ln( = x, como x = f -1 (y), cambiamos y por x, entonces Ej 1. (2 puntos) Sea f ( x ) = 2e + 8, entonces: a) La función inversa de f es:

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1 ANÁLIS. MAT. ING. - EXACTAS C 7 APELLIDO: NOMBRES: SOBRE Nº: Duración del eamen: hs DNI/CI/LC/LE/PAS. Nº: CALIFICACIÓN: TEMA TELÉFONOS part: cel: Apellido del evaluador: + Ej. ( puntos) Sea f ( ) = e + 8, entonces: a) La función inversa de f es: f ( ) = 8 ln( ) + Para hallar f - (), planteamos y = e despejamos Entonces queda y 8 + = e aplicamos logaritmo natural a ambos miembros y nos y 8 ln ( ) = + despejando obtenemos ln( y 8 ) =, como = f - (y), cambiamos y por, entonces f ( ) = 8 ln( ) + b) El dominio de f - es: ( 8, + )

2 Como se trata de una función logarítmica, para hallar el dominio pedimos que 8 > entonces 8 > > 8 Domf = ( 8, + ) c) La imagen de f - es: R El conjunto Imagen de f - es el Domf. Como f es una función eponencial compuesta con una lineal, entonces el Domf: R, por lo tanto el conjunto Im f - : R d) La ecuación de la recta tangente al gráfico de f en = / es: y = 8 + Para hallar la ecuación de la recta tangente a f() en = /, calculamos f(/) reemplazando las en f por /, así obtenemos f ( / ) = e = Para hallar la pendiente de la recta tangente calculamos f () f ( ) = e + ( ) = ( 8 )e + Evaluamos la derivada en = / y obtenemos que m = f ( / ) = ( 8 )e + = 8

3 Como la recta tiene ecuación y = 8( ), entonces y = 8 + Ejercicios a desarrollar Ej. ( puntos) Sea derivabilidad en =. f cos() - ) / ( si si Estudiar continuidad y Para analizar continuidad en =, debemos estudiar las tres condiciones de continuidad a) Eiste f()? f() = -/ por definición de f() b) Eiste límite cuando ->? Para esta función los límites laterales cuando tiende a cero son iguales, porque la función tiene la misma fórmula a izquierda y a derecha de =, y su comportamiento no cambia si tiende a por derecha o por izquierda. Calculamos entonces cos()- lim queda una indeterminación del tipo /, podemos, o bien usar propiedades de funciones trigonométricas, o aplicar Regla de L Hopital Aplicando Regla de L Hopital queda: sen( ) cos()- lim = lim, como vuelve a quedar una indeterminación 6 del tipo /,si aplicamos nuevamente Regla de L Hopital (también podríamos aplicar propiedades para límites indeterminados con funciones trigonométricas) y obtenemos sen( ) cos( ) cos()- lim = lim lim = 6 = 6 Por lo tanto el límite buscado eiste y vale -/. c) f()= lim f ( )?

4 Como f() = -/ y lim f ( ) =- /, se cumple esta condición Por lo tanto f es continua en = Analicemos derivabilidad de f en =. Para ello calculamos la derivada de f () en = por definición limh cos(h)- h h + = limh cos(h)- + h h h = limh cos(h)- + h h Este límite es una indeterminación del tipo /, si aplicamos regla de L Hopital nos queda limh cos(h)- + h h = limh sen( h ) + h 9h Este límite es una indeterminación del tipo /. Aplicando Regla de L Hopital queda: sen( h ) + h limh 9h = lim cos(h ) + 8h Como vuelve a dar indeterminación del tipo /, por L Hopital da: cos( h ) + 8sen( h ) lim = lim 8h = 8 Como el límite para h tendiendo a cero por derecha y por izquierda da el mismo resultado, y el límite eiste y es finito, entonces f es derivable en = y f ()= Ej. Sea f ( ). Analizar: 6 a) ( punto) Dominio y raíces. b) ( puntos) Analizar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

5 c) ( puntos) Indicar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y etremos relativos. d) ( punto) Con la información obtenida en los puntos anteriores, realizar un gráfico aproimado de la función. a) Para el Dominio de f() pedimos que 6 Buscamos / 6 = y da = y = 6, por lo tanto Domf = R { },6 Para hallar las raíces o ceros planteamos f()= + = 6 = 6 = ( 6 ) + =, las raíces de esta cuadrática son : ±, =,9 +,9 es decir =,, = C = - 6; + 6 { } b) Para hallar asíntota vertical calculamos los límites laterales para los puntos que sacamos del Dominio de f Para = lim + = + 6

6 + lim + = por lo tanto = es asíntota vertical 6 Para = 6 lim 6 + = 6 + lim 6 + = + por lo tanto = 6 es asíntota vertical. 6 Para asíntota horizontal calculamos lim + 6 = lim + + = por lo tanto y = es asíntota horizontal 6 Como hay asíntota horizontal si + y si, entonces no hay asíntota oblicua c) Para hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento de f calculamos f () e igualamos a cero ( 6 ) f ( ) = = =, por lo tanto = es un Punto Crítico ( 6 ) aplicando el Teorema de Bolzano para f (), teniendo en cuenta los puntos que sacamos del Dominio de f y de f, obtenemos: Si < f ()> f crece

7 Si << f ()> f crece Si <<6 f ()< f decrece Si >6 f ()< f decrece Por lo tanto : Intervalo de decrecimiento de f: (,6 ) U(6, + ) Intervalo de crecimiento de f: (, ) U(, ) 6 En = hay un máimo relativo y vale f() = /9 d)

8 ANÁLIS. MAT. ING. - EXACTAS C 7 APELLIDO: NOMBRES: SOBRE Nº: Duración del eamen: hs DNI/CI/LC/LE/PAS. Nº: CALIFICACIÓN: TEMA TELÉFONOS part: cel: Apellido del evaluador: Ej. ( puntos) Sea f ( ) e, entonces: a) La función inversa de f es: f ( ) = ln( ) + Para hallar f - (), planteamos y = e + + y despejamos Entonces y + = e aplicamos logaritmo natural a ambos miembros y ln ( ) = + despejando obtenemos ln( y ) =, como = f - (y), cambiamos y por, entonces

9 f ( ) = ln( ) + b) El dominio de f - es: (, + ) Como se trata de una función logarítmica, para hallar el dominio pedimos que > entonces > > Domf = (, + ) c) La imagen de f - es: R El conjunto Imagen de f - es el Domf. Como f es una función eponencial compuesta con una lineal, entonces el Domf: R, por lo tanto el conjunto Im f - : R d) La ecuación de la recta tangente al gráfico de f en = / es: y = 6 + Para hallar la ecuación de la recta tangente a f() en = /, calculamos f(/) reemplazando en f por /, así obtenemos f (/ ) = e. + + = 8 Para hallar la pendiente de la recta tangente calculamos f () f ( ) = e + ( ) = ( 6 )e + Evaluamos la derivada en = / y obtenemos que

10 m = f (/ ) = ( 6 )e + = 6 Como la recta tiene ecuación y 8 = 6( ), entonces y = 6 + Ejercicios a desarrollar cos() - si Ej. ( puntos) Sea f ( ) Estudiar continuidad y 9 / si derivabilidad en =. Para analizar continuidad en =, debemos estudiar las tres condiciones de continuidad a) Eiste f()? f() = -9/ por definición de f() b) Eiste límite cuando ->? Para esta función los límites laterales cuando tiende a cero son iguales, porque la función tiene la misma fórmula a izquierda y a derecha de = y su comportamiento no cambia si tiende a por derecha o por izquierda. Calculamos entonces cos()- lim queda una indeterminación del tipo /, podemos, o bien usar propiedades de funciones trigonométricas, o aplicar Regla de L Hopital Aplicando Regla de L Hopital queda: sen( ) cos()- lim = lim, como vuelve a quedar una indeterminación del tipo /, si aplicamos nuevamente Regla de L Hopital (podríamos usar propiedades dle límite para indeterminaciones con funciones trigonométricas),obtenemos

11 sen( ) 9 cos( ) lim = lim = 9 Por lo tanto el límite buscado eiste y vale -9/. c) f()= lim f ( )? Como f() = -9/ y lim f ( ) =- 9/, se cumple esta condición Por lo tanto f es continua en = Analicemos derivabilidad de f en =. Para ello calculamos la derivada de f () en = por definición limh cos(h)- h h 9 + = limh cos(h)- + 9h h cos(h)- + 9h h h = limh Este límite es una indeterminación del tipo /, si aplicamos regla de L Hopital nos queda limh cos(h)- + 9h h = limh 6sen( h ) + 8h h Este límite es una indeterminación del tipo /. Aplicando Regla de L Hopital queda: 6sen( h ) + 8h limh h = lim 8cos(h ) + 8 h Como vuelve a dar indeterminación del tipo /, por Regla de L Hopital da: 8cos(h ) + 8 sen( h ) lim = lim h = Como el límite para h tendiendo a cero por derecha y por izquierda da el mismo resultado, y el límite eiste y es finito, entonces f es derivable en = y f ()=

12 Ej. Sea f ( ). Analizar: a) ( punto) Dominio y raíces. b) ( puntos) Analizar asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. c) ( puntos) Indicar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y etremos relativos. d) ( punto) Con la información obtenida en los puntos anteriores, realizar un gráfico aproimado de la función. a) Para el Dominio de f() pedimos que Buscamos / = y da = y =, por lo tanto Domf = R { }, Para hallar las raíces o ceros igualamos f()= + = = = ( ) + =, las raíces de esta cuadrática son : ±, = 6,9 +,9 es decir =, 7, 8 6 = 6 C = -,+ { } b) Para hallar asíntota vertical calculamos los límites laterales para los puntos que sacamos del Dominio de f Para =

13 lim + = + + lim + = por lo tanto = es asíntota vertical Para = lim + = + lim + = + por lo tanto = es asíntota vertical. Para asíntota horizontal calculamos lim + = lim + + = por lo tanto y = es asíntota horizontal Como hay asíntota horizontal si + y si, entonces no hay asíntota oblicua c) Para hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento de f calculamos f () e igualamos a cero ( ) f ( ) = = =, por lo tanto = es un Punto Crítico ( ) aplicando el Teorema de Bolzano para f (), teniendo en cuenta los puntos que sacamos del Dominio de f, obtenemos

14 Si < f ()> f crece Si << f ()> f crece Si << f ()< f decrece Si > f ()< f decrece Por lo tanto : Intervalo de decrecimiento de f: (, ) U(, + ) Intervalo de crecimiento de f: (, ) U(, ) En = hay un máimo relativo y vale f()= / d)