EJERCICIOS DE SISTEMAS

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1 EJERCICIOS DE SISTEMAS 1.- Discute y resuelve cuando sea posible, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: (Cuando sean compatibles determinados podéis practicar con el método de Gauss o la Regla de Cramer) a) b) c) Sol: (2, -1, 1) Sol: (,, t ) Sol: (1/3, -1/3, -2/3) d) e) f) Sol: (5, 3, -1) Sol: Incompatible Sol: Incompatible g) h) i) Sol: (4, 3, 2, 1) Sol: (-7t, 5t, t) Sol: (0, 0, 0) 2.- Ejercicio.- Resuelve y clasifica los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) b) c) d) Sol.: (1, -2, 3) Sol.: Incompatible Sol.: (1, 2, -1) PROBLEMAS PARA PLANTEAR SISTEMAS. 3.- La suma de las edades de un padre y de sus dos hijos es 48. Dentro de diez años el doble de la suma de las edades de los hijos excederá en 6 años a la edad del padre. Cuando nació el pequeño, la edad del padre excedía 26 unidades al triple de la edad que tenía el hijo mayor. Calcula la edad de los tres. Sol: (40, 6, 2) 1

2 4.- Una empresa concede pesetas para ayudas a 100 estudiantes hijos de empleados. Establece tres cuantías diferentes en función de sus niveles educativos, A, B y C; ptas. para los del nivel A, para los del B y para los del C. Si para el nivel A destina cinco veces más de dinero que para el B, cuántos estudiantes hay en cada nivel? Sol: (40, 20, 40) 5.- La suma de tres números es Determínalos sabiendo que la mitad del tercero, más diez veces el primero, es igual al séxtuplo del segundo; y que el doble del segundo, más cinco veces el primero, es igual a la cuarta parte del tercero. Sol; (10, 100, 1000) 6.- Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión? Sol: (8, 7, 5) 7.- Una tienda posee tres tipos de conservas cárnicas: A, B y C. Un cliente compra el primer mes 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, teniendo que abonar ptas.. Al mes siguiente compra 20 unidades de A y 25 de C y abona ptas.. Sabiendo que el precio medio de los tres productos es ptas., encuentra el precio de cada una de las unidades. (P.A.U. Murcia, junio 96) Sol: (1.200, 1.500, 1.800) 8.- Un joyero tiene monedas de tres clases: A, B y C. Las monedas del tipo A tienen un gramo de oro, dos de plata y siete de cobre; las del tipo B tienen tres gramos de oro, dos de plata y cinco de cobre; finalmente, las del tipo C tienen cuatro gramos de oro, tres de plata y tres de cobre. Cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener una moneda de 22 gramos de oro, 22 de plata y 56 de cobre? (P.A.U. Murcia, septiembre de 1996). Sol: (5, 3, 2) 9.- Averigua para qué valores del parámetro m es o no compatible indeterminado cada uno de los siguientes sistemas homogéneos: a) b) c) 2

3 m=1, indeterminado m=2, indeterminado m=1 o 2, indeterminado 10. Discutir y resolver, cuando sea posible, el siguiente sistema, según los valores de : Sol: Si S.C.D. x = 3 + 5, y = -2, z = -3. Si = 1 S.C.I x = s, y = t, z = 3 - s - t con s, t. 11) Se da el sistema: x my z 2 mx 2z 4 x y z 2 a) Hállense los valores de m para los que sea compatible. b) Resuélvase, si es posible para m=2. 12) Se considera el sistema: x y z 6 x y (a 4)z 7 x y 2z 11 (a) Discútase según los valores del parámetro real a. (b) Resuélvase para a = 4 13) Siendo a un número real cualquiera se define el sistema (a) Discútase dicho sistema en función de a. (b) Encuéntrense todas sus soluciones para a=1 x 2y az 1 y z 0 ax z a 14) Se considera el siguiente sistema lineal: x y = a x + a 2 z = 2a+1 x y + a(a1)z = 2a (a) Discútase el sistema según los distintos valores del parámetro real a. (b) Resuélvase dicho sistema para a=3. 3

4 15) Considérese el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real a: ax y z 1 x ay z a 2 x y az a a) Discútase según los valores de a. b) Resuélvase para a = 1. 16) Se considera el siguiente sistema lineal, dependiente del parámetro real m: 2x y z 2 x y 2z 5 x (m 2)z 3 a) Discutir el sistema para los distintos valores de m. b) Resolver el sistema para m = 3 17) Estudiar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x + 2y + z = 0 x y = 1 y z = 1 18) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real m: mx y 3z 5 x y z 4 x my mz 1 a) Discútase el sistema según los valores del parámetro m. b) Resuélvase el sistema para m = 2. 19) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k 2x 3y z 0 x ky 3z 0 5x 2y z 0 a) Discutir el sistema para los distintos valores de k. b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible. 20) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real p: x y z 0 x 2y pz 3 x 2y z p a) Discutir el sistema según los distintos valores de p. b) Resolver el sistema para p = 2 4

5 21) Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a: x y (a 1)z 9 3x 2y z 20a x y 2az 9 a) Discutir el sistema según los diferentes valores de a. b) Resolver el sistema en el caso de que tenga infinitas soluciones. c)resolver el sistema para a = 2 5