CONTROL DEL PROCESO POR VARIABLES Y ATRIBUTOS

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1 3 CONTROL DEL PROCESO POR VARIABLES Y ATRIBUTOS Al finalizar la unidad, el alumno realizará gráficas de control por variables X y R y por atributos para mantener el seguimiento y control de los procesos de transformación. 137

2 Mapa Curricular de la Unidad de Aprendizaje CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO 108 hrs. 1.-Factores de Variación en los procesos. 10 HRS 2.-Capacidad Proceso. 50 HRS del 3. Control del Proceso por Variables y atributos en los procesos. 48 HRS 1.1. identificar los factores fundamentales que afectan la calidad para su análisis acorde al impacto en la calidad identificar la causa de la variación en un proceso como base para aplicar la estadística en su estudio y análisis. 3hrs. 7hrs. 2.1 Aplicar las técnicas de análisis estadístico para establecer las soluciones que afectan la variación dentro de un proceso 2.2 Realizar estudios de un proceso con el análisis de su comportamiento mediante la distribución de frecuencias para determinar su capacidad. 20hrs 30hrs 3.1 Aplicar gráficas de control por variables para monitorear y mantener la variación dentro de los limites 3.2 Aplicar gráficas de control por atributos para monitorear y mantener la variación dentro de los limites 24hrs. 24hrs. 138

3 Sumario Gráficas de control. Gráficas por variables x, r. Gráficas por variables media, desviación estándar. Gráficas por variables medias y rangos. Gráficas pre-control. Gráficas por atributos. Gráficas np, defectuosos. Gráficas p, fracción defectuosa. Gráficas c, número de defectos. Gráficas i, defectos por unidad. Figura 1. Ejemplo. Supongamos que tenemos una máquina inyectora que produce piezas de plástico, por ejemplo de PVC. Una característica de calidad importante es el peso de la pieza de plástico, porque indica la cantidad de PVC que la máquina inyectó en la matriz. Si la cantidad de PVC es poca la pieza de plástico será deficiente; si la cantidad es excesiva, la producción se encarece porque se consume más materia prima. RESULTADO DE APRENDIZAJE 3.1 Aplicar graficas de control por variables para monitorear y mantener la variación dentro de los límites establecidos a fin de establecer el estado de control estadístico del proceso Gráficas de Control Definición Grafico en el cual se representan valores de medición. Características Los gráficos de control o cartas de control son una importante herramienta utilizada en control de calidad de procesos. Básicamente, una Carta de Control es un gráfico en el cual se representan los valores de algún tipo de medición realizada durante el funcionamiento de un proceso continuo, y que sirve para controlar dicho proceso. Figura 2. Entonces, en el lugar de salida de las piezas, hay un operario que cada 30 minutos toma una, la pesa en una balanza y registra la observación: Figura 3. Ejemplo. Supongamos que estos datos se registran en un gráfico de líneas en función del tiempo: 139

4 Los gráficos de control por atributos son los np y p utilizados para controlar la proporción de piezas defectuosas que genera el proceso. Los gráficos c y u sirven para controlar el numero de defectos. - Por variables Figura 4. Observamos una línea quebrada irregular, que nos muestra las fluctuaciones del peso de las piezas a lo largo del tiempo. Esta es la fluctuación esperable y natural del proceso. Los valores se mueven alrededor de un valor central (El promedio de los datos), la mayor parte del tiempo cerca del mismo. Pero en algún momento puede ocurrir que aparezca uno o más valores demasiado alejados del promedio. Cómo podemos distinguir si esto se produce por la fluctuación natural del proceso o porque el mismo ya no está funcionando bien?. Esta es la respuesta que provee el control estadístico de procesos, y a continuación veremos como lo hace. Importancia Este termino se utiliza para referenciar a la características de calidad cuantitativas tales como Longitud, peso voltaje, etc. Los gráficos que controlan la posición de la distribución de la variable que son los gráficos de la Media y los de la Mediana. Los gráficos que controlan la dispersión que son los gráficos del Rango y de la Desviación típica que a su vez son dos gráficos de S n y de S n-1 y grafico de la varianza. Factores que la afectan Todo proceso de fabricación funciona bajo ciertas condiciones o variables que son establecidas por las personas que lo manejan para lograr una producción satisfactoria. Los gráficos de control son de suma importancia ya que nos proporcionan información para prevenir la fabricación de piezas defectuosas por estar fuera de especificaciones, también nos ayudan a controlar las características de calidad y evitar que se modifiquen a lo largo del tiempo. Otro factor importante es que nos apoyan en el control del proceso manteniéndolo estable en cuanto a tiempos y parámetros de calidad. Tipos - Por atributos Este término se utiliza para referenciar a las características de calidad cualitativas tales como los defectos de un metal el mal funcionamiento o no de un aparato, etc. Figura 5. Cada uno de estos factores está sujeto a variaciones que realizan aportes más o menos significativos a la fluctuación de las características del producto, durante el proceso de fabricación. Los responsables del funcionamiento del proceso de fabricación fijan los valores de algunas de estas variables, que se denominan variables controlables. Por ejemplo, en el caso de la inyectora se fija la temperatura de fusión del plástico, la velocidad de trabajo, la presión del pistón, la materia prima que se utiliza (Proveedor del plástico), etc. 140

5 Pero un proceso de fabricación es una suma compleja de eventos grandes y pequeños. Hay una gran cantidad de variables que sería imposible o muy difícil controlar. Estas se denominan variables no controlables. Por ejemplo, pequeñas variaciones de calidad del plástico, pequeños cambios en la velocidad del pistón, ligeras fluctuaciones de la corriente eléctrica que alimenta la máquina, etc. Los efectos que producen las variables no controlables son aleatorios. Además, la contribución de cada una de las variables no controlables a la variabilidad total es cuantitativamente pequeña. Son las variables no controlables las responsables de la variabilidad de las características de calidad del producto. Los cambios en las variables controlables se denominan Causas Asignables de variación del proceso, porque es posible identificarlas. Las fluctuaciones al azar de las variables no controlables se denominan Causas No Asignables de variación del proceso, porque no son pasibles de ser identificadas. Causas Asignables: Son causas que pueden ser identificadas y que conviene descubrir y eliminar, por ejemplo, una falla de la máquina por desgaste de una pieza, un cambio muy notorio en la calidad del plástico, etc. Estas causas provocan que el proceso no funcione como se desea y por lo tanto es necesario eliminar la causa, y retornar el proceso a un funcionamiento correcto. Causas No Asignables: Son una multitud de causas no identificadas, ya sea por falta de medios técnicos o porque no es económico hacerlo, cada una de las cuales ejerce un pequeño efecto en la variación total. Son inherentes al proceso mismo y no pueden ser reducidas o eliminadas a menos que se modifique el proceso. Cuando el proceso trabaja afectado solamente por un sistema constante de variables aleatorias no controlables (Causas no asignables) se dice que está funcionando bajo Control Estadístico. Cuando, además de las causas no asignables, aparece una o varias causas asignables, se dice que el proceso está fuera de control. El uso del control estadístico de procesos lleva implícitas algunas hipótesis que describiremos a continuación: 1) Una vez que el proceso está en funcionamiento bajo condiciones establecidas, se supone que la variabilidad de los resultados en la medición de una característica de calidad del producto se debe sólo a un sistema de causas aleatorias, que es inherente a cada proceso en particular. 2) El sistema de causas aleatorias que actúa sobre el proceso genera un universo hipotético de observaciones (mediciones) que tiene una Distribución Normal. 3) Cuando aparece alguna causa asignable provocando desviaciones adicionales en los resultados del proceso, se dice que el proceso está fuera de control. La función del control estadístico de procesos es comprobar en forma permanente si los resultados que van surgiendo de las mediciones están de acuerdo con las dos primeras hipótesis. Si aparecen uno o varios resultados que contradicen o se oponen a las mismas, es necesario detener el proceso, encontrar las causas por las cuales el proceso se apartó de su funcionamiento habitual y corregirlas. Control Estadístico. Cómo ponerlo en marcha? La puesta en marcha de un programa de control estadístico para un proceso en particular implica dos etapas: Figura

6 Antes de pasar a la segunda etapa, se verifica si el proceso está ajustado. En caso contrario, se retorna a la primera etapa: normal, el intervalo de 3,09 sigmas alrededor del promedio corresponde a una probabilidad de 0,998. Figura 8. Figura 7. En la 1a etapa se recogen unas mediciones, con las cuales se calcula el promedio y la desviación standard: Entonces, se construye un gráfico de prueba y se traza una línea recta a lo largo del eje de ordenadas (Eje Y), a la altura del promedio (Valor central de las observaciones) y otras dos líneas rectas a la altura de los límites de control: Limites de control Luego se calculan los Límites de Control de la siguiente manera: Figura 9. En este gráfico se representan los puntos correspondientes a las observaciones con las que se calcularon los límites de control: Estos límites surgen de la hipótesis de que la distribución de las observaciones es normal. En general se utilizan límites de 2 sigmas ó de 3 sigmas alrededor del promedio. En la distribución Figura

7 Este gráfico de prueba se analiza detenidamente para verificar si está de acuerdo con la hipótesis de que la variabilidad del proceso se debe sólo a un sistema de causas aleatorias o si, por el contrario, existen causas asignables de variación. Esto se puede establecer porque cuando la fluctuación de las mediciones se debe a un sistema constante de causas aleatorias la distribución de las observaciones es normal: Figura 13. Figura 11. Cuando las observaciones sucesivas tienen una distribución normal, la mayor parte de los puntos se sitúa muy cerca del promedio, algunos pocos se alejan algo más y prácticamente no hay ninguno en las zonas más alejadas: Figura 14. Es difícil decir como es el gráfico de un conjunto de puntos que siguen un patrón aleatorio de distribución normal, pero sí es fácil darse cuenta cuando no lo es. Veamos algunos. Ejemplos. Figura 12. De patrones No Aleatorios: Una sucesión de puntos por encima. 143

8 Figura 15. o por debajo de la línea central. Figura 18. Si no se descubren causas asignables entonces se adoptan los límites de Control calculados como definitivos, y se construyen cartas de control con esos límites: Figura 16. Una serie creciente de 6 ó 7 observaciones. Figura 19. Si sólo hay pocos puntos fuera de control (2 ó 3), estos se eliminan, se recalculan la media, desviación standard y límites de control con los restantes, y se construye un nuevo gráfico de prueba. Cuando las observaciones no siguen un patrón aleatorio, indicando la existencia de causas asignables, se hace necesario investigar para descubrirlas y eliminarlas. Una vez hecho esto, se deberán recoger nuevas observaciones y calcular nuevos límites de control de prueba, comenzando otra vez con la primera etapa. Figura 17. o una serie decreciente. En la 2a etapa, las nuevas observaciones que van surgiendo del proceso se representan en el gráfico, y se controlan verificando que estén dentro de los límites, y que no se produzcan patrones no aleatorios: 144

9 Gráficas por Variables X, R. Características Los gráficos X-R se utilizan cuando la característica de calidad que se desea controlar es una variable continua. Figura 20. Como hemos visto, el 99,8 % de las observaciones deben estar dentro de los límites de 3,09 sigmas alrededor de la media. Esto significa que sólo 1 observación en 500 puede estar por causas aleatorias fuera de los límites de control. Entonces, cuando se encuentra más de 1 punto en 500 fuera de los límites de control, esto indica que el sistema de causas aleatorias que provocaba la variabilidad habitual de las observaciones ha sido alterado por la aparición de una causa asignable que es necesario descubrir y eliminar. En ese caso, el supervisor del proceso debe detener la marcha del mismo e investigar con los que operan el proceso hasta descubrir la o las causas que desviaron al proceso de su comportamiento habitual. Una vez eliminadas las causas del problema, se puede continuar con la producción normal. Investigación documental Competencia Lógica Seguir procedimientos para la descripción y construcción de graficas de control para el análisis de los procesos de producción. El alumno: - Explicará las consecuencias que se pueden ocasionar en un producto al no utilizar las graficas de control. Figura 21. Para entender los gráficos X-R, es necesario conocer el concepto de Subgrupos (o Subgrupos racionales). Trabajar con subgrupos significa agrupar las mediciones que se obtienen de un proceso, de acuerdo a algún criterio. Los subgrupos se realizan agrupando las mediciones de tal modo que haya la máxima variabilidad entre subgrupos y la mínima variabilidad dentro de cada subgrupo. Por ejemplo, si hay cuatro turnos de trabajo en un día, las mediciones de cada turno podrían constituir un subgrupo. Fases de la construcción. Ejemplo: Supongamos una fábrica que produce piezas cilíndricas para la industria automotriz. La característica de calidad que se desea controlar es el diámetro de las piezas. 145

10 Figura 22. Figura 24. Hay dos maneras de obtener los subgrupos. Una de ellas es retirar varias piezas juntas a intervalos regulares, por ejemplo cada hora: Figura 25. Figura 23. La otra forma es retirar piezas individuales a lo largo del intervalo de tiempo correspondiente al subgrupo: Por cualquiera de los dos caminos, obtenemos grupos de igual número de mediciones. Para cada subgrupo calculamos el Promedio y el Rango (Diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo). 146

11 Tabla 1. Figura 26. A partir de esta tabla, se calculan el promedio general de promedios de subgrupo y el promedio de rangos de subgrupo: Como ya se ha visto, para calcular los Límites de Control es necesario obtener un gran número de mediciones, divididas en subgrupos. N Promedio de Subgrupo Número de Subgrupos En nuestro ejemplo, podríamos obtener 30 subgrupos de 6 datos cada uno: o también: N n Mediciones individuales Número de Subgrupos Número de mediciones dentro del Subgrupo. Figura 27. Después de calcular el Promedio y el Rango de cada subgrupo, tendríamos una tabla como la siguiente: Rango del Subgrupo La desviación estándar del proceso se puede calcular a partir del rango promedio, utilizando el coeficiente d2, que depende del número de mediciones en el subgrupo: 147

12 Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico de X: Figura 28. La desviación standard del rango se puede calcular utilizando el coeficiente d3, que también depende del número de mediciones en el subgrupo: Y un Gráfico R de prueba, donde representamos los rangos de los subgrupos: Y así podemos calcular los Límites de Control para el Gráfico de R: Figura 29. La tabla siguiente muestra los coeficientes d2 y d3 para subgrupos de hasta 10 mediciones: Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar la producción futura. Realización del ejercicio Tabla 2. Competencia Analíticas. Realizar operaciones matemáticas para la determinación de rangos. El Alumno: - Realizará ejercicios de determinación de rangos en diferentes productos. Sugerencias o notas Construimos entonces un Gráfico X de prueba y representamos los promedios de los subgrupos: Competencia de información. Seguir procedimientos para el control de procesos. 148

13 El Alumno: - Explicará la importancia de utilizar gráficos de variables X, R en las diferentes etapas del proceso de producción, para asegurar que las deficiencias encontradas sean corregidas y se les de seguimiento. Si, por el contrario, la desviación típica es desconocida, en Control de Calidad, en vez de a se utiliza la estimación que corresponde al parámetro muestral que se usa en el Gráfico de la Dispersión, así, si se usa el Gráfico del Rango es: Gráficas por Variables Media, Desviación Estándar Características En Control de Calidad mediante el término variable se designa a cualquier característica de calidad "medible" tal como una longitud, un voltaje, un peso, una resistencia a la rotura, un volumen, etc., mientras que se denomina atributo a las características de calidad que no son medibles' y que presentan diferentes estados (normalmente dos) tales como conforme y disconforme o defectuoso y no defectuoso. Según sea el tipo de la característica de calidad a controlar así será el correspondiente Gráfico de Control que, por tanto, se clasifican en Gráficos de Control por Variables y Gráficos de Control por Atributos. Grafica de la media. Este diagrama es la representación gráfica del test de hipótesis de dos colas para contrastar: Designaremos por LC a la línea central del gráfico y por LCS y LCI a los límites de control superior e inferior respectivamente. Si ợ es conocida será: Fases de construcción Calculo de los límites de control. Si la desviación típica es conocida, la zona de aceptación de Ho es: en las que son los parámetros poblacionales cuando el proceso está bajo control, n es el tamaño de la muestra y (α es la probabilidad de error de primera especie, es decir, el riesgo que estamos dispuestos a correr de 149

14 concluir que el proceso está descorregido cuando realmente no lo está, siendo Zα/2 el correspondiente valor de la variable normal tipificada. En la que m es el numero de muestras utilizadas (normalmente el del gráfico de control para la media) y La mecánica de uso del Gráfico de Control para la media es sencilla. Si la media muestral cae fuera de los límites de control, se rechaza la hipótesis nula de que el proceso es estable respecto a su posición (µ constante) y, en consecuencia, se busca una causa asignable que ha modificado a µ. Si, por el contrario, se sitúa entre dichos límites, se acepta que, en lo que respecta a la media, el proceso está bajo control y se deja que el proceso siga actuando libremente. Por razones históricas se acostumbra a utilizar el denominado criterio "tres sigma" designado así porque se hace Zα/2 lo que corresponde a α= Es la media muestral de la muestra número i con lo que Con ello queda: Bajo el criterio, se da nombre a determinadas constantes, así mediante A se designa a: Con lo que. Si o es desconocida, se utiliza una estimación que depende del tipo de gráfico que se utiliza para el estudio de la dispersión, quedando: a) Si se usa s n Si µ. 0 es desconocida, se estima a partir de los datos del último gráfico de control para la media en el que no existe una señal de falta de control mediante: Con el criterio resulta 150

15 Se denomina Con lo que: Con el criterio resulta b) Si se utiliza el rango R queda: Se denomina Con el criterio resulta Con lo que: Se denomina Resultando c) si se usa s n-1 : Eficacia del gráfico. El criterio estándar (criterio ) nos garantiza con una muy alta probabilidad (1-α = ) que cuando el proceso está bajo control no cometeremos el error de llegar a la conclusión de que el proceso funciona incorrectamente. Sin embargo, esto no significa que cuando el proceso está fuera de control el gráfico de la media nos lo detecte, también, con una alta probabilidad. No es infrecuente encontrar gráficos de control en los que cuando se producen importantes 151

16 descorreciones de la media la probabilidad de ser detectadas es pequeña. Cuando esto ocurre, se está produciendo un gasto en efectuar el control y se tiene puesta la confianza en una herramienta que no es eficaz para los fines que fue elaborada. Es decir, la probabilidad de aceptar la hipótesis nula o, lo que es equivalente, que un punto caiga dentro de los límites de control, es: Figura 30. La variable aleatoria X numero de muestras a tomar para que, por primera vez, una muestra se sitúe fuera de los limites de control es, evidente, una variable binomial negativa de parámetros r = 1 y p = 1-β. En la que d es el descentrado relativo: Con lo que La curva característica. La curva característica permite determinar la eficacia de un gráfico de control a través de la probabilidad de detectar una descorrección de la media en la muestra tomada inmediatamente después de que se produzca este descentrado. Una forma diferente y muy ilustrativa de medir al eficacia de un gráfico de control es mediante el cálculo del denominado ARL (Average Ran Length) o longitud media de la racha necesaria para que un punto se salga de los límites de control o, más explícitamente, el ARL es el número medio de muestras que es necesario tomar hasta que un punto caiga, por primera vez, fuera de los límites de control. Ejemplo: Si el proceso está bajo control y el criterio utilizado para calcular los límites de control es el estándar como α = y d = 0, resulta β = de donde: 1 ARL= = Lo cual significa que cuando aplicamos el criterio, si el proceso esta bajo control, son necesarias, por término medio muestras para que un punto se salga de los limites de control por primera vez. 152

17 Realización del ejercicio Competencia Analíticas. Realizar operaciones matemáticas para la determinación de rangos. El Alumno: - Realizará ejercicios de determinación de rangos en diferentes productos. Utilizando como estadístico que mide la dispersión muestral al rango o recorrido R y en la que σ0 es la desviación típica del proceso cuando este esta bajo control. Variable aleatoria: Vn = R/σ Y que Sugerencias o notas La zona de aceptación de la hipótesis nula utilizando R es: Competencia Lógica. Seguir procedimientos para el control de procesos. El Alumno: - Explicará la importancia de utilizar gráficos de variables media y desviación estándar en las diferentes etapas del proceso de producción, para asegurar que las deficiencias encontradas sean corregidas y se les de seguimiento Gráficas por Variables Media, Medianas y Rangos Características Si la probabilidad de error de primera especie es α, será: de donde Grafica del rango o recorrido. Este diagrama es la representación gráfica del test de hipótesis de dos colas para contrastar: Fases de construcción como Calculo de los límites de control. Se realizará, de forma gráfica, un test de hipótesis que permita contrastar. será 153

18 con lo que queda queda La línea central (LC) es la media del rango E(R) y los limites de control superior e inferior (LCS Y LCI), serán: Mientras que el gráfico de la media el criterio 3σ es equivalente a fijar la probabilidad de error de primera especie en α , en el gráfico del rango α varía con el tamaño de la muestra, pues dividiendo por σ 0 se obtiene: Bajo el criterio estándar 3σ se procede como en el grafico de la media, es decir, la zona de aceptación viene definida por el intervalo que se obtiene restando y sumando al valor medio del rango, 3 desviaciones típicas de esté estadístico. En concreto la zona de aceptación es: E( R ) ± 3 D ( R ) Si σ es desconocida, se estima mediante Como con lo que resulta designándose designándose 154

19 Resulta Valores del error de primera especie α para el grafico del rango estándar (criterio 3σ). Bajo el criterio 3σ las formulas anteriores se convierten en: Tabla 3. Fijado β y para r d > 1 se determina n de tal forma que: Curva característica. Eficacia del gráfico. La curva característica es: Cuando el proceso esta bajo control, coincidentes; semiamplitud de tolerancias T2 - µ. 0 = 0.45; σ 0. = 0.1; criterio 3σ. Se desea tener un ARL = 2 en el gráfico del rango cuando el aumento de σ genera un 5 % de piezas defectuosas totales. En primer lugar, es fácil demostrar que dadas las tolerancias, la desviación típica σ p que genera un porcentaje total de piezas defectuosas p es: En la que r d es la razón de desviaciones típicas. Para r d > 1 el tamaño de la muestra a tomar n debe cumplir la condición: 155

20 para los valores de Se confirma que n05 pues este valor es el menor para el que se cumple: Figura 31. Como Con lo que la razón de desviaciones típicas es Sugerencias o notas Competencia Lógica. Seguir procedimientos para el control de procesos. El Alumno: - Explicará la importancia de utilizar gráficos de variables medianas y rangos en las diferentes etapas del proceso de producción, para asegurar que las deficiencias encontradas sean corregidas y se les de seguimiento. Sugerencias o notas Tabla 4. Competencia Emprendedora. Proponer mejoras a los procesos de producción. El Alumno: - Propondrá mejoras a los procesos de las diferentes áreas de producción, analizando cada uno de los pasos que integran el procedimiento e identificando las deficiencias del proceso. Como puede observarse en la tabla: 156

21 Gráficas Precontrol Características El PRE-Control es una técnica estadística para detectar las condiciones del proceso y los cambios que pueden causar defectos (más que los cambios que son estadísticamente significativos). La oportunidad de que dos medidas seguidas caigan fuera de las líneas de PC es 1/14 multiplicado por 1/14 o 1/196. Esto significa que sólo una vez de alrededor de cada 200 mediciones se puede esperar que dos seguidas caigan en una banda exterior dada. El PRE-Control se centra en el control de la conformancia con las especificaciones, en lugar de en el control estadístico. El PRE-Control inicia un proceso centrado entre los límites de especificación y detecta los cambios que pueden resultar al hacer algunas partes fuera del límite. El PRE-Control no requiere una gráfica ni cálculos y sólo necesita tres mediciones para dar la información de control. La técnica utiliza la curva de la distribución normal al determinar los cambios significativos, ya sea en la meta o en la dispersión del proceso de producción, que puede dar como resultado un incremento en la producción de trabajo defectuoso. El principio del PRE-Control se demuestra, suponiendo la peor condición que se puede aceptar de un proceso capaz de una producción de calidad, esto es, cuando la tolerancia natural es la misma que la permitida y cuando el proceso está justamente centrado y cualquier cambio daría como resultado un trabajo defectuoso. Fases de la construcción Si se dibujan dos rectas de PRE-Control (PC), cada una a un cuarto hacia adentro de la distancia total entre los límites de tolerancia, se puede demostrar que 86% de las partes estarán dentro de las líneas de PC, con 7% en cada sección exterior. En otras palabras, 7% o una parte de cada 14, caerá fuera de las líneas de PC en circunstancias normales. Figura 32. Suposición esencial de precontrol. Localización de las líneas de precontrol. Cuando ocurren dos seguidas, existe una oportunidad mucho mayor (195/196) de que el proceso haya cambiado. Por lo tanto es recomendable restablecer el proceso al centro. Es igualmente improbable obtener una medida fuera de una línea PC dada y la siguiente fuera de la otra línea PC. En este caso, la indicación no es que el proceso haya cambiado sino que se introdujo algún factor que amplió el patrón a un grado en que las piezas defectuosas son inevitables. Debe ponerse remedio inmediato a la causa del problema antes de poder continuar con el proceso. La zona dentro de las líneas PC es la "zona verde", entre estas líneas y los límites de especificación se encuentran la "zona amarilla"; fuera de los límites de especificación está la "zona roja". Para calificar un proceso para PRE-Control: 157

22 1. Se toman mediciones individuales sobre una característica hasta que cinco medidas consecutivas caigan dentro de la zona verde. 2. Si ocurre una amarilla, se reinicia el conteo. 3. Si ocurren dos amarillas consecutivas, se ajusta el proceso. 4. En cualquier momento que se hace un ajuste o que ocurre otro cambio de proceso, se vuelve a calificar el proceso. Cuando el proceso queda calificado, se aplican las siguientes reglas de PRE-Control al proceso en operación: 1. Se usa una muestra de dos medidas consecutivas, A y B. Si A es verde, el proceso continúa corriendo. Si A es amarilla, se toma la segunda medida, B. 2. Si A y B son ambas amarillas, debe detenerse el proceso e investigarse. Durante cualquiera de las dos etapas o corridas de calificación, si ocurre una medida roja, debe detenerse el proceso e investigarse. La mayor parte de los procesos requieren ajustes periódicos para permanecer dentro de las especificaciones. Se observan seis pares A, B de medidas entre ajustes; éstas son suficientes para proporcionar virtualmente ningún producto fuera de especificaciones. Así, si un proceso, por lo general, requiere un ajuste más o menos cada dos horas, entonces, aproximadamente cada 20 minutos debe tomarse un par A, B de medidas. El PRE-Control es un ejemplo de un concepto conocido como calibración de límite estrecho. Este concepto más amplio proporciona procedimientos de muestreo (tamaño de la muestra, localización de los límites estrechos y número permisible de unidades fuera de los límites estrechos) para cumplir con los riesgos de aceptar un producto defectuoso. Figura 33. Investigación documental Competencia de información. Investigar acerca de la evolución que ha sufrido la fase de control en el proceso de producción. El Alumno: - Investigará acerca de los avances que ha sufrido el control de procesos desde la revolución industrial. Sugerencias o notas Competencia Emprendedora. Seguir procedimientos para el control de procesos. El Alumno: - Explicará la las consecuencias de no seguir con los procedimientos elaboración de una grafica precontrol. 158

23 RESULTADO DE APRENDIZAJE 3.2 Aplicar graficas de control por atributos para monitorear y mantener la variación dentro de los límites establecidos a fin de establecer el estado de control estadístico del proceso Gráficas por Atributos Características El término variable para designar a las características de calidad cuantitativas que podían ser expresadas mediante un número real como, por ejemplo, una longitud, la resistencia a la rotura de un pasador, un peso, un voltaje, el contenido de un producto alimenticio envasado etc.,. Existen otras características de calidad que, por contra, no pueden ser representadas mediante un número por tratarse de características cualitativas, por ejemplo, la existencia o no de poros en una pieza metálica, el funcionamiento o no de un transistor, la aparición o no de burbujas o cráteres en la pintura del capó de un automóvil, etc., a estas características de calidad se les denomina atributos. A veces, características cuantitativas, a efectos del control de la calidad, pueden ser consideradas como atributos cuando sólo consideramos si se cumplen o no las especificaciones de calidad sin importamos cuál es el valor de dicha variable, lo que ocurre, por ejemplo, cuando utilizamos un calibre "pasa no pasa". El conocimiento de si una característica cumple o no las especificaciones para ella establecidas es más pobre y, por tanto, contiene menos información, que el conocimiento del valor exacto de esa magnitud cuantitativa, por lo que para tomar una decisión con el mismo riesgo de error hace falta un tamaño de muestra mayor en el primer caso que en el segundo. Se suele utilizar el término de pieza defectuosa para aquella pieza que incumple alguna prescripción de calidad y que, por tanto, tiene al menos un defecto. Así, una puerta de un automóvil que presenta en su pintura una raya es una pieza que por poseer un defecto o disconformidad se clasifica como defectuosa o disconforme. Aunque no sea fundamental para el desarrollo y uso de los gráficos de control por atributos, debemos señalar que los defectos pueden clasificarse como críticos, principales y secundarios. Cualquiera de estos tipos de defectos pueden ser objeto de un gráfico de control por atributos. En resumen, cualquier característica de calidad que pueda ser clasificada de forma binaria: "hay o no hay", "cumple o no cumple", funciona o no funciona", pasa o no pasa", "si o no" etc., a los efectos del control del proceso, será considerada como un atributo y para su control se utilizará un Gráfico de Control por Atributos. Existen 4 tipos de Gráficos de Control por Atributos. Los gráficos "np" y "p" se utilizan para controlar la proporción de piezas defectuosas que genera el proceso; el primero exige que el tamaño de muestra sea constante mientras que el segundo no. Los gráficos "c" y "u" sirven para controlar el número de defectos; el primero requiere que el tamaño de muestra sea constante mientras que esta exigencia no es necesaria en el gráfico 'u'. Gráfico np. El objeto de éste gráfico es controlar la proporción de piezas defectuosas que genera el proceso con el fin de que ésta proporción disminuya y, sobretodo de evitar que aumente. Implícitamente el uso de este tipo de gráficos conlleva la aceptación de que nuestro proceso genera piezas defectuosas. Lo ideal es conseguir el objetivo "cero defectos pero la aceptación de la existencia de piezas defectuosas no debe ser considerada como una actitud conformista sino realista y como un estímulo para lograr una mejora continuada de la calidad. Si la proporción de piezas defectuosas cuando el proceso funciona bien, el gráfico de control np no es más que el test de hipótesis. Gráfico p. Cómo el, gráfico anterior, el Gráfico p también sirve para controlar el porcentaje de piezas defectuosas que genera el proceso. 159

24 Se diferencian en que en el Gráfico p no es necesario que todas las muestras tengan el mismo tamaño n y en que en el gráfico np el estadístico a utilizar es el número de piezas defectuosas en cada muestra mientras que en el gráfico p se representa en el eje de ordenadas el estadístico proporción de piezas defectuosas en la muestra" ' es decir, el número de piezas defectuosas en la muestra dividido por el tamaño de muestra. Curva característica de los gráficos np y p. La curva característica de los gráficos anteriores es la representación gráfica de la probabilidad de aceptar que el proceso está bajo control en función de la proporción de piezas defectuosas verdadera y desconocida p que genera el proceso. Esta curva permite, por tanto, evaluar si el gráfico de control que estamos utilizando es suficientemente eficaz como para detectar variaciones importantes de p que deban ser encontradas y corregidas. La probabilidad de rechazar que el proceso funciona bien cuando realmente está bajo control es a (probabilidad de error de primera especie), cantidad pequeña y fijada de antemano. Sin embargo, dado un gráfico de control concreto, cuando el proceso funciona incorrectamente, la probabilidad p de aceptar que funciona bien (probabilidad de error de segunda especie) es función de p. si p es elevada y p también, será poco probable que el gráfico de control detecte que el proceso está fuera de control, siendo, por tanto, una herramienta poco eficaz para detectar la existencia de causas asignables. Tamaño de la muestra para los gráficos np y p. El tamaño de la muestra se determina mediante la fijación de dos puntos de la de la curva característica. Uno de ellos es el correspondiente al proceso bajo control y el otro es un punto cuya proporción de piezas defectuosas quiere se detectada con alta probabilidad. Gráficos de control para defectos. gráficos c y u De forma análoga a los Gráficos de Control np y p se utilizan los Gráficos c y u en los que en vez de contabilizar piezas defectuosas se cuentan defectos. En el Gráfico c se toman muestras de tamaño n, necesariamente constante, y se cuentan la cantidad de defectos en el conjunto de las piezas. Esta cantidad c es el estadístico a graficar. En el Gráfico u se toman muestras de tamaño ni, no necesariamente constantes y se contabilizan los defectos por unidad muestreada, es decir, el número total de defectos encontrados en la muestra dividido por el tamaño de la muestra. Los defectos por unidad muestreada u es el estadístico a graficar. En un mismo Gráfico de Control pueden considerarse todos los tipos de defectos, los de un grupo de defectos afines o sólo un tipo de defectos. En general, la variable x = e = "cantidad de defectos en una muestra aleatoria simple" se ajusta bien a la distribución de Poisson. No obstante, debemos recordar que una variable de Poisson no es más que una variable Binomial en la que n tiende a infinito y p a cero, siendo constante el producto k = np. Por tanto, se requiere que el número potencial de defectos sea infinito, que la aparición de uno de ellos en un punto concreto de la pieza sea prácticamente nula y que las variables dicotómicas que expresan la existencia o no de cada uno de estos defectos potenciales sean estadísticamente independientes. En determinados casos, por ejemplo, cuando se consideran conjuntamente defectos de muy diversa naturaleza o cuando siendo de la misma naturaleza se suelen presentar en grupos o conglomerados, el modelo de Poisson no explica bien el comportamiento del fenómeno. Entonces, otras distribuciones como las de Poisson compuestas o la Binomial negativa, según los casos, suelen ser adecuadas. 160

25 En particular, si los números Xi de defectos de los diversos tipos se distribuyen según variables de Poisson y son estadísticamente independientes, cualquier combinación lineal de ellos y, en particular, la suma, son, a su vez, variables de Poisson. Esto permite estudiar el total de todos ellos conjuntamente (suma) o una valoración ponderada de los defectos: Gráfico c. Este gráfico nos sirve para controlar la aparición de causas asignables que modifiquen la proporción de defectos que genera el proceso mediante el contraste de las hipótesis. Gráfico u. Este gráfico sirve para lo mismo que el gráfico c, la diferencia es que en este ultimo el tamaño de la muestra no es necesariamente constante y en que en el eje de ordenadas se grafica se grafica la proporción de defectos por unidad muestreada u en vez de la cantidad total de defectos en la muestra. Curva característica de los gráficos c y u. El calculo de la curva para estas graficas c y u se basa totalmente en la distribución de Poisson. Tamaño de la muestra para los gráficos c y u. El tamaño de la muestra se calcula haciendo que la curva característica pase por los puntos p. Investigación documental Competencia Tecnológica. Investigar el tipo de equipo que existe en el mercado y en el internet para el manejo de graficas de control por atributos. El Alumno: - Investigará los avances tecnológicos para el manejo de graficas de control por atributos Gráficas NP, Defectuosos Promedio de defectuosos Muchas características de calidad se evalúan dando resultados como: conforme o disconforme, defectuoso o no defectuoso. Estas características de calidad se conocen como atributos. Supongamos un proceso que fabrica tornillos. Una manera de ensayar cada tornillo sería probarlo con una rosca calibrada. Figura 35. El resultado de este ensayo sólo tiene dos posibles resultados: Defectuoso-No Defectuoso (ó Conforme-Disconforme). Figura 34. Figura

26 Si el tornillo no entra en la rosca, se lo considera defectuoso o disconforme. Para controlar este proceso, se puede tomar una muestra de tornillos y contar el número de defectuosos presentes en la muestra. Este resultado se anota en un gráfico hora por hora y se denomina gráfico np. Si se tomara del proceso un sólo tornillo Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Imaginando la población de tornillos que podría fabricar el proceso trabajando siempre en las mismas condiciones, una cierta proporción p de estos serían defectuosos. Entonces, la probabilidad de tomar un tornillo y que sea defectuoso es p. En una muestra de n tornillos, la probabilidad de encontrar: 0 defectuosos Figura 37. La variable aleatoria número de defectuosos es una variable aleatoria discreta, porque puede tomar un número finito de valores, o infinito numerable. Los gráficos np se utilizan para controlar el número de defectuosos en una muestra. Entonces, para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la línea de producción y cada hora retira una muestra de n=50 tornillos (por ejemplo), comprueba cada uno con la rosca y anota el número de defectuosos. 1 defectuoso 2 defectuosos n defectuosos Está dada por una distribución binomial con parámetros n y p. Como sabemos, el promedio de la población es p y la varianza es n.p.(1-p). Para construir los gráficos de control np, en una primera etapa se toman N muestras (más de 20 ó 25) a intervalos regulares, cada una con n tornillos. Se cuenta en cada muestra el Número de Defectuosos y se registra. Se obtendría una Tabla como la siguiente: Tabla 5. Figura 38. Muestra 1 3 Nº Defectuosos

27 Limites de control Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico np: Construimos entonces un Gráfico np de prueba y representamos el número de defectuosos en las muestras: En cada muestra, la fracción de defectuosos es: n Nº Defectuosos en muestra i Nº elementos en la muestra. Entonces, a partir de la tabla podemos calcular p como promedio de las fracciones de defectuosos en las muestras: Figura 39. Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar la producción futura. Investigación documental N N muestras Desviación estándar y luego la Desviación Standard s: Competencia de información. Investigar en internet y bibliografía acerca de las ventajas y limitaciones que se tienen en las graficas np. Competencia de información. Investigar en internet y bibliografía acerca de las ventajas y limitaciones que se tienen en las graficas np. 163

28 El Alumno: - Investigará en internet y bibliografías cuales son las limitaciones y ventajas que se tienen al utilizar las graficas np en un proceso de producción Gráficas P, Fracción Defectuosa Promedio de fracción defectuosa. Esta carta muestra las variaciones en la fracción o proporción de artículos defectuosos Por muestra o subgrupo. La carta p (proporción de defectuosos) es ampliamente usada para evaluar el desempeño de una parte o todo un proceso, tomando en cuenta su variabilidad y detectar así causas o cambios especiales en el proceso. De cada lote, embarque, pedido o de cada cierta parte de la producción, se toma una muestra o subgrupo de ni artículos, que puede ser la totalidad o una parte de las piezas bajo análisis. Las ni piezas de cada subgrupo son inspeccionadas y cada una es catalogada como defectuosa o no. Las características o atributos de calidad por lo que una pieza puede ser evaluada como defectuosa, puede ser más de uno; pero una vez determinados los atributos bajo análisis, se deben aplicar criterios y/o análisis bien definidos y estandarizados. Si de las ni piezas del subgrupo i, se encuentra que di son defectuosas (no pasan), entonces en la carta p se grafica y se analiza la variación de la proporción pi de unidades defectuosas por subgrupo: Desviación estándar. y luego la Desviación Estándar s: Límites de control Para calcular los límites de control se parte del supuesto de la cantidad de piezas defectuosas por subgrupo sigue una distribución binomial y a partir de esto se aplica el mismo esquema general, que señala que los límites están dados, donde W es el estadístico que se grafica en la carta. Por tanto en el caso que nos ocupa W = pi. Así, de acuerdo a la distribución binomial, se sabe que la media y la desviación estándar de una proporción están dadas, respectivamente, por: donde n es el tamaño de subgrupo y p es la proporción promedio de artículos defectuosos en el proceso. De acuerdo con esto, los límites de control en una carta p en la que se utiliza el mismo tamaño de subgrupo, están dados por: Si el tamaño de subgrupo n, es variable de muestra a muestra, en estos casos se tienen dos alternativas: la primera es usar el tamaño promedio de subgrupo TI, en lugar de n. La segunda es construir una carta de control con límites variables, que a p comentaremos más adelante. Si el promedio del proceso medido a través de p es desconocido, entonces será necesario estimarlo por medio de un estudio inicial. Por otro lado, cabe comentar que la forma en que se calculan los límites de la carta p supone que la distribución normal aproxima razonablemente bien a la distribución de las proporciones (distribución binomial), sin embargo cuando p o n son pequeños esta aproximación puede ser mala. En 164

29 estos casos y en general para interpretar la carta p se recomienda calcular los límites de una forma ligeramente diferente y se detalla al final de la presente sección. Ralladuras en la superficie. Rajaduras en el plástico Antena defectuosa Botón defectuoso. Los defectos pueden ser de diferentes tipos y se cuenta el total de todos estos defectos en la unidad inspeccionada. Obtenemos un resultado que es el Número de Defectos por unidad de inspección. Figura 40. Sugerencias o notas Competencia emprendedora Realizar la implementación de una grafica p en proceso productivo. El Alumno: - Realizará una justificación de por que es importante utilizar una grafica p en un proceso de producción mencionando en que etapa puede ser considerada Gráficas C, Número de Defectos. Figura 40. A medida que el proceso genera las unidades (Teléfonos celulares), retiramos una unidad a intervalos regulares y contamos el número total de defectos. En cada unidad podemos encontrar: 0 defectos 1 defecto 2 defectos 3 defectos n defectos Promedio de defectos En algunos procesos interesa medir la cantidad de defectos que presentan las unidades de producto que se están fabricando. Por ejemplo, se fabrican teléfonos celulares y entonces se toma uno de ellos y se cuenta el número total de defectos. Estos podrían ser: 165

30 Figura 41. Los resultados que obtenemos al contar el Número de defectos en unidades de inspección retiradas a intervalos regulares constituyen una variable aleatoria discreta, porque puede tomar valores 0, 1, 2, 3,... n. Esta variable aleatoria tiene una distribución de Poisson: Figura 42. Este resultado se anota en un gráfico hora por hora y se denomina gráfico C. De acuerdo a la Distribución de Poisson, si denominamos C al parámetro de la función de distribución, el promedio de la población es C y la varianza también es C. Para construir los gráficos de control C, en una primera etapa se toman N unidades de inspección (más de 25 ó 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada unidad de inspección el Número de Defectos y se registra. Se obtendría una Tabla como la siguiente: Tabla 6. Los gráficos C se utilizan para controlar el número de defectos en una muestra del producto o unidad de inspección. Entonces, para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la línea de producción y cada hora retira una unidad de inspección (En este caso un teléfono celular), verifica y anota el número total de defectos. Unidad de Inspección Núm. Defectos

31 Entonces, a partir de la tabla podemos calcular C como promedio del Número de Defectos en las muestras (Unidades de Inspección): ni Cantidad de Defectos por Unidad de Inspección N Número de Unidades de Inspección y luego la Desviación Estándar: Desviación estándar y luego la Desviación Estándar s: Límites de control Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico C: Figura 43. Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar la producción futura. Otro ejemplo sería controlar el número de defectos a la salida de una línea de ensamblado de licuadoras. De igual manera podría ser una línea de ensamblado de computadoras personales, cafeteras automáticas, televisores, etc. Cuando se fabrican pinturas y barnices, un ensayo muy común es hacer un extendido sobre una placa de vidrio, dejar secar el producto y luego inspeccionar los defectos en la superficie. En caso de que el Límite Inferior de Control resulte negativo, se le asigna valor cero. Construimos entonces un Gráfico C de prueba y representamos el número de defectos en las muestras: Se pueden aplicar los gráficos C para controlar este tipo de procesos, contando el número de defectos sobre la superficie del recubrimiento. En la industria textil también es necesario controlar defectos superficiales en las telas. Se pueden aplicar los gráficos C para controlar el número de defectos sobre la superficie de un área rectangular de tela. Muchas veces ocurre que las unidades que produce el proceso presentan una tasa de defectos muy baja. 167

32 Ejemplo Supongamos un proceso automatizado que fabrica tarjetas de sonido. desea controlar el promedio de defectos por cada licuadora (unidad de producción) en lugar del total de defectos para las 5 licuadoras (unidad de inspección): A la salida del mismo se inspecciona una tarjeta a intervalos de media hora y se cuenta el número de defectos. El resultado seguramente será algo como esto: Tabla 7. Tarjeta Núm. Defectos ni Cantidad de Defectos por Unidad de Inspección m Núm. de Unidades de Producción en la Unidad de Inspección En nuestro ejemplo, si encontramos ni defectos en la unidad de inspección (5 licuadoras), la cantidad promedio de defectos por licuadora será: etc - Esto se debe a que la fabricación se realiza por medio de un proceso totalmente automatizado donde ocurren pocos errores. Por lo tanto, el promedio de defectos será cercano a cero y el Límite Inferior de Control seguramente será negativo. Para evitar esto, es conveniente redefinir la Unidad de Inspección. Por ejemplo, se puede tomar como unidad de inspección la cantidad de 100 tarjetas de sonido. Es decir, cada media hora se retiran del proceso 100 tarjetas y se cuentan los defectos del total de las mismas. De esta manera la cantidad de defectos promedio por unidad de inspección será más alta. Y es posible también que el LIC sea mayor que cero. Supongamos que se está controlando el número de defectos en un proceso de ensamblado de licuadoras y se define una unidad de inspección de 5 licuadoras. En este caso es posible trabajar con un gráfico C, como ya hemos visto. Pero tal vez se Se debe tener en cuenta que x es una nueva variable aleatoria discreta que toma valores 0, 1/m, 2/m, 3/m, 4/m,...etc., y cuya distribución de probabilidades se puede calcular a partir de la Distribución de Poisson. Como en el caso de los gráficos C, en una primera etapa se toman N unidades de inspección (más de 25 ó 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada unidad de inspección el Número de Defectos y se registra. Luego se divide el Número de Defectos de cada unidad de inspección por m (Número de unidades de producción en cada unidad de inspección). En nuestro ejemplo (m = 5) la Tabla quedaría así: Tabla 8. Unidad Inspección de Núm. Defectos Núm. Defectos por Licuadora

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