Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 17- III- 15 CURSO

Transcripción

1 EXAMEN DE MATEMÁTICAS ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: 7- III- 5 CURSO 0-5 Instrucciones para realizar el eamen: Si recuperas una parte has de hacer todos los ejercicios de dicha parte Si recuperas dos partes has de realizar todos los ejercicios pares. Si realizas el eamen completo, bien sea para recuperar o para subir nota has de realizar todos los ejercicios pares ( - i) + ( + i). Efectúa la operación - i COMPLEJOS. Determina k para que el cociente k - i + i sea igual a -i.. Calcula las raíces cuartas de z - + i.. Un cuadrado con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus vértices en el punto -,, halla los otros vértices y la longitud de su lado. GEOMETRÍA 5. Se sabe que el vector u (-,) es combinación lineal de los vectores v (5,-) y w (,-). Calcula los valores a y b que cumplen dicha igualdad. 6. Sean los vectores u (, m) y v (n, -), halla m y n para que ambos vectores sean perpendiculares y que u Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento de etremos A(5,-) y B (7,8) en tres partes iguales. 8. Si A (, ), B(5, 7) y C(6, ) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo, cuál es el cuarto vértice? 9. Halla las ecuaciones paramétricas, continua, punto-pendiente, eplícita y general de la recta que contiene al punto P (,-) y es perpendicular al vector u (, -). 0. Halla los valores de B y C para que las rectas r: +By+5 0 y s: +y+c 0 sean paralelas.. Halla la distancia entre las rectas y - r: y s: 5 t y + 5t. Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vértices opuestos son B(, ) y D(-5, -). Halla las coordenadas de los vértices A y C y el área del rombo.

2 . Halla el dominio de definición de las funciones: a) f() b) g() FUNCIONES. Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de televisores son G , en miles de euros, y los ingresos mensuales son I 50-0,0, también en miles de euros. Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máimo? 5. Representa f () - y, a partir de ella, representa: a) g() f ()- b) h() f (+) 6. Calcula los ites: a) lim b) ( ) 7. Calcula los ites: - + a) - + b) lim Halla las asíntotas de la función y - 9. Dada la función f: R R definida de la forma: - + si < 0 f() + si 0 + si < Halla los puntos en los que es continua. 0. Sea la función f() halla y clasifica todas sus discontinuidades.

3 Solución del eamen COMPLEJOS ( - i). Efectúa la operación + ( + i) - i Desarrollamos las potencias del numerador y simplificamos el resultado obtenido: ( - i) + ( + i) - i + i + + i + i - i i i - i - i - i - i Multiplicamos por el conjugado del denominador: - + i (- + i).( + i) - - 6i + i + i -7 - i i - i ( - i).( + i) - i Determina k para que el cociente k- i + i sea igual a -i. k - i + i (k - i).( - i) k - ki - i -i ( + i).( - i) - i Para que sea igual a -i: k + k + - i -i (k + ) - (k + )i Que igualando partes reales e imaginarias da lugar a las ecuaciones: k + k+ k k + k+ k Por lo tanto k.. Calcula las raíces cuartas de z - + i. Pasamos a z a forma polar utilizando las fórmulas: r a + b b tg α a - (-) + ( ) - α arc tg ( - ) 0 El número es z 0 y las raíces pedidas son de la forma k, k 0,,,. El módulo de dichas raíces será K y el argumento responde es, es decir obtenemos las raíces: 6 z (cos0 + isen0 ) + i 6 z (cos0 + isen0 ) - + i 6 z (cos0 + isen0 ) - - i 6 z ( ) (cos00 + isen00 ) - i donde hemos pasado a forma binómica utilizando la forma trigonométrica de los complejos.

4 . Un cuadrado con centro en el origen de coordenadas tiene uno de sus vértices en el punto -,, halla los otros vértices y la longitud de su lado. El punto -, corresponde al afijo del número complejo z + / - y con argumento tg(α) - / - α 0. Es decir que z 5. Para hallar los otros vértices, multiplicamos z por 90 (giro de 90 ), 80 (giro de 80 ) y 70 (giro de 70 ) z (cos 5 +i sen 5 ) - - i -,- z (cos 5 +i sen 5 ) - i,- z (cos 5 +i sen 5 ) + i, Como se ve en la figura los angulos interiores son de 90 luego podemos aplicar el teorema de Pitágoras a cualquiera de dichos triángulos: l + l l unidades GEOMETRÍA 5. Se sabe que el vector u (-,), es combinación lineal de los vectores v (5,-) y w (,-), es decir que u a v + b w, calcula los valores a y b que cumplen dicha igualdad. Epresamos en coordenadas el enunciado (-, ) a.(5,-)+b.(, -) Resolvemos el sistema: - 5a + b -a - b Sumando ambas ecuaciones obtenemos: - a a - Sustituimos dicho valor en la primera ecuación: - -5+b b b 6. Sean los vectores u (, m) y v (n, -), halla m y n para que ambos vectores sean perpendiculares y que u 5. Como los vectores son perpendiculares, su producto escalar ha de ser nulo: u. v 0 (, m).(n, -) 0 n-m 0 n m Si u 5 + m 5 9+m 5 m 6 m ±

5 Por lo tanto hay dos posible soluciones: - - m - n, es decir n y m - m n, es decir n y m 7. Calcula las coordenadas de los puntos que dividen el segmento de etremos A(5,-) y B (7,8) en tres partes iguales. Calculamos el vector AB (7,8)-(5,-) (, 9) El primer punto, M, estará situado a de distancia de uno de los etremos del segmento, A, y el segundo, N, a de distancia del mismo punto, por lo tanto: OM OA + AB (5,-) + (,9) (9,) ON OA + AB (5,-) + (,9) (,5) 8. Si A (, ), B(5, 7) y C(6, ) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo, cuál es el cuarto vértice? Calculamos el punto medio del paralelogramo, que será el punto medio de la diagonal formada por los vértices A y C: M,, El cuarto vértice D (, y) será el simétrico del otro vértice B respecto del punto medio M: y 5 7+y - Por lo tanto el vértice buscado es el punto D (, -) 9. Halla las ecuaciones paramétricas, continua, punto-pendiente, eplícita y general de la recta que contiene al punto P (,-) y es perpendicular al vector u (, -). Un vector perpendicular a u (, -) es v (,). + t Paramétricas: r y - + t Continua: y + Punto-pendiente: y+ (-) Ecuación general: -y-9 0 Ecuación eplícita: y - 5

6 0. Halla los valores de B y C para que las rectas r: +By+5 0 y s: +y+c 0 sean paralelas. Para que las rectas sean paralelas se tiene que cumplir que: A B C A' B' C' Que aplicado a nuestro caso da: B B 6 Si es paralela: 5 5 C C. Halla la distancia entre las rectas y - t r: y s: 5 y + 5 t Calculamos el vector director de la recta r: u (, 5) Hallamos el vector director de la recta s: v (, 5) Como ambos vectores son iguales, las rectas son paralelas, basta tomar un punto de una de ellas y hallar su distancia a la otra recta. Tomamos un punto de la recta r, P (0, ), y vemos si pertenece a s, en cuyo caso ambas rectas coincidirían y la distancia entre ambas sería nula. Sustituimos en la ecuación de s: 0 t t 0 P r + 5t t - 5 Como el punto no pertenece a la recta hallamos la distancia de P a r aplicando la fórmula: A 0 + B 0 + C d A + B Para aplicarla pasamos la ecuación de la recta a forma general t y - 5 y-6 5-y+6 0 y + 5t 5 La distancia pedida es: d u 5 + (- ) 9 9. Un rombo ABCD tiene un vértice en el eje de las ordenadas; otros dos vértices opuestos son B(, ) y D(-5, -). Halla las coordenadas de los vértices A y C y el área del rombo. Sea A el punto que pertenece al eje de ordenadas A (0, y) y sea C (, y ) el otro vértice. Como estamos considerando un rombo, sus diagonales AC y BD se cortan en su punto medio, M y además son perpendiculares. El punto medio indicado será: M, (-,-) La diagonal que pasa por BD tiene como vector director BD (-5-, --) (-8,-) y pasa por el punto M (-,-), luego su pendiente es m. La otra como es perpendicular a ella tiene 6

7 pendiente m - m -. Por lo tanto la diagonal AC tiene como ecuación punto-pendiente: y+ -(+) y -- El vértice A será intersección de la diagonal con el eje de ordenadas, es decir: y - - y - 0 Luego el punto es A (0, -) C es el simétrico de A respecto de M, por lo tanto: 0 + ' y' - y - - y Por lo tanto el otro vértice buscado es el punto C (-,) Como es un rombo la fórmula del área es el semiproducto de las diagonales: AC BD (-,) (-8,-) A 0 u. Halla el dominio de definición de las funciones: - 6 a) f() - b) g() - + a) La epresión - está definida cuando el radicando sea mayor o igual que cero. Por lo tanto se trata de hallar qué valores de hacen que D(f) (-, ). - 6 b) La epresión está definida cuando el denominador no se anule. - + ± Por lo tanto: D(f) R-{, }. Los gastos fijos mensuales de una empresa por la fabricación de televisores son G , en miles de euros, y los ingresos mensuales son I 50-0,0, también en miles de euros. Cuántos televisores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máimo? La función Beneficio viene dada por la epresión: B I G 50-0, , Se trata de una parábola cóncava. El máimo de la función se encuentra en el vértice: 0 - b televisores a - 0,0 El beneficio máimo se obtendrá para 65 televisores y son 8,5 tal como se observa en la figura adjunta. 5. Representa f () - y, a partir de ella, representa: a) g() f ()- b) h() f (+) 7

8 6. Calcula los ites: a) lim , b) ( ) - 0 a) Es una indeterminación del tipo, resolvemos el ite descomponiendo en factores 0 numerador y denominador con la regla de Ruffini: ( - )( + )( + ) lim lim lim ( + ) ( - )( + ) - b) Es una indeterminación del tipo ( - ) que resolvemos multiplicando por la epresión conjugada: ( ) ( )( ) Calcula los ites: a), b) lim a) Es una indeterminación del tipo. El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo tanto: b) Es una indeterminación del tipo ( - ), hallamos el común de ambas fracciones y resolvemos la indeterminación que aparece: lim - lim lim lim Halla las asíntotas de la función y - Asíntotas verticales: Son rectas de ecuación a con lim f() ±, es decir valores a donde no esté definida la función racional. En este caso y -. : lim lim : lim lim - 8

9 Asíntotas horizontales: Son rectas de ecuación y b con lim f() b. Estudiando los ites en el infinito: lim lim - obtenemos la recta y 0. Asíntotas oblicuas: No tiene, puesto que tiene asíntotas horizontales La gráfica con las asíntotas es la de la figura adjunta. 9. Dada la función f: R R definida de la forma: - + si < 0 f() + si 0 + si < Halla los puntos en los que es continua. ± Para que f sea continua en R basta que lo sea en los puntos 0 y, ya que antes y después está definida por funciones polinómicas y por lo tanto continuas. En 0, tenemos que f(0). Hallamos los ites laterales: lim f() lim (- + ) - 0 lim f() lim ( + ) Es continua ya que coinciden los ites laterales en 0 y el valor de la función. En, tenemos que f(). Hallamos los ites laterales: lim f() lim ( + ) - lim f() lim ( + ) + No es continua ya que no coinciden los ites laterales. Luego es continua en R-{} 0. Sea la función f() halla y clasifica todas sus discontinuidades. Como es una función racional es discontinua en los valores que anulan el denominador, los hallamos factorizando el denominador. Resolvemos la ecuación de segundo grado resultante ( - ) obtenemos la raíces y, quedando f() ( - ).( - ) En tenemos: ( - ) lim lim - ( - ).( - ) ( - ) ( - ) Discontinuidad evitable con verdadero valor -. En tenemos: ( - ) lim - - ( - ).( - ) ( - ) lim + + ( - ).( - ) Discontinuidad inevitable de salto infinito. 9