Álgebra II(61.08, 81.02) Segundo cuatrimestre 2017 Práctica 4. Autovalores y autovectores de matrices. Diagonalización.

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1 Álgebra II(6108, 8102) Segundo cuatrimestre 2017 Práctica 4 Autovalores y autovectores de matrices Diagonalización Nota: salvo indicación particular, se considera que todas las matrices pertenecen a C n n 1 Encuentre los autovalores y autovectores de cada una de las siguientes matrices: 12 4 (a) (b) (c) (d) (e) Demuestre lo siguiente: (a) A es singular si y sólo si λ = 0 es autovalor de A (b) Supóngase que A y B son dos matrices de n n Entonces AB y BA tienen los mismos autovalores (c) Si rango(a) = k < n, λ = 0 es un autovalor de A de multiplicidad geométrica n k (d) Si λ es autovalor de A entonces: rλ es autovalor de ra λ k es autovalor de A k si k es un entero positivo Si A es inversible, λ 1 es autovalor de A 1 λ + r es autovalor de A + ri (e) Si p(t) = a k t k + a k 1 t k a 1 t + a 0 definimos p(a) = a k A k + a k 1 A k a 1 A + a 0 I Demuestre que si λ es autovalor de A entonces p(λ) es autovalor de p(a)

2 (f) Si A es una matriz de n n y p(t) = a k t k + + a 0 con a k 0, entonces para cada autovalor λ de p(a), existe un autovalor ν de A, tal que p(ν) = λ (Sugerencia: Considere el polinomio q(t) = p(t) λ y aplique el teorema fundamental del álgebra) (g) Demuestre que si p(t) = q(t)r(t) con q(t) y r(t) polinomios entonces p(a) = q(a)r(a) = r(a)q(a) 3 Encuentre los autovalores y autovectores de la matriz n n 1 + r r r r (Sugerencia: encuentre primero los autovalores y autovectores para el caso particular r = 0) 4 Suponga que A de n n admite la partición en bloques A11 A 12 0 A 22 con A 11 de k k, A 12 de k (n k) y A 22 de (n k) (n k) (a) Demuestre que el polinomio característico de A es el producto de los polinomios característicos de A 11 y A 22 (b) Demuestre que λ es autovalor de A si y sólo si λ es autovalor de A 11 ó A 22 (c) Si A 12 = 0 qué relación puede establecer entre los autovectores de A 11 y A 22 y los autovectores de A? (d) Encuentre los autovalores de A, sus multiplicidades algebraicas y geométricas y tantos autovectores linealmente independientes como sea posible, siendo

3 (e) Generalice el primer item al caso en que A 11 A 12 A 1n 0 A 22 A 2n 0 0 A kk, con A 11,, A kk matrices cuadradas 5 (a) Halle los autovalores de A 3 + 2A 2 3A + I siendo (b) Si , para qué valores de r R resulta inversible la matriz A 3 +ra 2 I? (c) Si A es tal que A 2 = A, cuáles son sus posibles autovalores? 6 (a) Si A R n n, demuestre que el polinomio característico de A coincide con el de A T y que por lo tanto A y A T tienen los mismos autovalores Demuestre que la dimensión del autoespacio asociado al autovalor λ de la matriz A coincide con la dimensión del autoespacio asociado al mismo autovalor de la matriz A T, y que por lo tanto la multiplicidad geométrica de λ como autovalor de A coincide con la multiplicidad geométrica de λ como autovalor de A T (b) Si A C n n, qué relación puede establecerse entre el polinomio característico de A y el de A H?, y entre las dimensiones de los autoespacios de A y los de A H? 7 (a) Sea A R 3 3 con tr(a) = 4 Calcule los autovalores de A sabiendo que los de A 2 + 2A son -1, 3 y 8 (b) Sea A R 4 4 tal que det(a) = 6 Si 1 y -2 son autovalores de A y -4 es autovalor de la matriz A 3I, halle los restantes autovalores de A 8 Determine si cada una de las siguientes matrices son diagonalizables sobre R o C, y en caso afirmativo encuentre matrices C y D tales que CDC 1 con D diagonal 3 5 (a) 3 1

4 (b) (c) (d) Sea A la matriz dependiente del parámetro real α: 2α α 2α α α α 2 (a) Obtenga los valores de α para los que A es diagonalizable (b) Diagonalice A para α = 1 y para α = 2 10 Para qué valores de a, b, c R resulta 11 (a) Halle el polinomio característico a b c 1 a b 0 1 c diagonalizable?, a, b, c R (b) Halle una A de 3 3 cuyos autovalores sean raíces de t 3 17t 2 + 5t π 12 Verdadero o falso? (a) Si la matriz A posee n autovalores distintos entonces A es diagonalizable (b) Si P ΛP 1 = SΛS 1 con Λ diagonal, entonces P = S (c) Si A es diagonalizable entonces p(a) es diagonalizable cualquiera sea el polinomio p(t) (d) Si p(a), con p(t) un polinomio no constante, es diagonalizable entonces A es diagonalizable (e) Si la matriz n n p(a), con p(t) un polinomio, posee n autovalores diferentes, entonces A es diagonalizable

5 (f) Si v es autovector tanto de A como de B entonces v es autovector de A + B y de AB (g) Si 1 es el único autovalor de A entonces I (h) Si α es autovalor de A y β lo es de B entonces αβ lo es de AB (i) Si A solo tiene autovalores 1 y 1 entonces AA H = I (j) Si A es diagonalizable entonces A H lo es (k) Si A es de 2 2 tal que tr(a) = 1 y det(a) = 6 entonces A es diagonalizable 13 Sea A tal que A 2 = A Demuestre lo siguiente: (a) Si x col(a) entonces Ax = x (b) col(a) Nul(A) = K n (c) Existe una base de K n compuesta por autovectores de A {}}{ (d) Existe P K n n inversible tal que P ΛP 1 con Λ = diag( 1,, 1, 0,, 0) y k = rango(a) (e) Si además A T = A y K = R ó A H = A y K = C, entonces existe una base ortonormal de K n compuesta por autovectores de A 14 (a) Encuentre A k para k N para Calcule lim k A k Calcule lim k A k (b) Halle una matriz A R 3 3 tal que A 2 = B con B = k

6 Es única? (c) Halle A R 2 2 tal que A 2 3A + 2I = B, con 3 3 B = 3 3 y det(a) = 2 (d) Dada la matriz, encuentre un subespacio S invariante por A tal que lím k A k v = 0 para cada v S (e) Halle una matriz A R 3 3 tal que: S = gen{1 1 0 T } sea invariante por A, λ = 2 sea autovalor, S sea el autoespacio asociado a ese autovalor, y det(a) = Sea Se puede mostrar que para todo n N, A 1 1 n F = n donde F 1 F j es el n+1 j-ésimo término de la sucesión de Fibonacci ( ie: F 0 = 0, F 1 = 1 y F n+1 = F n + F n 1 para n N) (a) Encuentre una matriz P inversible tal que P AP 1 sea diagonal (b) Halle la fórmula general para el término F n, n N 0 16 Se define la sucesión {a n } n N0 de la siguiente manera: a 0 = 0, a 1 = 1, a 2 = 1 y a n+3 = 6a n+2 11a n+1 + 6a n n N 0 Halle una fórmula general para el término a n, n N 0 (Sugerencia: considere la matriz ) (a) Demuestre que las matrices A y B no son semejantes si y B = (b) Compruebe que las matrices y B =

7 son semejantes Halle S R 2 2 inversible tal que SBS 1 18 (a) Sean A y B matrices de n n Pruebe que AB y BA tienen igual polinomio característico (Sugerencia: considerando el ej 17 de la práctica 2, existen dos matrices inversibles P y Q tales que P Ir C11 C Q Luego defina C tal que C = QBP = 12 C 21 C 22 con C 11 de r r, C 12 de r (n r), C 21 de (n r) r y C 22 de (n r) (n r) Calcule AB y BA) (b) Dé un ejemplo en el caso n = 2 de matrices A y B tales que AB no sea semejante a BA Nota: Si P AB y P BA son los polinomios característicos de AB y BA respectivamente, entonces es verdadera la siguiente proposición: Sea A una matriz de m n y B una matriz de n m Entonces t n P AB = t m P BA Se puede observar que esta proposición, cuya demostración se obtiene siguiendo la sugerencia dada para el ítem a), generaliza el enunciado correspondiente a este último 19 Sea A R 2 2 con autovalores a + ib y a ib, a, b R, b 0 Muestre que A resulta semejante a b a b a 20 Sea A una matriz de n n Demuestre que A es raíz de algún polinomio no nulo (Sugerencia: analice si es linealmente independiente o no una sucesión de potencias de la matriz A) 21 Demuestre que si p(t) es el polinomio característico de A y A es diagonalizable, entonces p(a) = 0 (Este resultado, conocido como el Teorema de Cayley-Hamilton, vale en general, es decir sin necesidad de suponer que A es diagonalizable) 22 Sea 1 + α α α 2 + α α α α R (a) Obtenga los autovalores de A, comprobando que no dependen de α (b) Para los valores de α tales que A sea diagonalizable encuentre una base de autovectores

8 23 Sea 0 a b c d 0 mayores que 0? o menores que 0? o iguales a 0? Sea siendo S = gen{(a + 3, a 2 4, 1) T } 25 Es diagonalizable, a, b, c, d > 0 Si A tiene 3 autovalores diferentes, cuáles de ellos son Halle todos los valores reales de a para los cuales S es A-invariante, ? Observación Sea V un espacio vectorial y f : V V una transformación lineal Sea λ un escalar Decimos que λ es autovalor de f si, y solo si, f λid V es no inyectiva En tal caso sabemos que existe x V, x 0, de modo que (f λid V )(x) = 0, o bien, que existe x V, x 0, tal que f(x) = λx Tal x es autovector de f asociado a λ En el caso que dim(v ) = n, considerar que f λid V es no inyectiva es lo mismo que considerar que f λid V es no inversible Con lo cual, siendo B una base de V y f B, esto es equivalente a decir que A λi es no inversible Recordando que f(x) B = A x B, es fácil deducir que λ es autovalor de f λ es autovalor de A x es autovector de f x B es autovector de A En el caso que A sea diagonalizable tal que MDM 1, con D diagonal, se ve que existe una base B de V, cuyos elementos son autovectores de f, siendo M la matriz de cambio de base de B a B y D = f B Es decir, B es una base de V en la cual la representación de f es diagonal Por ejemplo, para resulta MDM 1 con M = Si f B para una f : P 1 P 1 lineal y B = {1 + t, 4 3t}, se obtiene que B = { 3 + 4t, 7 + 7t} 5 0 Con esto, f B = 0 3 y D =

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