Qué tienes que saber?

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1 Qué tienes que saber? QUÉ tienes que saber? Actividades Finales Para resolver una ecuación con paréntesis: 1 Eliminamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva. Utilizamos la regla de la suma y la del producto para resolver la ecuación. Para de resolver una ecuación con denominadores: 1 Eliminamos los denominadores, multiplicando por su mínimo común múltiplo Simplificamos las fracciones. Eliminamos los paréntesis y resolvemos la ecuación. Para resolver la ecuación de segundo grado de la forma ax + bx + c = 0 aplicamos la fórmula: x = b ± b ac a Incompleta con c = 0: se saca factor común a x y se igualan a 0 los dos factores. Incompleta con b = 0. Se despeja x y se hace la raíz cuadrada positiva y negativa. Ecuaciones de primer grado con parentesis Resuelve la siguiente ecuación con paréntesis: x (x + ) = ( x) El signo negativo delante del x (x + ) = ( x) paréntesis afecta a todo el paréntesis. x x 10 = + 9x x x 9x = x = 9 x = 9 8 =9 8 Ecuaciones de primer grado con denominadores Resuelve la siguiente ecuación con denominadores: x 1( x ) 1 7 x 1( x ) + 1 = (x ) + 1 = 7x ( x) x = x + x = x + x x = x x = = 11 9 Ecuaciones de segundo grado completas Resuelve esta ecuación de segundo grado: x + x 1 = 0 x + x 1 = 0 a = 1, b = y c = 1 Aplicamos la fórmula: x = ± 1 (1) ± ± 100 = = = x ± 10 1 = = = = 10 x = = 1 = 7 Ecuaciones de segundo grado incompletas Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. a) x + x = 0 b) x 18 = 0 x = 0 x = 18 x (x + ) = 0 x + = 0 x = x = 9 x = ± 9 =± + = 7 x x m.c.m. (,, ) = 1 Multiplicamos por el m.c.m todos los términos. Ecuaciones Escribe las ecuaciones que representan estos dibujos. 7 Identifica los términos de las ecuaciones y escribe el grado de cada una. a) x x = x x b) a = b ab c) xyz = x + y z d) ab b + 1 = a b a Copia y completa los exponentes que faltan para que la ecuación tenga el grado indicado. a) Grado xy + x = y b) Grado 7a 7ab + b = 0 c) Grado 9x y x y + y = x d) Grado xyz + x y = xz 1 Indica si el valor x = 1 es solución de alguna de estas ecuaciones. Justifica tu respuesta. a) x + = x + 1 c) x x + = 0 b) x = x + 7 d) (x + ) = x 1 Comprueba qué valores son solución de esta ecuación: xy x = 1 a) x = 0, y = d) x = 0, y = 1 b) x = 1, y = 1 e) x =, y = c) x = 1, y = 1 f) x = 1, y = 1 1 Escribe las siguientes ecuaciones. a) El doble de un número más uno es 7. b) La mitad de un número más es igual a 8. c) La suma del cuadrado de un número más su triple es. d) Un número más su doble más su mitad es a) b) Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Resuelve estas ecuaciones. a) x 9 = x + 1 c) 8x 9 = 9x b) + x = x d) x = 7x Halla el valor de x. a) x = 18 d) 9 = x b) x = 7 e) x = 8 c) 7 = x f) 9 7 = x a) x + 7 x = x + x + 1 b) x + x = 10 x + x c) x + 8x 7 = 7 x 8 + 1x d) 7x = x + 7x + x Indica el número de soluciones de las siguientes ecuaciones. a) x 8 = x x b) x + x = 7x + c) 1x 7 = x + x Los siguientes miembros de las ecuaciones aparecen desordenados. Agrúpalos formando una ecuación cuya solución es x = 1. Primer miembro Segundo miembro 7x 1 x + x + x x x + x x Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis. a) x + (x ) = x b) x = + (1 x) c) 7 + ( x) = x d) x + 1 = (x ) 1 Halla el valor de x en estas ecuaciones. a) (x ) = x b) 8x + = (x + ) c) 7x ( x) = 7x + a) (x ) + 1 = ( x) b) (x 1) = x + ( x) c) x ( x) = 1 (x 7) d) (x ) ( x) = 1 (x ) Sugerencias didácticas En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de: Resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis. Resolver ecuaciones de primer grado con denominadores. Resolver ecuaciones de segundo grado completas. Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas. Actividades finales Soluciones de las actividades Escribe las ecuaciones que representan estos dibujos. a) b) a) x = x b) x = x 17 Matemáticas.º ESO

2 Ecuaciones 7 Identifica los términos de las ecuaciones y escribe el grado de cada una. a) x x = x x c) xyz = x + y z b) a = b ab d) ab b + 1 = a b a a) Términos: x, x, x, x,. Grado: c) Términos: xyz,x,y, z. Grado: b) Términos: a, b, ab. Grado: d) Términos: ab, b,1, a b, a. Grado: 7 8 Copia y completa los exponentes que faltan para que la ecuación tenga el grado indicado. a) Grado xy + x = y c) Grado 9x y x y + y = x b) Grado 7a 7ab + b = 0 d) Grado xyz + x y = xz 1 a) xy + x = y c) 9x y x y + y = x b) 7a 7ab + b = 0 d) xyz + x y = xz 1 9 Indica si el valor x = 1 es solución de alguna de estas ecuaciones. Justifica tu respuesta. a) a) x + = x + 1 b) x = x + 7 c) x x + = 0 d) (x + ) = x 1 a) (1) + = (1) = =. Es solución. b) (1) (1) = = = = = 1. Es solución. c) (1) (1) + = = 8 0. No es solución. d) ((1) + ) = (1) 1 1. No es solución. 0 Comprueba qué valores son solución de esta ecuación: xy x = 1 a) x = 0, y = c) x = 1, y = 1 e) x =, y = b) x = 1, y = 1 d) x = 0, y = 1 f) x = 1, y = 1 a) 0 0 = 0 1. No es solución. b) 11 1 = 1 = 1. Es solución. c) = = No es solución. d) 0 1 (0) = 0 1. No es solución. e) () = = 1. Es solución. f) (1)(1) (1) = 1 = 1. Es solución. 1 Escribe las siguientes ecuaciones. a) El doble de un número más uno es 7. b) La mitad de un número más es igual a 8. c) La suma del cuadrado de un número más su triple es. d) Un número más su doble más su mitad es. a) x + 1 = 7 b) x + = 8 c) x + x = d) x + x + x = 18 Matemáticas.º ESO

3 Resuelve estas ecuaciones. a) x 9 = x + 1 b) + x = x c) 8x 9 = 9x d) x = 7x a) x 9 = x + 1 x x = x = 10 c) 8x 9 = 9x 8x 9x = + 9 x = x = b) + x = x x x = x = 9 d) x = 7x x + 7x = x = 1 Halla el valor de x. a) x = 18 b) x = 7 c) 7 = x d) 9 = x e) x = 8 f) 9 7 = x a) x = b) x = 1 c) x = 1 d) x = 9 e) x = f) x = 7 a) x + 7 x = x + x + 1 c) x + 8x 7 = 7 x 8 + 1x b) x + x = 10 x + x d) 7x = x + 7x + x a) x + 7 x = x + x + 1 x = x = c) x + 8x 7 = 7 x 8 + 1x x = x = b) x + x = 10 x + x x = x = d) 7x = x + 7x + x 11x = 10 x = Indica el número de soluciones de las siguientes ecuaciones. a) x 8 = x x b) x + x = 7x + c) 1x 7 = x + x a) x 8 = x x 0x = 17 No tiene solución. b) x + x = 7x + 0x = 0 Tiene infinitas soluciones. c) 1x 7 = x + x 7x = Tiene una solución. Los siguientes miembros de las ecuaciones aparecen desordenados. Agrúpalos formando una ecuación cuya solución es x = 1. Primer miembro Segundo miembro 7x 1 x + 7x 1 = x + x + x x + = x + x x + x = x x x x = x 7 Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis. a) x + (x ) = x b) x = + (1 x) c) 7 + ( x) = x d) x + 1 = (x ) 1 a) x = 1 b) x = c) x = 8 d) x = 8 Halla el valor de x en estas ecuaciones. a) (x ) = x b) 8x + = (x + ) c) 7x ( x) = 7x + a) x = 1 b) x = c) x = 9 a) (x ) + 1 = ( x) c) x ( x) = 1 (x 7) b) (x 1) = x + ( x) d) (x ) ( x) = 1 (x ) a) x = 10 b) x = 1 c) x = 17 d) x = Matemáticas.º ESO

4 Ecuaciones Ecuaciones Actividades Finales Resuelve estas ecuaciones con denominadores. a) x 7 x = x + c) 1 = + x b) x x = 1 d) x 9 + = + x x a) 1+ = x b) x + + 1= x x c) + x + 1 x = x d) 9 = x 1 + x + 18 Halla el valor de x para estas ecuaciones. a) x b) x 1 = x + 1 x 1 10 x = x 9 x c) 1 = x 1 + x d) x + x 7 = x x a) x + 1 x 1 x = b) + x 9 x = x 7 x 18 1 x c) 1 = x x x 1 0 x 7 d) x = 1 x 7 x 1 Halla el valor de la incógnita. + a) x + 1+ x + x = 9 b) 1 x x = x + x 1 9 a) ( + x ) ( x ) = 1 x 7 1 ( x ) x 7 (7x ) b) x = 9 1 (x ) c) x x ( x 7) = En estas ecuaciones han desaparecido algunos números. Si la solución de cada ecuación es x = 1, escribe en tu cuaderno las ecuaciones con todos los datos. a) (x 1) x = b) x (x 1) = x + 8 c) (x ) = ( + x) + Resolución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita 77 Indica cuáles son los coeficientes de estas ecuaciones y clasifícalas en completas o incompletas. a) x x + 1 = 0 e) 8 + x = 0 b) 7x + x = 0 f) x x = 0 c) + x x = 0 g) 7x = 0 d) 7x 7 = 0 h) x + 1x = 0 78 Asocia en tu cuaderno cada valor de x con la ecuación de la que es solución. x x 1 = 0 x = 1 x x + = 0 x = x + x 10 = 0 x = 1 x x = 0 x = 79 Sin resolver las ecuaciones, indica cuáles tienen por solución x =. a) x + x = c) x + x + 9 = 0 b) x x = 0 d) 7 = x En la tabla aparecen los coeficientes de ecuaciones de segundo grado. Copia y completa y, después, resuelve las ecuaciones. a b c Ecuación Halla el valor de la incógnita. a) 8x x = 0 e) x + x = 0 b) x 7 x = 0 f) x + 1x + 9 = 0 c) 9 + x + x = 0 g) x 8 + x = 0 d) x x + 7 = 0 h) x + x = 0 a) 1x + x = e) x + = 10x b) x = x + 1 f) x = 8x c) x = 9x + 1 g) x = x d) x = x h) 0 + x = x 8 Resuelve estas ecuaciones como incompletas en las que falta el coeficiente c. a) x 1x = 0 e) 7x + 1x = 0 b) x + x = 0 f) 1x x = 0 c) x + x = 0 g) 7x x = 0 d) 1x x = 0 h) x + x = 0 8 Halla el valor de x sin resolver el producto. a) x(x + ) = 0 d) (x )(x + ) = 0 b) (x )(x + ) = 0 e) (x )(x 7) = 0 c) (x )(x ) = 0 f) (7x )(x ) = 0 8 Resuelve estas ecuaciones como incompletas en las que falta el coeficiente b. a) x 100 = 0 e) x + 1 = 0 b) x 7 = 0 f) x + = 0 c) x + 8 = 0 g) x = 0 d) x 1 = 0 h) 1x + 1 = 0 8 Halla el valor de x en cada caso. a) x = 7x e) 0 = x x b) x 1x = 0 f) 1x = 18x c) 0 = 8x g) x x = 0 d) = x h) 1x = 87 Resuelve estas ecuaciones. a) (x + )(x 1) (x 1) = b) x ( ) ( x ) = ( x ) c) x ( x 1) ( x x + 1) = 1+ ( x + ) d) ( x 1) ( x 1) = ( x x ) Problemas con ecuaciones El triple de un número más el doble del que le sigue menos la mitad del que le antecede es. Cuál es ese número? Reparte 0 entre estas tres personas con las condiciones que dice cada uno. 90 Una madre tiene un hijo que es años menor que ella. Si, pasados 10 años, la edad de la madre es el doble que la del hijo, qué edad tiene ahora cada uno? Entre Celia y Quique suman 1. Si Celia tuviera 1 más, tendría el doble de dinero que Quique. Cuánto dinero tiene cada uno? Dentro de años, la edad de Marcos será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 7 años. Calcula la edad de Marcos. Adriana y Daniel son dos grandes coleccionista de cómics. Adriana tiene ejemplares y cada mes se compra dos nuevos; Daniel, por su parte, cuenta con 0 y cada mes adquiere más. Cuántos meses tienen que pasar para que los dos amigos tengan el mismo número de cómics? La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 0. Cuáles son estos números? El precio de seis bolígrafos y dos cuadernos es de,80. Si un cuaderno cuesta 80 cts. más que un bolígrafo, cuál es el precio de cada bolígrafo? Cuánto vale cada cuaderno? Un terreno rectangular de 0 m de largo por 1 m de ancho está rodeado a lo largo de todo su recorrido por un camino de igual anchura. Halla esta anchura si el área del camino es de 0 m. 97 Un examen tipo test consta de 0 preguntas. Por cada una bien contestada se dan puntos, mientras que por cada fallo se restan puntos. Si Angelines ha obtenido un total de 0 puntos en el examen, cuántas preguntas ha contestado bien? 98 El área de un rectángulo es de cm. Si la base es cm mayor que la altura, cuáles son las dimensiones del rectángulo? 99 Un hotel dispone de habitaciones entre dobles y sencillas. Si en el hotel hay 99 camas, cuántas habitaciones hay de cada tipo? Resuelve estas ecuaciones con denominadores. a) x = x + b) x x = 1 c) 1 7 x = + x d) x 9 + = + x a) x = 0 b) x = c) x = 1 d) x = x x a) 1+ = x c) + x + 1 x = b) x = x x d) 9 = x 1 + x + 18 a) x = b) x = 9 c) x = d) x = Halla el valor de x para estas ecuaciones. a) x 1 = x + 1 x 1 x c) 1 = x x b) x x = x 9 d) x + x 7 = x x a) x = 7 b) x = c) x = 1 d) x = 10 Matemáticas.º ESO

5 7 a) x + 1 x 1 x x = 1 c) b) + x x = x 7 x x 7 d) x a) 0x = 8 No tiene solución. c) x = 0 9 = x x = 1 x 1 x 1 7 x b) x = d) x = 1 7 Halla el valor de la incógnita. a) x + 1+ x + x 9 = b) 1 x 9 + x a) 9(x + ) (1 + x) 1( + x) = 1 x = a) ( + x ) ( x ) = 1 x 7 1 ( x ) x 7 (7x ) b) x = 9 1 (x ) c) x x ( x 7) = = x + x 1 b) (1 x) 9( + x) = 1(x + ) (x 1) x = 8 a) x = 19 b) x = 7 1 c) x = 7 7 En estas ecuaciones han desaparecido algunos números. Si la solución de cada ecuación es x = 1, escribe en tu cuaderno las ecuaciones con todos los datos. a) (x 1) x = b) x (x 1) = x + 8 c) (x ) = ( + x) + a) ((1) 1) (1) = k + = k k = 1 (x 1) x = 1 b) (1) k((1) 1) = (1) k() = 7 k = 8 k = x (x 1) = x + 8 c) (k(1) ) = ( + (1)) + + k + 9 = 8 k = 1 k = (x ) = ( + x) + 77 Indica cuáles son los coeficientes de estas ecuaciones y clasifícalas en completas o incompletas. a) x x + 1 = 0 c) + x x = 0 e) 8 + x = 0 g) 7x = 0 b) 7x + x = 0 d) 7x 7 = 0 f) x x = 0 h) x + 1x = 0 a) Coeficientes: a =, b =, c = 1. Completa. e) Coeficientes: a = 1, b = 0, c = 8. Incompleta. b) Coeficientes: a =, b = 7, c = 0. Incompleta. f) Coeficientes: a = 1, b =, c = 0. Incompleta. c) Coeficientes: a = 1, b = 1, c =. Completa. g) Coeficientes: a = 7, b = 0, c = 0. Incompleta. d) Coeficientes: a = 7, b = 0, c = 7. Incompleta. h) Coeficientes: a = 1, b = 1, c =. Completa. 78 Asocia en tu cuaderno cada valor de x con la ecuación de la que es solución. x x 1 = 0 x =1 x x 1 = 0 x = 1 x x + = 0 x = x x + = 0 x = x + x 10 = 0 x = 1 x + x 10 = 0 x = x x = 0 x = x x = 0 x = 1 79 Sin resolver las ecuaciones, indica cuáles tienen por solución x =. a) x + x = b) x x = 0 c) x + x + 9 = 0 d) 7 = x El valor es solución de los apartados c) y d). 11 Matemáticas.º ESO

6 8 Halla el valor de x en cada caso. a) x = 7x c) 0 = 8x e) 0 = x x g) x x = 0 b) x 1x = 0 d) = x f) 1x = 18x h) 1x = a) x = 0 y x = 9 c) x = 0 e) x = 0 y x = g) x = 0 y x = 1 b) x = 0 y x = 1 87 Resuelve estas ecuaciones. d) x = 0 y x =± 1 f) x = 0 y x = h) x = 0 y x =± a) (x + )(x 1) (x 1) = c) x ( x 1) ( x x + 1) = 1+ ( x + ) b) x ( )( x ) = ( x ) d) ( x 1) ( x 1) = ( x x ) a) (x + )(x 1) (x 1) = x x + x x + 1 = 0 x 8 = 0 x = x =± =± b) x ( )( x ) = ( x ) x 1 + x x = 0 x + x = 0 x(x + ) = 0 x = 0 x + = 0 x = c) x ( x 1) ( x x + 1) = 1+ ( x + ) x x x + x 1 x = 0 x x 9 = 0 x = ± 9 (9) = ± = ± 1 x 1 = 1 1 y x = 1 d) ( x 1) ( x 1) = ( x x ) x x + x 1 + x x = 0 x + 9x 9 = 0 x = 9 ± 81 () (9) () = 9 ± 9 = 9 ± x 1 = y x = 88 El triple de un número más el doble del que le sigue menos la mitad del que le antecede es. Cuál es ese número? x + ( x + 1) x 1 = x + x + x + 1 = 8 9 x = 81 x = 9 El número es el Reparte 0 entre estas tres personas con las condiciones que dice cada uno. (100 + x) + x + (x 100) = 0 x = 0 x = 70 Tienen 80, 70 y Una madre tiene un hijo que es años menor que ella. Si, pasados 10 años, la edad de la madre es el doble que la del hijo, qué edad tiene ahora cada uno? x + 10 = (x + 10) x + 10 = x 0 0 = x La madre tiene 0 años, y el hijo, 0 = 1 años. 91 Entre Celia y Quique suman 1. Si Celia tuviera 1 más, tendría el doble de dinero que Quique. Cuánto dinero tiene cada uno? Llamamos x al dinero que tiene Celia. Entonces Quique tiene 1 x. Luego: x + 1 = (1 x) x + 1 = 8 x x = 7 x = 9 Celia tiene 9, y Quique, 1 9 =. 1 Matemáticas.º ESO

7 Ecuaciones 9 Dentro de años, la edad de Marcos será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 7 años. Calcula la edad de Marcos. x + = ( x 7) x + 10 = x 1 x + 9 x 1 x + 9 = 0 1 ± ± ± 10 x = = = x 1 = 1 y x = 1 Marcos tiene Tiene 1 años, porque si x =, hace 7 años tendría edad negativa. 9 Adriana y Daniel son dos grandes coleccionista de cómics. Adriana tiene ejemplares y cada mes se compra dos nuevos; Daniel, por su parte, cuenta con 0 y cada mes adquiere más. Cuántos meses tienen que pasar para que los dos amigos tengan el mismo número de cómics? + x = 0 + x = x Tienen que pasar meses. 9 La suma de los cuadrados de dos números pares consecutivos es 0. Cuáles son estos números? (x) + (x + ) = 0 x + x + 8x + = 0 8x + 8x = 0 x = 8 ± 8 () 8 ± ± 10 = = x 1 = yx = Los números son 1 y 1 o 1 y 1. 9 El precio de seis bolígrafos y dos cuadernos es de,80. Si un cuaderno cuesta 80 cts. más que un bolígrafo, cuál es el precio de cada bolígrafo? Cuánto vale cada cuaderno? Llamamos x al precio de un bolígrafo y x + 0,8 al precio de un cuaderno. Entonces: x + (x + 0,8) =,8 x + x + 1, =,8 8x =, x = 0, Un bolígrafo cuesta 0,, y un cuaderno, 0, + 0,8 = 1,. 9 Un terreno rectangular de 0 m de largo por 1 m de ancho está rodeado a lo largo de todo su recorrido por un camino de igual anchura. Halla esta anchura si el área del camino es de 0 m. (0 + x)(1 + x) 01 = x + 1x + x 0 = 0 x + x 0 = 0 x = ± 0 1 (0) ± 0 ± = = x 1 = yx = 0 1 El ancho del camino es de m. La solución x = 0 no es válida. 97 Un examen tipo test consta de 0 preguntas. Por cada una bien contestada se dan puntos, mientras que por cada fallo se restan puntos. Si Angelines ha obtenido un total de 0 puntos en el examen, cuántas preguntas ha contestado bien? Llamamos x al número de aciertos y 0 x al número de fallos. Se tiene que: x (0 x) = 0 x 0 + x = 0 x = 80 x = 1 Tiene 1 aciertos y 0 1 = fallos. 98 El área de un rectángulo es de cm. Si la base es cm mayor que la altura, cuáles son las dimensiones del rectángulo? x(x + ) = x + x = x + x = 0 ± 1 ( ) ± 11 ± 11 x = = = x 1 = yx = 8 1 Las medidas del rectángulo son cm y + = 8 cm. La solución x = 8 no es válida para este problema. 99 Un hotel dispone de habitaciones entre dobles y sencillas. Si en el hotel hay 99 camas, cuántas habitaciones hay de cada tipo? Llamamos x al número de habitaciones sencillas y x al de dobles. Entonces: x + ( x) = 99 x + 10 x = 99 x = x = Hay habitaciones sencillas y = 7 dobles. 1 Matemáticas.º ESO