Matemáticas para la Empresa

Transcripción

1 Matemáticas para la Empresa 1 o D.C.E. 1 o L.A.D.E. Curso 2008/09 Relación 2. Aplicaciones Lineales. Diagonalización. Formas Cuadráticas 1. Estudia si son lineales las aplicaciones siguientes: a) La aplicación f : IR 4 IR 2 dada por f(x, y, z, t) = (x + t 1, y z). b) La aplicación f : IR 2 IR dada por f(x, y) = y 2 x. c) La aplicación f : IR 2 IR 2 dada por f(x, y) = (y, 0). d) La aplicación f : IR 3 IR 2 dada por f(x, y, z) = (2x, y xz). e) La aplicación f : IR 3 IR 2 dada por f(x, y, z) = (2x, y z). f ) La aplicación f : IR 2 IR 3 dada por f(x, y) = (x + 1, 2y, x + y). 2. Dada la siguiente aplicación f(x, y, z) = ( x + z, y + 2z, 2x + y), se pide: a) Demuestra que es una aplicación lineal. b) Calcula la dimensión de f. c) Calcula los subespacios Ker(f) e Im(f), sus dimensiones y una base de cada uno de ellos. 3. Es lineal la aplicación f : IR 2 IR dada por f(x, y) = x y 1 2? En caso afirmativo, halla su núcleo y una base de éste. 4. Sea f : IR 4 IR la aplicación dada por f(x, y, z, t) = x + t. Se pide: a) Es f una aplicación lineal? Razona la respuesta. b) Calcula Ker(f), su dimensión y una base. c) Es f inyectiva? Y suprayectiva? Y biyectiva? 5. Sabiendo que el núcleo de la aplicación lineal f : IR 3 IR 2 es el subespacio vectorial ker f = { (x 1, x 2, x 3 ) IR 3 / x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0, x 1 x 3 = 0 }, determina: a) La aplicación lineal f (su expresión analítica o una matriz asociada de f). b) Una base y la dimensión del núcleo de f. c) Es f inyectiva? Y suprayectiva? Y biyectiva? 1

2 6. Dada la aplicación lineal f : IR 2 IR 3 que cumple f(1, 1) = (1, 0, 2), f(0, 2) = (1, 1, 3), obtener su matriz asociada en las bases canónicas de IR 2 y de IR Dado un endomorfismo f : ( IR 2 ) IR 2, se sabe que su matriz asociada respecto de una a b base B = {e 1, e 2 } es A =, donde a, b, c, d IR y ad bc. Es el conjunto c d B = {f(e 1 ), f(e 2 )} una base de IR 2? 8. Sean B = {(1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} y B = {(1, 0), (0, 1)} bases de IR 3 y IR 2 respectivamente. Sea f : IR 3 IR 2 la aplicación lineal cuya matriz asociada respecto de B y B es M(f) = ( ) Hallar la imagen del vector que tiene coordenadas (3, 1, 1) respecto de la base canónica y del vector que tiene coordenadas (3, 1, 1) respecto de la base B. 9. Sea f : IR 4 IR 3 una aplicación lineal tal que f( u 1 ) = v 2 + v 3, f( u 2 ) = v 3, f( u 3 ) = v 1, f( u 4 ) = v 1 v 2, siendo B = { u 1, u 2, u 3, u 4 } y B = { v 1, v 2, v 3 } bases de IR 4 y de IR 3 respectivamente. Se pide: a) Calcula la matriz asociada a f en las bases B y B. b) Halla la imagen de un vector u que tiene coordenadas (-1,1,0,2) en la base B. c) Clasifica f. d) Calcula Ker(f) e Im(f) y da una base de cada uno de ellos. 10. Sea B = { u 1, u 2 } una base de IR 2 y sea f un endomorfismo de IR 2 que verifica que f( u 1 ) = u 1 + a u 2, f( u 2 ) = a u u 2. Halla a para que el subespacio Im(f) tenga dimensión máxima. 11. Sean B = { u 1, u 2, u 3 } y B = { v 1, v 2 } bases de IR 3 y IR 2, y sea f : IR 3 IR 2 una aplicación lineal tal que las coordenadas de f( u 1 ) en la base B son (1, 0), las de f( u 2 ) son ( 1/2, 0) y además f( u 3 ) = ( a + 1) v 2, siendo a IR un parámetro. a) Da una condición sobre el parámetro a para que el subespacio Imf tenga dimensión máxima y clasifica f en ese caso. b) Suponiendo que a 1, calcula Kerf, su dimensión y una base. 12. Sean B = { u 1, u 2 } y B = { v 1, v 2, v 3 } bases de IR 2 y de IR 3 respectivamente y sea f : IR 2 IR 3 una aplicación lineal tal que f( u 1 ) = 2 v 1 + v 3 y f( u 2 ) = v 1 + v 2. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Existe algún vector de IR 2 no nulo tal que su imagen sea el vector (0, 0, 0)? 2

3 b) Sea v el vector con coordenadas (1, 3, 5) en la base B. Calcula, si es posible, un vector u IR 2 tal que f( u ) = v. 13. Se sabe que un endomorfismo de IR 3 tiene los valores propios λ 2 = 3 y λ 1 = 1 (éste último con multiplicidad 2). Calcula su polinomio característico. 14. Sea A M 2 una matriz cuadrada de orden 2 cuya traza es 2 y cuyo determinante es 6. Calcula sus valores propios. 15. Calcula los parámetros a y b para que el vector X = (2, 0, 1) sea un vector propio de la matriz a 0 a A = 0 b 0 a 0 b con autovalor asociado λ = Calcula los parámetros a, b y c para que el vector X = (4, 3, 9) sea un vector propio de la matriz a b b A = c a b 3 a 3 con autovalor asociado λ = Construye una matriz cuadrada de orden 3 que tenga el autovalor 1 con multiplicidad 2 y vectores propios asociados (1, 0, 0) y (0, 1, 0), y el autovalor 2 con vector propio (0, 1, 1). 18. Dado el endomorfismo f(x, y, z) = (2x + z, 3y, x + 2z), calcula un vector u que sea vector propio de f asociado al autovalor λ = 3 y que además sea ortogonal al vector v = (0, 2, 0). 19. Demuestra que una matriz regular (es decir, con determinante no nulo) no puede tener al 0 como valor propio. 20. Sea f : IR 3 IR 3 una aplicación lineal de la que se sabe que Calcula: f(0, 1, 0) = ( 2, 1, 0). El vector (1, 0, 0) pertenece al núcleo de f. (0, 0, 1) es un vector propio de f asociado al valor propio -3. a) f(1, 1, 1), f(0, 0, 0) y f(0, 0, 1). b) La dimensión y una base de Kerf. c) La dimensión y una base de Imf. 21. a) Demuestra que si λ 0 es valor propio de una matriz A regular (es decir, con determinante no nulo), entonces 1 /λ es valor propio de la matriz A 1. 3

4 b) Comprueba que A = demuestra que A 1 también lo es. es diagonalizable y, sin calcular A 1, 22. Dada la matriz A = calcula sus valores propios y sus vectores propios. Estudia si es diagonalizable y, en caso afirmativo, halla la matriz de paso. 23. El polinomio característico de un endomorfismo f : IR 3 IR 3 es P (λ) = λ 3 λ 2 + 4λ + 4. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Calcula los autovalores de f y una matriz asociada a este endomorfismo. b) Es diagonalizable este endomorfismo? c) Calcula un vector propio de f. 24. Sea f : IR 3 IR 3 la aplicación lineal f(x, y, z) = (2x + y, y z, 2y + 4z). a) Es f inyectiva? Y suprayectiva? Y biyectiva? b) Determina los valores propios (autovalores) de f. c) Es f diagonalizable? 25. a) Demuestra que si A es una matriz diagonalizable y B no es diagonalizable, entonces A y B no pueden ser matrices semejantes. b) Sabemos que dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. Con este ejercicio se pretende probar que no se cumple el recíproco, es decir, que dos matrices pueden tener el mismo polinomio característico pero no ser semejantes. Para ello, demuestra que las matrices A = y B = tienen el mismo polinomio característico, pero no son semejantes. (Indicación: utiliza el apartado anterior para probar que no son semejantes). 26. Dada la matriz A = a 0 b 3 4 con a, b IR, responde razonadamente a las siguientes cuestiones. a) Qué valores deben tomar los parámetros a y b para que A tenga tres autovalores distintos? Es A diagonalizable en ese caso? 4

5 b) Qué valores deben tomar los parámetros a y b para que A tenga un autovalor positivo doble? Es A diagonalizable en este caso? c) Calcula un vector propio del autovalor doble del apartado (b). 27. Sea { u 1, u 2, u 3 } una base de IR 3 y f : IR 3 IR 3 una aplicación lineal tal que f( u 1 ) = u u 2, f( u 2 ) = u u 2, f( u 3 ) = 3 u u u 3. a) Es f diagonalizable? b) Es u = (1, 1, 1) un vector propio de f? 28. Sea f : IR 3 IR 3 la aplicación lineal dada por f(x, y, z) = (4x+3y+2z, 2y, x 3y+z). a) Es f diagonalizable? b) Calcula un vector propio de f. c) Puede haber dos vectores distintos (x, y, z) y (x, y, z ) en IR 3 cuya imagen por f sea la misma? Razona la respuesta. 29. Dada la matriz A = a 1 0 a 2 0 a a 4, se sabe que u 1 = (1, 1, 0) es un vector propio asociado al autovalor λ 1 = 1 y que u2 = (1, 0, 1) es un vector propio asociado al autovalor λ 2 = 2. Calcula la matriz A y estudia si es o no diagonalizable. 30. Estudia si son diagonalizables los siguientes endomorfismos y, en caso afirmativo, calcula la matriz de paso. a) El endomorfismo cuya matriz asociada es A = ( ) b) El endomorfismo f(x, y) = ( y, x). c) El endomorfismo de IR 3 tal que f( e 1 ) = e 1, f( e 2 ) = 3 e 1 e 2, f( e 3 ) = 2 e e 2 + e3, siendo B = { e 1, e 2, e 3 } una base de IR 3. d) El endomorfismo de IR 3 tal que, respecto de una base B = { e 1, e 2, e 3 } de IR 3, f( e 1 ) tiene coordenadas (2, 0, 1), f( e 2 ) tiene coordenadas (0, 3, 0), y f( e 3 ) tiene coordenadas (1, 0, 2). e) El endomorfismo f(x, y, z) = (3x + 2y + 4z, y, 2x 3z). f ) El endomorfismo f(x, y, z) = (2x 2y + z, x + 3y + z, y + 2z). 5

6 31. Se considera el endomorfismo de IR 3 dado por la expresión f(x, y, z) = (ax + y z, ay 2z, az). Existe algún valor de a para el cual f es diagonalizable? Razona la respuesta. 32. Calcula para qué valores del parámetro a es diagonalizable la matriz a 0 0 A = a 33. Clasifica (según su signo) y diagonalizar las formas cuadráticas siguientes: a) Q(x, y, z) = 2x 2 2y 2 2z 2 2yz b) Q(x, y, z) = 3x 2 + 2y 2 + 2z 2 2xy 2xz 34. Estudia el signo de las siguientes formas cuadráticas: a) Q(x, y, z) = 2x 2 + 4xz + 2z 2. b) Q(x, y) = 3x 2 4xy + 7y 2. c) Q(x 1, x 2 ) = 2x 2 1 x x 1 x 2. d) Q(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy. e) Q(x, y, z) = x 2 2y 2 + 2yz 2z 2. f ) Q(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 2 1 2x 1 x 2 2x 1 x 4 2x x 2 x 3 2x 2 x 4 4x 2 3 6x 3 x 4 4x Estudia, según los valores del parámetro a, el signo de las siguientes formas cuadráticas: a) Q(x, y, z) = ax 2 + y 2 + z 2 + 2yz. b) Q(x, y, z) = x 2 + y 2 xz + az 2. c) Q(x, y) = x 2 (2a)xy + y Encontrar el signo de Q restringida al subespacio que se indica en cada caso: x a) Q(x, y, z) = (x, y, z) y en el subespacio S = {(x, y, z) z IR 3 /x y = z}. b) Q(x, y, z) = x 2 + 2xy 2xz + 4y 2 + 4yz + 5z 2 en el subespacio S = {(x, y, z) IR 3 /x + 2y z = 0, 2x 3y + z = 0}. c) Q(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 3x 2 2 2x x 1 x 2 en el subespacio x 1 x 2 = 0. d) Q(x, y, z) = y 2 + 2xy + 4xz + 4y 2 + 3z 2 en S = {(x, y, z) IR 3 /2x = 3y + z}. 6

7 e) Q(x, y, z, t) = x 2 + 2xz + xt + 2yz z 2 en el subespacio S = {(x, y, z, t) IR 4 /x + y z = 0, y t = 0}. f ) Q(x, y, z) = 4x 2 + 8xy 4y 2 z 2 en S = {(x, y, z) IR 3 /x = 0, y = 0}. g) Q(x, y, z) = x 2 + 2xy y 2 + 2z 2 restringida al subespacio de IR 3 generado por los vectores {(3, 2, 1), (1, 1, 0)}. 37. Estudia el signo de la forma cuadrática Q(x, y, z) = x 2 + 3y 2 z 2 6xy en el subespacio x + 3y + az = 0 según los valores del parámetro a. 38. Dada la forma cuadrática Q(x, y, z) = x 2 + 2y 2 2xz + az 2, se pide: a) Estudia su signo según los valores del parámetro a. b) Tomando a = 1, estudia el signo de Q en el subespacio z y = Considérese la forma cuadrática Q(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2, siendo a, b, c IR tales que a c < 0. Se pide: a) Estudiar el signo de la forma cuadrática en IR 2. b) Existen valores de los parámetros a, b, c de manera que la forma cuadrática restringida a y = 3x nunca tome valores negativos? Razona la respuesta y, en caso afirmativo, pon un ejemplo. 40. Considérese la forma cuadrática Q(x, y, z) = x 2 ay 2 + bz 2, de la cual se sabe que los parámetros a, b IR siempre deben verificar que a b > 0. Se pide: a) Calcula el signo de Q en IR 3. b) Sabiendo que cuando x = 0, y = 1 y z = 1, la forma cuadrática toma el valor 2, estudia el signo de Q restringida al subespacio S = {(x, y, z) IR 3 / y = z}. 41. Sea Q una forma cuadrática tal que su matriz asociada, A, tiene como polinomio característico P (λ) = (λ 2 a)(b λ), con a > 0. Responde a las siguientes cuestiones: a) Calcula la expresión diagonal de Q. b) Estudiar el signo de Q en función de los parámetros a, b. c) Estudiar el signo de Q en el subespacio S = {(x, x, z) / x, z IR} en función de los parámetros a, b. 42. Sea f : IR 3 IR 3 una aplicación dada por f(x, y, z) = ( x, 2y + z, y 2z). a) Demuestra que f es un endomorfismo. b) Hallar su matriz asociada a la base canónica de IR 3. c) Clasificar la forma cuadrática Q asociada a dicha matriz. d) Dar la expresión polinómica y la expresión diagonal de Q, calculando además la matriz de paso ortogonal. 7

8 e) Cuál es el signo de Q en el subespacio F = {(x, y, z) IR 3 /x z = 0}? 43. Sea f : IR 2 IR 2 el endomorfismo dado por la expresión f(x, y) = ( y+2x, x+ 1 2 y). Responde razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Calcula los subespacios Ker(f) e Im(f) y una base de cada uno de ellos. b) Puede haber en IR 2 dos vectores distintos, u v, tales que f( u ) = f( v )? c) Es f diagonalizable? d) Calcula, si es posible, un vector propio de f, indicando cuál es su autovalor asociado. e) Sea A la matriz asociada a f en la base canónica de IR 2, y sea Q : IR 2 IR la forma cuadrática asociada a la matriz A. Calcula, si es posible, un vector u IR 2 tal que Q( u ) < Responde razonadamente a las siguientes cuestiones: a) Sean V y V dos espacios vectoriales, f : V V una aplicación lineal y u, v dos vectores de V tales que f ( u) = f ( v). A qué subespacio podemos asegurar que pertenece el vector u v? b) Sean U y V dos espacios vectoriales y f : U V una aplicación lineal tal que f( u ) y f( v ) son linealmente independientes. Qué podemos afirmar sobre la dependencia o independencia lineal de u y v? c) Puede existir un endomorfismo de IR 3 que tenga dos valores propios, ambos con multiplicidad 2? d) Sea f una aplicación lineal. Puede un vector de Ker(f) ser un vector propio de f? e) Puede ser 0 el determinante de una matriz diagonalizable? f ) Sea Q : IR n IR una forma cuadrática semidefinida positiva y S un subespacio vectorial de IR n. Puede Q restringida a S ser indefinida? g) Sea f : IR n IR n un endomorfismo. Si f es inyectiva, entonces también es suprayectiva. h) Sea Q una forma cuadrática de cuatro variables cuya matriz asociada tiene los siguientes menores principales: H 1 = 1, H 2 = 3, H 3 = 0, H 4 = 0. Qué signo tiene la forma cuadrática Q? i) Si un endomorfismo f : IR 3 IR 3 tiene un autovalor de multiplicidad 2, entonces no es diagonalizable. 45. Para el cálculo de intereses, retenciones y bonificaciones a sus clientes, un banco se basa en una función llamada función de saldo e inversión, la cual depende de las siguientes cantidades iniciales de un cliente durante un año: x 1 = saldo en cuenta al comenzar el año, x 2 = abonos a la cuenta, x 3 = cargos en la cuenta, x 4 = aportaciones del cliente a planes de pensiones y x 5 = capital medio del cliente en fondos de inversión. Tal función se define del siguiente modo: f SI (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (saldo en cuenta al final del año, inversión), 8

9 donde saldo en cuenta a final del año se calcula con el saldo inicial, los abonos y los cargos, e inversión es la suma del 3 % de las aportaciones a planes de pensiones más el 2 % del capital en fondos de inversión. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones. a) Calcula una matriz asociada a la aplicación lineal f SI. b) Calcula el subespacio de todas las combinaciones de cantidades iniciales cuyo valor a través de la función f SI es nulo, su dimensión y una base. c) Pueden existir dos clientes con idéntico valor de la función f SI pero con cantidades iniciales distintas? 46. En cierto mercado un producto es fabricado únicamente por tres empresas E 1, E 2 y E 3. Las cantidades consumidas por cada empresa en el mes de abril son x 1, x 2 y x 3 respectivamente. En el mes de mayo ocurre lo siguiente: El 25 % de los que consumen el producto de E 1 en abril, consumen de nuevo el de E 1, el 50 % consumen el de E 2 y el resto consumen el de E 3. Todos los que consumieron el de E 2 vuelven a consumir el de E 2. Todos los que consumieron el de E 3 pasan a consumir el de E 2. Sea f : IR 3 IR 3 el endomorfismo que transforma las cantidades consumidas en abril en las cantidades consumidas en mayo. Determina: a) La matriz asociada a f. b) Si las cantidades consumidas en abril son x 1 = 100, x 2 = 200 y x 3 = 160, cuáles serán los consumos de cada una de las empresas en mayo? c) Es diagonalizable la matriz asociada a este endomorfismo? 47. El Gobierno está estudiando la posibilidad de introducir un nuevo impuesto que dependa de la renta R y del patrimonio P, siendo este impuesto proporcional al cuadrado de la diferencia entre ambos. Se pregunta si a algún contribuyente le saldrá negativo dicho impuesto. 48. Un inversor decide diversificar sus inversiones en tres sectores distintos en cantidades x, y, z respectivamente. El índice que determina sus beneficios a partir de dichas inversiones viene dado por la expresión B(x, y, z) = x 2 + 2y 2 2xz z2. a) Determina si se están rentabilizando sus inversiones. b) A la vista de la situación anterior, el inversor decide rectificar de forma que las cantidades invertidas en los sectores segundo y tercero sean iguales. Es acertada esta política? 49. Cierto índice bursátil I depende de tres variables económicas x, y, z según la relación I = 2x 2 + 2xz 2yz, existiendo una relación de proporcionalidad entre las dos primeras variables. Determina la constante de proporcionalidad para que el índice I nunca sea negativo. 9

10 50. El rendimiento de una inversión, R, en función de tres parámetros financieros, x, y, z, viene dado por la expresión: R(x, y, z) = x 2 + y 2 + (k + 1)z 2 + 2kyz + 2xz, siendo k IR. Estudia, en función del parámetro k, cuándo la inversión es rentable y cuándo no lo es. 51. Un impuesto viene dado por la expresión I(x, y, z) = x 2 + xz + y 2 + 2ayz + (a + 1)z 2, donde a IR es un parámetro y x, y, z representan diferentes índices de medida de bienes y renta de un contribuyente. A todos los contribuyentes les saldrá a pagar (positivo) dicho impuesto? Razona la respuesta y, en caso negativo, estudia los diferentes casos en función del parámetro a. 52. Se pretende establecer un indicador económico que debe depender de tres cantidades x, y, z. Tal indicador no puede tomar valores negativos y debe consistir en un término proporcional al cuadrado de la diferencia x y menos otro término proporcional al cuadrado de la diferencia y z. Estudia qué condiciones deben cumplir tales proporciones teniendo en cuenta además que cuando x = 1 y las otras dos cantidades son nulas, el indicador debe ser igual a Una nueva teoría económica asegura que la producción de cualquier empresa en función de unos determinados parámetros x, y, z IR se ajusta al modelo Q(x, y, z) = x 2 + y 2 + (λ + 1) z 2 + 2λyz + 2zx, donde λ es un parámetro que depende de cada empresa. Teniendo en cuenta que la producción no puede ser negativa, determina el rango de valores de λ que tienen sentido en esta teoría. 54. Un banco está estudiando aplicar comisiones diferentes a sus clientes en función de tres parámetros técnicos (x, y, z). Para ello establece la siguiente función de comisiones donde aún falta por determinar el parámetro k IR: C(x, y, z) = x 2 + y 2 + (k + 1)z 2 + 2kyz + 2xz. Evidentemente el banco debe construir una función de comisiones que nunca resulte negativa. a) Qué valores de k puede elegir el banco para su función de comisiones? De estos, cuáles hacen que el banco sí cobre comisión a algunos clientes y no a otros? b) El banco llama clientes especiales a los que verifican x = y = z. Qué valor de k debe elegir para asegurarse de que no cobrará comisión a los clientes especiales? 10