GUIA DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 20

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1 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º OBJETIVOS: GUIA DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO º Lograr qu l Alumno: Distinga tipos d cuacions difrncials ordinarias Rsulva Ecuacions difrncials ordinarias Rsulva problmas d aplicación COTEIDOS: Ecuación difrncial linal d primr ordn d variabls sparabls. Ecuación difrncial linal d primr ordn con coficints constants. Ecuación difrncial linal d sgundo ordn homogéna con coficints constants. OTA: o Los jrcicios indicados con (EO) son jrcicios obligatorios formaran la carpta d trabajos prácticos. o Es rquisito para los alumnos aspirants al Régimn d Promoción d la Asignatura qu han prsntado la primra part d la carpta complta, prsntar sta guía d trabajos prácticos con todos los jrcicios (EO) dsarrollados hasta l día siguint al sgundo parcial. o Los jrcicios d aplicación Biológica s indican con (AB). ACTIVIDADES: Lctura prliminar: El Modlo más simpl d incrmnto d una población cuo numro d individuos s incrmnta a una tasa constant, s conocido como crciminto ponncial. S lo dscrib con la cuación difrncial d / dt r.el término d / dt s igual a la tasa d crciminto d la población, o sa, l cambio n l númro d individuos a lo largo dl timpo. La cuación stablc qu la tasa d crciminto s igual a r, la tasa d crciminto pr cápita, (dond), (s) l numro d individuos a prsnts d la población... Como pud vrs, aunqu la tasa d incrmnto pr cápita prmanc constant, la tasa d crciminto d la población -la tasa d cambio dl numro d individuos d la población- s incrmnta notablmnt a lo largo dl timpo. En otras palabras, la pndint d la curva d crciminto s lv cuando la población s pquña lugo s incrmnta cuando la población aumnta d tamaño. El crciminto ponncial cominza lntamnt, pro lugo s dispara mu rápidamnt cuando l númro d individuos rproductors s incrmnta n cada gnración. El principio s l mismo qu para calcular l intrés compusto d una cunta d ahorro. Cuanto mas s tin, más s obtin. Pro, qu s una cuación difrncial?. Es frcunt, n muchas invstigacions, hallar n forma mas dircta, rlacions ntr las variacions d las variabls, qu rlacions ntr las variabls mismas. Esto s, plantar cuacions qu vinculan las drivadas o la difrncial d la función con la variabl indpndint, por sta razón, s llaman cuacions difrncials.

2 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º Ejmplo Ilustrativo : Rconozca las siguints cuacions difrncials: a) b) c) d d Solución: Sa la variabl indpndint, tal qu la variabl dpndint sta dada a través d la función f (), la cual s difrnciabl hasta un cirto ordn, s dcir qu d d pudn istir sus primras drivadas,. Entoncs una cuación n d d dond la rlación sta dada ntr la variabl indpndint, la dpndint alguna d sus drivadas, s una cuación difrncial. Como toda cuación, su solución ist si ha una prsión qu satisfac la igual dada. En l caso d las cuacions difrncials, la solución vin dada por una función f (). La forma d vrificar si tal solución s la corrcta s rmplazar los términos obtnr la igualdad. Ejmplo Ilustrativo : Vrifiqu qu las funcions dadas solucions d las cuacions difrncials dl jmplo. n cada apartado son a) + b) c) + 5 Solución: a) + s solución d la cuación difrncial En fcto, la drivada d s: +. Rmplazando ahora n la cuación difrncial dada ( + ) ( + ) b) s solución d la cuación difrncial En fcto, las dos primras drivadas d son:. Rmplazando ahora n la cuación difrncial dada ( ). + c) + 5 s solución d la cuación difrncial d d d La drivada d la función s, pasando al otro mimbro los términos qu stán d dividindo s tin la cuación dada.

3 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º 4 Ahora podmos hablar d la forma d obtnr una solución d una cuación difrncial. Por un lado dbmos rconocr qu para hallar una función a partir d su drivada, dbmos fctuar una intgración, n conscuncia s lógico pnsar n la constant d intgración C qu contndrá la función obtnida. Una solución d una cuación difrncial qu s prsa n término d la constant d intgración s llama solución gnral. Esta solución a la qu s l asigna un valor dtrminado a la constant d intgración, s llama solución particular. Para llgar a una solución particular s ncsario conocr l valor d la función para un dtrminado valor d la variabl indpndint. Cuando s conoc l valor d la función para los primros valors d la función, s dcir, s tin una cuación difrncial con un valor inicial, a sto s dnomina problma con valor inicial. Ejmplo Ilustrativo : Hallar la solución gnral d la cuación d d. Vrifiqu lugo qu + 5 s la solución particular qu s obtin cuando 5. Solución: Partindo d la cuación intgrando s tin la solución gnral: d d d + C + C + C d + C C Sindo la solución gnral, la función f ( ) + C, s vrifica qu f ( ) + C 5 n conscuncia C 5. Así una solución particular s f ( ) + 5 Vimos n l jmplo qu la primra la trcra cuación contin únicamnt a la primra drivada d la función, mintras qu la sgunda cuación contin hasta la sgunda drivada, n conscuncia dirmos qu la primra trcra son d primr ordn mintras qu la rstant s d sgundo ordn. Así pus, s dic qu una cuación difrncial s d un cirto ordn, si s s l maor ordn d drivación prsnt n tal cuación. La toría d las cuacions difrncials s mu amplia, por lo qu aquí solo prtndmos dar una introducción. Las cuacions difrncials s clasifican n divrsos tipos, pro aquí solo prsntarmos las siguints: Ecuacions difrncials n variabls sparabls, Ecuacions difrncials linals d primr ordn homogénas, Ecuacions difrncials linals d primr ordn no homogénas, Ecuacions difrncials linals d sgundo ordn homogénas.

4 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º 5 EJERCICIOS: ) (EO)Comprobar qu + C, dond C s constant, s la primitiva d la d cuación difrncial: ( ) d Hall lugo la solución particular qu s satisfac para. ) Vrificar qu cada una d las siguints prsions s una solución d la corrspondint cuación difrncial: a) (EO) ( ) ( + ) b) (EO) ( + ) c) C + C Ecuacions difrncials n variabls sparabls Tratamos con cuacions qu continn funcions n una sola variabl, por lo cual nos rfrimos a una variabl indpndint una dpndint, d sta manra si podmos sparar tals variabls para rcién aplicar la antidifrnciación, dirmos qu la cuación difrncial s llama d variabls sparabls. Así, si logramos prsar a la cuación difrncial f () n la forma: G ( ) d F( ) d, s dcir qu n cada mimbro s tin prsions qu dpndn únicamnt d cada una d las variabls. El jmplo ilustrativo s d variabls sparabls pud obsrvars como s rsolvió. Ejmplo Ilustrativo 4: Rsulva la siguint cuación difrncial n variabls sparabls: Solución: Pasamos al sgundo mimbro l sgundo término, rscribimos la drivada como cocint d difrncials, postriormnt intgramos n ambos mimbros prsamos la función finalmnt: d 5 4 d 5d 4d 5d 4d C + C 5

5 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º Ejmplo Ilustrativo 5: La cuación difrncial d / dt r s d variabl sparabl. Solución: Aquí la variabl indpndint s l timpo t, la variabl dpndint s l d númro d habitants (t). Entoncs scribamos la cuación d la forma rdt, con lo cual s v qu s d variabls sparabls. Ahora intgrmos rsolvamos la cuación: t d t rdt [ [ t rt t ln ln ln ln r( t t ) r( t t r( t t ) r( t t ) ) Aplicación d las cuacions difrncials: Modlos poblacionals continuos Para muchas poblacions, l númro d individuos stá dtrminado no por l potncial rproductor, sino por l ambint. Un ambint dado pud soportar sólo a un limitado númro d individuos d una población particular n cualquir conjunto spcífico d circunstancias. El tamaño d la población oscila alrddor d st númro, qu s conoc como capacidad d carga dl ambint. Es l numro promdio d individuos d la población qu l ambint pud soportar bajo un conjunto particular d condicions. Para las spcis animals, la capacidad d carga pud star dtrminada por l suministro d alimnto o por l accso a sitios d rfugio. Para las plantas, l factor dtrminant pud sr l accso a la luz solar o la disponibilidad d agua. Los patrons d crciminto d la población obsrvados n la naturalza son muchos compljos. Uno d los patrons más simpls, qu ilustra claramnt l fcto d la capacidad d carga, s dscrito aproimadamnt por la siguint cuación: d K r dt K En sta cuación r s la tasa d incrmnto pr cápita, l numro d individuos prsnts, K la capacidad d carga, o sa, l numro d individuos qu l ambint pud soportar durant un priodo dtrminado.

6 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º 7 Important rsulta comprndr st análisis, cuando s mu pquño, la prsión dl K paréntsis, s aproima a uno la curva s aproima a la curva d K crciminto ponncial. Cuando s incrmnta, K disminu, l crciminto s hac mas lnto, disminundo hasta cro cuando K. Esta dsaclración dl crciminto poblacional rprsnta una dclinación n la tasa d incrmnto d la población. Si l númro d organismos cd la capacidad d carga, la tasa d crciminto d la población s hac ngativa la población disminu. Finalmnt, la población s stabiliza oscila alrddor dl tamaño máimo qu l ambint pud soportar. Est modlo d crciminto d la población, rprsntado por una curva n forma d S s dnomina gráficamnt sigmoid n gnral s llama logístico. Mas aun, l modlo sgún sta cuación s mas amplio, pus lo antrior sucd simpr qu l numro inicial dl tamaño poblacional sa mnor qu la mitad d la capacidad d carga, n cuo caso, s numro mdio rprsnta l punto d inflión, s dcir, dond cambia la aclración dl crciminto d la población. Por otro lado si l numro dl tamaño inicial d la población sta ntr la mitad d la capacidad d carga la capacidad d carga misma, l crciminto tind al valor d K pro sin oscilar, mintras qu un trcr caso ocurr, si l numro inicial s maor qu la capacidad d carga, la población dcrc hasta stabilizars n la capacidad d carga, sin oscilar. En la siguint grafica dscribimos stos trs casos, dond E s l valor d quilibrio dado por la capacidad d carga: E > E E E < < E < < E La cuación logística también s d variabls sparabls su solución s la función:

7 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º 8 K ( t) k + dond s l tamaño d la población n l timpo inicial t. rt EJERCICIOS: ) Rsolvr las siguints cuacions difrncials d primr ordn d variabls sparabls: a) (EO) + b) c) (EO) d) (EO) ) (EO) + f) + g) h) ln 4) (EO)Hallar la solución gnral d las siguints cuacions lugo una solución particular: a) + ; ncontrar la solución particular tal qu para s. b) + ; ncontrar la solución particular tal qu para s. Ecuacions difrncials linals d primr ordn homogénas Una cuación difrncial s dic linal d primr ordn homogéna si tin la forma + P( ), dond P () s una función continua, la variabl dpndint la drivada d la función incógnita. En fcto s linal n la drivada por sr su potncia igual a uno, d primr ordn por star hasta la primra drivada homogéna por star igualada a cro. La solución s inmdiata pus s rsulv mdiant variabls sparabls: d d P( ) P( ) P( ) P( ) d d Intgrando la última prsión:

8 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º 9 d ln P( ) d P( ) d P( ) d Así s tin la solución gnral d la cuación difrncial linal d primr ordn homogéna. Ejmplo Ilustrativo : Rsolvr la a cuación difrncial +. Solución: Aquí P( ), ntoncs tnmos + d + d d d d d d Intgrando ambos mimbros: ln En conscuncia la solución s: d + C EJERCICIOS: 5) Rsolvr las siguints cuacions linals homogénas d primr ordn: a) (EO) + b) (EO) + c) + Ecuacions difrncials linals d primr ordn no homogénas Una cuación difrncial s dic linal d primr ordn no homogéna si tin la forma + P( ) Q( ), dond P () s una función continua, Q () s otra función qu no s anula n todo su dominio, la variabl dpndint la drivada d la función incógnita. En fcto, también s linal n la drivada por sr su potncia igual a uno, d primr ordn por star hasta la primra drivada no homogéna por star igualada a una prsión no nula.

9 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º Prsntarmos aquí la formula qu prsa la función solución d la cuación difrncial linal d primr ordn no homogéna, sta s: ( ) d Q( ) P P( ) d d + C Ejmplo Ilustrativo 7: Rsolvr la a cuación difrncial +. Solución: Aquí P( ), P ( ) d, pus dbrmos conocr En fcto: P( ) d ln P ) d d ln Q ( ). Aplicarmos la formula, por lo tanto s útil calcular P( ) d ( ln P( ) d, d sta manra: ( ) ln P d Rmplazando n la formula d la solución gnral: [. d + C] [ d + C] ( ) d P( ) d + Q( ) d C P 5 C + 4 C + EJERCICIOS: ) Rsolvr las siguints cuacions linals d primr ordn: a) (EO) + b) (EO) + c) ( ) + d) + + 7) Encontrar la solución gnral d la siguint cuación: + Lugo ncontrar la solución particular tal qu para s.

10 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º Ecuacions difrncials linals d sgundo ordn homogénas con coficints constants Las cuacions difrncials así dnominadas tinn la forma a + b + c, dond,, son rspctivamnt, la función incógnita, su primra sgunda drivada. Mintras qu a, b, c, los coficints son cantidads constants. D hcho s fácil vr qu s homogéna, s dic d sgundo ordn, pus s s l maor ordn d difrnciación prsnt n la cuación. Son jmplos d cuacions difrncials d st tipo las siguints: + 4 +, Para rsolvr una cuación d st tipo, formamos la cuación caractrística, qu s una cuación algbraica d sgundo grado qu s dnota con una incógnita z rsulv sgún los distintos casos qu a conocmos:. Sus dos raícs son rals distintas z z. Sus dos raícs son rals iguals z z. Sus dos raícs son compljas conjugadas z m + in z m in Para cada uno d los casos la solución gnral d la cuación difrncial tin formas particulars, por lo qu s las prsntan por sparado a continuación.. Raícs rals distintas z z. La solución gnral s: z z C + C Ejmplo Ilustrativo 8: Rsolvr la a cuación difrncial +. Solución: La cuación caractrística s z + z, rsolvindo s tin las raícs caractrísticas z z, n conscuncia la solución gnral sta dada por la función: C + C. Raícs rals iguals z z. La solución gnral s: z z C + C Ejmplo Ilustrativo 9: Rsolvr la a cuación difrncial + 9. Solución: La cuación caractrística s z + z 9, rsolvindo s tin las raícs caractrísticas iguals z z, n conscuncia la solución gnral sta dada por la función: C C +

11 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º. Raícs compljas conjugadas z m + in z m in. La solución gnral s: z z C + C Podmos usar la notación binomial z m + in z m in, n la prsión antrior, o bin la fórmula d Eulr, qu stablc: m+ in m con lo cuál la solución gnral quda: C m ( m+ in) + C ( m in) C [ cos n( C + C ) + isn n( C C )] m ( cos n + isn n) m ( n + isn n) + C ( cos n isn n) cos Ejmplo Ilustrativo : Rsolvr la a cuación difrncial Solución: La cuación caractrística s z 4z + 5, rsolvindo s tin las raícs caractrísticas compljas conjugadas z + i z i n conscuncia la solución gnral sta dada por la función: cos C + C + isn C C [ ( ) ( )] Est último tipo d cuación s frcunt n problmas rals qu tinn qu vr con una situación d stabilidad dl fnómno qu s modla. EJERCICIOS: 8) Rsolvr las siguints cuacions difrncials d sgundo ordn: a) (EO) + 8 b) (EO) 7 5 c) (EO) d) ) f) g) h) + + Aplicación Biológica 9) (EO) (AB Una hrida sana n forma tal qu t días a partir dl luns l ára d dicha hrida ha vnido dcrcindo a razón d ( t + ) cntímtros cuadrados por día. Si l marts l ára d la hrida ra d cm :

12 GUIA DE TRABAJO PRACTICO º PAGIA º a. cuál fu l ára d la hrida l luns? b. cuál s su ára anticipada para l virns si continúa sanando con la misma rapidz? ) (EO) (AB La población d una cirta ciudad ha vnido crcindo a razón d / 4( t + ) prsonas por año, t años dspués d. Si la población ra d habitants n 4: a. cuál fu la población d? b. cuál s la población qu s spra para 9 si continúa crcindo a la misma intnsidad? ) (EO) (AB En los primros días dl ms d dicimbr, una célula vgtal crció d tal manra qu t días dspués dl d dicimbr l volumn d la célula crcía a razón d ( t ) micrómtros cúbicos por día. Si para l d dicimbr l m volumn d la célula ra d µ, cuál fu su volumn para l 8 d dicimbr?.