Quién pierde, quién gana? Pierde quien saca la varilla más pequeña. Gana quien saca la más grande! Le toca jugar. Quién quiere empezar?

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1 Juegos. 1-1 A sacar la varilla! o más Para jugar: Cada jugador, por turno saca una varilla y decide quedársela o no. Si la guarda, deja de jugar y espera a que los otros jugadores hayan elegido su varilla. Si no guarda la varilla, la deja en la mesa y cada uno de los otros jugadores podrá, si lo desea, tomarla. Quién pierde, quién gana? Pierde quien saca la varilla más pequeña. Gana quien saca la más grande! Le toca jugar. Quién quiere empezar? Es éste un juego de puro azar? El primer jugador que elige, tiene más o menos posibilidades de ganar que los siguientes? Existe una estrategia que permita ganar más a menudo que los otros jugadores? Cada vez que se saca una varilla, se puede estimar con más precisión, la oportunidad de encontrar una aún más grande en la jugada siguiente. Además la altura del recipiente le da información sobre el tamaño de las varillas. Juegos. 1-2 Sello gano yo, Cara pierde usted! Número de jugadores: 1 o varios Para jugar: Cada jugador dispone de 10 puntos y juega un punto a cada lanzamiento. Cada uno, por turnos, lanza a Cara o Sello y predice cuando quiere el resultado. Gana el primero que acierta. Y se lleva las apuestas acumuladas. Si la moneda está bien equilibrada,en cada jugada hay una posibilidad entre dos de sacar sello, una de dos de sacar cara. Los juegos de azar de este tipo no tienen memoria. Teóricamente, no se puede tener en cuenta los resultados anteriores para hacer hipótesis sobre las jugadas siguientes. Sin embargo, un elemento modifica el juego en cada jugada: las apuestas y los riesgos de ganar o perder cada vez más. Después de una sucesión de Sello, hay cada vez más posibilidades de ver aparecer Cara?.

2 Juegos. 2-1 El gato en 3 dimensiones Cada jugador dispone de 8 fichas de su color y juegan por turno. Cuando le toca, coloca una ficha sobre el tablero. Cuando todas las fichas están colocadas, puede desplazar una de sus fichas a una casilla libre adyacente, desplazándose a lo largo de las líneas trazadas. Quien alinea primero 3 fichas de su color. Este es uno de los juegos más sencillos donde la estrategia debe tener en cuenta al otro jugador. El azar viene de él.todas las jugadas del juego son reconocibles. La estrategia juega aquí enteramente su papel y sólo toma en cuenta el estado del juego a cada instante y la forma de jugar del otro jugador. Cada uno debe jugar bien. El dibujo representa un cubo en 3 dimensiones. Juegos. 2-2 Llegar a 15 Al principio todas las fichas del dominó están en el mismo lado. Cada uno, por turno, elige un número que no haya sido elegido previamente y da vuelta la ficha de dominó correspondiente. El primero cuya suma de fichas de dominó descubierta por él es exactamente igual a 15. Aquí, encontrar la estrategia puede parecer difícil y sin embargo es idéntica al juego anterior, pero en 2 dimensiones. Además basta con saber construir una matriz mágica (cuadro o cuadrado mágico) de 3 casillas sobre 3, donde las sumas en cada línea, en cada columna, e incluso en cada diagonal son iguales,... e iguales a 15! Durante dos siglos ha sido jugado por los marinos del Atlántico.

3 Juegos. 3-1 Llegar a 20 Cada jugador, por turno, avanza una o dos casillas la ficha según desee. Quién pierde, quién gana? Gana el primero que llega a la casilla número 20. Hay un número limitado de jugadas posibles, se dice que este juego es limitado. Siempre tiene entonces un perdedor y... un ganador. Los matemáticos, desde Von Neumann, han mostrado que este tipo de juego tiene una estrategia ganadora. Uno de los jugadores, si conoce esta estrategia, puede ganar en cada partida. Juegue algunas partidas para descubrirla. Aquí, el primer jugador, si sabe jugar y si juega bien, gana siempre. Partiendo del final de la partida y remontando las series de jugadas se puede encontrar las posiciones ganadoras. (Sobre una idea de Guy Brousseau, un juego de Ian Stewart) Juegos. 3-2 El juego de Gale Todas las fichas están colocadas sobre un mismo color en todas las casillas del tablero. Cada uno, cuando le toca el turno, da vuelta a una ficha aún no descubierta y a todas las que no han sido descubiertas a su izquierda y hasta abajo. Quién pierde, quién gana? Pierde quien descubre la última ficha de la última casilla de la parte superior derecha. Gana quien obliga a descubrir la última ficha a su oponente. Es un juego limitado. Hay un número limitado de jugadas posibles. Siempre tiene un ganador y un perdedor. Este juego, entonces, tiene una estrategia ganadora. Puede encontrarla para tableros cuadrados o más pequeños. Hasta ahora, no se conoce en tablero rectangular, por ejemplo, de 5 casillas por 8. Un razonamiento bastante sencillo muestra que es el primero que juega quien gana siempre... si sabe jugar.en efecto, si fuese el segundo jugador quien tiene esta estrategia ganadora, sería fácil al primero aprenderla desde la primera jugada de la... segunda partida. (Un juego del matemático americano David Gale).

4 Juegos. 4-1 Juego de Nim Coloque de 1 a 7 fichas en cada una de las 4 casillas. Cada jugador, por turnos, elige una casilla y quita un número cualquiera de fichas. Quien extrae la última ficha. Este juego pertenece a un numeroso grupo de juegos donde se trata de tomar fichas, granos o piedras hasta el último. Se les llama Juegos de Nim. Encontramos nuevamente aquí un número limitado de jugadas. Siempre hay un ganador y, por lo tanto, una estrategia ganadora. Para ello basta con codificar el número de fichas de cada pocillo en base dos y asegurarse que la suma de las cifras, en cada columna de la codificación, sea par!. Y es el jugador que deja una situación par- y que conoce la estrategia- quien tiene una posición ganadora!. Variante: Juego de Marienbad. Juegue a quien pierde gana!. Juegos. 4-2 Los Juegos de Marienbad Coloque 21 fichas en el tablero. Cada jugador por turnos, quita un número de fichas menor o igual a la mitad de las fichas que quedan. Quién pierde? Quien extrae la última ficha. Quien hace extraer la última ficha al otro jugador. No es un juego de azar. Pertenece a la familia de los Juegos Nim y Alain Resnais lo hizo famoso en 1961 en su película El año pasado en Marienbad. La situación ganadora es lo contrario del juego anterior, siempre hay que dejar una situación impar. Una posición es ganadora si el jugador que juega dispone al menos de una jugada que le proporcione al siguiente jugador una posición perdedora. Una posición es perdedora cuando el jugador a quien le corresponde jugar se ve obligado a volver a dar al primer jugador una posición ganadora! Elemental no?

5 Juegos. 5-1 El Juego del bloqueo En el tablero, de 3 casillas por 3, coloque 2 fichas blancas en la columna 1, quedando libre la casilla inferior, y dos fichas verdes en la fila A, quedando libre la casilla izquierda (la misma). Cada jugador elige un color, por turnos mueve sus fichas hacia adelante derecho o en diagonal, sin penetrar en una casilla ocupada o salir del tablero. El primero que saca todas sus fichas por el lado opuesto al de su partida. Este es un juego con información completa, ya que cada jugador conoce: sus posibilidades de acción, las posibilidades de acción de los otros jugadores y los resultados posibles de cada jugada y las ganancias asociadas. El juego se acaba tras un número limitado de jugadas por la victoria de uno de los jugadores. En un tablero de 3 casillas por 3, el primer jugador tiene una estrategia ganadora. Intente encontrarla. En un tablero más grande no hay estrategia ganadora conocida. Variante: juegue en un tablero de 4 casillas por 4 o de 8 por 8. (Un juego de Colin Vout, Universidad de Cambridge) Juegos. 5-2 El Juego de hex Comience por el 4 por 4. Cada uno, en su turno, coloca una ficha de su color en la casilla de su elección. No hay ni desplazamiento ni captura. Quien une dos bordes opuestos por fichas de su color. Inventado por Piet Hein y John Nash, este juego sigue sin estar resuelto excepto en pequeños tableros. Además, ha sido demostrado por Nash que el primer jugador tiene una estrategia ganadora. Pero no se conoce más que en pequeños tableros. Encuentre la estrategia ganadora en un juego de 4 por 4. Este juego, al igual que juegos como las damas, el ajedrez o el go, es un juego sin memoria, pues en cada etapa, el juego es tan particular que la estrategia ganadora a encontrar no toma en cuenta las jugadas anteriores. Las jugadas anteriores informan a pesar de todo sobre la psicología y el arte de jugar del otro jugador.

6 Juegos. 6-1 El Entre Dos Número de jugadores: 1 ó 2 Una baraja de 52 cartas en el dispensador de naipes Las figuras valen 10, el As vale 1 u 11 según se acuerde. La banca saca 2 cartas y las muestra. Si juega solo, hace también de banca. Apueste entonces sobre el hecho de que la próxima carta que se saque estará o no entre las dos cartas mostradas. Si acierta se marca un punto, sino le da un punto a la banca. El primero de los dos que marque 5 puntos. Este muy sencillo juego tiene como motores el azar y la estrategia. Podemos encontrar una estrategia de apuesta independiente de las cartas descubiertas. Se puede mejorar la esperanza de ganar modificando la estrategia en función de las cartas ya descubiertas. Juegos. 6-2 El Black-Jack o 21 ó más Una baraja de 52 cartas con una banca y a lo más 7 jugadores. La banca saca dos cartas y muestra una.cada jugador apuesta dos puntos y saca dos cartas, si lo desea puede pedir más cartas. Finalmente muestra todas sus cartas. Quien más se acerca a 21 sin pasarse. Si hay empate gana la banca. (Las figuras valen 10, el As 1 u 11, según se acuerde). La banca tiene siempre la misma estrategia. Este juego de casino es el único en que la esperanza de ganar del jugador puede volverse positiva. Las cartas ya descubiertas contienen una información. Por eso hay que tener en cuenta las cartas descubiertas y calcular las posibilidades de que aparezca o no una nueva carta. La complejidad de este cálculo explica que los casinos sigan ofreciendo este juego, ya que los jugadores juegan la mayoría de las veces... al azar. Pero han cogido precauciones poniendo dos e incluso tres barajas de cincuenta y dos cartas en el dispensador de naipes. E incluso quitando diez cartas al azar! El Black-Jack corresponde al As de Picas y a la Jota de Trébol.

7 Juegos. 7-1 Cachipún... Los dos jugadores sacan la mano a la vez y muestran su elección: piedra, hoja, tijeras. Para ganar: La piedra está envuelta por la hoja, la hoja puede ser cortada por las tijeras, que no pueden hacer nada en contra de la piedra... El juego se divide en dos partidas de 5 puntos y con una revancha si es necesario. Se acuerda de los primeros juegos de la niñez? Este juego de azar que depende del otro jugador contiene en sí mismo, una particularidad: cada jugada puede ser vencida por otra jugada. Cómo jugar de la mejor manera posible sin jugar totalmente al azar y teniendo en cuenta al otro jugador? Se puede, por ejemplo, jugar, eligiendo o al azar, una de cada tres piedra, dos de cada tres tijeras. Tiene así más posibilidad de ganar? Juegos. 7-2 La paradoja de Condorcet Elija una ruleta, yo elijo la anterior en el sentido de los punteros del reloj. Gire ambas. Quién saca el número más alto. Y estoy seguro de ganar... más a menudo que usted! Es la paradoja de Condorcet. Para cada ruleta hay otra que es más fuerte. Tiene cinco posibilidades contra 4 de ganar con la otra ruleta. Para comprobarlo, le es suficiente con contar las parejas de resultados ganadores por cada ruleta. Es una situación no transitiva, similar al juego anterior. Variante: en tríos! Juegue con tres jugadores! Quién tiene más posibilidad de ganar?

8 Juegos. 8-1 La Ruleta Coloque una ficha sobre un número, un par de números, cuatro números vecinos, un color, par o impar,... Hagan juego! No va más, la suerte está echada!!! Cuánto gana? La ganancia está en función de su elección. Dos veces su apuesta, si juega negro o rojo, par o impar, pasa (de 1 a 18) o falta (de 19 a 36). Tres veces su apuesta, si juega una de las tres docenas o una columna, Seis veces la apuesta si juega seis números en dos líneas, Nueve veces la apuesta, si juega un cuadro de cuatro números, Doce veces la apuesta si juega una línea de tres, 18 veces la apuesta si juega dos números consecutivos, 36 veces su apuesta si juega a un número solo. La única manera de ganar si sale cero, es en el último caso, apostando al cero. La ruleta ofrece diferentes tipos de juegos que permiten esperar ganar mucho, pero no a menudo, o poco, pero más a menudo. Qué situaciones prefiere? Juegos. 8-2 La Martingala de Montecarlo El juego consiste en apostar a negro o rojo, repitiendo la jugada si sale 0. En la primera jugada, el jugador apuesta 1 punto. Si gana, recibe el doble y el juego se para. Si no, debe doblar su apuesta y seguir jugando. El procedimiento se repite hasta que el jugador gane o se quede sin dinero. Quién sale ganando? Es equitativo el juego? Puede ganar el jugador? Cuánto puede esperar ganar? Paso a paso, puede demostrar que el jugador, cuando gana, obtiene en realidad un punto más de lo que apuesta al inicio de la jugada. Si gana en la primera jugada, gana un punto. Si gana en la segunda jugada, gana 4 puntos y ha jugado 3. Si gana en la tercera, gana 8 puntos y ha jugado 7... Sin embargo este resultado es paradójico, por qué? En realidad ni la banca, ni aún menos el jugador, sin importar que tan ricos sean, pueden jugar indefinidamente.

9 Juegos. 9-1 El Tragamonedas o Bandido Manco Número de jugadores: 1 Apueste un punto. Haga girar los cuatros cilindros tirando suavemente la palanca. Para ganar: Cualquier combinación de BAR y de 7 es ganadora. Con 3 BAR alineados, gana 10 puntos. Con 2 BAR y un 7 alineados, gana 5 puntos. Con 1 BAR y dos 7, gana 2 puntos. Si tres 7 se alinean, gana 1 punto. Quién es el ganador de este juego? El propietario o el jugador que sepa jugar?. Para estudiar las posibilidades de ganar, hay que simular la experiencia, por ejemplo con la ayuda de una calculadora. Calculando las posibilidades de ganar o perder el punto, puede estimar la media de sus ganancias o más bien de sus pérdidas, lo que en matemáticas se llama la expectativa de ganancia y saber si este juego le favorece a él o a su propietario. Qué le parece? Juegos. 9-2 El Precio Justo ó más Elija un objeto. Cada uno, por turnos, indica el precio que piensa sea el correcto. La respuesta está escondida debajo del objeto. Quien se acerca más al precio real del objeto sin pasarse. Cuál es la mejor estrategia? Jugar al azar o tener en cuenta precios ya dados? Cada jugador puede elegir entre jugar al azar, poner en marcha una estrategia, o recurrir a sus conocimientos del precio de los objetos propuestos. Estudiemos las respuestas siguientes dadas por 4 jugadores: (para un precio justo de $350). El primer jugador ha ganado. Los demás hubieran podido ganar? 450, quién pensaba que el precio sería superior a 335, hubiera podido jugar con 336 y ganar!. 290, pensaba que el precio estaba entre 250 y 335. Había que jugar 251 para eliminar 250 y así aumentar sus posibilidades. Pero 450 hubiera podido seguir el mismo razonamiento jugando 252. Entonces no se puede decir que 290 ha jugado mal.

10 Juegos El Seis Doble Número de jugadores: 1 Dos dados, un jugador, la banca. Fije el número de veces que se lanzará durante la partida y apueste 2 puntos. Lance los dos dados las veces necesarias hasta obtener un seis doble. Gana: Dos veces la apuesta si ningún seis doble sale antes del fin de la partida sino es la banca quien recupera su apuesta. Hasta qué número de partidas, el jugador tiene más posibilidades de ganar que la banca? Este juego, imaginado por el Caballero de Méré, muestra que cada jugada tiene un valor por encima o por debajo, en la cual cada jugador tiene más o menos posibilidades de ganar que el otro. Incapaz de resolver este problema, el Caballero se lo propuso a Blaise Pascal, quien para resolverlo creó los primeros cálculos de probabilidad. Con este problema de decisión la Teoría de los Juegos acababa de nacer. Juegos Un Juego de apuestas limitadas Cada un dispone de 20 granos. En cada jugada, los dos jugadores apuestan el número de granos que quieren y los colocan en su casilla. En cada jugada quien hizo la apuesta más fuerte marca un punto. Gana la partida quien tiene más puntos cuando ya no hay granos que jugar. Este juego recuerda, pero de manera más sencilla, a los juegos financieros. Cuando se dispone de una fortuna limitada, si se debe jugar un gran número de partidas, uno se arriesga a ser arruinado antes del final del juego. Aquí, el juego es equitativo, los jugadores tienen las mismas ventajas de salida. Pero el juego pronto se desequilibra en provecho del que reúne más granos. Dos estrategias posibles: La estrategia prudente (aparentemente) que consiste en limitar las posibles pérdidas. Jugar muy poco con el fin de aguantar el mayor tiempo posible. La estrategia del riesgo, que consiste en arriesgar, desde el principio, el todo por el todo. Qué elige usted? Con una idea de Nicolás Bouleau. (Martingalas y Mercados Financieros- Ed. Odile Jacob)

11 Juegos El Tiroteo Tejano ó 3 Colocado en la línea de salida, cada jugador, por turnos, avanza una casilla y dispara sobre el blanco cuando quiere. El primero que alcanza el blanco. Cuidado, a cada jugador se le permite sólo un disparo. Negociar el precio de un objeto, de la compra de acciones, de una empresa, es un ejercicio que se asemeja a este juego. El primero que dispara (que da un precio), debe pensarlo bien. En los mercados africanos, se le pregunta a menudo al comprador cuánto ofrece por un objeto. Este estima que el objeto vale tal precio o que el vendedor espera tal precio y anuncia un precio inferior. El regateo empieza, a menudo con ventaja para el vendedor! Por qué? En general, el comprador busca un precio que, piensa, satisface tanto a sí mismo como al vendedor. En realidad puede obtener, a menudo, algo mejor. Con una idea de Nalebuff y Brandenburger. (En la co-opétition. Ed. Village Mondial) Juegos El Bueno, el Malo y el Feo Número de jugadores: 3 Un duelo de tres. El bueno acierta 1 de cada 3 su blanco (dado amarillo), El feo acierta 2 de cada 3 (dado café), El malo, acierta siempre (dado verde). Cada uno en su turno, del menos hábil al más hábil, elige a quien dispara. Tira el dado. El bueno acierta si dispara 1 ó 3. El feo acierta si dispara 1, 2, 3 ó 4. Quién tiene más oportunidad de sobrevivir? El que salga vivo! y no es siempre quien esperamos!!! Quién tiene más posibilidades de ganar? El bueno, el feo o el malo? Cómo encontrar el orden de disparo que favorecerá al más débil? Qué pasa si lógicamente el bueno pasa en su turno? Qué pasa si el malo dispara primero? Observe aquí que la estrategia del bueno (y del peor tirador) puede decidir por completo su suerte, y tiene más oportunidad de sobrevivir si domina mejor el cálculo de sus posibilidades que los otros dos.

12 Juegos El dilema del Prisionero Los dos jugadores presentan a la vez una mano abierta o cerrada: Si las dos manos están cerradas cada uno marca 1 punto. Si las dos manos están abiertas cada uno marca 2 puntos. Una mano abierta y la otra cerrada: 4 puntos para el primero, cero para el otro. Para ganar: Hay que marcar el mayor número de puntos posibles en 3 series de 5 jugadas. Qué estrategia va a utilizar? La elección de cada uno debe tomar en cuenta lo que pueda ser la elección del otro. El comportamiento de cada uno está ligado al comportamiento del otro. Confianza y solidaridad, lucha armamentista y desarme, vida en pareja, muchas situaciones son una sucesión de enfrentamientos y cooperaciones. Es tan poco razonable la confianza? Juegos Pirámide: la última Piedra Cada uno, por turnos, coloca una bola de su color en el tablero, o cambia de posición una ya puesta a un piso superior de la pirámide. Quien coloca la última bola en lo alto de la pirámide. Para ganar: Hay que ahorrar el máximo de bolas. Cada uno tiene el objetivo de ganar. Pero por eso se debe ayudar al contrario a subir progresivamente de piso para así él mismo poder subir. La co-competición no reside en ganar al otro sino en ganar lo máximo posible cooperando. Es una diferencia esencial con los juegos que tienen como objetivo designar un ganador y un perdedor. En economía y en los negocios, en general es preferible buscar aumentar las ganancias (o las ganancias de mercado) sin aplastar al otro, sino cooperando con él. (Un juego Gi Gamic- Francia)

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