RESUMEN O ABSTRACT PROBLEMÁTICA

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1 ELEMENTOS SOCIOEPISTEMOLÓGICOS DE LAS CONDICIONES INICIALES EN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1 Eriva Velasco Núñez-Gabriela Buedía Abalos Cimate-Uach, Chiapas, México. erivel79@hotmail.com Campo de Ivestigació: Socioepistemología; Nivel Educativo: Superior RESUMEN O ABSTRACT La disciplia Matemática Educativa atiede problemáticas relacioadas co la trasmisió de saberes e área del coocimieto de las matemáticas. Ua de ellas, cosiste e haber recoocido que e el ivel superior, se privilegia a ultraza el cotexto aalítico e la resolució de u problema de ecuacioes difereciales de valores iiciales de orde. Buedía y García (2), señala, después de u aálisis del discurso escolar a través de los libros de texto de ecuacioes difereciales, que los sigificados de las codicioes iiciales se platea pricipalmete e u esceario algorítmico, e dode solamete se ve ivolucrado u proceso aalítico. Por ello, coveimos e abordar tal problemática a través del aálisis de los elemetos socioepistemológicos que existe e dicha relació tomado e cueta el trásito etre tres cotextos: el cotexto aalítico, el cotexto gráfico y el cotexto físico. PROBLEMÁTICA La disciplia Matemática Educativa atiede problemáticas relacioadas co la trasmisió de saberes e área del coocimieto de las matemáticas. Co ese marco se ha idetificado feómeos didácticos que tiee que ver co la eseñaza del cálculo e el ivel superior, e particular, la eseñaza de las codicioes iiciales de ua ecuació diferecial lieal. E los libros de texto de ecuacioes difereciales de la matemática escolar, u problema de codicioes iiciales de orde para ua ecuació diferecial lieal se refiere a d y dx 1 d y dx Resolver: a x a x a x a xy gx dy dx 1 y x y y x y,..., y, 1 Sujeta a: 1 1 U problema de este tipo busca ua fució defiida e algú itervalo I que cotega a x, y satisfaga la ecuació diferecial y las codicioes iiciales especificadas para ese puto. De hecho, se espera que la fució resultate sea úica 2. Si particularizamos para y x 1 Esta ivestigació se desarrolla bajo el apoyo del proyecto PROMEP Estudio del desarrollo del saber matemático e u marco socioepistemológico. Folio UACHIS-PTC-39. Carta de liberació: PROMEP/13.5/94/ Siempre y cuado se cumpla las codicioes establecidas por el teorema de existecia y uicidad: Sea a x x,..., a x, a x y gx cotiuas e u itervalo I, y sea a x, a 1 1 para toda x del itervalo. Si x x es 438

2 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa Vol. 19 alguos valores de, y co coeficietes iguales a uo, teemos que, al abordar u problema de codició iicial para ua ecuació de diferecial de primer orde, habrá ua úica codició que cumplir; para ua ecuació de segudo orde, habrá dos codicioes iiciales, y así sucesivamete: y + y = f(x) y + y + y = f(x) y +y +y +y = f(x) sujeta a y(x ) = y sujeta a y(x ) = y sujeta a y(x ) = y y (x ) = y 1 y (x ) = y 1 y (x ) = y 2 Segú la estructura del euciado al presetar este tipo de problema, podríamos supoer, si igú otro tipo de cuestioamieto, que e cada uo de los casos ateriores hallaremos ua úica solució y que las codicioes iiciales viee establecidas segú la algoritmizació del proceso aterior. Pero Qué sigificado tiee esas codicioes iiciales? ESTADO DEL ARTE E uestro estado del arte hablaremos de tres cotextos, e los cuales podemos visualizar que las codicioes iiciales tiee sigificados propios de cada cotexto, estos sigificados so los que tomaremos e cueta para formular ua secuecia, los cotextos so los siguietes: Cotexto Aalítico Cotexto Gráfico Cotexto Físico CONTEXTO ANALÍTICO Cuado resolvemos ua ecuació diferecial sujeta a codicioes iiciales, que so las codicioes que se impoe a y(x) o a sus derivadas, éstas viee dadas co respecto al orde de la ecuació diferecial. Es e la parte fial de la resolució aalítica, cuado se obtiee la solució particular, dode se forma u sistema de ecuacioes cuadrado, así para ua ecuació diferecial de primer orde el sistema es de ua ecuació co ua icógita, para el caso de ua ecuació diferecial de segudo orde, el sistema es de dos ecuacioes co dos icógitas. CONTEXTO GRÁFICO E el marco de la disciplia de la Matemática Educativa se ha realizado u estudio sobre la problemática, Buedía y García (22), busca dar respuesta a la preguta Por qué so ecesarias codicioes iiciales para ua ecuació de -ésimo orde? cualquier puto del itervalo, existe ua solució e dicho itervalo 1, y 1 que es úica (Zill, 1997). ecuacioes x y y x y,..., y x y 1 y x del problema de valores iiciales represetado por las 439

3 Elemetos socioepistemológicos de las codicioes iiciales e... Situació I (Primer orde) Se parte de la ecuació diferecial lieal de primer orde ay x solucioes es: y x, cuya familia de y x x 1 ke. Se puede observar e la figura 1, que su comportamieto tiede a la recta y x 1 Figura 1 Se puede observar que e este caso las curvas que coforma la familia de solucioes de la ecuació diferecial o se cruza etre ellas, es decir, o se cruza etre sí. Etoces, por esta razó, para determiar ua solució particular, es suficiete co ua úica codició iicial, que os idica por qué puto (par ordeado) pasa la curva que represeta la solució buscada. Situació II (Segudo orde) Como ejemplo, la ecuació diferecial, y y y x, tiee como solució la siguiete familia de curvas: x y e c1 cos x c2 se x 2 2 Figura 2 Se puede observar e la figuras ateriores, que o es suficiete determiar u puto por dode pasa la curva, puesto que por u puto puede pasar más de ua curva, tal y como se ve e el acercamieto. Esto implica la ecesidad de establecer cómo es la forma de la curva cuado llega a dicho puto. Por ello, la pediete de la recta tagete os sirve para poder determiar a cuál curva del dicho cojuto de curvas, os estamos refiriedo. Por esto, las codicioes iiciales para obteer ua úica solució debe ser del tipo yx y, y x y. 44 Figura 3

4 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa Vol. 19 CONTEXTO FÍSICO E uestro medio ambiete, existe feómeos y cuerpos que su comportamieto se modela a través de ecuacioes difereciales, tal es el caso del efriamieto (modelado por ecuació diferecial lieal de primer orde) y de los resortes (modelado por ua ecuació diferecial lieal de segudo orde). Segú la ley empírica de Newto acerca del efriamieto, la rapidez co que se efría u objeto es proporcioal a la diferecia etre su temperatura y la del medio que le rodea, que es la temperatura ambiete. Si T(t) represeta la temperatura del objeto e el mometo t, T m es la temperatura costate del medio que lo rodea y dt es la rapidez co que se efría el objeto, la ley de Newto del efriamieto dt se traduce e el euciado matemático dt dt T T m o sea dt dt k T T e dode k es ua costate de proporcioalidad. Si plateamos la situació e dode se mide el efriamieto de u material o ua sustacia que ha sido caletada e u tiempo determiado, por ejemplo 15 miutos, y si dicho experimeto se realizará más de ua vez y co distitas sustacias o materiales, ecesitaríamos coocer la temperatura iicial de cada sustacia o material para saber a cual de ellas os estamos refiriedo, debido a que por teer diferete coductividad térmica alcaza distita temperatura iicial al ser caletadas. Y al hablar de temperatura iicial, estaríamos refiriédoos a ua codició iicial del tipo t T y. Para el caso de los resortes, si plateamos la situació e dode 2 resortes está e movimieto, y lo hace de maera simultáea, y que tiee la misma costate del resorte (k), ambos resortes tedría ua misma posició e u tiempo determiado, y al hablar de posició, platearíamos teer ua codició iicial del tipo t x m, y,. Es ecesaria, pues, la forma que tiee u resorte a dicha posició, ya que lo puede hacer e ua fase de estiramieto, e ua fase de compresió depediedo de la velocidad que se le haya imprimido al resorte. Etoces, es ecesaria ua seguda codició iicial que os habla de esa velocidad para poder distiguir etre uo u otro resorte. LA INVESTIGACIÓN Nosotros estamos covecidos que las prácticas sociales so geeradoras del coocimieto matemático, por ello cosideramos que alguas prácticas sociales de las que se ha dado cueta e muchas ivestigacioes de la Matemática Educativa, está imersas e las codicioes iiciales de ua ecuació diferecial. Co estas prácticas osotros creemos que resultara elemetos socioepistemológicos de las codicioes iiciales. Pesamos que estos 441

5 Elemetos socioepistemológicos de las codicioes iiciales e... elemetos socioepistemológicos permitirá ua recostrucció del sigificado acerca de las codicioes iiciales de ua ecuació diferecial. Tambié hay que señalar, que e uestra ivestigació trabajamos hasta el segudo orde de ecuació diferecial, ya que para el caso de la modelació de u feómeo físico mayor del segudo orde, sería muy complejo de realizar. Las prácticas que osotros creemos que tiee mucha importacia e las codicioes iiciales de ua ecuació diferecial so los siguietes: La modelació de u feómeo, la relació lieal (liealidad), la graficació, la predicció, e el comportamieto de la gráfica. Creemos que co estos elemetos socioepistemológicos se puede realizar u estudio socioepistemológico, que ivolucra los cuatro elemetos propuestos por Cordero (1998; 2). Y realizar u estudio de la argumetació de las codicioes iiciales. Debemos decir que por argumetació osotros os estamos refiriedo al cojuto de argumetos de tipo retórico, heurísticos, situacioales, discursivos, provocados por ua situació adidáctica 3, co lo que pesamos se resigificará el sigificado de las codicioes iiciales de ua ecuació diferecial. El estudio de las codicioes iiciales de ua ecuació diferecial a través de los cuatro elemetos ateriores puede ser formulada como se preseta e la tabla 1 (Cordero, 1998; 2) siguiete, y e cojuto estos cuatro elemetos compoe ua situació del cocepto. Sigificados Procedimietos Procesos-Objetos Patroes de comportamietos de las solucioes de la ecuació diferecial, e relació co su orde. Aálisis e el trásito etre los cotextos gráfico, aalítico y físico de las solucioes de las ecuacioes difereciales La ecuació diferecial como ua istrucció que orgaiza comportamietos e sus solucioes, e relació co el orde de las mismas. Argumetos Aú por defiir Tabla 1. Sigificados, Procedimietos, Procesos-Objetos y el Argumeto de las codicioes iiciales de ua ecuació diferecial. U marco socioepistemológico, os obliga a estudiar: 3 Cojuto de las iteraccioes etre ua situació matematica (específica de u coocimieto cocreto) y u sujeto, si apelar a razoes didácticas y e ausecia de toda idicació itecioal. Dicha situació permite o provoca u cambio de estrategia por parte del sujeto para adquirir dicho coocimieto. (Chevallard, Bosh, Gasco. 1998) 442

6 Acta Latioamericaa de Matemática Educativa Vol. 19 Los patroes de comportamietos de la solució que tiee ua ecuació diferecial e relació co su orde. Estos patroes correspode a fórmulas aalíticas, formas específicas de las gráficas y al modelado de comportamietos de cuerpos y feómeos físicos. Sobre estos patroes se costruye los sigificados de la relació. Este sigificado sugiere que se realice u aálisis e el trásito etre los tres cotextos: el aalitico, el gráfico y el físico, para observar que argumetacioes se geera, para reorgaizarlas y cofrotarlas co el argumeto propuesto. La costrucció de la relació del orde de ua ecuació diferecial lieal y el úmero de codicioes iiciales lleva a la cocepció de que ua ecuació diferecial es ua istrucció que orgaiza comportamietos e sus solucioes, e relació co el orde de las mismas, por lo que habrá diferetes costruccioes metales, como procesos y objetos. Geeració de u argumeto, extraído de las prácticas sociales, que cofrote los diferetes sigificados de las codicioes iiciales de ua E.D. Referecias bibliográficas Buedía, G. (24). Ua epistemología del aspecto periódico de las fucioes e u marco de prácticas sociales (U estudio socioepistemológico). Tesis doctoral o publicada, Civestav, México. Buedía, G. y García, C. (22). U aálisis del sigificado de las codicioes iiciales de las ecuacioes difereciales. Acta Latioamericaa de Matemática Educativa. 15(1), Campos, C. (23). La argumetació gráfica e la trasformació de fucioes cuadráticas. Ua aproximació socioepistemológica. E tesis de maestría o publicada, Civestav, México. Cadela, A. (1999). Ciecia e el aula. Los alumos etre la argumetació y el coseso. México: Paidós. Catoral, R. (24). Desarrollo del pesamieto y leguaje variacioal, ua mirada socioepistemológica. Acta Latioamericaa de Matemática Educativa. 17(1), 1-9. Domíguez, I. (23). La resigificació de lo asitótico e ua aproximació socioepistemológica. E tesis de maestría o publicada, Civestav, México. Reyes, A. y Cordero, F. (23) Estabilidad de las ecuacioes difereciales lieales. Acta Latioamericaa de Matemática Educativa. 16(1), Zill, D. (1997) Ecuacioes Difereciales co aplicacioes de modelado. México: Thomso. 443