Matemáticas II. d) Perpendicular al plano π: 2x y + 3z 1 = 0, paralelo a la recta r : x 1 2 = y 3 = z 8

Transcripción

1 I.E.S. Juan Carlos I Ciempozuelos (Madrid) Matemáticas II * Geometría analítica en R 3 * 1. Determina cuáles de las siguientes ternas de puntos son puntos alineados. Encuentra la ecuación de la recta que los contiene en caso en que estén alineados y la ecuación del plano que definen en caso de que no lo estén. a) A(1, 2, 3), B(2, 1, 4) y C(3, 0, 2). b) A(-1, 2, -1), B(0, 1, 2) y C(2, -1, 8). c) A(2, 4, 2), B(0, 1, 0) y C(1, 3, 1). 2. Determina las ecuaciones de los siguientes planos: a) Pasa por el punto A(1, 0, 0) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos B(0, 1, 0) y C(0, 0, 1). b) Contiene a la recta r : { x=1 y= 1 2 z=1 2 y es perpendicular al plano π: 2x+y+2z+1=0. c) Es perpendicular al segmento que une A(1, 0, 0) con B(3, -4, 4) y lo divide en dos partes iguales. d) Perpendicular al plano π: 2x y + 3z 1 = 0, paralelo a la recta r : x 1 2 = y 3 = z 8 1 que pasa por el origen de coordenadas. y 3. Dados los puntos A(1, 1, 1), B(a, 2, b) y C(1, 0, 0): a) Con a = 2 calcula b para que los tres puntos determinen un plano que pase por el punto P(2, 0, 1). b) Halla los valores de a y b que hacen que los puntos A, B y C estén alineados. 4. Dados el plano π: 2x y + 2z =0 y el plano coordenado XY, calcula: a) La ecuación de una recta contenida paralela al plano XY y contenida en π. b) La ecuación de un plano que contiene a la recta hallada en a) y que forma un ángulo de 60º con el plano XY. 5. Determina la posición relativa de los tres planos en cada uno de los siguientes casos: a) π 1 : x + 2y z 3 = 0; π 2 : 3y + 2z 1 = 0; π 3 : x + y + z 2 = 0 b) π 1 : 2x y + z 3 = 0; π 2 : x y + z 2 = 0; π 3 : 3x y + z 4 = 0 c) π 1 : x y + z 1 = 0; π 2 : 3x + y 2z = 0; π 3 : 2x + 2y 3z + 4 = 0 6. Determina la posición relativa de la recta que pasa por los puntos A(1, 2, 0) y B(3, 2, 1) y el plano que contiene a los puntos C(3, 0, 1), D(1, 2, 0) y E(0, 1, 4). Si se cortan determina el punto de corte y el ángulo entre recta y plano, si son paralelos calcula la distancia entre ellos y si el plano contiene a la recta, encuentra la ecuación del plano que contiene a la recta y corta perpendicularmente al otro plano. 7. Encuentra los puntos de corte de la recta r : x 1 2 = y 1= z 2 con los planos coordenados.

2 8. Calcula la distancia entre las rectas r : x 1= y 3 2 = z 3 y s: x 1 2 = y 3= z 2 2 sabiendo que se cruzan. Determina también la recta que corta a ambas perpendicularmente. 9. Dadas las rectas r y s de vectores directores u= 1,1,0 y v= 1, 2,0 respectivamente, y que pasan por el punto A(1, 0, 3), determina las bisectrices de los ángulos que forman dichas rectas. 10.Demuestra que las rectas :{ r x=1 2 y=1 z= y s:{ x= y=0 z=4 se cortan en un punto. Determina el punto de corte de ambas, el ángulo que forman y la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. 11.Halla la posición relativa del plano π con la recta r, siendo en cada caso: a) r : { x y 2 z 1=0 : 4 x 4 y z 4=0 x y 4 z 3=0 b) r : x 1 z 2 = y= 2 3 π : x+ y z 2=0 12.Determina los valores del parámetro a para que el plano π : x 2y + az = 0 y la recta x 1 r: 2 = y= z 1 se corten en un punto. Determina el punto de corte y el ańgulo que forman la recta y el plano en función de a. 13.Encuentra los puntos de la recta r : { x y=0 que están a una distancia de 2 unidades del y z=0 plano π: 2x y + 2z + 9 = 0. Determina la proyección de ambos puntos sobre el plano. 14.Determina las coordenadas de un punto que esté a 2 unidades de distancia de la recta x 1 = y = 1 z. 15.Dadas las rectas r : x+1= y 2 =z+1 y s: x 2 2 = y 2= z 2, determina: a) Su posición relativa. b) La ecuación de la recta t perpendicular a r y s y que se apoya en ambas. c) Los puntos de corte entre t, r y s. d) La distancia entre las rectas r y s. e) La ecuación del plano que equidista de r y s y es paralelo a ambas. x 16.Dadas las rectas r: 1 = y 2 2 = z 1 x 1 y s: 2 2 = y 3 = z 3 : 2 a) Estudia su posición relativa. b) Determina el ángulo que forman r y s. c) Escribe la ecuación paramétrica de una recta t que corte a r y s y sea perpendicular a ambas. d) Escribe la ecuación general del plano π que contiene a r y s. e) Escribe la ecuación general de un plano π 2 paralelo a π y que esté a una distancia 7 del mismo.

3 x 1 z 1 17.Dados el punto A(3, 5, -1) y la recta r: = y 2=, encuentra el punto B 2 4 perteneciente a r tal que el vector AB sea paralelo al plano π : 3x 2y + z + 5 = Una pirámide de base cuadrada tiene el vértice en el plano z = 3. Tres de los vértices de la base son los puntos A(1, 0, 0), B(1, 1, 0) y C(0, 1, 0). a) Elabora un gráfico con los elementos que da el problema. Cuáles son las coordenadas del cuarto vértice de la base, D? b) Cuál es el volumen de la pirámide? (Volumen = (área base x altura) /3). c) Si el vértice de la pirámide es el punto V(a, b, 3), cuál es la ecuación de la recta que contiene la altura sobre la base? 19.Se considera el plano π : y + z 12m = 0 (donde m es un parámetro real), y las rectas: r : { x=1 y=z, s: { x=2 y=2z, t : { x=3 y=3z Sean R, S y T los puntos de intersección del plano π con r, s y t respectivamente. a) Calcula las coordenadas de R, S y T en función de m. b) Determina los valores de m para los que el triángulo RST tiene área igual a 1 unidad. 20.Dados el punto A(3, 2,7) y el plano π: x 2y + z =0, determina: a) La proyección ortogonal de A sobre π. b) La ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por A. c) El punto simétrico de A con respecto a π. 21.Dados el plano π: x + y + z = 0, la recta r: (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(0, 1, 1) y el punto P(2, 1, 3): a) Encuentra la ecuación de una recta que corta perpendicularmente a r que pasa por P. b) Encuentra el punto P' simétrico de P con respecto a r. c) Encuentra el punto P'' simétrico de P con respecto a π. 22.Halla las ecuaciones de los planos que pasan por el punto A(-7, 2, -3) y tales que las proyecciones ortogonales del origen sobre dichos planos sean puntos de la recta (x, y, z)=(0, 4, 1) + λ(1, 0, 0). 23.Calcula la proyección del punto A(2, 0, 1) sobre la recta de ecuación r: x- 1 = y + 5 = z 1 y sobre el plano π: 2x y + z 1 = (P.A.U. 2009) Dados el plano x 2 y z=2, la recta r x 3 2 = y 2 1 = z 5 y el 4 punto P(-2, 3, 2) perteneciente al plano, se pide: a) Determinar la posición relativa de y r. b) Calcular la ecuación de la recta t contenida en, que pasa por P y que corta perpendicularmente a r. c) Sea Q el punto de intersección de r y t. Si s es la recta perpendicular al plano y que contiene a P, y R es un punto cualquiera de s, probar que la recta determinada por Q y R es perpendicular a r. 25.(P.A.U. 2009) Dados el punto P(1, -1, 2) y el plano 2x y z 11=0, se pide: a) Determinar el punto Q de intersección del plano con la recta perpendicular a que pasa por P. Hallar el punto R simétrico del punto P respecto del plano. b) Obtener la ecuación del plano paralelo a que contiene al punto H que se encuentra

4 a 5 6 unidades del punto P en el sentido del vector PQ. 26.(P.A.U. 2009) Dadas las rectas r x 1 = y 2 = z x 3, s a b = y 1 = z 3 determina los valores 1 de los parámetros a y b para los que las rectas r y s se cortan perpendicularmente. 27.(P.A.U. 2009) Dado el plano 2 x y 2 z 1=0 halla las ecuaciones de los planos paralelos a que se encuentran a 3 unidades de distancia de. 28.(P.A.U. 2009) Dada la recta r x 1 1 = y 1 = z y el plano x y 2 z 1=0, hallar 1 la ecuación de la recta s simétrica de la recta r respecto del plano. 29.(P.A.U. 2008) Dadas las rectas: r { x a y=2 a y z=1, s { x z=1 y z=3 se pide: a) Discutir la posición relativa de las dos rectas según los valores del parámetro a. b) Si a=1, calcular la distancia mínima entre las dos rectas r, s. 30.(P.A.U. 2008) Dados los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, -1), C(0, 1, -2) y D(1, 2, 0) se pide: a) Demostrar que los cuatro puntos no son coplanarios. b) Hallar la ecuación del plano determinado por los puntos A, B y C. c) Hallar la distancia del punto D al plano. 31.(P.A.U. 2008) Dados el plano 3 x 2 y z 10=0 y el punto P(1, 2, 3), se pide: a) Hallar la ecuación de la recta r perpendicular al plano que pasa por el punto P. b) Hallar el punto Q de intersección de r y. c) Hallar el punto R intersección de con el eje OY. d) Hallar el área del triángulo PQR. 32.(P.A.U. 2008) Dadas las rectas r x 1 1 = y 2 2 = z 3, s x 2 = y 1 3 = z 4 de la recta t perpendicular común a ambas. hallar la ecuación 33.(P.A.U. 2008) Dados el plano 1 x y z=1 y la recta r x 1 2 = y 1 3 = z 4 se pide: a) Hallar el punto P determinando por la intersección de r con 1. b) Hallar un plano 2 paralelo a 1 y tal que el segmento de la recta r comprendido entre los planos 1 y 2 tenga una longitud de 29 unidades. 34.(P.A.U. 2007) Dados el punto A(1, -2, -3), la recta r { x y 1=0 y el plano z=0 x 2 y 3 z 1=0, se pide: a) La ecuación del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a. b) La ecuación de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a. 35.Determinar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(0, 2, 0), B(2, 0, 0) y C(0, 0, 2) y hallar la distancia de este plano al origen de coordenadas.

5 36.(P.A.U. 2007) Hallar los puntos de la recta r x 3 1 = y 5 1 = z x y 2 z 1=0 es igual a 1 unidad. cuya distancia al plano 37.(P.A.U. 2007) Se consideran la rectas r { x y=3 x y z=0, s { x z=4. Hallar la 2 x y=7 ecuación continua de la recta que contiene al punto P(2, -1, 2) y cuyo vector director es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas anteriores. 38.(P.A.U. 2007) Sean las rectas r x 1 = y 1 1 = z 2, s 2 { x 3 y 5=0 x 3 z 8=0. a) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. b) Calcular la distancia entre el plano y la recta s. 39.(P.A.U. 2007) Se consideran la recta r { x y=0 y el punto P(1, 1, 1). Dado el x 2 y 3 z=0 punto O(0, 0, 0) perteneciente a la recta r, hallar todos los puntos A contenidos en r tales que el triángulo de vértices A, P y O tenga área (P.A.U. 2007) { x=1 a) Calcular la ecuación general del plano 1 que contiene a la recta r y= 1 2 y z= que es perpendicular al plano 2 2 x y z=2. b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos 1 y (P.A.U. 2007) Se consideran el punto P(1, 0, 1), la recta r x 1 1 = y 2 = z 1 y el plano 1 x y z=0. Se pide: a) Obtener el punto P', simétrico de P con respecto del plano. b) Determinar la ecuación de la recta s que contiene al punto P, corta a la recta r y es paralela al plano. 42.Dados los puntos A(0, 1, 0) y B(1, 0, 1) escribe las ecuaciones paramétricas de la recta formada por los puntos C(x, y, z) del plano x y z=3 tales que el triángulo ABC es rectángulo con el ángulo recto en el vértice A. 43.(P.A.U. 2006) Un plano corta a los ejes de coordenadas en los puntos A(1, 0, 0), B(0, k, 0) y C(0, 0, 4). a) Encuentra los valores de k>0 de manera que el volumen del tetraedro OABC (donde O es el origen de coordenadas), sea 2. b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, calcula la longitud de la altura del tetraedro OABC correspondiente al vértice O. 44.(P.A.U. 2006) Sea r la recta que pasa por el origen de coordenadas O y tiene como vector director v= 4,3,1. Hallar un punto P contenido en dicha recta, tal que si se llama Q a su proyección sobre el plano z=0, el triángulo OPQ tenga área (P.A.U. 2006) Un punto de luz situado en P(0, 1, 1) proyecta la sombra de la recta

6 r x= y= z sobre el plano x z=0. Calcular las coordenadas del punto de esta proyección que pertence al plano z = (P.A.U. 2005) Discutir, según los valores del parámetro λ, la posición de los planos: 1 x z= 2 4 x 2 y 2 z= x 6 z= 47.(P.A.U. 2005) Se considera la familia de planos: mx+(m-2)y+3(m+1)z+(m+1)=0 siendo m un parámetro real, se pide: a) Determina la recta común a todos los planos de la familia. b) Determina el plano de esta familia que pasa por el punto P(1, 1, 0). c) Determina el plano de esta familia que es paralelo a la recta r { x 2 z 1=0 y z 1=0. 48.(P.A.U. 2005) Se consideran las rectas r { x y=3 x y z=0, s { x z=4 2 x y=7 a) Hallar la recta t que es perpendicular a r y s y que pasa por el origen. b) Hallar las coordenadas del punto de intersección de la recta s con la recta t obtenida en el apartado anterior. 49.(P.A.U. 2005) Dadas las rectas: ` r : x 1 1 = y 2 1 = z s: x = y 1 1 = z 2 1 a) Hallar la ecuación de la recta t que pasa por el origen de coordenadas y corta a las dos rectas r y s. b) Hallar los puntos de intersección de t con r y s. c) Calcular la mínima distancia entre r y s. 50.(P.A.U. 2005) Dada la recta r : x 1 2 = y 1 3 = z y el plano : x 2 y 2 z=0, se pide: 2 a) Hallar el punto P de corte entre la recta y el plano dados. b) Hallara los puntos A y B contenidos en la recta r tales que su distancia al plano π sea igual a (P.A.U. 2005) Dados los puntos A(-1, 1, 1), B(1, -3, -1) y C(1, 0, 3), hallar las coordenadas del punto D perteneciente a la recta r : x 1= y 1 1 = z 1 tal que el volumen del tetraedro ABCD sea igual a 2 unidades. 52.(P.A.U. 2005) Se considera la recta r : x 2 = y 2 3 = z 5 y la familia de rectas dependiente 2 del parámetro m s m : { 3 x y=8 12 m y 3 z=7 3 m : a) Determinar el valor de m para el que las dos rectas r y s se corten. b) Para el caso m=0, hallar la distancia entre las rectas r y s. 53.(P.A.U. 2004) Determinar la posición relativa de los siguientes tres planos, según los valores del parámetro k:

7 1 :2 x 3 y k z=3 2 : x k y z= 1 3 :3 x y 3 z= k En los casos en que los tres planos se corten a lo largo de una recta común, hallar el vector director de dicha recta. 54. (P.A.U. 2004) Sea el plano : x 2 y 3 z=6 a) Hallar el punto simétrico del (0, 0, 0) respecto de π. b) Hallar el plano perpendicular a π que contiene al eje OZ. c) Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de intersección del plano π con los ejes coordenados. 55.(P.A.U. 2004) El plano :2 x 2 y z=2 determina un tetraedro con los tres planos coordenados. Se pide: a) Calcular la longitud de la altura del tetraedro que parte del origen. b) Determinar las ecuaciones paramétricas de de la recta que contiene a dicha altura. c) Calcular el área de la cara del tetraedro que están contenida en el plano π. 56.(P.A.U. 2004) Dado el plano : x y a z 1=0 y las rectas: r : { x=1 y=t r ' : { x=2 y=2t r' ' : { x=3 y=3t z=t z=t z=t a) Calcula el valor del parámetro a para que los puntos de corte del plano con cada una de las rectas estén alineados. b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por esos tres puntos. c) Calcula la distancia del origen de coordenadas a esa recta. 57.(P.A.U. 2002) Sean las rectas: r : { x 2 y 6 z=1 s : x y=0 { x 2 = y 1 a =z a) Determinar la posición relativa de las rectas r y s según los valores del parámetro a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s en el caso en que a= (P.A.U. 2001) Dados el plano π : x + y + z = 1, la recta r : (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ (0, 1, 1) y el punto P(1, 1, 0) se pide: a) Hallar la ecuación de una recta s que sea perpendicular a r y pase por P. b) Hallar el punto P', simétrico de P respecto de r. c) Hallar el punto P'', simétrico de P respecto de π. 59. Justifica cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a esferas. En esos casos determina su centro y su radio: a) x 2 y 2 2 x 4 y 8=0 b) 2 x 2 2 y 2 2 z 2 4 x 16=0 c) 2 x 2 2 y 2 2 z 2 4 x 16=0 d) x 2 3 y 2 z 2 2 x z 4=0 e) 3 x 2 3 y 2 3 z 2 6 x 12 z 3=0 f) 3 x 2 3 y 2 3 z 2 6 x 12 z 30=0 g) 2 x 2 2 y 2 2 z 2 4 x 6 y 3 2 =0

8 60. Halla la ecuación de las siguientes esferas: a) Esfera con centro en C(1, 0, -5) y radio 1. b) Esfera con diámetro de A(3, -4, 2) a B(5, 2, 0). c) Esfera con centro en C(4, -2, 3) y tangente al plano π: x z =0. d) Esfera con centro en C(3, -1, 2) y tangente al plano YZ. 61.Dada la esfera de ecuación x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 4=0, determina la ecuación del plano tangente a esa esfera en el punto P(1, 2, 1). Cuál es el punto diametralmente opuesto a P? 62.Para la esfera de centro en el punto C(1, -1, 2) y radio 3, determina: a) Su ecuación. b) La ecuación del plano tangente a la esfera por el punto P(0, 1, 4). 63.La esfera x 3 2 y 2 2 z 1 2 =25 corta al plano π: 2x 2y + z 2 = 0 en una circunferencia. Determina su centro y su radio. 64.Halla la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(4, 1, -3) y B(3, 2, 1) y que tiene su centro sobre la recta r : x 8 z 4 = y 3=. Encuentra la ecuación del plano tangente a 2 1 dicha esfera por el punto B. 65.Halla la ecuación de la esfera que pasa por los puntos A(1, 1, 1), B(1, 2, 1), C(1, 1, 2) y D(2, 1, 1). 66.Determina la posición relativa de las esferas 1 : x 2 y 2 z 2 4 x 6 y 10 z 13=0 y 2 : x 2 y 2 z 2 2 x 8 y 12 z 44= Dados los planos paralelos 1 : x y 2 z 3=0 y 2 : x y 2 z 1=0 encuentra la ecuación de la esfera contenida entre los dos planos y que es tangente a π 1 en el punto P(1, 0, 1). Cuál es el punto de tangencia de la esfera con π 2? 68. Determina los puntos de corte de la recta x = y = z - 1 con la esfera x 2 y 2 z 2 2 z 11=0 y los planos tangentes a dicha esfera por esos puntos. 69.Dados los puntos A(4, 2, 0) y B(2, 6, -4) encuentra el lugar geométrico de los puntos P tales que PA sea perpendicular a PB. 70.Halla el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya suma de distancias a los puntos (2, 0, 0) y (-2, 0, 0) sea igual a Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan del punto (0, 0, 3) y del plano z = Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del plano x = y y del punto (0, -2, 1). 73.Encuentra el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos (0, 5, 0) y (0, -5, 0) sea igual a 4.