Representación de la Información en un computador. Ingeniería de Sistema y Automática Universidad de Valladolid

Transcripción

1 Representación de la Información en un computador Ingeniería de Sistema y Automática Universidad de Valladolid

2 Índice Sistemas de numeración: Binarios Octales Hexadecimales Operaciones. Transformaciones Códigos de Entrada/Salida Representación interna de la información Números enteros Números reales. Circuitos lógicos y Álgebra de Boole Álgebra de Boole Funciones de conmutación

3 Sistema de numeración Sistema de numeración en base b => alfabeto formado por b símbolos. Cada cifra contribuye: La Cifra en sí La posición dentro del número Ejemplo: sistema de numeración decimal: b=10 => {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} =4* * * * * *10-2 N=...n 4 n 3 n 3 n 1 n 0.n -1 n -2 n N=... n 4 b 4 + n 3 b 3 +n 2 b 2 + n 1 b 1 + n 0 b 0 + n -1 b

4 Sistema binario b = 2 => {0,1} Binario Decimal ) 2 = 1* * * *2-3 =20.125) 10 Decimal Binario Parte entera se divide entre 2 Parte decimal se multiplica por 2 Ejemplo: ) 10 = ) 2

5 Sistema binario Operaciones aritméticas: Suma Resta a b a - b y me llevo a b a + b y me llevo 1

6 Sistema binario Operaciones aritméticas Multiplicación División. a b a * b a b a / b 0 0 Indeterminado

7 Sistema binario Operaciones lógicas OR AND NOT a b a OR b a b a AND b a NOT a

8 Sistema binario Representación en complementos Complemento a la base menos uno de un nº N es el nº que resulta de restar cada una de las cifras de N de la base menos uno del sistema de numeración utilizado: Base 10 => C 9 Ejemplo: C 9 63 = = 36 Base 2 => C 1 Ejemplo: C = = C 1 => cambiar los ceros por los unos y los unos por los ceros

9 Sistema binario Sirve para realizar las restas como sumas. Ejemplo: = = = 14 C 9 63 Ejemplo: = = = C

10 Sistema binario Complemento a la base de un nº N, es el nº que resulta de restar cada una de las cifras de N de la base menos uno del sistema de numeración utilizado, y sumar 1 a la diferencia obtenida. Base 10 => C 10 Ejemplo: C = = = 37 Base 2 => C 2 Ejemplo: C = = = 01110

11 Sistema binario Sirve para convertir las restas en sumas: Ejemplo: = = 114 C Ejemplo: = = C

12 Sistema octal b = 8 = 2 3 Alfabeto: {0,1,2,3,4,5,6,7} Binario Octal ) 2 = ) Octal Binario ) 8 = ) 2 Octal Decimal ) 8 = = ) 10

13 Sistema octal Decimal Octal Parte entera se divide por 8 Parte decimal se multiplica por 8 y sólo nos quedamos con la parte entera. Ejemplo: ) 10 = ) 8 Tabla: Binario Octal Binario Octal

14 Sistema hexadecimal b = 16 = 2 4 => Abecedario: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Binario Hexadecimal ) 2 = 25DF.BA) H 2 5 D F B A Hexadecimal Binario 1ABC701.C4) H = ) 2

15 Sistema hexadecimal Hexadecimal Decimal A798C.1E) H = 10 * * * * * * * 16-2 = ) 10 Binario Hexadecimal Parte entera se divide por 16 Parte decimal se multiplica por 16 y nos quedamos sólo con la parte entera de cada multiplicación. Ejemplo: ) 10 = 11DD.CA3D) H

16 Sistema hexadecimal Binario Binario Decimal Hexadecimal Decimal Hexadecimal A B C D E F

17 Códigos de Entrada/Salida (E/S) Código E/S: es una correspondencia biunívoca entre dos conjuntos Caracteres combinación de bits α ={0,...,9,A,,...,Z,a,...,z, ;,:,...} β = {0, 1} n donde n es el nº de bits Si n=2 4 combinaciones Si n=3 8 combinaciones Si n=n m= 2 n combinaciones Por el contrario, si queremos representar m símbolos cuántos bits necesitamos? m = 2 n => n log 2 m

18 Códigos de Entrada/Salida (E/S) Código BCD (intercambio normalizado), tiene n=6 bits => m=2 6 = 64 símbolos Código EBCDIC con n=8 Código ASCII (American Standard Code for Information Interchange) n=7 bits Eficiencia de un código: τ = 0 τ 1 Ejemplo: ASCII para representar 95 símbolos: τ = 95 / 2 7 = Redundancia: R = (1 - τ)* 100% Ejemplo: R=( )*100 = 25.8% m 2 n

19 Códigos de Entrada/Salida (E/S) Un código poco eficiente es redundante Redundancia es útil para detectar errores Dos criterios: Bit de paridad par: se añade un bit para que el número total de 1 sea par. Bit de paridad impar: se añade un bit para que el número total de 1 sea impar (par) (par) (impar) (impar)

20 Representación interna de la información En la memoria y en la CPU la información se transmite y almacena en palabras. La longitud de palabra debe ser múltiplo entero del nº de bits utilizados para representar un carácter (8,16,32 o 64 bits) Los datos se introducen según un código E/S 253) 10 = ) ASCII 253) 10 = ) 2 El computador realiza una conversión del código de E/S a una representación interna.

21 Representación interna de la información Números enteros: Varias formas: Sin signo: en base 2 => 18) 10 = ) 2 Con signo: Signo y magnitud: en el bit más significativo (MSB) se pone el signo (0 para positivos y 1 para negativos) y luego el número en binario. Complemento a 1: en el MSB se pone el signo, y luego el número en complemento a 1, para negativos, y en binario natural para positivos. Complemento a 2: en el MSB se pone el signo, y luego el número en complemento a 2 para negativos y en binario natural para positivos.

22 Representación interna de la información Ejemplo: N = con n=16 bits. 3675) 10 = ) ) 10 = ) 2 con 16 bits Sin signo => Con signo: Signo y magnitud => Complemento a 1 => Complemento a 2 =>

23 Representación interna de la información Números reales: Notación científica => N = M B E Normalización IEEE754 B=2 predeterminado El nº se representa como : s e m s: campo del signo => 1bit: 0 si el nº es positivo, 1 si es negativo e: campo del exponente => ne bits: se representa como el exponente + el sesgo => E+S donde S = 2 ne-1 1; m: campo de la mantisa => nm bits que se calculan como => n= 1 + ne + nm, con n el nº total de bits para representar el número.

24 Representación interna de la información La mantisa tiene que estar normalizada: E y el primer 1 no se almacena. Ejemplo: N = n=16 bits y ne= ) 10 = ) 2 Normalizar el número y ponerle de forma exponencial: Signo: 1 => número negativo Exponente: e = E+S = = 132) 10 = ) 2 Mantisa: nm=16-1-8= 7 => m= N = => s e m

25 Representación interna de la información Situaciones especiales: Cuando e=0, la mantisa se almacena desnormalizada y el valor de E = e 2 ne-1 +2 El número N=0, se representa con todos los bits del exponente y la mantisa a 0 Si todos los bits del exponente son 1 Si m=0 => representa ± Si m 0 => representa un NaN (valores no válidos) Precisión: Simple: n=32 bits, ne=8 Doble: n=64 bits, ne=11

26 Circuitos lógicos y Algebra de Boole Sistemas: Analógicos: variables continuas (Tª, presión...) Digitales: un dispositivo destinado a la generación y/o transmisión y/o procesamiento y/o almacenamiento de la información, la cual está representada por variables físicas limitadas a tener valores discretos. Sistema digital con sólo dos valores discretos se llama sistema binario. Sistema digital se puede representar como: Bloque con entradas y salidas Tabla de verdad

27 Algebra de Boole Herramienta matemática para el análisis y síntesis de sistemas digitales Postulados: Conjunto de elementos, B / x,y B / x y Leyes de composición interna: x, y B x.y B y x+y B Elementos neutros únicos: 0 B / x B x + 0 = 0 + x = x 1 B / x B x. 1 = 1. x = x Conmutatividad: x, y B x + y = y + x ; x. y = y. x

28 Algebra de Boole Distributividad: x, y, z B x + ( y + z) = (y+x). (x+z) ; x. (y + z) = (x. y) + (x. z) Asociatividad: x, y, z B x + (y+z) = (y + x)+z = x+y+z; x. (y. z) = (x. y). z = x. y. Z Elemento opuesto (complementó) único x B x B / x + x =1; x. x = 0 Ejemplos de Algebra de Boole: B={0, 1} con las operaciones AND, OR y NOT B = conjuntos, con la y la

29 Funciones de conmutación Una variable de conmutación es símbolo que sólo puede tomar el valor 1 o el 0. Función de conmutación f(x 1, x 2,...,x n ) es una aplicación: f {0, 1} n {0,1} Se puede representar: Tabla de verdad Explicitamente: f(x,y,z) = x. (y+z) + y.z Ejemplo: f(0,0,0) =0, f (010) = 0...

30 Funciones de conmutación Algebra de conmutación, es una álgebra de Boole con los siguientes elementos: Relación de igualdad: dos funciones son iguales si lo son sus tablas de verdad. Operación Y (.) Operación O (+) Complemento Y O

31 Funciones de conmutación Elemento 0 => función {0,1} n 0 Elemento 1 => función: {0,1} n 1 Minterms: es una función que asigna un 1 a una combinación de entradas y 0 a todas las demás. Toda función de conmutación de n variables se puede poner como una suma única de minterms. (aparece un minterm por cada 1 que aparezca en la tabla de verdad de la función)

32 Funciones de conmutación x 1 x 2 x 3 m 0 m 3 m 6 minterms f1 f x x x x1x2x x1x2 x x1x2x x x x x x x x1x2 x x1x2x3 0 1 f 1 = x1x2x3 + x1x2 x3 + 1x2x3 + f 2 = x1x2x + 1x x3 + 3 x x 2 1x2x3 x x1x2 x3

33 Funciones de conmutación Maxterms:es una función que asigna un 0 a una combinación de entradas y 1 a todas las demás. Toda función de conmutación de n variables se puede poner como un producto único de maxterms. (Hay un maxterm por cada 0 que aparezca en la tabla de verdad de la función)

34 Funciones de conmutación x 1 x 2 x 3 M 0 M 3 M 6 Maxterms f1 f x 1 + x 2 + x x 1 + x x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x2 + x3 x 1 + x2 + x3 x 1 + x2 + x x + x x + x x x3 1 2 x3 f 1 = ( x + x + x ) * (x + x + x3) * (x + x2 + x ) * (x1 + x2 x3 ) f 2 = ( x1 + x2 + x3) * (x1 + x2 + x3) * (x1 + x2 + x3) * (x1 + x2 + x3) * (x1 + x2 + x3)

35 Funciones de conmutación Circuito lógico: dos posibilidades x 1 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 f 1 x 2 x 3 x x 1 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 f 1