Políedres regulars Cossos de revolució

Transcripción

1 Políedres regulars Cossos de revolució Políedre. Un políedre és un cos limitat per cares poligonals. Angle díedre. Angle políedre anomena angle díedre d un políedre el que està format per dues cares que tenen una aresta comú. anomena angle políedre aquell en el qual concorren tres o més cares. Ordre d un vèrtex. anomena ordre d un vèrtex al nomre de cares que concorren en el vèrtex. Políedre convex, políedre còncau Un políedre és convex si qualsevol secció plana del políedre és convexa. El contrari s anomena polígon còncau. políedre convex políedre còncau Teorema d Euler. En un políedre convex es compleix que el nomre de cares més el de vèrtexs és igual al nomre d arestes més dos. C+V=A+ Políedre regular Políedre regular és aquell que tenen totes les cares polígons regulars iguals i tots els vèrtexs són del mateix ordre. De políedres regulars només hi ha 5. Tetràedre Cu o hexàedre Octàedre Dodecàedre Icosàedre 1

2 Desenvolupaments del políedres regular. Àrees i volums. Nom Desenvolupament àrea Volum Tetràedre A = a a V = 1 Cu A = 6a V = a Octàedre A = a V = a Dodecàedre A a a = V = ( ) 4 Icosàedre A 5a 5a = V = ( + 5) 1 Altres políedres: Prismes i piràmides. altura Prisma. Els prismes són els políedres que tenen dues cares (polígons) iguals i paral leles anomenades ases i les altres cares laterals són paral lelograms. egons siguen els polígons ase els prismes es classifiquen en: triangulars, quadrangulars, pentagonals, etc. Anomenem altura d un prisma la distància entre les dues ases. ase ase aresta lateral aresta ase Prisma regular. anomena prisma regular el prisma recte que les ases són polígons regulars.

3 Paral lelepípede. Un paral lelepípede és un prisma les ases del qual són paral lelograms, és a dir, té 6 cares paral leles dos a dos. Els paral lelepípedes rectes s anomenen ortóedres. Ortòedre o paral lepípede recte El ortòedre tal que totes les cares són quadrats iguals s anomena cu o hexàedre. Piràmide. es piràmides són el políedres en què una de les cares (anomenada ase) és un polígon i les altres cares (anomenades laterals) són triangles que tenen un vèrtex comú. egons siguen els polígons ase les Piràmides es classifiquen en: triangulars, quadrangulars, pentagonals, etc. Aresta lateral Cara lateral Altura ase Aresta ase Anomenem altura d una piràmide la distància entre el vèrtex i la ase. Piràmides regulars. es piràmides regulars són les que tenen per ase un polígon regular i les cares laterals són triangles isòsceles iguals. anomena apotema d una piràmide regular a l altura de qualsevol triangle de la cara lateral. Tronc de piràmide Tronc de piràmide és la part de piràmide compresa entre la ase i una secció paral lela a la ase. Àrees de prismes i piràmides. Prisma recte: = + àrea del polígon ase àrea lateral, = P h, on P és el perímetre de la ase i h és l altura

4 Piràmide regular: = + àrea del polígon regular ase P ap àrea lateral, =, on P és el perímetre de la ase i ap és l altura de la cara lateral (apotema) Tronc de piràmide regular: = + + B B àrea del polígon regular ase major. que són trapezis. Volums de prismes i piràmides. Prisma: V = h àrea del polígon ase, h és l altura. Piràmide: h V = àrea del polígon ase, h és l altura. àrea del polígon regular ase menor. àrea lateral Tronc de piràmide: 1 V = ( B + + B )h on B àrea del polígon regular ase major. àrea del polígon regular ase menor. h és l altura del tronc de piràmide Exercicis d autoaprenentatge: a) Oserveu el cu i proveu que compleix el teorema d Euler: El cu o hexàedre té 6 cares, 8 vèrtexs i 1 arestes. Aleshores: C+V=A = 1 + A fi de comprovar el teorema d Euler dels políedres és convenient construir-los. ) Calculeu l aresta i el volum d un tetràedre de superfície 100 cm. àrea o superfície d un tetràedre és A = a on a és l aresta. 100 Aleshores 100 = a, d on a = 4

5 Per tant l aresta mesura El volum d un tetràedre és a = 100 a V = 1 7'598cm a 7'598 Aleshores el volum és V = 51'69cm 1 1 c) Calculeu l àrea i el volum d un prisma regular de ase quadrangular que té per aresta de la ase cm i altura 6cm. a superfície del prisma és = + a ase és un quadrat de costat i la superfície lateral està formada per 4 rectangles de costat cm i 6cm. Aleshores, = + 4 ( 6) = 90cm El volum d un prisma és V = h Aleshores, V = 6 = 54cm Prolemes Proposats: 1 Oserveu els políedres regulars (platònics) proveu que compleix el teorema d Euler. Completeu la taula: Nom Cares Vèrtexs Arestes Tetràedre Cu Octàedre Dodecàedre Icosàedre Oserveu el prima hexagonal i proveu que compleix el teorema d Euler. 5

6 Oserveu la piràmide pentagonal i proveu que compleix el teorema d Euler. Prisma hexagonal piràmide pentagonal 4 Oserveu el tetràedre truncat i proveu que compleix el teorema d Euler. tetràedre truncat desenvolupament del tetràedre truncat 5 Calculeu l àrea i el volum d un cu d aresta 10cm 6 Calculeu el volum i l aresta d un cu de superfície 96 cm 7 Calculeu l àrea i l aresta d un cu de volum 800 cm. 8 Calculeu l àrea i el volum d un octàedre d aresta 0cm. 9 Calculeu el volum i l aresta d un octàedre d àrea 400 cm 10 Calculeu l àrea i el volum d un prisma regular hexagonal que té aresta de la ase cm i altura 5cm. 11 Calculeu l àrea i el volum d un prisma regular triangular que té aresta de la ase 0cm i altura 10cm. 1 Calculeu l àrea i el volum d una piràmide regular de ase quadrangular que té aresta de la ase 0cm i altura 40cm. 6

7 1 Calculeu l àrea i el volum d una piràmide de ase quadrangular que té aresta de la ase 0cm i apotema 0cm. 14 Calculeu l àrea i el volum d un ortóedre d arestes 6cm, 8cm, 10cm. 15 Calculeu el volum d un prisma quadrangular d aresta de la ase 4 i altura h. Calculeu el volum d una piràmide de ase quadrangular de ase 4 i altura h. En quina proporció estan els dos volums. 16 Calculeu la superfície i el volum de la següent figura: 17 Calculeu la superfície i el volum de la següent figura: 18 Calculeu l àrea i el volum de la següent figura. 19 Considerem el cu ABCDEFGH d aresta 10cm. Dins del cu construïm la piràmide BGEF Calculeu l àrea i el seu volum de la piràmide BGEF. En quina proporció estan el volum del cu i el de la piràmide. 7

8 COO DE REVOUCIÓ Cilindre recte El cilindre recte és el cos geomètric que s oté al girar un rectangle al voltant d un costat. El costat del rectangle que roman fix s anomena altura. Al costat oposat s anomena generatriu. Els altres dos costats són els radis dels cercles que formen la ase. Con recte El con recte és el cos geomètric que s oté quan un triangle rectangle gira sore un dels catets. El costat que actua com a eix s anomena altura, l altre catet s anomena radi i a la hipotenusa s anomena generatriu. Desenvolupament del cilindre recte Desenvolupament del con recte Tronc de con recte En tallar un con recte am una secció paral lela a la ase s oté un con i un tronc de con que és la part compresa entre les dues ases. a esfera a esfera és el cos geomètric que s oté am la revolució d un semicercle al girar sore el diàmetre. El radi del semicercle s anomena radi de l esfera. 8

9 Àrees de cossos rodons. Cilindre recte: Con recte: Tronc de con recte: Esfera: = + = π R = π R h = + = π R = π R g = + + B = π R + π r + π(r + r)g = 4 π R = π R + π R h = π R + π R g àrea ase, àrea lateral Volums de cossos rodons. Cilindre: Con: Tronc de con: Esfera: V = = π R π R h π V = = V ( R + r + Rr) 4 = V = π R Exercicis d autoaprenentatge a) Calculeu l àrea i el volum d un con recte de radi 0cm i altura 40cm. olució: π R = π R + π R g V = Recordem que aquest con s oté per revolució d un triangle rectangle de altura 40cm i radi de la ase 0cm Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle: g = R + h g = , g = 500 Per tant la generatriu mesura g = 50cm Aleshores: = π R + π R g = π 0 + π 0 50 = 400 π 759'8cm V = π R = π 0 40 = 1000π 7699' 11cm ) Calculeu la superfície i el volum de la següent figura: olució: a figura està formada per un cilindre recte de radi R=cm i altura h=4cm i una semiesfera de radi R= 9

10 a superfície està formada per la del cilindre sense una ase i mitja esfera. 4 π R = π R + π R + = π + π 4 + π = 8π 87'96cm El volum és la suma del volum del cilindre i la semiesfera V = π R + π R = π 4 + π = π 8'78cm Prolemes Proposats: 1 Calculeu la superfície i el volum d una esfera de radi R=10cm Calculeu la superfície i el volum d un cilindre de radi R=10cm i altura h=0cm Calculeu la superfície i el volum d un con recte de radi R=0cm i generatriu g=0cm 4 Calculeu el radi i el volum d una esfera de superfície = 100cm 5 Calculeu el radi i la superfície d una esfera de volum V = 500cm 6 Calculeu el pes d una esfera massissa de ferro de radi R=10cm. kg a densitat del ferro és 787 m 7 Calculeu el radi d una esfera massissa de ferro que pesa 50kg. 8 Calculeu el pes d un cale cilíndric de ferro massís de radi R=1cm i 0m de llarg. 9 Calculeu la superfície i el volum d un con truncat de radi major R=10cm, radi menut r=4cm i altura h=8cm 10 Quants litres d aigua caen en un cilindre de radi m i altura 4m. 11 Calculeu la superfície i el volum de les següents figures: 10