ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2?

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1 ejeriiosemenes.om. Si A B son mtries udrds de orden n, se umple l relión (AB) A ABB?. Siendo que d e f. Hllr el vlor de: g h i ( e) i h g d g i d f ) (d e) f i e h ) h e ) h/ / e/ e i h i f i f. Enuni el teorem de RouhéFroenius. Disutir según los vlores de m resolverlo en el so de omptile determindo: m m m Siendo que A B C D 5 Resolver: AX BY C AX YD Soluiones:. ) 4; ) ; ). m S.C.D., / m S.C.D. 4/5, /5 4. X Y

2 ejeriiosemenes.om. Es iert l firmión (AB).(AB) A B siendo A B mtries udrds de orden n?. Si A, siendo A un mtri de H. Hllr ) A ; ) A ; ) (A.A t ). Dds ls mtries: A B resuelve mtriilmente AABAX CAX D C 5 D Disutir según los vlores de m, undo tiene soluión el siguiente sistem, uánts tiene hállls tods: m m (m) 5. Dd l mtri A λ λ ) Tringul l mtri A ) Según ë hll el rngo de A ) Pr qué vlores no tiene invers?. Hll A si ë. Soluión:. ) 54; ) /; ). X m S.I.; m S.C.I.; m m S.C.D 5. ) ë" r(a) ; ë" r(a) ; ) ë"; A / 5/6 /6 / /6 /6 / 7/6 5/6

3 ejeriiosemenes.om. Si F, F, F son ls fils de un mtri AMH A 5. Hllr ) A ; ) ( t.a) ; ) (FF,F,F). Si A.B A.C, entones se puede deir que BC?. Rónlo si A si A.. Enuni el teorem de RouhéFroenius. Clsifiión de sistems. Se el sistem Esríelo en form mtriil resuélvelo por medio de l mtri invers. 4. Disutir el sistem resolverlo en el so de omptile indetermindo. (m ) m 5. Eliminr los prámetros. t Soluión:. ) /5; ) /5; ). ;, 4. m 6 r(a) r(a * ) S.C.I. m 6 r(a) r(a * ) S.C.D. m 6 ë, ë, ë t 7 5. t 4

4 ejeriiosemenes.om CUESTIONES ) Demuestr que (AAB) B AA ) En generl pr dos mtries ulesquier, se umple que: (AB) A AAB B? ) Pon un ejemplo, si es posile, de sistems de euiones que umpln ls siguientes ondiiones: ) Dos euiones on tres inógnits que se inomptile. ) Dos euiones on tres inógnits que se omptile indetermindo. ) Dos euiones on tres inógnits on soluión úni. d) Tres euiones on dos inógnits que se omptile determindo. EJERCICIOS. Disute el siguiente sistem según los distintos vlores del prámetro "", resuélvelo en el so omptile indetermindo:. Apli el método de Guss pr lulr el rngo de l mtri: 6 7. Resuelve l euión mtriil: XAA XAB C, siendo: A ; B ; C 6 Soluiones:. 6 r(a) r(a * ) S.C.I. ë, ë, ë 6 r(a) r(a * ) S.I. 6 r(a) r(a * ) S.C.D.. r(a). X

5 ejeriiosemenes.om. Enuni ls propieddes de los determinntes.. ) Disutir el sistem ) Resolver por Guss Crmer ) Cómo serí l disusión si los términos independientes fuern todos nulos?. k k 4. Hiendo uso del método de Guss, disutir el rngo de l mtri B según los vlores del prámetro : 4 4. Ron: ) Un sistem homogéneo puede ser inomptile?; ) Un sistem homogéneo puede ser omptile indetermindo? 7 5. Dds ls mtries A B enontrr un mtri simétri P tl que B P A P 7 A B 7 Soluiones:. ) k 6 r(a) r(a * ) 6 S.I. k 6 r(a) r(a * ) 6 S.C.D.. 6 r(a) 6 r(a) 4 4. ) No; ) Sí 5. P

6 ejeriiosemenes.om. ) Teorem de Rouhe ) Se se que det (A) 4 que A es un mtri de orden 4. Cuánto vle det (A)?. Rónlo.. Averigur pr qué vlores de "t" l mtri A no tiene invers. Clulr l mtri invers de A pr t, si es posile.. Hllr el rngo de l mtri A pr los distintos vlores de t. t A t t 4. Ddo el sistem: ) Disutirlo ) Resolverlo pr A () () t 5. Determinr el vlor de pr que el sistem se omptile resolverlo por Guss. Soluiones:. Det (A) 64. ) t ) A. ) t 6 r(a) t 6 r(a) 4. ) 6 r(a) r(a * ) 6 S.I. 6 r (A) r(a * ) 6 S.C.D. ) ; ; 5. ) ) ; ;

7 ejeriiosemenes.om. ) Regl de Crmer. ) Enunido del teorem de RouheFroenius.. Hllr l mtri X siendo que A.XB.XC, siendo: A B C. Disutir el siguiente sistem según los vlores de á resuélvelo en el so omptile indetermindo. ( α ) α α ( α) 4. Disutir según los vlores de el sistem homogéneo: ( ) ( ) Soluiones:. X. á 6 S.C.I. {, ë, ë} á 6 S.C.I. {ë/; ë/; ë} á á 6 S.C.D S.C.I. 6 S.C.I. 6 S.C.D.

8 ejeriiosemenes.om. Enuni el teorem de RouheFroenius.. Hllr l mtri X si A.XXB, siendo A B 4. Hiendo uso de ls propieddes de los determinntes hllr A. A 4. Disutir según los vlores de, el sistem: 5. Resolver el sistem nterior undo se posile. m 6. Ddo m m ) No teng soluión. ) Teng infinits soluiones. ) Teng soluión úni. d) Teng soluión úni., se pide m pr que: Soluiones:. X. A () 4. 6 S.I. 6 S.C.I. 6 S.C.D ; ë; ë 6 ()/; (()())/ 6. ) m; ) m; ) m"; d) m/

9 ejeriiosemenes.om. Define mtri invers. Qué ondiión se h de dr pr que un mtri teng invers?. Hll l invers de A, si l tiene. A. Hllr X e Y, siendo que: X Y X Y. Define rngo de un mtri sistem de Crmer. Disutir según los vlores de ë resolver en el so omptile indetermindo. λ λ 4. Enuni ls propieddes de los determinntes. Hll el rngo de l mtri, e indi l eisteni de invers, según los vlores de m. m m Soluiones: m.. A X Y. ë 6 r(a)r(a * ) S.C.I. ë 6 r(a)r(a * ) S.I. ë: k; ; k ë ë 6 r(a)r(a * ) S.C.D. 4. m 6 r(a) m 6 r(a) m m 6 r(a) A ] m m Y A (m )(m ) m m m m m m m

10 ejeriiosemenes.om. Si A B son dos mtries udrds de orden n, se umple l iguldd (AB) A ABB?. Hll el vlor del determinnte:. Disute resuelve el sistem siguiente, en el so omptile indetermindo. Esríelo en form mtriil. (m ) ( m) _ 6 4. Define mtri invers rngo de un mtri. Resuelve el siguiente sistem en form mtriil, usndo mtri invers. 5. Teorem de RouheFroenius. Soluiones:. 8. m9 m 6 r(a)r(a * ) S.C.D. m 6 r(a)r(a * ) S.C.I. {ë; ë; ë} m9 6 r(a)r(a * ) S.I. Form mtriil: (m). ( m) 4. ; ;

11 ejeriiosemenes.om. Teorem de RouhéFroenius. Resolver el sistem:. Hllr el rngo de A en funión de m. Hllr A pr m. m m. Clulr l mtri B.A.B, siendo: B A 4. Esrie un sistem, si es posile, de tres euiones on dos inógnits: ) Inomptile ) Comptile indetermindo ) Comptile determindo on soluión e Soluiones:.. m ó m 6 r(a) ; m m 6 r(a) A m. 4 4 B. A. B

12 ejeriiosemenes.om. ) Cuál es l ondiión neesri sufiiente pr que un mtri teng invers? ) Puede un mtri de H tener invers?. Pr qué vlores de ë tiene invers l mtri A?. Hll A pr ë. λ A λ. Rngo de un mtri. Si un mtri M M su determinnte M. Qué se puede firmr del rngo? de l mtri invers?. Justifílo. 4. Enuni el teorem de RouhéFroenius Disutir resolver en el so omptile indetermindo el siguiente sistem. m 5. Disutir según los vlores de m: m m m Soluiones:. ëœ A ; ë Y. r(a)< Y A A /4 / / / /4 / / 4. m S.C.I. {ë; ë; ë} m S.C.D. 5. m Y S.C.I. m Y S.I. m m Y S.C.D.

13 ejeriiosemenes.om 8. Se A 6 Comprue que (AI) siendo I l mtri identidd 5 Otener l mtri invers A.. Compror que el determinnte es nulo, sin desrrollrlo.. Enuni el teorem de RouhéFroenius. Disute el sistem según los vlores de resuélvelo en el so omptile indetermindo. 4. Disutir según el vlor del prámetro m, el sistem de euiones lineles: m m m 5. Define rngo de un mtri. Soluiones:. A Y S.C.I. {ë; ; ë}; Y S.C.D. 4. m Y S.I. m Y S.C.I. m m Y S.C.D.

14 ejeriiosemenes.om. Produto de mtries. Propieddes. Se umple siempre que A B (AB)(AB)?, siendo A B mtries udrds de orden n. Rónlo.. Resolver A.XB.Y C; A.X Y, siendo: 5 A B C. Si A es un mtri de H on determinnte, A. Hllr A, A A 4. Dd l mtri A, pr qué vlores de á eisten A?. Hll A pr á. α A α 5. Regl de Crmer. 6. Disutir resolver: ( ) Soluiones:. No. X Y. A 8; A 9; A / 4. á"; á Y A 6. / Y S.C.I. {ë, ë, 6ë} Y S.C.I. {ë/; ë} / Y S.C.D. {; ; }

15 ejeriiosemenes.om. Aplindo ls propieddes de los determinntes, omprue que el siguiente determinnte es nulo.. Enuni el teorem de RouhéFroenius. Disutir resolver undo se posile según los vlores de :. Hllr X e Y, soluiones del sistem mtriil: 4 X Y X Y 4. Rngo de un mtri. Clulr el rngo de l mtri A lulr su invers. A 4 Soluiones:. 6 S.C.I. {ë; ë; ë} 6 S.I. S.C.D. {/(),, /()}. X 4. r(a) Y A Y

16 . Teorem de RouhéFroenius ejeriiosemenes.om. Pr qué vlor de ë tiene invers l mtri A. Hllr A on ë. λ A λ. Disutir resolver en el so omptile determindo. α α α α 4. Enunir utro propieddes de los determinntes. Demostrr: Soluiones:. ë ë7 A á Y S.C.I. á Y S.C.I. á á Y S.C.D. á/,,

17 . Hll el vlor del determinnte: ejeriiosemenes.om. Rngo de un mtri. Clulr el rngo de l mtri A según los vlores de á: α A α α 4. Disutir resolver en so omptile indetermindo el sistem: ( ) _ 4 4. Resuelve l euión mtriil: w 7 Soluiones:. 5. á Y r(a) á Y r(a). Y S.C.I. {/; ; ë} Y S.I. Y S.C.D. 4. 4

18 ejeriiosemenes.om. Enontrr pr que l mtri teng rngo Resolver l euión A.XBC.X, siendo: A B 5 4 C. Hiendo uso de ls propieddes de los determinntes, lulr el determinnte: 4. Disutir según los vlores de, el sistem. Resolver pr. () 5. Pon un ejemplo de un sistem de euiones on inógnits que: ) No teng soluión ) Teng infinits soluiones ) Teng soluión úni Soluiones:.. X. () 4. 6 S.I. 6 S.I. 6 S.C.D. Y {/, /, /4}

19 ejeriiosemenes.om TEORÍA. Invers de un mtri. Definiión propieddes.. Responde de form rond ls siguientes uestiones: ) Tods ls mtries udrds dmiten invers? H lgun mtri retngulr que teng invers? ) Es posile enontrr un sistem de dos euiones on tres inógnits que teng soluión úni? de tres euiones on dos inógnits? ) De ls siguientes igulddes: ) ) PRÁCTICA. ) di uáles son ierts uáles flss.. Hll l mtri X tl que AXB X siendo (Si te sirve de lgo, reuerd que X IX) A B Disute, según los vlores del prámetro á, resuélvelo undo se omptile e indetermindo el siguiente sistem: α ( α ) α Soluiones:. ) No, no; ) No, sí; ) son erts ) ). 4. X α / α α / α S.C.I. S.C.I. S.C.D. á/ {ë; ë; ë} á {ë, ë/5, 4ë/5}

20 ejeriiosemenes.om. Resuelve l euión mtriil AX B C siendo: A. Disute el siguiente sistem: k B k C k 4. Si hll: ) ) ) ) / / / 4. Si A A 6, uál es el orden de A? 5. Siendo que A, B M 4H4, A B lul: ) A ; ) B t.a ; ) (A.B ) t 6. Define: mtri invers, mtri simétri, mtri trspuest, mtri unidd, mtri tringulr. Enuni el teorem de RouheFroenius. Soluiones:. X. k Y S.C.I. k Y S.I. k Y S.C.D.. ) /; ) ; ) 6; d) 6 4. Orden 5. ) /; ) 6; ) /

21 ejeriiosemenes.om. ) Enuni l regl de Crmer. Enuni el teorem de RouhéFroenius. ) Ddo el sistem de euiones ) Añde, si es posile, un euión linel de mner que el sistem resultnte se inomptile. ) Añde, si es posile, un euión linel de mner que el sistem resultnte se omptile determindo. ) Añde, si es posile, un euión linel de mner que el sistem resultnte se omptile indetermindo. 4 ) Esrie, si es posile, un sistem de euiones lineles on dos inógnits omptile determindo.. ) Resuelve l euión mtriil XABX, siendo: A B. Disutir resolver según los vlores de el sistem: 4. ) Clul, según los vlores de, el rngo de l mtri: A ) Si A es un mtri tl que rg(a) ron uál es el rngo de A, A...A n 6 d g d 5. Si d e f Clul rondmente i h g e e h e g h i f e d f f i e Soluiones:. X. Y S.C.I. ë, ë, ë Y S.I. Y S.C.D., ()/(), /() 4. ) " Y r(a); " Y r(a) ) r(a ) r(a )... r(a n ) 5.,

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