDAD: Antes de iniciar la fabricación de un producto, se requiere fijar las especificaciones de lo que se va a hacer. Después, viene la manufactura real de este producto y finalmente la comprobación para verificar si está de acuerdo con lo especificado. Al pensar en todos los puntos relacionados con la calidad es conveniente hacerlo en término de estas tres funciones: Especificación, fabricación e inspección. El control de calidad estadístico debe ser considerado como un grupo de herramientas, que pueden influir en las decisiones relacionadas con estas funciones. Mientras más personas existan en cargos de supervisión de inspección, de supervisión de producción, de ingeniería de métodos, de ingeniería de diseño y de nivel gerencial, que comprendan los principios básicos de control de calidad estadístico, mayor será la probabilidad de emplear efectivamente estas técnicas en una organización. Entre las funciones básicas del control de calidad relacionadas con las funciones de especificar, fabricar e inspeccionar un producto tenemos: 1. Intervenir en la estipulación de la calidad de diseño mediante la realización de normas de control, preparación de prescripciones etc. Esta no es una función exclusiva de control de calidad, pues intervienen otros departamentos, pero jamás debe realizarse un diseño sin la intervención del departamento de control de calidad.. Ejercer el control dinámico de la calidad mediante el control durante el proceso de fabricación, con el propósito de obtener productos de acuerdo al diseño, evitando la fabricación de piezas defectuosas.

12 3. Ejercer el control estático de la calidad mediante el establecimiento del control de entrada y de salida con el propósito de vigilar el producto terminado o la materia prima para otros sectores de la planta. TAREAS ESPECIFICAS DE UN PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD A continuación figuran tareas específicas que pueden cumplirse como parte de un programa de control de calidad. a. Determinar las condiciones que deben cumplir los diseños, los proyectos y las especificaciones para satisfacer las normas de calidad y a su vez verificar que se cumplan los procedimientos establecidos. b. Planificar las herramientas, los instrumentos de medición y el equipo de control necesario para medir las características del producto. Así mismo verificar que los instrumentos de medición estén calibrados. c. Establecer procedimientos de control de calidad, basados en la estadística sobre las operaciones de fabricación, así como para las piezas, materiales y muestreos de recepción. d. Crear un sistema para inscribir en un registro los defectos en materia de calidad y para inscribir datos sobre seguimiento de las medidas correctoras adoptadas, igualmente recoger las informaciones que puedan proporcionar mejoras al proceso de fabricación. e. Proporcionar formación para el personal de inspección, de pruebas, etc. f. Establecer los costos de control de calidad.

13 COSTOS DE CALIDAD Cada uno de los departamentos de una organización debe ser capaz de justificar su existencia midiendo sus costos y comparándolos con la contribución que aporta al cumplimiento de los objetivos de la compañía y a la obtención de beneficios. El departamento de control de calidad no es una excepción. Por consiguiente, es importante determinar el costo general del control de calidad. Mejorar el nivel de calidad de un producto hace que el costo de producción del mismo se eleve, lógicamente se convierte en un aspecto que debe ser estudiado detenidamente. En la práctica siempre hay un nivel de rechazos óptimo para un proceso dado, por lo que carece de sentido esforzarse por reducir los rechazos. Por lo tanto la calidad de un producto debe ser controlada a una tolerancia dada y para cierto nivel de rechazos, para obtener la relación de compromiso requerida, pretender mejorar la calidad más allá de este nivel es, hacer la producción anti-económica. El costo total del control de calidad bien puede ser analizado o determinado, agrupando los costos en cuatro categorías (ver figura ). CATEGORIAS DE COSTOS DE CALIDAD COSTO DE PREVENCION COSTO DE EVALUACION DEFECTOS DENTRO DE LA ORGANIZACION DEFECTOS FUERA DE LA ORGANIZACION Figura : CATEGORIAS DE COSTOS DE CALIDAD

14 1. Prevención.- Los costos de prevención son los de planificación y aplicación del programa de calidad antes de la fabricación del producto. A continuación se dan ejemplos de tareas que pueden clasificarse como de prevención de defectos. a) Revisión del diseño. b) Programas de formación y titularización de trabajadores. c) Calificación de proveedores antes de la subcontratación. d) Medios mecánicos para el control de calidad, incluido el diseño de equipos y herramientas especiales. e) Control de los procesos para asegurar que los procesos de fabricación corresponden a las tolerancias establecidas para el producto.. Costo de evaluación. Los costos de evaluación son los gastos en que se incurre para medir la conformidad del producto con las normas; incluidas las inspecciones y pruebas. A continuación se dan ejemplos de tareas cuyo costo puede incluirse en esta categoría: a) Inspección y prueba de las piezas y materiales suministrados por proveedores. b) Inspección y prueba de materiales, piezas, montajes parciales o productos completos fabricados en la empresa. c) Costo de los productos destruidos o dañados para realizar pruebas que destruyen en material o determinan su período de vida.

15 d) Calibración y conservación de instrumentos y equipos de medición. e) Compilación, registro y comunicación de datos sobre cuestiones de calidad. 3. Defectos dentro de la organización.- Los defectos dentro de la organización son aquellos que se producen antes de la expedición (o mientras el producto sigue perteneciendo a la compañía productora). Estos costos son el resultado de productos defectuosos (productos que no cumplen las normas). Entran en esta categoría los costos siguientes: a) Sustitución de piezas defectuosas. b) Costos de reparación. c) Costos de recepción y trámite de las quejas. d) Responsabilidad del fabricante por los peligros que puede suponer el producto, generalmente en forma de litigios o costo del seguro de responsabilidad civil. e) Pérdida de pedidos futuros o daño para la reputación de la empresa por los defectos comprados por los clientes. 4.-Defectos fuera de la organización: Se incluyen en esta categoría los costos relacionados con los defectos que se revelan una vez que el producto es propiedad del cliente. Se incluyen los siguientes costos: a) Sustitución de piezas defectuosas. b) Costos de reparación. c) Costos de recepción y trámites de reclamos. d) Costos legales y/o seguros. e) Pérdida de futuros pedidos y daños a la reputación de la empresa.

16 Los costos de prevención y evaluación constituyen los costos directos del control de calidad. Por otra parte tenemos a los costos por defectos, tanto dentro como fuera de la organización, que serían los costos indirectos. (ver figura 3). A medida que los costos directos se reducen, aumenta el número de defectos y a medida que aumenta el nivel de éstos, aumenta el costo por defectos. Los costos totales del control de calidad son la suma de los costos directos y de los costos por defectos o costos indirectos. En el valor mínimo de la curva de costos totales, se sitúa la combinación óptima de esfuerzos. COSTOS POR CONCEPTO DE CALIDAD COSTOS TOTALES COSTOS INDIRECTOS COSTOS DIRECTOS AUMENTO DE DEFECTOS NIVEL DE DEFECTOS DEL PRODUCTO FIGURA 3. INCIDENCIA DE LOS COSTOS SOBRE LA CALIDAD.

17 El control de la calidad debe efectuarse sin perder de vista los costos que implica y los beneficios que de su aplicación se deriven. Generalmente el control total de la calidad conduce a una reducción paulatina de los costos totales de la calidad en una empresa haciendo énfasis en la prevención de la ocurrencia de defectos más que en cualquier otro caso. Los costos de prevención representan el 5% del costo total de la calidad, en contraste con los costos por fallas, los cuales alcanzan entre el 70 y 80% aproximadamente. Los costos de inspección representan entre el 15 y 5%.

18 CAPITULO II CALIDAD TOTAL. MEJORAMIENTO CONTINUO E INNOVACIÓN El quinto de los 14 postulados de Deming, también conocido como el padre del concepto de calidad total, aboga por la mejoría constante y continua de todos los procesos de planificación, producción y servicio. El mejoramiento continuo disminuye el desperdicio, disminuye costos y aumenta la productividad y crea condiciones para el disfrute del trabajo. Mejorar continuamente e innovar en las organizaciones de las que formamos parte, es contribuir a la construcción de un mundo mejor. ESTADISTICA SEGÚN FEDERER (1973). Es la ciencia que se ocupa de la caracterización, el desarrollo y la aplicación de técnicas para: 1. El diseño estadístico de una investigación, bien sea un experimento comparativo, una encuesta por muestreo, un estudio de observación o un estudio de construcción de un modelo estocástico.. El resumen de los hechos de investigación 3. Las inferencias que se pueden formular a partir de los hechos de la investigación, sobre la población bajo estudio.

19 INVESTIGACIONES ESTADÍSTICAS. Los estudios estadísticos de carácter empírico se pueden clasificar de acuerdo a la finalidad que persiguen en dos tipos: Estudios Enumerativos: Aquellos en los cuales se estudia un marco específico con la finalidad de actuar sobre los elementos que lo conforman. (Inferencia Estadística). Estudios Analíticos: Aquellos en los cuales el objetivo es actuar sobre el sistema de causas o proceso que produjo los elementos del marco estudiado. (Diseño Estadístico). La figura que se presenta en la página siguiente ilustra este proceso

20 UNIVERSO MARCO Unidad nos interesamos en Características X, Y,..., Z SISTEMA DE CAUSAS Cuya medición u observación genera: Población de valores Observados o medidos De la característica Población... X Multivariante ó Y (X,Y,...,Z)... Z

21 Procesos y características de calidad. SISTEMA Proceso A Red interdependiente de componentes que actúan conjuntamente para lograr el fin del sistema Actividad de la organización Donde se identifican: 1) Entradas Proceso B Característica X.. Característica Z ) Actividades de transformación y 3) Salidas Proceso K Propiedades de las entradas, actividades de transformación y salidas que otorgan a estas carácter distintivo Esquema de un proceso. Personas Métodos Ambiente Equipos Servicios Materiales E (entradas) Proceso P S (Salidas) Personas Métodos Ambiente Equipos Servicios Materiales

22 VARIACION. Fenómeno que se manifiesta en la incapacidad de un sistema, proceso, persona, etc. para reproducir exactamente un comportamiento dado, aún bajo condiciones aparentemente semejantes. ELEMENTOS BASICOS SOBRE VARIACION. ( Joiner & Gaudard). La variación es causal Hay distintos tipos de variación La eliminación o atenuación de cada tipo de causa demanda de acciones radicalmente distintas Un sistema es estable cuando solo obedece a causas comunes La cantidad de variación se puede medir estadísticamente Causas comunes: Multitud de factores que siempre están presentes y que contribuyen en diversos grados a cambios pequeños y aparentemente aleatorios en el resultado de un proceso. Su agregación resulta en lo que podemos denominar la variación del sistema. Causas especiales: Factores que actúan esporádicamente sobre el sistema agregando variación adicional sobre la variación del sistema. Manifestaciones extremas Causas asignables.

23 Causas distintas requieren acciones Distintas. Asunto crítico La diferencia más importante es entre causas comunes y causas especiales Estrategia para eliminar causas especiales: - Obtener datos oportunos - Prestar atención a señales de posibles causas especiales - Investigar su origen - Tomar previsiones para que lo malo no recurra - Tomar previsiones para que lo bueno siga ocurriendo Estrategia para mejorar un sistema de causas comunes: - Todos los datos son importantes - Conocimiento íntimo del sistema Interferencias Innecesarias. Ajustes innecesarios efectuados para compensar o corregir la variación del sistema y que agregan más variación. (ver experimento de Deming). Exacerbar en lugar de mejorar Tratar todo como si fuera el resultado de causas especiales (querer explicar todo) Errores comunes: - Examinar las últimas cifras - Suponer que todo lo bueno o malo se debe a la actuación de las personas Los gráficos y figuras que se muestran a continuación ilustran estos procedimientos:

24 OTRA VISUALIZACIÓN DEL MEJORAMIENTO NIVEL Y / O VARIABILIDAD

25 CLASIFICACION DE PROCESOS 1. Estado Ideal. Proceso bajo control Estadístico y Producción conforme al 100%.. Estado de Caos. Proceso fuera de control Estadístico y Producción conforme menor del 100%.

26 4. Próximo al Estado del Caos. Proceso fuera del Control Estadístico y producción conforme al 100% 5. Próximo al Estado Ideal. Proceso bajo control Estadístico y producción Conforme menor del 100%.

27 Experimento de Deming. Una función de los métodos estadísticos es la de diseñar experimentos y utilizar la experiencia relevante de forma que resulte eficaz. Cualquier intento de utilizar la experiencia relevante sin un plan que se base en la teoría, es disfrazar la racionalización de una decisión que ya ha sido tomada. 1 EXPERIMENTO DE SIMULACIÓN Blanco X Z k 0 Posición de la esfera, resultante en el lanzamiento K esimo 1 Deming. Fuera de la crisis p. 31

28 Reglas para ajustar el embudo. Se pretende que al dejar caer la esfera a través del embudo, coincida con el blanco Regla No. 1.- Mantener el embudo fijo apuntando al blanco en todos los lanzamientos. Regla No..- Desplazar el embudo a una distancia z k de su última posición para el lanzamiento (k + 1). Regla No. 3.- Desplazar el embudo a una distancia z k del blanco para el lanzamiento (k + 1) ésimo. Regla No. 4.- Colocar el embudo sobre la posición que ocupó La esfera en el último lanzamiento. En las próximas páginas se observa el efecto gráficamente.

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32 CAPITULO III. TEORIA MUESTRAL La teoría de muestreo se refiere al estudio de las relaciones que existen entre un colectivo o población y las muestras que se extraen de las mismas. El estudio de las muestras permite hacer estimaciones de características desconocidas de la población (tales como media, desviación típica, proporciones, etc). Estas estimaciones se hacen a partir del conocimiento de las características de las muestras (media, desviación típica, proporción, etc). Las características o medidas obtenidas de una muestra se llaman estadísticos; y las medidas correspondientes a la población parámetros. Cuando una medida muestral o estadístico es utilizada como representante de una característica poblacional o parámetro se denomina estimador. Ventajas de la utilización de las muestras 1) El costo es menor y se puede obtener un mejor rendimiento del dinero invertido. ) Se obtiene una disminución notable del tiempo necesario para alcanzar la información Cuando una muestra posee 30 o más datos se denomina grandes muestras y si la muestra tiene menos de 30 observaciones se denomina pequeñas muestras.

33 Se denomina muestreo al procedimiento utilizado para elegir una muestra Necesidad del Muestreo. 1. Población Infinita. Población uniforme 3. Proceso de investigación destructiva 4. Economía de costos 5. Calidad Muestreo con o sin reemplazamiento: Con reemplazamiento cuando un elemento de la población puede ser escogido varias veces para formar parte de la muestra Sin reemplazamiento cuando un elemento de la población solo puede ser seleccionado una sola vez para formar parte de la muestra. Población: es una colección de todos los elementos que estamos estudiando y acerca de los cuales se intenta extraer conclusiones. Puede ser infinita o finita. Muestra: Una parte de la población o un subconjunto del conjunto de unidades obtenidas con el objeto de investigar las propiedades de la población. Muestreo estadístico: Es un enfoque sistemático para seleccionar unos cuantos elementos (una muestra) de un grupo de datos (población) a fin de hacer algunas inferencias sobre el grupo total. Desde el punto de vista matemático, podemos describir las muestras y las poblaciones mediante medidas como la media, la moda, la desviación estándar, etc. No es mas que el procedimiento a través del cual se obtienen las muestras.

34 Tipos de muestreo Muestreo de juicio o no probabilístico. (opinático). Se basa en el conocimiento de la población por parte de alguien, quien hace a la muestra representativa, dependiendo de su intención, por lo tanto es subjetiva. Probabilístico (Errático): Todos los elementos de la población tienen la posibilidad de pertenecer a la muestra. Muestreo Aleatorio: 1. Muestreo aleatorio simple. Muestreo Sistemático. 3. Muestreo Estratificado 4. Muestreo por Conglomerado Muestreo de juicio: A través del conocimiento y la opinión personal, basada en la experiencia del investigador, se identifican los elementos de la población que van a formar parte de la muestra. Una muestra seleccionada por muestreo de juicio se basa en el conocimiento de la población por parte de alguien. Por ejemplo, un guardabosques tomará una muestra de juicio si decide con antelación que parte de una gran zona reforestada deberá recorrer para estimar el total de metros de madera que pueden cortarse. En ocasiones el muestreo de juicio sirve de muestra piloto para decidir cómo seleccionar después una muestra aleatoria. Muestreo aleatorio: Cuando se conoce la probabilidad de que un elemento de la población figure o no en la muestra, puede ser:

35 Muestreo Aleatorio Simple (Irrestrictamente Aleatorio): Un muestreo es aleatorio cuando cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser escogido para formar parte de la muestra. Este tipo de muestreo evita que la muestra sea sesgada evitando por lo tanto que se realice una mala inferencia estadística. Por ejemplo, supóngase que un investigador quiera estimar el módulo de ruptura promedio de un material determinado formado por una población de tamaño N = 500; por ser ensayos destructivos este quiere seleccionar una muestra de tamaño n = 10 que le permita realizar la inferencia, ahora bien el criterio que usó el investigador para seleccionar dicha muestra fue el de tomar 10 materiales que estaban más próximos a él; evidentemente esta muestra no es representativa de la población, se dice que esta sesgada, por lo que la inferencia estadística que se realice será errónea. Por lo tanto, una muestra se dice que esta sesgada cuando los elementos seleccionados tenían mayor probabilidad de pertenecer a la misma. La forma más fácil de realizarlo es usando números aleatorios, para esto se puede recurrir a una tabla o a un generador de números aleatorios. Actualmente, se recurre a computadora. Muestreo Sistemático o Secuencial. Los elementos se seleccionan de la población con un intervalo uniforme en el tiempo, en el orden o en el espacio. Por ejemplo, supongamos que se quiere estudiar una determinada característica de un producto fabricado en serie y se decide seleccionar a cada veinte producto hasta formar la muestra, para esto se escoge un punto aleatorio de arranque en los primeros veinte productos y luego se escoge cada vigésimo producto hasta completar la muestra. Una de las ventajas de este muestreo es cuando los elementos presentan un patrón secuencial, tal vez

36 requiera menos tiempo y algunas veces cuesta menos que el método de muestreo aleatorio. Muestreo Estratificado. Para aplicar el muestreo estratificado, se divide la población en grupos homogéneos, llamados estratos, los cuales son heterógeneos entre si. Después se recurre a uno de dos métodos posibles: a) Se selecciona al azar en cada estrato un número especificado de elementos correspondientes a la proporción del estrato de la población total b) Se extrae al azar un número igual de elementos de cada estrato y damos un peso a los resultados de acuerdo a la proporción del estrato en la población total El muestreo estratificado es adecuado cuando la población ya está dividida en grupos de diferentes tamaños y queremos reconocer este hecho. La ventaja de las muestras estratificadas, es que cuando se diseñan bien, reflejan más exactamente las características de la población de donde se extrajeron que otras clases de muestreo. Muestreo por Conglomerado. En el muestreo por conglomerados, se divide la población en grupos o conglomerados de elementos heterogéneos, pero homogéneos con respecto a los grupos entre si. Un procedimiento bien diseñado, de muestreo por conglomerados, puede producir una muestra más precisa a un costo mucho menor que el de un simple muestreo aleatorio. Se usa el muestreo estratificado cuando cada grupo presenta una pequeña variación en su interior, pero existe una amplia variación entre ellos. Se usa el muestreo por conglomerado en el caso contrario, cuando

37 hay considerable variación dentro de cada grupo pero los grupos son esencialmente semejantes entre sí. DISTRIBUCIONES MUESTRALES 1 Distribución muestral de medias Distribución muestral para diferencias de medias 3 Distribución muestral de proporciones y diferencias 4 Distribución muestral de varianzas Se define la distribución muestral de un estadístico (distribución de muestreo) en una población, como la distribución de probabilidad de todos los posibles valores que un estadístico puede asumir para cierto tamaño de la muestra. Específicamente, se trabajará con las distribuciones muestrales para: medias, proporciones y varianzas. Una distribución muestral es una distribución de probabilidad de un estadístico muestral calculado a partir de todas las muestras posibles de tamaño n, elegidas al azar en una población determinada. Si la población es infinita, tenemos que concebir la distribución muestral como una distribución muestral teórica, ya que es imposible sacar todas las muestras aleatorias posibles de tamaño n de una población infinita. Si la población es finita y moderada se puede construir una distribución muestral experimental, sacando todas las muestras posibles de un tamaño dado, calculando para cada muestra el valor del estadístico que nos interesa. Ejemplo, supongamos que se tiene una población de tamaño N = 10 y queremos extraer con reemplazamiento todas las muestras posibles de tamaño n = 5, para esto se utiliza la relación N n, es decir, 10 5 = muestras de tamaño n = 5.

38 En cambio, si el muestreo es sin reemplazamiento, el número de muestras de tamaño n = 5 viene dado por la combinatoria: N n = N! 10! ! = = = 5 n!( N n)! 5!(10 5)1 5! muestras. En el caso anterior la distribución muestral para un estadístico determinado, la media aritmética ( X v )viena dada por: : muestra 1 muestra M X muestra 5 X 1 X 5 Por lo tanto, X1, X, X3, K, X 5 conforman la distibución muestral de medias. Se puede hacer una aproximación experimental de distribuciones muestrales basadas en poblaciones infinitas o finitas grandes, sacando un número de muestras aleatorias y siguiendo el mismo procedimiento anterior. 1) DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS: Es la distribución de probabilidad de todas las medias posibles de las muestras, para un tamaño n determinado. Ver ejemplo, anterior. Esta distribución de probabilidad tiene asociados (parámetros) tales como la media µ y X

39 desviación estándar σ X. Para calcular, estos parámetros de la distribución muestral de medias se utilizan las siguientes relaciones: µ X = µ σ X = σ n N n N 1 para poblaciones finitas σ X = σ n para poblaciones infinitas La expresión σ = X σ n Es la desviación estándar de la distribución muestral de medias, se le llama error típico o estándar de la media y nos indica la diferencia promedio entre los diversos valores de X y µ. Como se observa, a medida que el tamaño de la muestra aumenta este error disminuye, las diversas medias muestrales se hacen más uniforme en su valor, y en consecuencia, cualquier media muestral es una buena estimación de la media poblacional µ. Anteriormente se mostró la manera de calcular la media y la desviación estándar de la distribución de las medias muestrales. Ahora se va a distinguir dos situaciones: a) Muestreo en una población distribuida normalmente: Si X es la media de la muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población distribuida

40 rmalmente, con media µ y desviación típica σ n, entonces la distribución muestral de X está normalmente distribuida. Para hallar la probabilidad asociada a X, se transforman los valores de X a valores de la distribución normal estandarizada, mediante la fórmula: X - µ Z = σ / n Ejemplo: Cierta marca de neumáticos tiene una vida útil media de Km con una desviación típica de 800 Km. a. suponiendo que las vida útil de los neumáticos están distribuidas normalmente. Cuál es la probabilidad de que un neumático cualquiera dure menos de Km? b. Cuál es la probabilidad de que la vida útil media de 64 neumáticos sea inferior a Km? Solución: 1. Como la variable X = vida útil de los neumáticos, está distribuida normalmente. Entonces la probabilidad de que un neumático cualquiera dure menos de km se calcula de la forma siguiente:

41 Estandarización , P ( X 0.900) = P Z = P( Z 0,13) =0, Es decir, el porcentaje de que un neumático tenga una vida útil menor que Km es de 44,83 %. Para calcular esta probabilidad, se recurre a una tabla de distribución normal estandarizada.. Si se seleccionan todas las muestras posibles de tamaño 64 de la población de neumáticos, entonces por lo anteriormente mencionado esta distribución muestral de medias es normal, con media y desviación típica igual a Km y 100 Km respectivamente. Luego la probabilidad de que la vida útil media de 64 neumáticos sea inferior a Km se calcula de la forma siguiente: P ( X 0.900) = P Z = P( Z 1) = 0, / 64 Por lo que el porcentaje de que la vida útil media de 64 neumáticos sea inferior a Km es de 15,87 %.

42 b) Distribución en poblaciones que no están distribuidas normalmente. Existen métodos que se pueden emplear cuando se necesita hacer inferencia sobre este tipo de población. Una solución usada con frecuencia es que se extraiga una muestra grande. Una vez extraído ese n grande, el investigador puede utilizar el Teorema del Límite Central, el cual se enuncia a continuación: sin tomar en cuenta la forma funcional de la población de donde se extrae la muestra, la distribución de medias muestrales, calculadas con muestras de tamaño n extraídas de una población con media µ y desviación estándar σ, se aproxima a una distribución normal con media µ y desviación σ / n, cuando n aumenta. Si n es grande, la distribución de las medias muestrales puede aproximarse mucho a una distribución normal. Este teorema expresa que sin tomar en cuenta la forma de la población que se está estudiando, se puede seguir empleando la teoría normal para obtener inferencias sobre la media poblacional a condición de que obtengamos una muestra grande, porque la distribución muestral de X será aproximadamente normal cuando n sea grande. Generalmente, muchos investigadores consideran que a partir de n = 30 se puede usar el teorema del Límite Central. Ejemplo: Una empresa emplea 1500 personas. La cantidad promedio gastada durante un año determinado, en servicios médicos personales por empleados fue de 5,75 $ y la desviación estándar de 5,5 $. Cuál es la probabilidad de que una muestra de 100 empleados arroje una media comprendida entre 5 y 7 $?. En este problema no se específica si la población es normal, pero como el tamaño de la muestra n = 100 > 30 podemos aplicar el teorema del límite central, por lo

43 que la distribución muestral de X es aproximadamente normal y por lo tanto podemos hallar su probabilidad, esto es: 5 5,75 7 5,75 P ( 5 X 7) = P Z = ( 1,48,46) 5,5/ 100 5,5/ 100 P Z =0.937 Es decir, se tiene un porcentaje del 9,37 % de que el promedio de gastos médicos por empleado durante un año este entre 5 y 7 $. está distribuido según la distribución t de Student con v = n 1 + n grados de libertad. c) Distribución t de student: Esta distribución permite realizar inferencias sobre medias poblacionales cuando se desconoce la varianza de la población con muestras de tamaño n < 30. En consecuencia para hallar la probabilidad asociada a t transformamos los valores t (de la distribución normal) a valores de la distribución normal estandarizada mediante la siguiente fórmula: t = X - µ S / n Para hallar la probabilidad asociada a t se usa la tabla de distribución de Student. Características de la distribución t: a) tiene forma de campana como la distribución normal, solo que es más ancha en las colas (mayor área)

44 b) los grados de libetad vienen dados por: v = n-1 c) Se aproxima a la normal a medida que aumentan los grados de libertad. Ejemplo: Considerando el ejemplo anterior, con µ = 5, 75 $ y σ desconocida. Cuál es la probabilidad de que una muestra de 0 empleados, con una desviación de 5 $, arroje una media comprendida entre 5 y 7 $?. Solución: Como n < 30 y σ es desconocida, se tienen pequeñas muestras, por lo que se utiliza la distribución t de Student: 5 5,75 7 5,75 ( 5 7) X µ P X = P = P = 5/ 0 S 5/ 0 n ( 1,1 t 1,1) 0,7 Es decir, se tiene una probabilidad de 0,7 (7 %) de que la media de gastos médicos por empleado para una muestra de tamaño n = 0 está entre 5 y 7 $. ) DISTRIBUCIÓN MUESTRAL PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS ( X 1 X ).- A veces interesa hacer inferencias sobre la diferencia poblacional de medias µ 1 - µ, o saber si es razonable concluir que dos medias poblacionales no

45 son iguales, considerando que se tienen sendas muestras para las poblaciones 1 y, respectivamente, donde: Entonces, la diferencia de las medias muestrales X 1 X, estima a µ 1 - µ. La forma funcional de la distribución muestral de X 1 X depende de la forma funcional de las poblaciones donde se extraen las muestras tomando en cuenta: Si ambas poblaciones son normales la distribución muestral de la diferencia de medias es normal. Si una o ambas de las poblaciones no es normal, la distribución muestral de las diferencias de medias X 1 X es normal si n 1 + n >30 (grandes muestras), este resultado se deduce del teorema del límite central. En estos casos, los parámetros que definen esta distribución muestral de las diferencias de medias vienen dados por: µ X X 1 = µ µ 1 σ X X 1 = σ 1 n 1 σ + n El cual se aplica para dos casos específicos dependiendo de la muestra: a) Para grandes muestras, cuando v = n 1 +n - > 30, se trabaja con la distribución normal. En estos casos, estandarizando la diferencia de medias muestrales, se tiene:

46 ) ( ) ( n n X X Z σ σ µ µ + = Ejemplo: La siguiente tabla nos muestra información del tiempo medio en minutos que tarda un cliente en ser atendido en dos bancos: Banco A Banco B = = = = = = B A B A B A n n min min min min µ µ σ σ Hallar la probabilidad de que la diferencia media entre los dos bancos no exceda de minutos. Solución: como los grados de libertad =33 =31 > 30, se tienen grandes muestras se trabaja con la distribución normal: , 1,37) P(Z 0, ) ( ) ( ) ( ) ( = = = + + = Z P n n X X P X X P B A B B A A B A B A B A µ µ σ σ µ µ Existe un 91,46 % que la diferencia media entre los dos bancos no exceda de minutos.

47 b) Para pequeñas muestras, Cuando v = n 1 + n < 30, se trabaja con la Distribución t de Student. Por lo tanto, el valor viene dado por: ( X t = X 1 ) ( µ 1 µ ) S p n 1 S p + n donde: S p ( n = 1 1) S1 + ( n 1) S n + n 1 Ejemplo: Considerando los ingresos mensuales de empleados de dos empresas, se tiene información de dos muestras mediante la siguiente tabla: Empresa 1 Empresa S1 = µ = Bs n 1 1 = 0 Bs n S = 10 = µ = Bs Bs Hallar la probabilidad de que la diferencia de medias muestrales sea a lo menos 3500.

48 Solución: : como los grados de libertad =30 =8 < 30, se tienen pequeñas muestras se trabaja con la distribución t de Student: P( X 1 X 3500) = P ( X A X B S n ) ( µ µ ) p 1 S + n p = P t = P(t 4,43) 7564,10 donde S p = 8 = Entonces para v = 8 gl y usando la tabla t de Student: P ( Xˆ ˆ 1 X 3500) = P( t 4,43) = 0,99 Es decir, la probabilidad de que la diferencia media de los salarios sea mayor que 3500 es del 0,99. 3). DISTRIBUCIÓN DE UNA PROPORCION MUESTRAL ( P ) ).- Se define una proporción poblacional como el cociente: p = númerode casos favorables total de casos Por ejemplo: si de una población de N = 50, empleados de una empresa, 15 de ellos no cumplen con su horario de trabajo, la proporción de empleados que no cumplen horario con relación al total, viene dado:

49 P = 15/50 = 0,3; es decir, el 30 % de los empleados no cumplen su horario. La proporción muestral ( pˆ ), se define como: pˆ = número de casos favorables tamaño de la muestra Ejemplo: Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n = 1000 y 45 personas satisfacen un evento, entonces p = 45 / 1000 = 0,45. Esto significa que el 4,5 % de las personas satisfacen dicho evento. La distribución de una proporción muestral, se define de una manera análoga a a la distribución de media, o sea: Muestra ˆp 1 Muestra ---- ˆp Muestra ˆp 3 Muestra X---- pˆ k De esta forma: ˆp 1, ˆp, ˆp 3,..., pˆ k corresponden a la distribución de una proporción muestral. De acuerdo a lo expuesto, la distribución muestral de proporciones corresponde a una distribución de probabilidad de todas las proporciones posibles de las muestras, para un tamaño n determinado. Los parámetros que definen esta distribución vienen dados por:

50 µ pˆ = µ p = P σ X = p. q n N N n 1 para poblaciones finitas σ X = p. q n para poblaciones infinitas Para el cálculo de probabilidades relativa a proporciones, se trabaja de manera análoga al caso de la distribución muestral de medias. Ejemplo: Un encuestador sabe que en cierta área el 0 % está a favor de las emisiones en bonos. Considerando una muestra de 64 personas, hallar la probabilidad de que la proporción muestral difiera de la proporción real a lo sumo en un 0,06. Solución: p = 0.0 proporción de personas de la población que están a favor de la emisión pˆ = proporción de personas de la muestra que están a favor de la emisión entonces nos están pidiendo la siguiente probabilidad: 0,06 ˆ 0,06 ( ˆ 0,06) p p P p p = P = P( 0,7 Z 0,7) = 0,04 0,.0,8 p. q 0,.0,8 64 n 64 4) DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE VARIANZAS. Con esta distribución, se estudia las probabilidades relativas a la varianza de una población. De esta forma, la distribución muestral de varianzas, viene dada por todas las posibles varianzas de las muestras para un tamaño de muestra n

51 determinado. Para encontrar probabilidades relativas a varianzas se usa la distribución χ (chi cuadrado), para ello se transforman los valores S (varianzas muestrales) a valores de χ mediante la siguiente relación: χ = (n - 1). S / σ para v = n - 1 (grados de libertad). Nota: El único requisito para usar la distribución chi cuadrado es que la población esté distribuida normalmente Ejemplo: En una empresa, la desviación estándar del sueldo de los empleados es de Bs , correspondiente a valores distribuidos normalmente. Para un nuevo estudio se escogen 17 empleados cuyos salarios se muestran a continuación: SUELDOS Se desea conocer si estos resultados muestran consistencia con respecto a la desviación, en cuanto a la variabilidad del sueldo de los empleados de dicha empresa.

52 Solución: Cuando se habla de variabilidad nos referimos a la varianza ó desviación estándar, por lo que debemos calcular la desviación muestral, esto es S = 8735,99 Bs. Por lo tanto: P( S ( n 1) S 16.(8735,99) > (8735,99) ) = P > = P χ σ ( > 1,69) = 0, 15. Los resultados muestran consistencia ya que es más probable que la varianza muestral para muestras de tamaño n = 17 estén por debajo de Bs. 8735,99 5) DISTRIBUCIÓN F DE FISHER. Cuando se quiere estudiar la relación entre las varianzas de dos poblaciones distribuidas normalmente se usa la distribución F de Fisher. Es decir, dadas dos muestras aleatorias independientes de tamaño n 1 y n de dos poblaciones independientes, la distribución muestral de la razón SM = (razón S F m de varianzas) se conoce como distribución de Fisher, suponiendo que las varianzas poblacionales son iguales ( σ 1 = σ ). Donde: S S con (v, v ) v M m : es la varianza mayor : es la 1 = n varianza menor donde v 1 = n 1 1grados de libertaddel numerador -1 grados de libertaddel denominador

53 Ejemplo: Considerando que las varianzas poblacionales de dos poblaciones son iguales, σ 1 = σ, n 1 = 6 y n = 10, hallar la probabilidad de que la razón de las varianzas muestrales no exceda a 3,48. Solución: Cuando se quieren comparar las varianzas muestrales de S1 dos poblaciones se utiliza la distribución F de Fisher, por lo tanto, F = S con v 1 = 5 y v =9 grados de libertad.también la probabilidad pedida viene dada por: S P S 1 3,48 = P ( F 3,48) = 1 P( F > 3,48) = 1 0,05 = 0, 95 Nótese que aún cuando las varianzas de las poblaciones son iguales, la probabilidad de que la razón de las varianzas de las muestras exceda a 3,48 es de 0,05 suponiendo tamaños de muestras de n 1 = 6 y n = 10. Tamaño de la Muestra. La clave del problema estriba en escoger una muestra cuyo selección garantice la representatividad de la población objeto de estudio. En los estudios socio-económicos, una muestra de un 30% de la población, tiene un elevado nivel de representatividad (Ramírez 1995); sin embargo, esta representatividad depende mayormente, del tipo de muestreo. Obviamente, que el trabajar con muestras, por muy confiables que sean, no se obtiene el 100% de exactitud, sin embargo, ese pequeño error que acompaña siempre a los estudios por muestreo,

54 es compensado con el tiempo y costo ahorrado al trabajar con grupos pequeños en vez de toda la población. Determinación del Tamaño de la Muestra en una población infinita, cuando se utilizan proporciones: Donde: n: Tamaño de la muestra Z α n =.p.q Z α/ : Valor teórico en función del nivel de confianza. Para 99 %, Z α/ es igual a,56 y para el 95% a Z α/ le corresponde 1,96 ε: error de muestreo p: Número de veces que se produce un evento en % q: Es el porcentaje complementario de p Ejemplo: Opinión de los electores sobre gestión de gobierno. Se realizó un estudio piloto de 150 electores donde 60 opinan favorablemente. A cuantas personas es necesario encuestar si se desea un nivel de confiabilidad de 99 % y un error de muestreo +/- 1.5%?. Entonces se tiene: Z α n =.p.q El valor de p viene dado por:

55 p = 60 / 150 X 100 = 40%, por lo tanto q = = 60%.,56 De esta forma se tiene: n =. 0,4. 0,6 = Es necesario 0,015 encuestar a personas para alcanzar cierta confiabilidad en los resultados. En el caso de una Población Infinita con 95 % de Confiabilidad. Utilizando el ejemplo anterior, se tiene: n = 1,96 0,015. 0,4. 0,6 = 4098 Al bajar el coeficiente o el nivel de confiabilidad, también baja el tamaño de la muestra. En el caso de que no exista un Estudio Piloto. A los valores de p y q se les asigna el valor de 50% a cada uno y es lo que se denomina Condiciones desfavorables de muestreo. En el caso del ejemplo citado el tamaño de la muestra viene determinado de la siguiente manera: 1,96 n =. 0,5. 0,5 = ,015 Esto quiere decir que habrá que encuestar a 4.68 personas.

56 En el caso de poblaciones finitas, el modelo matemático difiere con el de las poblaciones infinitas: n = Z.p.q.N α/ (N 1) + Z.p.q α/ Donde: N es el tamaño de la población y n el tamaño de la muestra. Se puede aplicar en el siguiente caso: Conocer la opinión de los miembros de un sindicato, ante un nuevo contrato colectivo. Compuesto por 3.57 obreros. Cuántas obreros se deben entrevistar para obtener un nivel de confianza de 99 % y un error de muestreo de +/- 3%, en condiciones desfavorables? n =,56. 0,5. 0, ,03 (357 1) +,56.0,5.0,5 = Se requieren encuestar a obreros, para lograr cierto grado de Confianza. Determinación del Tamaño de la Muestra en una población para medias. En este caso se utiliza la relación: Z α. σ n =

57 Ejemplo: Se quiere estudiar la vida útil media de una marca de neumáticos. Si sabe por estudios anteriores que la desviación estándar es de 800 Km. Determinar el tamaño de la muestra requerido para un nivel de confianza del 95 %, fijando un error de 40. Sustituyendo los valores se tiene 1, n = = 40 = 1536, neumáticos En conclusión, la validez en la investigaciones de negocios, está muy relacionada con la confiabilidad del muestreo y una muestra confiable está en función del tipo de población a estudiar ( finitas o infinitas); asi mismo, en cuanto al nivel de confiabilidad, ésta será mayor si la muestra es mayor y en relación al error de muestreo, éste será menor cuando la muestra es mayor. Para determinar el tamaño de la muestra de una forma mas rápida y práctica, se han diseñado las Tablas de Harvard, las cuales permiten calcular, rapidamante el tamaño de la muestra a tomar, en función del error de muestreo, niveles de confiabilidad y posibles valores de p y q. Para profundizar en este aspecto de muestreo, se recomienda consultar los textos especializados en estas áreas. Pues una vez determinado el tamaño de la muestra el paso siguiente que se plantea es lo relacionado al tipo de muestreo que se va a utilizar para escoger los elementos que integran a la muestra y ésto es un amplio e interesante tema a tratar.