UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO

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1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO DIVISIÓN DE CIENCIAS FORESTALES DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA, MATEMÁTICA Y CÓMPUTO CONTROL ESTADÍSTICO DE CALIDAD. DIAGRAMAS DE CONTROL DE SHEWHART. UNA APLICACIÓN PRÁCTICA EN EL PRODUCTO TERMINADO HARINA DE CARNE. TESIS PROFESIONAL Que como requisito parcial para obtener el título de: LICENCIADO EN ESTADÍSTICA PRESENTA: RAÚL DANIEL CHABLÉ HAU Chapingo, México. Marzo de 2006.

2 Í N D I C E G E N E R A L RESUMEN... I SUMMARY...II. INTRODUCCIÓN..... Situación de la Industria de los alimentos balanceados en México Antecedentes OBJETIVOS Objetivo principal Objetivos específicos HIPÓTESIS JUSTIFICACIÓN MARCO TEÓRICO Conceptos estadísticos básicos Estadística Población y muestra Tipos de variables estadísticas Distribuciones de frecuencias Representaciones gráficas Medidas de posición, dispersión y forma Medidas de posición Media aritmética Mediana Moda Medidas de dispersión Desviaciones medias Varianza, cuasivarianza, desviación típica y error estándar Medidas de forma Coeficiente de asimetría de Fisher Coeficiente de curtosis La Distribución Normal Definición formal Propiedades de la distribución normal Pruebas de hipótesis Tipos de error en una prueba de hipótesis Pruebas de Normalidad Gráficas de probabilidad normal Test de Kolmogorov-Smirnov Diagramas de control Variación: causas fortuitas y causas atribuibles Definición de una gráfica de control Límites de control Tamaño de muestra y frecuencia de muestreo Teoría de las tandas Criterios de fuera de control Corrección y ajuste de los diagramas de control Tipos de diagramas de control Diagramas de control R Diagramas de control X...35

3 5.7.9 Análisis de capacidad del proceso METODOLOGÍA PRUEBAS DE NORMALIDAD DESCRIPCIÓN DE RESULTADOS Análisis de la capacidad del proceso y gráficas de control, variable: Proteína Análisis de la capacidad del proceso y gráficas de control, variable Grasa Análisis de la capacidad del proceso y gráficas de control, variable Humedad Análisis de la capacidad del proceso y gráficas de control, variable Cenizas Análisis de la capacidad del proceso y gráficas de control, variable Calcio Análisis de la capacidad del proceso y gráficas de control, variable Fósforo Análisis de la capacidad del proceso y gráficas de control, variable Tamizado Análisis de correlaciones CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES...60 Conclusiones...60 Recomendaciones BIBLIOGRAFÍA...62 ANEXO: TABLA DE DATOS MUESTRALES...65 ANEXO 2: TABLA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR Y KOLMOGOROV-SMIRNOV...69 ANEXO 3: GRAFICAS DE PROBABILIDAD NORMAL...7 ANEXO 4: TEST DE KOLMOGOROV-SMINRNOV...75 ANEXO 5: GRÁFICAS DE CORRELACIONES DE PEARSON...79

4 Í N D I C E D E T A B L A S Y F I G U R A S TABLA 5. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE UNA VARIABLE....2 TABLA 5.2 SITUACIONES POSIBLES EN UN CONTRASTE DE HIPÓTESIS...27 TABLA 7. TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV. (MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DESCONOCIDAS)...42 TABLA 8. LÍMITES DE ESPECIFICACIÓN DADOS POR LA EMPRESA PARA ESTAS VARIABLES TABLA 8.2 CORRELACIONES DE PEARSON...59 TABLA A. DATOS TOMADOS POR INTERVALOS DE TIEMPO...65 TABLA A2. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR TABLA A2.2 DISTRIBUCIÓN DEL ESTADÍSTICO DE KOLMOGOROV-SMIRNOV (DN) TABLA A4. TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV. VARIABLE: PROTEINA...75 TABLA A4.2 TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV. VARIABLE: GRASA...75 TABLA A4.3 TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV. VARIABLE: HUMEDAD...76 TABLA A4.4 TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV. VARIABLE: CENIZAS...76 TABLA A4.5 TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV. VARIABLE: CALCIO...77 TABLA A4.6 TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV. VARIABLE: FOSFORO...77 TABLA A4.7 TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV. VARIABLE: TAMIZADO...78 GRÁFICA.. MUNDO. PRINCIPALES PAÍSES PRODUCTORES DE ALIMENTOS BALANCEADOS EN EL AÑO GRÁFICA 5.. DISTRIBUCIÓN NORMAL GRÁFICA 5.2. DIAGRAMA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LAS GRÁFICAS X R...37 GRÁFICA 8.. CONTROL DE RANGOS, VARIABLE PROTEÍNA...44 GRÁFICA 8.2. CONTROL DE MEDIAS, VARIABLE PROTEÍNA...44 GRÁFICA 8.3. ANÁLISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO, VARIABLE PROTEÍNA...45 GRAFICA 8.4. CONTROL DE RANGOS, VARIABLE GRASA...47 GRAFICA 8.5. CONTROL DE MEDIAS, VARIABLE GRASA...47 GRÁFICA 8.6. ANÁLISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO, VARIABLE GRASA...48 GRÁFICA 8.7. CONTROL DE RANGOS, VARIABLE HUMEDAD GRÁFICA 8.8. CONTROL DE MEDIAS, VARIABLE HUMEDAD GRÁFICA 8.9. CAPACIDAD DEL PROCESO, VARIABLE HUMEDAD GRÁFICA 8.0. CONTROL DE RANGOS VARIABLE CENIZAS....5 GRÁFICA 8.. CONTROL DE MEDIAS, VARIABLE CENIZAS....5 GRÁFICA 8.2. ANÁLISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO, VARIABLE CENIZAS...52 GRÁFICA 8.3. CONTROL DE RANGOS, VARIABLE CALCIO...53 GRÁFICA 8.4. CONTROL DE MEDIAS, VARIABLE CALCIO...53 GRÁFICA 8.5. ANÁLISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO, VARIABLE CALCIO...54 GRÁFICA 8.6. CONTROL DE RANGOS, VARIABLE FÓSFORO GRÁFICA 8.7. CONTROL DE MEDIAS, VARIABLE FÓSFORO GRÁFICA 8.8. CAPACIDAD DEL PROCESO, VARIABLE FÓSFORO...56 GRÁFICA 8.9. CONTROL DE RANGOS, VARIABLE TAMIZADO...57 GRÁFICA CONTROL DE MEDIAS, VARIABLE TAMIZADO GRÁFICA 8.2. ANÁLISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO, VARIABLE TAMIZADO...58 GRÁFICA A3. DE PROBABILIDAD NORMAL, VARIABLE PROTEÍNA...7 GRÁFICA A3.2 DE PROBABILIDAD NORMAL, VARIABLE GRASA...7 GRÁFICA A3.3 DE PROBABILIDAD NORMAL, VARIABLE HUMEDAD...72 GRÁFICA A3.4 DE PROBABILIDAD NORMAL, VARIABLE CENIZAS...72 GRÁFICA A3.5 DE PROBABILIDAD NORMAL, VARIABLE CALCIO...73 GRÁFICA A3.6 DE PROBABILIDAD NORMAL, VARIABLE FÓSFORO...73 GRÁFICA A3.7 DE PROBABILIDAD NORMAL, VARIABLE TAMIZADO...74

5 R E S U M E N El análisis estadístico es indispensable para una toma adecuada de decisiones. Es imprescindible tener un resultado resumido y fácil de entender de los datos obtenidos en cualquier nivel, las herramientas estadísticas nos pueden ofrecer esta información con un grado de confiabilidad en los resultados obtenidos. En una industria de alimentos balanceados, como la mexicana, con un crecimiento anual de 6.2%, compitiendo con empresas de calidad comprobada a nivel mundial, el proceso de control de calidad no debe pasar desapercibido. Es en este escenario en el que el control de calidad es importante, específicamente el control estadístico de la calidad, y con ella, la implementación de gráficas de control. En este trabajo se realizan gráficas de control de Shewhart en el producto terminado harina de carne, un insumo en la elaboración de alimentos balanceados, y se señalan las conclusiones que se pueden obtener del análisis de estas gráficas. Entre los resultados más importantes se notó que en el periodo de estudio el proceso no fue capaz de producir bajo los límites de especificación pedidas ni bajo los límites naturales del proceso, aunque también notamos que bajo los límites de especificación se obtuvo menos porcentaje de producción defectuosa, debido a que los límites son más amplios. Entre las características de calidad se detecto la influencia negativa que tiene para la Proteína las altas concentraciones Grasa, Calcio y Cenizas y viceversa. Caso contrario con el Tamizado pues a mejor Tamizado mejores concentraciones de Proteína se presentan. Finalmente se logra aprecias la gran utilidad que representa contar con una herramienta visual como son los diagramas de control de Shewhart en el proceso de control y seguimiento de la calidad ya sea en procesos o en producto terminado. Palabras clave: Control estadístico de calidad, gráficas de control de Shewhart, harina de carne, alimento balanceado animal. i

6 S U M M A R Y The statistical analysis it is indispensable for a successful decision making. It is essential to have summarized and easy to understand result of data collected at any level, for this, the statistical tools give trustworthiness us in the analyzed information. In a Mexican industry like balanced animal foods with an annual growth of 6.2%, competing with companies of verified quality at world-wide level, the process of quality control does not have to happen unnoticed, is in this scene that the quality control it is important, specifically the statistical control of the quality, and with this the implementation of quality control graphs. In this work, Shewhart control charts was made of brief way in the process of meat flour production, in the balanced food elaboration, and the conclusions of the elaboration from these charts can be obtained. Between the most important results we noticed that in the period of study the process was not able not to produce under the requested limits of specification or under the natural limits of the process, although also we noticed that under the specification limits percentage of defective production was obtained the less, because the limits are the more ample. Between the quality characteristics we detect the negative influence that it has for the Protein the high concentrations of Greasy, Calcium and Ashes and vice versa. Opposite case with the Sifted one then to better Sifted better Protein concentrations appears. Finally it is obtained the appreciate of the great utility that represents to count on a visual tool as they are the graphs of control of Shewhart in the process of control and pursuit of the quality or in processes or finished product. Key words: Statistical Quality Control, Shewhart control charts, meat flour, balanced animal feed ii

7 . I N T R O D U C C I Ó N El análisis estadístico es indispensable para una toma adecuada de decisiones. Es imprescindible tener un resultado resumido y fácil de entender de los datos obtenidos en cualquier nivel, además de esto las herramientas estadísticas con la ayuda de las probabilidades nos dan confiabilidad en la información analizada, simplificando grandemente el manejo de los datos y reduciendo el número de éstos, por medio de los muestreos que garanticen la confianza necesaria para la toma de decisiones. En este sentido, es importante la aportación del análisis estadístico para mejorar de los procesos de producción. En este trabajo se realiza el diagnóstico de la harina de carne, por medio de un control estadístico en el producto terminado, el cual es un insumo para la elaboración de alimentos balanceados de consumo animal. La meta de cualquier industria competitiva, respecto a la calidad del producto, se puede exponer claramente: suministrar un producto o servicio en el cual su calidad haya sido diseñada, producida y sostenida a un bajo costo económico y que satisfaga por entero al consumidor. El aseguramiento de la calidad es un sistema efectivo de los esfuerzos de varios grupos, en una empresa, para la integración del desarrollo, del mantenimiento y de la superación de la calidad con el fin de hacer posibles mercadotecnia, ingeniería, fabricación y servicio a satisfacción del consumidor y al costo más económico. La amplitud esencial para el logro de los resultados del negocio hace del control de calidad un nuevo e importante aspecto de la administración. Con un poco de liderazgo administrativo y técnico el control de calidad ha producido mejoras importantes en la calidad y confiabilidad del producto para muchas empresas en todo el mundo. Además, el control de calidad ha logrado reducciones importantes y progresivas en los costos de producción. Por medio del aseguramiento de la calidad, las gerencias de las compañías han sido capaces de aprovechar la fuerza y confianza de la calidad de los productos y servicios, lo que les permite adelantarse en el volumen de mercado y ampliar la mezcla de productos con un alto grado de aceptabilidad del cliente y de estabilidad en utilidades y crecimiento. En la confiabilidad y la calidad del producto, la Estadística tiene fuerte injerencia, desde la aparición de lo que conocemos como el control de calidad moderno. El libro de Walter Shewhart Economic Control of Quality of Manufactured Products (Control Económico de la Calidad de Productos Manufacturados),

8 plantea los principios básicos del control de la calidad, sobre la base de métodos estadísticos, centrándose en el uso de Cuadros de Control. Fue el paso inicial hacia lo que el denominó la formulación de una base científica para asegurar el control económico de la calidad, por lo que se le considera el padre del Control de Calidad Moderno. Después de los aportes de Shewhart, en 94 y 942, se aprobaron y publicaron los "Estándares Z" conocidos como los estándares de la Guerra, que enfocaban el uso de los Cuadros de Control para el análisis de datos y su aplicación durante la producción. En 94 Leslie E. Simons publicó " Un Manual de Métodos Estadísticos para Ingenieros. Estos aportes eran lo único con que se contaba en el campo del control de calidad durante los años cuarenta en el mundo occidental, donde hasta ese momento la calidad y el mejoramiento no tenían ninguna importancia para las empresas. Fue hasta 947, cuando un grupo de empleados de Johns- Manville terminaron de rodar y editar un video llamado " Control de Calidad Moderno " con el objetivo de promover los aspectos básicos del control de calidad en su empresa entre los empleados e indirectamente a la gerencia: cuadros de control, histogramas, límites para gráficas de barras y cuadros R, así como muestreo. Fue tan exitoso, que trascendió a la empresa y fue utilizado en muchas otras durante décadas. Sin embargo: la conciencia real sobre la importancia del control de la calidad no se asentó en occidente sino hasta los años SITUACIÓN DE LA I NDUSTRIA DE LOS ALIMENTOS BALANCEADOS EN M ÉXICO De acuerdo con la Sección de Fabricantes de Alimentos Balanceados para Animales de CANACINTRA, en México existen 400 plantas, en las cuales están incluidas las comerciales y las integradas, entre ambas generaron una producción en el año 2004 de 23,950 mil toneladas. Con este volumen de producción México se ubica en el cuarto lugar de importancia como se observa en la gráfica.. 2 Aunque algunos autores dan esta paternidad a Deming, debemos considerar que los estudios de Deming se basaron inicialmente en los de Shewhart. 2 Texto y gráfica obtenidos del documento Análisis estadístico y económico para diagnosticarla calidad y optimizar el proceso de manufactura en alimentos balanceados, presentado como tesis doctoral por el Dr. Óscar Sanchez y actualizada para datos de

9 Grafico. Mundo. Principales países productores de alimentos balanceados. Fuente: CANACINTRA, 2005, La Industria alimenticia animal en México Alemania 9. España 0. Holanda 7. Canadá. EUA 6. Francia 5. Japón 4. México 3. Brasil 2. Rep. Pop. China Gráfica.. Mundo. Principales países productores de alimentos balanceados en el año A nivel nacional esta industria ha crecido, generando 40,000 empleos directos y 200,000 en forma indirecta. Después de la crisis de 995 y el posterior incremento en los precios internacionales de los granos, la producción de alimentos balanceados tuvo una contracción importante en 996, llegando a su nivel más bajo de la década de los años 90, pero logrando una recuperación posterior a esa fecha, con una tasa media de crecimiento de 6.2 por ciento hasta el El presente trabajo aporta un ejemplo sobre la manera en que la Estadística y el Control de Calidad ayudan a mejorar los procesos de producción para esta industria que ha tenido un desarrollo muy fuerte en el país y en particular en los procesos de producción de harina de carne. 3 Asamblea Anual de la Sección 49 de CANACINTRA-Alimentos Balanceados, Mazatlán, Sinaloa, abril

10 .2. ANTECEDENTES Los sistemas de control de calidad en la producción de alimentos tanto para consumo humanos como para animales se diseñan para proteger la salud y bienestar del consumidor, promover el desarrollo del comercio de alimentos y productos de alimentos así como proteger los intereses del productor, envasador o comerciante de alimentos contra la competencia desleal y deshonesta. La FAO, entre otras naciones y organismos, con la ayuda de la Autoridad de Desarrollo Internacional Sueca (SIDA.) ha publicado una serie de artículos denominados Modelos de control del calidad de los alimentos, en el que se enumeran los pasos a seguir para obtener un producto final (en este caso alimento) con calidad. En el caso de harina de carne, que es un producto obtenido por calentamiento, molturación y desecación de animales de sangre caliente y subproductos de matadero, estos sistemas de calidad no pasan desapercibidos. Debe estar prácticamente exento de pelos, plumas, cerdas, cuernos, cascos y contenidos digestivos. El proceso de fabricación incluye: i) Molturación para facilitar un procesado térmico homogéneo, ii) iii) Cocción (a 33 C durante 20 minutos a 3 bares de presión) para esterilizar el producto y fundir la grasa y Sedimentación y separación de parte de la grasa. Su digestibilidad media en animales adultos es elevada (82-85%) y depende del tipo de animal del cual procede, de la calidad de la materia prima original (acidez inicial) y de la condiciones del proceso, es aquí donde las herramientas del control estadístico son útiles. 4

11 2. O B J E T I V O S 2.. OBJETIVO PRINCIPAL Analizar las variables de calidad del producto, harina de carne y determinar si se encuentran dentro de los estándares de calidad para emitir recomendaciones generales sobre el proceso, utilizando los gráficas de control de Shewhart OBJETIVOS ESPECÍFICOS o Obtener datos y generar gráficas de control para cada variable de interés en este caso e identificar las posibles causas de las variaciones. o Emitir recomendaciones sobre las variables medidas para aumentar la calidad y productividad de la empresa. o Determinar por medio de un diagnóstico general el estado actual de la producción de la empresa y el potencial que podría alcanzar optimizando su producción, mediante la toma y utilización de información objetiva y sistematizada y el uso de herramientas estadísticas que le permita alcanzar este estado. 5

12 3. H I P Ó T E S I S Las características de calidad medidas en el producto terminado harina de carne, cumplen con las especificaciones de calidad del producto. 4. J U S T I F I C A C I Ó N En los tiempos actuales es obvio que se vive en un mundo capitalista que se atiene a las demandas de un mercado cada día más grande y exigente. Bajo este panorama, una manera de tener oportunidad de competir, es ofrecer un producto de alta calidad, y en este punto es donde es importante recalcar la importancia del control estadístico de calidad, ya que nos permite medir variables utilizando las herramientas estadísticas que nos serán de gran ayuda para la toma de decisiones, dado que en el mercado globalizado que estamos viviendo, es necesario que se respalde la calidad de los productos o servicios mediante una evidencia estadística válida y entendible; de manera que las normas internacionales de calidad como las ISO 9000, ISO 4000, ISO 8000, HACCP, entre otras, son en gran parte certificadas por las evidencias estadísticas que existan en el sistema. En México este tipo de herramientas empieza a conocerse y a despertar interés en empresas de pequeño y mediano tamaño, que antes eran de uso exclusivo de grandes empresas, como las transnacionales. El presente trabajo es una muestra de la utilización de una herramienta del control estadístico de calidad: los diagramas de control de Shewhart. 6

13 5. M A R C O T E Ó R I C O 5.. CONCEPTOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS En este apartado se realizará una breve revisión de conceptos y definiciones básicas en estadística. Esta introducción tiene la finalidad de dar un panorama general de la misma y de identificar las herramientas o conceptos que se mencionan en este trabajo. Se define primero el concepto moderno de Estadística para después definir los conceptos de rigor: variable estadística, población y muestra y se irán desarrollando los conceptos generales de la estadística descriptiva de los que haremos uso, para finalmente definir algunos conceptos de las herramientas del control estadístico de la calidad y los métodos estadísticos en los que se sustenta. Debido a que existen varias definiciones de Estadística, en este trabajo se haremos uso de la siguiente definición. 5.. ESTADÍSTICA "Ciencia que se ocupa del estudio de fenómenos de tipo genérico, normalmente complejos y enmarcados en un universo variable, mediante el empleo de modelos de reducción de la información y de análisis de validación de los resultados en términos de representatividad". La información puede ser numérica, alfabética o simbólica. Consta de las fases de recogida de información, de análisis y de presentación e interpretación de los resultados y elaboración de métodos (Sanchez-crespo y Manzano, 2005). Definida así la Estadística, se evita hacer mención a sí es o no una rama de las matemáticas, visión que pudiera ser considerada limitada, al tiempo que se establece su carácter genérico y su campo de acción en el estudio de fenómenos complejos ubicados en un universo amplio y variable. Con esta afirmación, de complejidad, se introduce el factor de incertidumbre que acompaña a los fenómenos aleatorios pero sin limitar el campo de la Estadística de forma que puede aplicarse también a fenómenos determinísticos. Con la referencia al universo se expresa la relación acerca de que los datos estadísticos lo son en un contexto (D.S. Moore, 992). La definición continúa estableciendo los procedimientos que 7

14 utiliza, que tienen en común reducir la información. Modelos de este tipo comprenden desde el cálculo de la media aritmética hasta la determinación de complicados modelos de correlación canónica. El último aspecto que consideramos importante es el de la referencia a los análisis de validez de los resultados en términos de representatividad. Con esta especificación podemos diferenciar lo que es una simple operación aritmética de lo que es una cifra o un estudio estadístico. Como regla general podríamos establecer que un estudio será estadístico cuando a los modelos de reducción empleados le acompañe, o sea posible realizar, un análisis de validez de los resultados obtenidos en términos de representatividad. En cuanto al tipo de información los datos pueden ser cuantitativos, cualitativos o incluso existe una rama de la Estadística que se ocupa de lo que se denomina datos simbólicos (por ejemplo en los accidentes de coche determinar el entorno mediante valoraciones: visibilidad, existencia de árboles en el entorno, curvas, lluvia, velocidad. El resto de la definición aborda cuestiones relacionadas con el uso de la palabra estadística en el lenguaje POBLACIÓN Y MUESTRA Población: es el conjunto de todos los elementos que cumplen ciertas propiedades y entre los cuales se desea estudiar un determinado fenómeno. Llamamos población estadística o universo al conjunto de referencia sobre el cual van a recaer las observaciones. Muestra: es el subconjunto de la población que es estudiado y a partir de la cual se sacan conclusiones sobre las características de la población. La muestra debe ser representativa, en el sentido de que las conclusiones obtenidas deben servir para el total de la población. Variable: se denomina variable estadística al conjunto de los distintos valores que adopta un carácter cuantitativo o cualitativo. En palabras coloquiales, variable es la característica que se desea medir TIPOS DE VARIABLES ESTADÍSTICAS Variable cualitativa: es aquella que expresa un atributo, ejemplo: rubio, moreno, etc. Variable cuantitativa: es aquella que podemos expresar numéricamente: edad, peso, número de hijos, etc. Esta a su vez la podemos subdividir en: 4 Sobre la definición de Estadística, Gonzalo Benitez, Delegado del Instituto Nacional de Estadística en Cantabria, Vicente Manzano Arrondo, Profesor titular de la universidad de Sevilla,

15 Discretas: aquellas que toman valores aislados (números naturales), y que no pueden tomar ningún valor intermedio entre dos consecutivos fijados, por ejemplo: número de goles marcados, número de hijos, número de discos comprados, número de pulsaciones, etc. Continuas: aquellas que toman infinitos valores (números reales) en un intervalo dado, de forma que pueden tomar cualquier valor intermedio, al menos teóricamente, en su rango de variación, por ejemplo: talla, peso, presión sanguínea, temperatura, etc. 5.2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS Cuando los datos de una variable están dispersos, esta dispersión sigue un cierto patrón. Inicialmente los datos no dicen nada por sí mismos, pero si los agrupamos en clases o celdas ordenadamente, puede aclararse la forma de su dispersión, es decir, puede apreciarse como están distribuidos. Esta forma de la distribución de los datos, inherente a su variabilidad, se denomina distribución de frecuencias REPRESENTACIONES GRÁFICAS Generalmente es posible ver la forma general de una distribución si se recogen cien o más valores y se prepara convenientemente una tabla de frecuencias. Pero la distribución se puede ver aun con mayor claridad, en forma de representación grafica, mediante un histograma de frecuencias. El histograma es una representación visual de los datos en la que pueden observarse fácilmente tres propiedades esenciales de una distribución como son: Forma, tendencia central o acumulación y dispersión o variabilidad. De esta forma, el histograma aproxima a una idea del proceso, lo que un simple examen de los datos tabulados no hace. Existen varios métodos para construir histogramas. Cuando los datos son numerosos, es muy útil reunirlos en clases y es recomendable utilizar entre 4 y 20 clases. Usualmente se elige un número total de clases igual o aproximado a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Las clases deben tener amplitud uniforme y se construye la primera de ellas comenzando con un limite inferior solo un poco menor que el valor más pequeño de los datos. Se construye la última clase finalizando con un limite superior sólo un poco mayor que el valor más grande de los datos. Para realizar el histograma se marcan las clases sobre el eje de abscisas, y sobre cada clase se levanta un rectángulo de altura proporcional al numero de observaciones de la variable (frecuencia absoluta) que caen en la clase. 9

16 El agrupamiento de los datos en clases condensa los datos originales, lo que da como resultado una pérdida de detalle. Así, cuando el número de observaciones es relativamente pequeño, o cuando las observaciones sólo toman pocos valores, puede construirse el histograma a partir de la distribución de frecuencias de los datos sin agrupar, dando lugar a los diagramas de barras. Las distribuciones de frecuencias son la herramienta más sencilla, útil y eficaz cuando estamos rodeados de una cantidad grande de datos, que dicen poco si únicamente se enumeraran. Al expresarlos en esta forma, ya proporcionan mas ideas. Puesto que se utilizan muy a menudo en el control de calidad, es necesario conocer la finalidad de las misma su interpretación y uso. Dada la importancia de las distribuciones de frecuencias, derivada de que en todo proceso hay un momento en el que se contará con un conjunto de datos sobre las variables a tratar, es de gran importancia formalizar el proceso de obtención, ordenación y presentación de los datos que, en la mayoría de las ocasiones, estarán dispuestos en tablas de frecuencias de simple o doble entrada que sirven para analizar las distribuciones de las variables. Dada una variable X con valores aparecen una serie de conceptos generales que se mencionan a continuación: x x,, x, 2 N Frecuencia absoluta (n i ). Se denomina frecuencia absoluta del valor x i de la variable X, el número de veces n i que se repite ese valor. Frecuencia relativa (f i ): Se denomina frecuencia relativa del valor x i de la variable X a la relación por cociente entre el número de veces que aparece el valor x i y el número total de valores de la variable (N), o sea, f i = ni / N. Frecuencia absoluta acumulada (N i ). Se denomina frecuencia absoluta acumulada del valor xi a la suma de las frecuencias absolutas de los valores de la variable X anteriores o iguales a xi. Su valor es: n N i = n i i= 0 donde i = (, 2, 3 n) Frecuencia relativa acumulada (Fi). Es la frecuencia absoluta acumulada dividida por el número total de valores de la variable. Su valor es F i = N i / N. 0

17 De todas estas definiciones se extraen lo siguiente: o La suma de las frecuencias absolutas sin acumular es igual al número total de elementos n i ( = N) o La última frecuencia relativa acumulada es el total de elementos (N). o La suma de todos las frecuencias relativas acumuladas es igual a uno. o La última frecuencia relativa acumulada es la unidad. Al conjunto de valores que ha tomado una variable, junto con sus frecuencias, se le denomina distribución de frecuencias de la característica o variable. Para que una distribución de frecuencias quede determinada es necesario conocer todos los valores de la variable y cualesquiera de los conceptos de frecuencia que acabamos de definir, ya que el paso de uno a otro es inmediato. Además, según la forma en que se presenten los valores de la variable será posible distinguir dos tipos de distribuciones de frecuencias: a) Las que no están agrupadas en intervalos, que surgen cuando la información se dispone asociando a cada valor o categoría de la variable su frecuencia. b) Aquellas cuyos valores observados generalmente aparecen agrupados en intervalos o clases [L i, L i ] debido al elevado número de observaciones, y, por tanto, las frecuencias correspondientes a cada intervalo se obtienen sumando las de los respectivos valores de la variable que contiene. Cuando se trabaja con distribuciones agrupadas por intervalos o clases es necesario que las frecuencias observadas se asignen de alguna forma a los puntos del intervalo. Se podrá optar por suponer que los valores del intervalo se distribuyen uniformemente a lo largo de él o por considerar como representativo de todos los puntos del intervalo un único valor, por ejemplo, el punto medio del mismo, que denominaremos marca de clase (Xi) y que, en consecuencia, se obtendrá mediante X i Li L 2 i =

18 Aunque la agrupación de valores tiene la ventaja de simplificar el manejo de la información, presenta en cambio un importante inconveniente consistente en la pérdida, en mayor o menor medida, de una parte de dicha información. La distribución de frecuencias de una variable suele presentarse ordenadamente mediante una tabla de frecuencias como la expuesta en la Tabla : Tabla 5. Distribución de frecuencias de una variable. I i X i n i f i N i F i [L 0, L i ] [L,L 2 ] [L 2, L 3 ] [L k, L k ] x x 2 x 3 x k n, n 2 n 3 n k f =n /N f 2 =n 2 /N f 3 =n 3 /N f k =n k /N N =n N 2 =n +n 2 N 3 =n +n 2 +n 3 N k =n +...+n k =N F =N /N F 2 =N 2 /N F 3 =N3/N F k =N k /N= n i =N f i = En cuanto al número de intervalos, K, a considerar se puede tener en cuenta la fórmula de Sturges: [ 3.3log( )] K = E + N, o también K = N, donde N es el tamaño de la muestra. 5.3 MEDIDAS DE POSICIÓN, DISPERSIÓN Y FORMA Una vez definidos los conceptos básicos en el estudio de una distribución de frecuencias de una variable, se abordan las distintas formas de resumir dichas distribuciones mediante medidas de posición (o de centralización), teniendo presente el error cometido en el resumen mediante las medidas de dispersión. A su vez se analiza la forma de la distribución mediante las medidas de forma. El histograma de frecuencias ya nos daba una representación visual de las tres propiedades más importantes de los datos muestrales relativos a variables: la forma de su distribución, su tendencia central y su dispersión. Ahora se trata de cuantificar estos conceptos MEDIDAS DE POSICIÓN Se trata de encontrar medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se 2

19 encuentran distribuidos los valores de la variable. El valor de la variable elegido para representar a una distribución se llama promedio o medida de posición y es un valor representativo de todos los valores que toma la variable. Estas medidas de posición de una distribución de frecuencias han de cumplir determinadas condiciones para que sean verdaderamente representativas de la variable a la que resumen. Toda síntesis de una distribución se considerará como operativa si intervienen en su determinación todos y cada uno de los valores de la distribución, siendo única para cada distribución de frecuencias y siendo siempre calculable y de fácil obtención. A continuación se relacionan las medidas de posición más comunes utilizadas en Estadística MEDIA ARITMÉTICA Se define como la suma de todos los valores de la distribución dividida por el número total de datos. La expresión matemática que representa la media aritmética coincide con el momento de primer orden respecto al origen. Pero esto sólo es válido en el supuesto más sencillo en que los datos de la variable estén sin agrupar. En el caso de que se tenga una distribución con datos agrupados en intervalos, los valores individuales de la variable serán desconocidos y, por tanto, no podríamos utilizar la formula anterior. Bajo este supuesto los datos estarán agrupados en clases, y se postula la hipótesis de que el punto medio del intervalo de clase (marca de clase) representa adecuadamente el valor medio de dicha clase, y se aplica la formula original de la media simple para dichos valores. En el caso de que la variable presente valores anormalmente extremos, éstos pueden distorsionar la media aritmética, haciéndola incluso poco representativa. A los estadísticos que no son afectados por los valores extremos de la muestra se les denomina estadísticos robustos. La media no es un estadístico robusto. Como veremos posteriormente, este inconveniente no afecta a la mediana. Si la distribución de frecuencias es (xi, ni), siendo xi los valores de la variable o las marcas de clase, y siendo ni las frecuencias absolutas, la media aritmética, que representaremos por X, se define como sigue: X = N k i= x i n i 3

20 MEDIANA Se define como mediana el valor de la distribución, ordenada de menor a mayor, que deja a su izquierda y a su derecha la misma frecuencia de observaciones, es decir, el valor de la variable que ocupa el lugar central, supuesto un número impar de datos. Si el número de datos fuese par puede decirse que hay dos valores medianos, y se toma como mediana la media aritmética entre ellos. También se podría definir como aquel valor de la distribución cuya frecuencia absoluta acumulada es N/2 ( N = ni ). Para distribuciones agrupadas en intervalos. Y suponiendo que todos los valores comprendidos dentro del intervalo mediano [L i-, L i ] se encuentran distribuidos uniformemente a lo largo de él, puede calcularse la mediana (Me) mediante la expresión: N 2 i ( N ) i i+ M e = L + * i n c donde N i-< 2 N < Ni y [L i-, L i ] es el intervalo siguiente al que contiene a N, siendo ci su amplitud. 2 Como ventaja de la mediana tenemos que no influyen en ella los valores extremos (estadístico robusto) MODA La moda (Mo) es el valor de la variable que más veces se repite, y en consecuencia, en una distribución de frecuencias, es el valor de la variable que viene afectada por la máxima frecuencia de la distribución. En distribuciones no agrupadas en intervalos se observa la columna de las frecuencias absolutas, y el valor de la distribución al que corresponde la mayor frecuencia será la moda. A veces aparecen distribuciones de variables con más de una moda (bimodales, trimodales, etc), e incluso una distribución de frecuencias que presente una moda absoluta y una relativa. En distribuciones agrupadas en intervalos de la misma amplitud, no se tendrá un valor modal sino un intervalo modal (el que presenta la mayor frecuencia [L i-, L i ]). Se puede tomar como valor modal el extremo inferior del intervalo(mo = L i- ) o el extremo superior (Mo = L i ), o bien hacer que la moda sea igual a la marca de clase del intervalo modal (Mo = x i ). En caso de que todos los valores del intervalo modal estén distribuidos uniformemente dentro de él, la moda estará más cerca de aquel intervalo contiguo cuya frecuencia sea mayor, siendo las distancias de la moda Mo a los intervalos contiguos 4

21 inversamente proporcionales a las frecuencias de dichos intervalos, la moda puede calcularse mediante la expresión: i+ i Mo = L + n + * c i i ( n ) ( n ) + + i Para intervalos de distinta amplitud, realmente las densidades de frecuencias dan el número de valores que hay en cada unidad de intervalo para cada intervalo. La mayor densidad de frecuencia, ahora sí, determina el intervalo modal [L i-, L i ], calculándose la moda mediante la expresión: i+ i+ d Mo = L + * c i i d d + + i Con i d = n c i i Cabe señalar que la moda es la medida más representativa en caso de distribuciones de variables en escala nominal. Esto se debe a que las distribuciones de este tipo presentan los datos no susceptibles de ordenación, de tal forma que para estas distribuciones no es posible realizar operaciones elementales con sus observaciones. La moda se emplea sobre todo cuando los valores de la variable presentan una gran concentración hacia un valor determinado. Sólo se utilizará en distribuciones de gran frecuencia total MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión permiten calcular la representatividad de una medida de posición, para lo cual será preciso cuantificar la distancia de los diferentes valores de la distribución respecto a dicha medida. A tal distancia es a lo que, en términos estadísticos, se denomina variabilidad o dispersión de la distribución. Las medidas de dispersión tienen como finalidad estudiar hasta que punto, para una determinada distribución de frecuencias, las medidas de tendencia central o de posición son representativas como síntesis de toda la información de la distribución. Medir la representatividad de una medida de posición equivale a cuantificar la separación de los valores de la distribución respecto a dicha medida. Por ejemplo, si se pretende estudiar en qué grado una media aritmética nos marca una tendencia central generalizable del comportamiento de todos los elementos del conjunto estudiado, se observa la 5

22 separación o desviación de cada valor respecto a la media. Si todos los valores están cercanos al valor medio, éste es representativo de ellos. A la mayor o menor separación de los valores de una distribución respecto de otro, que se pretende que sea sus síntesis, se le llama dispersión o variabilidad. Será, por tanto más representativa la media aritmética de una variable cuanto más agrupados en torno a ella estén los valores promediados y, por el contrario, será tanto más rechazable, por no ser representativa, cuanta mayor dispersión exista de los valores de la variable respecto a la media. Resulta pues necesario para completar la información que pueda deducirse de una medida de posición o centralización, acompañarla de uno o varios coeficientes que nos midan el grado de dispersión de la distribución de la variable respecto de esa medida de centralización. Estos coeficientes son los llamados medidas de dispersión. Inicialmente se distingue entre medidas de dispersión absolutas y relativas, entendiéndose por relativas las que no dependen de las unidades de medida. Posteriormente se clasifican las medidas absolutas y relativas según sean medidas referentes a promedios o no lo sean. Entre las medidas de dispersión absolutas no referentes a promedios tenemos el recorrido o diferencia entre el mayor valor y el menor valor de una distribución y el recorrido intercuartílico o diferencia existente entre el tercer cuartil y el primero. Entre las medidas de dispersión relativas no referentes a promedios tenemos el coeficiente de apertura o cociente entre el mayor valor y el menor valor de una distribución y el recorrido semintercuartílico o cociente entre el recorrido intercuartílico y la suma del primer y tercer cuartil. Entre las medidas de dispersión absolutas referentes a promedios se tienen las desviaciones medias, la varianza y la desviación típica. Estas medidas de dispersión involucran a los promedios y permiten medir el error utilizando el promedio como resumen de los datos. Como medida de dispersión simple relativa a la medida de posición P, podríamos considerar las desviaciones de cada valor al promedio y ( ) x = P D promediar estas desviaciones, es decir, considerar el valor N i * n i,i =...k. Pero esto, que es lo primero a lo que se recurre, tiene como grave inconveniente las posibles compensaciones de las desviaciones positivas con las negativas al efectuar la suma, pudiendo obtenerse una medida pequeña siendo la dispersión grande. Para solucionar este inconveniente se consideran los valores absolutos de las desviaciones o se elevan éstas al cuadrado. A continuación se definen las medidas de dispersión más interesantes, entre las que tenemos: 6

23 DESVIACIONES MEDIAS Para medir la eficacia de la media se considera la desviación media respecto de la media aritmética, que se define como, la media aritmética de los valores absolutos de las diferencias entre los valores de la variable y la media aritmética, y cuya expresión es la siguiente: D m = N k i= ( xi x) n i Para medir la eficacia de la mediana (Me) suele considerarse la desviación media respecto de la mediana, que se define como la media aritmética de los valores absolutos de las diferencias entre los valores de la variable y la mediana, y cuya expresión es la siguiente: D Me = N k i= ( xi Me) n i VARIANZA, CUASIVARIANZA, DESVIACIÓN TÍPICA Y ERROR ESTÁNDAR De todas las medidas de dispersión absolutas respecto a la media aritmética, la varianza y su raíz cuadrada (la desviación típica), son las más importantes. Si en vez de considerar los valores absolutos de las desviaciones respecto del promedio se consideran sus cuadrados, surge una nueva medida de dispersión denominada varianza y que se define como, la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable a la media aritmética, es decir, el momento de segundo orden respecto a la media aritmética. Se define mediante la expresión: 2 σ = k N i= ( x i x) 2 n i Como propiedades importantes de la varianza tenemos: o Nunca puede ser negativa o Es igual al momento de segundo orden respecto al origen menos el de primer orden elevado al cuadrado o Si en la distribución de frecuencias sumamos a todos los valores de la variable una constante la varianza no varía (un cambio de origen en la variable no afecta a la varianza) y 7

24 o Al multiplicar los valores de una distribución de frecuencias por una constante k la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante. Así como las desviaciones medias vienen expresadas en las mismas unidades de medida que la distribución, la varianza no, ya que vendrá dada en las unidades correspondientes, pero elevadas al cuadrado. Esto dificulta su interpretación y hace necesario definir la desviación típica o desviación estándar. La desviación típica es la raíz cuadrada, con signo positivo, de la varianza, con lo que su expresión será: σ = k N i= ( xi x) 2 n i Al ser la raíz cuadrada de la varianza, vendrá expresada en las mismas unidades de medida que la distribución, lo cual la hace más apta como medida de dispersión. Un estadístico muy utilizado como medida de dispersión, sobre todo debido a sus propiedades muestrales, es la cuasivarianza, cuya expresión es: S 2 = N k i= ( xi x) 2 n i También se considera la cuasidesviacion típica, cuya expresión es: S = N k i= ( xi x) 2 n i Otro estadístico muy utilizado como medida de dispersión también por sus propiedades muestrales, es el error estándar, cuyo valor es: e = S n Siempre se cumple que ( D D < σ ) ME < m Entre las medidas de dispersión absolutas referentes a promedios se pudo haber definido también la desviación media respecto a la moda y las desviaciones cuadráticas respecto a la mediana y a la moda, 8

25 que vienen dadas en las mismas unidades de medida que la distribución y que marcan la representatividad de los promedios con los que se relacionan. Entre las medidas de dispersión relativas (valores adimensionales que no se ven afectados por las unidades de medida y que siempre se concretan en forma de cociente) utilizadas para comparar medidas de posición o promedios, tenemos el índice de dispersión respecto a la mediana y el coeficiente de variación de Pearson MEDIDAS DE FORMA Una vez iniciado el análisis estadístico de síntesis de la información, para lo cual se han estudiado las medidas de posición y dispersión de la distribución de una variable, se necesita ahora conocer más sobre el comportamiento de la misma. No se pueden enunciar las conclusiones únicamente en expresiones que vengan dadas en términos de medidas de posición y dispersión. Si bien se trata de globalizar el comportamiento del colectivo que sea objeto de nuestro estudio, para lo cual las medidas de posición son nuestro mejor instrumento, no se debe proceder a una interpretación que implique un comportamiento de todos los elementos del colectivo uniformemente constante e igual a la medida de posición en cuestión con un error dado por la correspondiente medida de dispersión. Este error o disparidad se hace más ostensible al analizar la representación gráfica de la distribución. Las medidas de forma se clasifican en medidas de asimetría y medidas de curtosis o apuntamiento. Las medidas de asimetría tienen como finalidad el elaborar un indicador que permita establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una distribución, sin necesidad de llevar a cabo su representación gráfica. Bajo el supuesto de que se ha represente gráficamente una distribución de frecuencias, si se traza una perpendicular al eje de abscisas por x y se toma esta perpendicular como eje de simetría, entonces una distribución es simétrica si existe el mismo número de valores a ambos lados de dicho eje, equidistantes de x dos a dos y tales que cada par de valores equidistantes a x tengan la misma frecuencia. En caso contrario, las distribuciones serán asimétricas. Las medidas de curtosis estudian la distribución de frecuencias en la zona central de la misma. La mayor o menor concentración de frecuencias alrededor de la media y en la zona central de la 9

26 distribución dará lugar a una distribución más o menos apuntada. Por esta razón a las medidas de curtosis se les llama también de apuntamiento o concentración central. Las medidas de curtosis se aplican a distribuciones campaniformes, es decir, unimodales simétricas o con ligera asimetría Para estudiar la curtosis de una distribución es necesario definir previamente una distribución tipo, que vamos a tomar como modelo de referencia. Esta distribución es la Normal, que corresponde a fenómenos muy corrientes en la naturaleza, y cuya representación gráfica es una campana de Gauss. Tomando la Normal como referencia, se dice que una distribución puede ser más apuntada que la normal (es decir, leptocúrtica) o menos apuntada (es decir, platicúrtica). Con la curtosis se estudia la deformación, en sentido vertical, respecto a la normal, de una distribución. A la distribución normal, desde el punto de vista de la curtosis, se le llama mesocúrtica. A continuación se definen las medidas de asimetría más comunes, entre las que destacan las siguientes: COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE FISHER Ahora se busca una medida que recoja la simetría o asimetría de una distribución. Si la distribución es simétrica, el eje de simetría de su representación grafica será una recta paralela al eje de ordenadas, que pasa por el punto cuya abscisa es la media aritmética. Por ello, cuando la distribución es asimétrica, referiremos los valores de la distribución a este promedio. Si una distribución es simétrica, existe el mismo número de valores a la derecha que a la izquierda de x, y por tanto el mismo número de desviaciones con signo positivo que con signo negativo, siendo la suma de desviaciones positivas igual a la suma de las negativas. Podemos partir, de las desviaciones ( x ) i x para no perder los signos de las desviaciones. elevadas a una potencia impar, Lo más sencillo sería tomar como medida de asimetría el promedio de estas desviaciones, elevadas a la potencia impar más simple (que es tres), es decir, tomar como medida de asimetría el momento de orden tres centrado en la media. De hacerse esto, esta medida vendría expresada en las mismas unidades que las de la variable pero elevadas al cubo, por lo que no es invariante ante un cambio de escala. Para conseguir un indicador adimensional, debemos dividir la expresión anterior por una cantidad que venga en sus mismas unidades de medida. Esta cantidad es el cubo de la desviación típica, obteniéndose así el coeficiente de asimetría de R. A. Fisher, cuya expresión es: 20

27 m γ = σ 3 3 = N N k k i= i= ( x ( x j j 3 x) n x) 2 i ni 3 / 2 Si γ = 0 la distribución es simétrica; si γ >0 la distribución es asimétrica positiva (a derecha); y si γ <0 la distribución es asimétrica negativa (a izquierda). La distribución es asimétrica a derecha o positiva cuando la suma de las desviaciones positivas de sus valores respecto de la media es mayor que la suma de las desviaciones con signo negativo (la grafica de la distribución tiene más densidad a la derecha de la media). En caso contrario, la distribución es asimétrica a la izquierda o negativa. Ahora, si la curva está más o menos "aplastada", en relación con el grado de apuntamiento de una distribución normal. El coeficiente de curtosis de Fisher, dado por: permite clasificar una distribución de frecuencias en mesocúrtica (tan aplanada como una normal, γ = 0 2 ), leptocúrtica (más apuntada que una normal, normal, γ < 0 2 ). γ > 0 2 ) o platicúrtica (más aplanada que una Una vez presentadas esta medida de asimetría, a continuación se definen una de las medidas de curtosis más comunes: COEFICIENTE DE CURTOSIS En la distribución normal se verifica que m 4 = 3σ 4 siendo m 4 el momento de orden cuatro respecto a la m4 media y σ la desviación típica. Si se considera la expresión g = 3, su valor será cero para la σ 2 4 distribución normal. Por ello, como coeficiente de apuntamiento o curtosis se utiliza la expresión: 2