diám A = x,y A d(x,y) si A es acotado si A no es acotado. {d(x,y) : x,y A}

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1 Capítulo 6 Teoría de Baire 1. El teorema de Cantor En este capítulo estudiaremos más a fondo los espacios métricos completos. Lo primero que haremos es establecer la equivalencia entre completitud y la llamada propiedad de Cantor, la cual demostraremos en esta sección. Si A es un subconjunto no vacío del espacio métrico (X, d), definimos el diámetro de A como { sup diám A = x,y A d(x,y) si A es acotado si A no es acotado. Si A es acotado, entonces el conjunto {d(x,y) : x,y A} es acotado ya que, si para algún x 0 X, d(x,x 0 ) M para todo x A, entonces d(x,y) d(x,x 0 ) + d(x 0,y) 2M para todo x,y A. Entonces diám A existe por la completitud de los números reales. Ahora demostraremos el teorema de Cantor, el cual ofrece una propiedad equivalente a completitud en términos del diámetro de sucesiones de conjuntos. Ejemplo 6.1. Sea x X y B r (x) la bola de radio r con centro en x. Entonces diám B r (x) 2r. 99

2 Teoría de Baire Para mostrar esto, vemos que, si y,z B r (x), entonces, por la desigualdad del triángulo, d(y,z) d(y,x) + d(x,z) < 2r. Entonces diám B r (x) = sup d(y,z) 2r. y,z B r(x) Aunque no es muy difícil mostrar que diámb r (x) = 2r en el espacio R l, también es posible que este diámetro sea menor a 2r (ejercicios 1 y 2). El diámetro satisface las siguientes propiedades. Proposición 6.2. Sean A, B X no vacíos. Entonces 1. diám A = 0 si, y solo si, A = {x} para algún x X; 2. Si A B, entonces diám A diám B. Demostración. 1. La primera parte se sigue porque d(x,y) = 0 si, y solo si, x = y. 2. Si A B, entonces {d(x,y) : x,y A} {d(x,y) : x,y B}, por lo que entonces diám A diám B. Decimos que (A n ) es una sucesión decreciente de conjuntos si A n+1 A n para cada n. Teorema 6.3 (Cantor). El espacio métrico (X, d) es completo si, y solo si, para toda sucesión decreciente de subconjuntos A n, no vacíos y cerrados en X, tal que lím n diáma n = 0, tenemos que A n = {x 0 } para algún x 0 X. n=1 Demostración. Supongamos que (X,d) es completo, y sea A n una sucesión de conjuntos no vacíos cerrados en X, decreciente y tal que lím diám A n = 0. n Tomemos una sucesión (x n ) en X tal que x n A n. Observamos que tal sucesión es de Cauchy. Para verificarlo, sean ε > 0 y N > 0 tal que diám A N < ε. Entonces, para todo n N, A n A N y, por lo tanto, diáma n < ε, lo cual implica que si m,n N, entonces d(x n,x m ) < ε.

3 1. El teorema de Cantor 101 Entonces (x n ) es una sucesión de Cauchy y, por la completitud de X, converge, digamos x n x 0. Demostraremos que x 0 A n = {x 0 }, mostrando que x 0 A n para todo n. Para demostrar que x 0 A n para todo n, fijamos un n 0 y demostraremos que B ε (x 0 ) A n0 para todo ε > 0. Esto implica que x 0 A n0 y, como A n0 es cerrado, x 0 A n0. Sea ε > 0. Como x n x 0, existe N > 0 tal que d(x n,x 0 ) < ε para todo n N. Si tomamos n N y n n 0, entonces Entonces x n B ε (x 0 ) y x n A n A n0. x n B ε (x 0 ) A n0. Por lo tanto x 0 A n0 y, como n 0 es arbitrario, x 0 A n para todo n. Ahora bien, ( diám n=1 A n ) = 0, ya que A n A k para todo A k y, además, diám A k 0. Por la proposición 6.2, A n = {x 0 }. Para mostrar la inversa, sea (x n ) una sucesión de Cauchy en X. Definimos los conjuntos T n = {x k : k n}, A n = T n. Claramente, cada A n es no vacío, cerrado, y A n+1 A n, n = 1,2,... Además, diám A n = sup d(x m,x k ), m,k n por el ejercicio 3. Como (x n ) es de Cauchy, dado ε > 0 existe N > 0 tal que para todo m,n N, y por lo tanto d(x m,x n ) < ε 2 diám A n diáma N ε 2 < ε para todo n N. Entonces diáma n 0. Por la hipótesis del teorema, An = {x 0 } para algún x 0 X, y no es difícil ver que x n x 0 (ejercicio 4).

4 Teoría de Baire Ejemplo 6.4. Considere el espacio R. Entonces, dada una subsucesión de intervalos encajados [a n,b n ] [a n+1,b n+1 ], [a n,b n ]. n=1 De hecho, esta propiedad de intesección no vacía de intervalos encajados es equivalente a la completitud de R. No podemos utilizar directamente el teorema de Cantor, ya que la definición de diámetro depende de la completitud de R. Sin embargo, podemos reescribir la hipótesis del teorema de la siguiente manera: Sean A n, cerrados, A n A n+1, tales que para todo ε > 0 existe n 0 tal que para todos x,y A n0, d(x,y) < ε. Entonces A n = {x 0 } para algún x 0 X. Este enunciado evita el uso del diámetro de un conjunto, y la equivalencia con la completitud de R se muestra de la misma manera con la que fue demostrado el teorema de Cantor (ejercicio 5). 2. El teorema de Baire En esta sección mostraremos el teorema de Baire, y daremos algunas aplicaciones en la siguiente. Aunque este teorema es una simple consecuencia del teorema de Cantor demostrado en la sección anterior, su uso ofrece un método muy poderoso para resolver diversos problemas de análisis. Recordemos que si S,A X, decimos que S es denso en A si, para todo ε > 0 y x A, B ε (x) S ; es decir, S A. Es claro que la unión de conjuntos densos es también un conjunto denso. Ésto no es cierto acerca de la intersección de conjuntos densos, ya que incluso ésta puede ser vacía, como en el caso Q y R \ Q, los cuales son densos en R y disjuntos. Sin embargo, la intersección de dos conjuntos densos abiertos en un espacio métrico completo es un conjunto denso. De hecho, también en el caso de intersecciones contables, como establecemos a continuación. Teorema 6.5 (Baire). Sea (X,d) un espacio métrico completo y {U n } n=1 una familia contable de conjuntos abiertos densos en X. Entonces U = es denso en X. n=1 Demostración. Sean x X y ε > 0. Mostraremos que la intersección B ε (x) U no es vacía. U n

5 2. El teorema de Baire 103 Como U 1 es denso, existe x 1 B ε (x) U 1. Tanto B ε (x) como U 1 son abiertos, por lo que B ε (x) U 1 es también abierto y podemos encontrar un δ 1 > 0 tal que B δ1 (x 1 ) B ε (x) U 1. Sea y { δ1 r 1 = mín 2 2}, ε A 1 = B r1 (x 1 ). A 1 es cerrado y es subconjunto de B ε (x) U 1. De igual forma, ya que U 2 es abierto y denso en X, podemos encontrar x 2 X y r 2 ε 4 A 2 = B r2 (x 2 ) B r1 (x 1 ) U 2 B ε (x) U 2. tales que Por inducción, construímos una sucesión decreciente de conjuntos cerrados no vacíos A n tal que diám A n ε 2 n y A n B ε (x) U n. Por el teorema de Cantor, n A n = {x 0 } para algún x 0 X. Pero entonces x 0 A n B ε (x) U n para todo n, por lo que concluimos que x 0 B ε (x) U. Decimos que un subconjunto A X es denso en ninguna parte si el conjunto X \ Ā es denso. Es decir, para todo x Ā y ε > 0, B ε(x) Ā. En otras palabras, A es denso en ninguna parte si su cerradura Ā no contiene ningún conjunto abierto. Ejemplo 6.6. El conjunto vacío es denso en ninguna parte. Ejemplo 6.7. Si X = R l, entonces todos sus subconjuntos finitos son densos en ninguna parte. De hecho, ésto es cierto de todos los subespacios discretos de R l, como Z ó {1/n} n 1 en R. Ejemplo 6.8. El conjunto de Cantor, definido en el ejemplo 1.41, es un conjunto denso en ninguna parte de R. Para verificar esto, sea x C y δ > 0. Si n es tal que 1 < δ, entonces es claro que 3n (x δ,x + δ) I,

6 Teoría de Baire donde I es el intervalo de longitud 3 n que contiene a x obtenido en la n-ésima iteración en la construcción de C (véase el ejemplo 1.41). Entonces (x δ,x + δ) C y, como C es cerrado en R, concluimos que denso en ninguna parte. Definición 6.9. Sea (X,d) un espacio métrico. Decimos que X es un espacio de primera categoría si existe una sucesión de conjuntos E n X, densos en ninguna parte, tales que X = E n. n Decimos que X es de segunda categoría si no es de primera categoría. Es decir, un espacio es de primera categoría si es la unión contable de conjuntos densos en ninguna parte, y de segunda categoría si no lo es. Ejemplo Un espacio discreto X es de segunda categoría, porque no contiene conjuntos densos en ninguna parte (ejercicio 6). Corolario 6.11 (Baire). Si (X, d) es un espacio métrico completo, entonces X es de segunda categoría. Demostración. Sea {E n } una colección contable de subconjuntos de X densos en ninguna parte. Demostraremos que E n X. Sean n U n = X \ E n. Entonces cada U n es abierto, denso, y, por el teorema de Baire, la intersección U n = X \ E n n n es un conjunto denso. En particular, X \ n E n y, como E n E n, n n X \ E n tampoco es vacío. Por lo tanto E n X. Tanto el teorema 6.5 como el corolario 6.11 son conocidos como el teorema de Baire, y nosotros utilizaremos este nombre para referirnos a cualquiera de estos dos resultados.

7 3. Aplicaciones Aplicaciones 3.1. Cardinalidad. Una consecuencia directa del teorema de Baire es la incontabilidad de R. Si R fuera contable, entonces sería la unión contable de cada uno de sus puntos y, como hemos visto que cada subconjunto finito de R es denso en niguna parte, esto contradice la completitud de R. Podemos generalizar este resultado de la siguiente manera. Teorema Sea (X,d) un espacio métrico completo tal que cada uno de sus puntos es un punto de acumulación de X. Entonces X es incontable. Demostración. Si x es un punto de acumulación de X, entonces todas las bolas B ε (x) contienen puntos de X distintos a x, por lo que entonces el conjunto X \ {x} es denso. Como {x} es cerrado, {x} es denso en niguna parte. Si X fuera contable, sería la unión contable de cada uno de sus puntos, una contradicción con la completitud de X, por el teorema de Baire. Ejemplo El conjunto de Cantor es un subespacio completo de R (porque es cerrado en R y por el teorema 2.20) y no tiene puntos aislados (ejercicio 18 del capítulo 1). Por el teorema 6.12, C es incontable Conjuntos G δ y F σ. Sabemos que la intersección infinita de conjuntos abiertos en un espacio métrico no es, en general, un conjunto abierto, y lo mismo sucede con uniones infinitas de conjuntos cerrados. Sin embargo, cuando nos referimos a uniones o intersecciones contables, podemos obtener algunos resultados útiles para resolver varios problemas de análisis. Definición Sea (X,d) un espacio métrico. Decimos que A X es un conjunto G δ en X si A es la intersección contable de conjuntos abiertos en X. Decimos que A es un conjunto F σ si es la unión contable de conjuntos cerrados en X. Ejemplo Todo subconjunto contable de X es un conjunto F σ en X. Esto se debe a que cada punto de X es cerrado en X. Ejemplo Si x X, entonces {x} = B 1/n (x), n=1 por lo que entonces el conjunto {x} es un conjunto G δ en X. Si A es un conjunto G δ en X, entonces X \A es un conjunto F σ. Esto se sigue por la leyes de De Morgan. De la misma forma, si A es F σ, entonces X \ A es G δ en X (ejercicio 8).

8 Teoría de Baire Por el ejemplo 6.15, si X \ A es contable, entonces A es un conjunto G δ en X. Ejemplo Los conjuntos Q y R \ Q son conjuntos F σ y G δ en R, respectivamente. El ejemplo 6.17 da origen a la siguiente pregunta: es el conjunto Q un conjunto G δ en R? La respuesta a esta pregunta es negativa, como lo establece el siguiente teorema. Teorema El conjunto Q no es G δ en R. Demostración. Supongamos que Q = U n, n=1 donde los conjuntos U n son abiertos en R. Como Q es denso, cada U n es denso, y por lo tanto los conjuntos E n = R \ U n son densos en ninguna parte. Entonces podemos escribir R = E n {q}, la unión contable de conjuntos densos en ninguna parte (Q es contable). Esto contradice el teorema de Baire y la completitud de R Continuidad de funciones. Consideremos las funciones, en R, dadas por { 1 si x Q (6.1) f(x) = 0 si x R \ Q, 1 si x Q y x = p (6.2) g(x) = q q, mcd(p,q) = 1 0 si x R \ Q, donde mcd(p,q) denota el máximo común divisor de los enteros p y q. La función f es discontinua en todos los puntos de R, mientras que g es continua precisamente en los números irracionales (ejercicios 12 y 13). Tales funciones nos hacen pensar en la siguiente pregunta: existe una función en R que sea continua precisamente en los números racionales, es decir, continua en Q y discontinua en R\Q? Demostraremos que tal función no existe utilizando el teorema de Baire. Definición Dada una función f : X Y, donde (X,d) y (Y,d ) son dos espacios métricos, definimos el conjunto de continuidades de f como el conjunto C f = {x X : f es continua en x}. q Q

9 3. Aplicaciones 107 Para contestar la pregunta anterior, estudiaremos algunas propiedades del conjunto C f. Para ésto, consideremos las siguientes funciones. Definición Sea f : X Y. Para x X y δ > 0 definimos { sup{d (f(y),f(z)) : y,z B δ (x)} si f es acotada en B δ (x) O f (x,δ) = de otra forma. Definimos ahora, para x X, O f (x) = ínf δ>0 O(x,δ). La función O f (x) es llamada la oscilación de f en x. Notamos que, si δ δ, entonces O f (x,δ) O f (x,δ ), por lo que O f (x) = lím δ 0 O f (x,δ) si O f (x,δ) < para algún δ > 0. Ejemplo Sea X = (0,1) y f(x) = 1 x. Entonces O f ( 1 4,δ ) = si δ 1/4. Sin embargo, como f es continua en 1/4, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que ( f por lo que B δ (1 4 ) ) B ε (f ( 1) ) = B ε (4), 4 O f ( 1 4,δ ) 2ε. Entonces, como ε > 0 es arbitrario, O f (1/4) = 0. En general, si f es continua en x, entonces O f (x) = 0. La inversa también es cierta, como mostramos a continuación. Proposición Sean (X,d) y (Y,d ) dos espacios métricos, f : X Y y x X. Entonces f es continua en x si y solo si O f (x) = 0. Demostración. Supongamos que f es continua en x y sea ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que f(b δ (x)) B ε/2 (f(x)). Entonces, si y,z B δ (x), d (f(y),f(z)) d (f(y),f(x)) + d (f(x),f(z)) < ε 2 + ε 2 = ε, por lo que entonces O f (x,δ) ε. Como ε > 0 es arbitrario, esto demuestra que O f (x) = 0.

10 Teoría de Baire De manera inversa, supongamos que O f (x) = 0, y sea ε > 0. Como lím O f(x,δ) = 0, δ 0 existe δ > 0 tal que O f (x,δ) < ε; es decir, para y,z B δ (x), d (f(y),f(z)) < ε. Pero esto implica que f(y) B ε (f(x)) para todo y B δ (x) y, por lo tanto, f es continua en x. Tenemos entonces que C f = {x X : O f (x) = 0}. Ejemplo Sea X = [0,1] y f la función 0 x = 0 f(x) = 1 x 0 < x 1. Entonces O f (0,δ) = para todo δ > 0. Ejemplo Consideremos ahora X = [0,1] y f la función 0 x = 0 f(x) = ( 1 sin 0 < x 1. x) Véase la figura 1. Entonces O f (0,δ) = 2 para todo δ > Figura 1. Gráfica de la función f en [0, 1]. Ejemplo Si f : R R es la función definida por (6.1), entonces O f (x,δ) = 1 para todo x R y δ > 0, ya que cualquier intervalo (x δ,x+δ) contiene números racionales e irracionales, por lo que sup{ f(y) f(z) : y,z (x δ,x + δ} = 1. Entonces O f (x) = 1 para todo x [0,1].

11 3. Aplicaciones 109 Ejemplo Si g : R R es la función definida por (6.2), entonces O g (x) = g(x) (ejercicio 14). Los ejemplos anteriores describen la función oscilación en distintos puntos del dominio de una función. Sabemos que O f (x) = 0 si f es continua en x y O f (x) > 0 si f no es continua en x (o, si f no es acotada en ninguna vecindad de x). Ahora bien, si definimos el conjunto tenemos el siguiente resultado. O f (ε) = {x X : O f (x) < ε}, Lema El conjunto O f (ε) es abierto en X. Demostración. Sea x O f (ε). Queremos encontrar un δ > 0 tal que B δ (x) O f (ε), es decir, O f (y) < ε para todo y B δ (x). Ahora bien, como x O f (ε), existe un número δ 0 tal que O f (x,δ 0 ) < ε. De hecho, para algún ε 0 > 0, O f (x,δ 0 ) ε ε 0, es decir, d (f(y),f(z)) ε ε 0 para todo y,z B δ0 (x). Sea δ = δ 0 /2. Demostraremos que B δ (x) O f (ε). Para ésto, sea y B δ (x). Si d(z, y) < δ, entonces por lo que d(z,x) d(z,y) + d(y,x) < δ + δ = δ 0, B δ (y) B δ0 (x) y entonces, si z,z B δ (y), z,z B δ0 (x) y d (f(z),f(z )) ε ε 0. Esto significa que O f (y,δ) ε ε 0, y por lo tanto O f (y) < ε. Tenemos entonces el resultado principal de esta sección. Teorema El conjunto C f es un conjunto G δ. Demostración. Ya hemos visto que C f = {x X : O f (x) = 0}, por lo que entonces C f = O f (1/n). n=1 Cada O f (1/n) es abierto por el lema 6.27 y, por lo tanto, C f es un conjunto G δ. Como el conjunto de los números racionales no es un conjunto G δ en R, por el teorema 6.18 tenemos entonces la respuesta a la pregunta hecha al inicio de estas notas.

12 Teoría de Baire Corolario No existe una función f : R R tal que C f = Q Diferenciabilidad de funciones. En esta sección demostraremos la existencia de una función continua y no diferenciable en todo su dominio. De hecho, mostraremos que el conjunto de funciones continuas diferenciables en al menos un punto en [0,1] es de primera categoría en C([0,1]). Lema Sea F n el conjunto F n = {f C([0,1]) : existe x 0 [0,1 1/n] tal que, para todo x [x 0,1), f(x) f(x 0 ) n(x x 0 )}. Entonces 1. F n es cerrado en C([0,1]). 2. F n es denso en ninguna parte. Demostración. 1. Sea (f k ) una sucesión en F n que converge uniformemente, digamos f k f. Demostraremos que f F n. Para esto, escogemos, para cada k, x k [0,1 1/n] tal que f k (x) f(x k ) n(x x 0 ) para todo x [x k,1). Como [0,1 1/n] es compacto, (x k ) tiene una subsucesión convergente, digamos x kl x 0. Demostraremos que f(x) f(x 0 ) n(x x 0 ) para todo x [x 0,1). Sea ε > 0. Sea K tal que, para k,l K, f k (x) f(x) < ε 5 y f k (x) f l (x) < ε 5 para todo x [0,1]. Ahora, sea δ > 0 tal que, si x x 0 < δ, entonces f K (x) f K (x 0 ) < ε 5. Escogemos L tal que k L K y, si l L, entonces x kl x 0 < mín{δ, ε 5n }.

13 3. Aplicaciones 111 Sea x [x 0,1). Si x x kl, f(x) f(x 0 ) f(x) f kl (x) + f kl (x) f kl (x kl ) + f kl (x kl ) f K (x kl ) + f K (x kl ) f K (x 0 ) + f K (x 0 ) f(x 0 ) < ε 5 + n(x x k L ) + ε 5 + ε 5 + ε 5 = ε 5 + n(x x 0 + x 0 x kl ) + ε 5 + ε 5 + ε 5 < ε 5 + n(x x ε 0) + n 5n + ε 5 + ε 5 + ε 5 = n(x x 0) + ε. Si x < x kl, x 0 x < x kl, por lo que x x 0 < δ. Entonces f(x) f(x 0 ) f(x) f K (x) + f K (x) f K (x 0 ) + f K (x 0 ) f(x 0 ) < ε 5 + ε 5 + ε 5 = 3 5 ε < n(x x 0) + ε. Como ε > 0 es arbitrario, entonces para todo x [x 0,1). f(x) f(x 0 ) n(x x 0 ) 2. Sean f C([0,1]) y ε > 0. Tenemos que encontrar g C([0,1]) tal que f g u < ε y g F n. Como f es uniformemente continua, existe δ 0 tal que, si x y < δ 0, entonces f(x) f(y) < ε/5. Sea δ = mín{δ 0,ε/(5n)}, y tomamos x 0 = 0 < x 1 <... < x m = 1 tales que x i x i 1 < δ. Definimos g : [0,1] R como g(x i ) = f(x i ) + ( 1)i ε, i = 1,2,... 5 g(x) = g(x i ) + g(x i) g(x i 1 ) (x x i ), x i 1 x x i. x i x i 1 (Véase la figura 2.) Ahora bien, para x [0,1], si x i 1 x x i, f(x) g(x) f(x) f(x i ) + f(x i ) g(x i ) + g(x i ) g(x) < ε 5 + ε 5 + g(x i) g(x i 1 ) = 2ε 5 + f(x i) f(x i 1 ) + ( 1) i2ε 5 4ε 5 + f(x i) f(x i 1 ) < ε. Por lo tanto f g u < ε.

14 Teoría de Baire Figura 2. Construcción de la función g en la demostración del lema Para mostrar que g F n, es suficiente con demostrar que las pendientes de las rectas que definen la función g son mayores, en valor absoluto, a n. Pero esto es g(x i ) g(x i 1 ) f(x i ) f(x i 1 ) + ( 1) i2ε x i x i 1 = 5 x i x i 1 2ε 5 f(x i) f(x i 1 ) x i x i 1 2ε > 5 ε 5 ε = n. 5n El conjunto F n es el conjunto de funciones f tales que, para algún x 0 [0,1 1/n], las secantes a la gráfica de f que pasan por x 0 y por otro punto a la derecha de x 0, tienen pendiente menor que n, en valor absoluto. Es fácil de ver, entonces, que los F n contienen a todas las funciones diferenciables en al menos un punto. Lema Sea f : [0,1] R diferenciable en x 0 [0,1). Entonces existe n tal que f F n. Demostración. Como f es diferenciable en x 0, existe δ > 0 tal que, si x x 0 < δ, entonces f(x) f(x 0 ) ( f (x 0 ) + 1 ) x x 0.

15 Ejercicios 113 Si M > 0 es tal que f(x) M para todo x [0,1], entonces, si x x 0 + δ, f(x) f(x 0 ) 2M 2M δ x x 0. Entonces, si n > máx{ f (x 0 ) + 1, 2M δ }, entonces f F n. Hemos llegado entonces a nuestro objetivo. Teorema Existe f C([0,1]) tal que, para todo x [0,1], f no es diferenciable en x. Demostración. Por el lema 6.31, si f es diferenciable en x 0 [0,1), entonces f F n para algún n. Pero, por el lema 6.30, cada F n es denso en ninguna parte, por lo que C([0,1]) F n, n=2 por el teorema de Baire. Si g C([0,1]) \ n=2 F n, entonces g no es diferenciable en ningún punto de [0,1). Si ( 1 ) (x 1)sen x [0,1) h(x) = x 1 0 x = 1, entonces h no es diferenciable en 1 y, por lo tanto, f = g + h no es diferenciable en ningún punto de [0,1]. Ejercicios 1. Si B r (x) es la bola en R l de radio r con centro en x, entonces diám B r (x) = 2r. 2. Dé un ejemplo de un espacio X y una bola B r (x) en X tal que diám B r (x) 2r. 3. Para todo subconjunto A del espacio métrico (X,d), diám A = diám Ā. 4. Sea A n una sucesión de subconjuntos de (X,d) tales que diám A n 0. Si A n = {x} y x n A n para cada n, entonces x n x. 5. Los siguientes enunciados son equivalentes:

16 Teoría de Baire * Sea S un subconjunto no vacío de R, acotado por arriba. Entonces S tiene un supremo. ** Sea [a n,b n ] una sucesión de intervalos encajados, es decir [a n+1,b n+1 ] [a n,b n ]. Entonces [a n,b n ]. El enunciado (**) es utilizado como Axioma de Completitud en el texto de Courant y John [1]. 6. a) Si X es un espacio discreto, entonces ningún subconjunto no vacío de X es denso en ninguna parte. b) Si X es un espacio discreto, entonces es de segunda categoría. 7. Sea A X denso en X. Si E es cerrado en X y E A =, entonces E es denso en ninguna parte. 8. a) Si A es un conjunto G δ en X, entonces X \ A es F σ en X. b) Si A es un conjunto F σ en X, entonces X \ A es G δ en X. 9. Si A X es G δ y denso en X, entonces X \ A es de primera categoría. 10. Si A y X \A son densos en el espacio completo X, entonces sólo uno de ellos puede ser F σ en X. 11. Sea A X contable y denso en el espacio completo X. Entonces A no es G δ. 12. La función f : R R definida por (6.1) es discontinua en todo punto de R. 13. La función g : R R definida por (6.2) es continua en los irracionales y discontinua en los racionales. 14. Si g : R R está definida por (6.2), entonces O g (x) = g(x). 15. Enumeramos los racionales entre 0 y 1 como Q (0,1) = {r n : n 1} y, para cada n, definimos la función 0 0 x < r n g n (x) = 1 2 n r n x 1. a) La serie n=1 g n converge uniformemente. b) Si g(x) = n=1 g n(x), calcule O g (x) para cada x [0,1].

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