2) (1p) Demuestra que la derivada de y=ln x es y'=1/x.

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1 CURSO de noviembre de 00. ) (p) Define función derivada. ) (p) Demuestra que la derivada de yln es y'/. 3) (p) Enuncia el criterio de la derivada segunda para el estudio de la curvatura y los puntos de infleión. 4) (p) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y 3 +y en el punto de abscisa. 5) (p) Halla dos puntos A y B de la curva y 3 tales que la diferencia de sus abscisas sea y que la recta que pasa por ellos tenga pendiente mínima. 6) (p) Dada la función f() cos(π/), demuestra que eiste α en (,3) tal que f'(α)-. Menciona los resultados teóricos que utilices. 7) (p) Halla: - - ln 8) (p) Calcula a, b y c sabiendo que la función y a 3 + +b+c tiene un mínimo en (0,0) y que la pendiente de la tangente de infleión es /3. 9) (p) Estudia y representa la gráfica de la función: f() (+) --

2 CURSO 00-0 Ejercicio 4: Halla la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación y 3 +y en el punto de abscisa. ( PUNTO) º) Calculamos la ordenada del punto de tangencia: y 3 +y y +y y -y-0 y ± +8 ±3 4 4 y y-/ y º) Para hallar la pendiente, derivamos la función: 3 y 3 +y 4 y 3 +e ln y 4yy'3 +e ln y ( ln y)' 4yy'3 +y ln y+ y' y 3º) Calculamos la pendiente en el punto de tangencia: 4yy'3 +y ln y+ y' y 5 4y'3+y' 3y'3 y' Resumiendo: y y' 4º) Por tanto, la ecuación eplícita de la recta tangente es: y- (-) y-- y Ya que. Como y es una función potencial-eponencial, la base debe ser positiva. 3 Por el método de derivación implícita. 4 Aunque el sumando y se puede derivar aparte por el método de derivación logarítmica, es más cómodo escribirlo como función eponencial de base e. 5 Ya que e y. --

3 CURSO 00-0 Ejercicio 5: Halla dos puntos A y B de la curva y 3 tales que la diferencia de sus abscisas sea y que la recta que pasa por ellos tenga pendiente mínima. ( PUNTO) Como los puntos A y B pertenecen a la curva y la diferencia de sus abscisas es, si A(a,a 3 ), entonces B(a+,(a+) 3 ). La pendiente de la recta AB tiene que ser mínima: [AB ](a+-a,(a+) 3 -a 3 )(,a 3 +6a +a+8-a 3 )(,6a +a+8) m 6a +a+8 3a +6a+4 Como la condición necesaria de etremo relativo es que la derivada valga cero, derivamos, igualamos a cero y resolvemos la ecuación: m' 6a+6 0 a- Para aplicar el criterio de la derivada segunda, derivamos de nuevo y calculamos el valor de la derivada segunda en a-: m"6 m"(-)6>0 m es mínima en a- Por tanto, A(-,-) y B(,). También puede aplicarse el criterio de la variación del signo de la derivada primera. -3-

4 CURSO 00-0 Ejercicio 6: Dada la función f() cos(π/), demuestra que eiste α en (,3) tal que f'(α)-. Menciona los resultados teóricos que utilices. ( PUNTO) Primero derivamos la función: π f'()4 cos + π -sen π ' π 4 cos - sen π -π 4 cos π +4π sen π Como la función f satisface las condiciones del teorema de Lagrange, eiste α en el intervalo abierto 3 (,3) tal que: f'(α) En efecto: f(3)-f() 8 cos 3- π 3-8 cos π (-) ª) f es continua en el cerrado [,3] por ser derivable en R*. 4 ª) f es derivable en el abierto (,3) por serlo en R*. α f En realidad el primer cálculo que hay que hacer es [f(3)-f()]/(3-). Como no sale -, hemos calculado [f(3)-f()]/(3-). Al salirnos ahora -, podemos aplicar el teorema de Lagrange al intervalo [,3], que es lo que hacemos en el teto. También podría hacerse el problema probando que la función f' cumple las condiciones de la propiedad de Darbou o que la función g()f'()+ cumple las del teorema de Bolzano o que la función g()f()+ cumple las del teorema de Rolle. 3 Si α está en el intervalo (,3), también está en (,3). 4 R*R-{0}. -4-

5 CURSO 00-0 Ejercicio 7: Halla el siguiente ite: - - ln ( PUNTO) - - ln ln -+ (-) ln ln +- - ln + ln ln +- ln + ln ++ Como sale la indeterminación 0/0, aplicamos L'Hôpital. Multiplicamos numerador y denominador por. -5-

6 CURSO 00-0 Ejercicio 8: Calcula a, b y c sabiendo que la función y a 3 + +b+c tiene un mínimo en (0,0) y que la pendiente de la tangente de infleión es /3. ( PUNTO) Teniendo en cuenta la condición necesaria de etremo relativo, el dato de la pendiente de la tangente de infleión y la condición necesaria de punto de infleión, podemos recoger la información en la siguiente tabla: y y' y" /3 0 Como ya 3 + +b+c, entonces y'3a ++b e y"6a+. Como el punto (0,0) pertenecen a las gráficas de las funciones y e y', y los puntos (,0) y (,/3) a las de las funciones y" e y', respectivamente, tenemos lo siguiente: y(0)0 c0 y'(0)0 b0 y"()0 6a+0 3a+0 y'()/3 3a +/3 9a +6 Por último, resolvemos el sistema formado por las dos últimas ecuaciones: 3a+0 9a +6 a /3 a- Ya que b0. -6-

7 CURSO 00-0 Ejercicio 9: Estudia y representa la gráfica de la función: (+) f() º) Dominio: (-,0) (0,+ ). ( PUNTOS) º) Paridad: como el dominio es simétrico respecto del origen de coordenadas, calculamos f(-): (-+) f(-) - La función no es ni par ni impar. 3º) Periodicidad: la función no es periódica. 4º) Cortes con los ejes: a) Con OX: y0 (+) 0 -. b) Con OY: como 0, no hay cortes. 5º) Signo de la función: º) Asíntotas y ramas parabólicas: a) La recta 0 es asíntota vertical: 0 <0 f() 0 <0 (+) 0- - ; 0 >0 f() 0 >0 (+) b) La recta y+ es asíntota oblicua en - y en + : (+) k f() ± ± ± (+) ± m ± f() (+) ± (+) ± b [f()-m] ± ± (+) - ± ± ± ± ± ± Posición relativa: f()-y (+) Hemos señalado el origen para recordarnos que no pertenece al dominio de la función. Como sale la indeterminación /, aplicamos L'Hôpital. También puede hacerse sacando factor común en numerador y denominador la respectiva máima potencia de, simplificando a continuación. O teniendo en cuenta que a 0 +a +a + +a n n ~ a n n en + y en

8 Por tanto, como / es negativo en - y positivo en +, la función está por debajo de la asíntota en - y por encima en +. 7º) Continuidad. Discontinuidades: a) La función es continua en su dominio por ser derivable en él: (+) f() (+) -(+) f'() (+) (-) b) La función presenta en 0 una discontinuidad de salto infinito (el estudio ya se ha hecho en el apartado anterior). 8º) Signo de la derivada primera: + Má Mín º) Signo de la derivada segunda: f'() - f"() -( -) º) Tabla de valores: Gráfica: y Clasificación - 0 Corte con OX y máimo 4 Mínimo 4 - O Aplicamos aquí el criterio de la derivada primera y el criterio de la variación del signo de la derivada primera. Aplicamos aquí el criterio de la derivada segunda y el criterio de la variación del signo de la derivada segunda. -8-

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