tiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x

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1 UNIDAD (Continuación).- Funcions rals. Límits y continuidad 9. LÍMITES. LÍMITES LATERALES Rcordamos dl año antrior qu una función y f () tin por it L cuando la variabl indpndint tind a, y s notaba por f ( ) L, cuando al acrcarnos todo lo qu quramos a, las f () s aproiman todo lo qu quramos a L. Esta dfinición s d andar por casa, pro nos sirv para su comprnsión. Las dfinicions corrctas las tnéis n l libro, pro no son ncsarias sabrlas. El qu quira qu las studi. Vamos a calcular d una manra un poco cutr ( ) hacindo una tabla d valors: La prsión, nos indica qu pud tomar valors infinitamnt crcanos a. Nos podmos acrcar con valors próimos a pro mnors qu (it latral izquirdo) o bin con valors próimos a pro mayors a (it latral drcho) Hacmos la tabla por la izquirda: f ( ) ( ) 8 Sgún sta tabla podmos concluir qu l it latral izquirdo, val 8. Análogamnt, hacmos la tabla por la drcha 5 f ( ) ( ) 8 Sgún sta tabla podmos concluir qu l it latral drcho, val 8. Si hacmos una tabla con valors próimos a tanto por la izquirda como por la drcha simultánamnt, ( ) 8 también tndríamos qu la función tind a 8. Es dcir, qu tnmos qu Lugo concluimos, qu para qu una función tnga it ha d tnr los its latrals y stos han d sr iguals. Matmáticamnt s prsa d la siguint forma: (sto s important) f ( ) L f ( ) f ( ) L L Los its latrals s usan sobr todo cuando la función vin dfinida d manra difrnt por la izquirda o por la drcha. UNIDAD (Cont.).- Funcions rals. Límits y continuidad

2 También si nos fijamos, para calcular los its no hay qu hacr aburridas tablas, bastaría con sustituir l valor al qu tind n la prsión d la función Ejmplo.- Calcular los siguints its: a) (5 ) 5 9 b) 5 5 En stos dos simpls jmplos, s pudn hacr también los its latrals y sus rsultados son los mismos.. LÍMITES INFINITOS CUANDO TIENDE A Nº REAL Supongamos una función cuya gráfica s como sigu: Tnmos qu al acrcarnos a por la izquirda la función va a, o sa, f ( ) Tnmos qu al acrcarnos a por la drcha la función va a o sa, f ( ), Aquí los its latrals no coincidn, uno va a y l otro va a. En stos casos dirmos qu l it global (acrcándonos por los dos lados) s: f ( ) No l ponmos signo al infinito Estos its son d la forma k, qu dan un infinito, y tnmos qu studiar si sal un cro ngativo o positivo para conocr l signo dl infinito o si no llva. Ejmplo.- Calcular: a) 5 ) Si sustituimos nos quda pusto qu l al star al cuadrado da igual ( 5 qu sa ó -, pus simpr saldrá. No hmos tnido qu utilizar los its latrals. Por tanto, concluimos qu 5 ) ( 5 b) para conocr su signo Si sustituimos nos quda, qu dará un infinito. Estudimos los its latrals UNIDAD (Cont.).- Funcions rals. Límits y continuidad

3 ( ) ( ) ( ) ( ) Por tanto concluimos qu,. LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO S trata d its dond la variabl indpndint tind a ó a, y la función tind a un nº finito. Vamos con un jmplo gráfico a qu nos rfrimos. Sa la gráfica siguint: Tnmos qu: a) f ( ) b) f ( ) Y por rcordar un poco dl punto 9 (its latrals), qué pasa n? Calculamos los latrals y tnmos qu f ( ) f ( ) y, qu como son distintos nos indican qu no ist l it global n f ( ), s dcir, (NOTA : significa no ist). LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO Es similar al caso antrior, sólo qu l valor dl it también s infinito. Vamos un jmplo gráfico: UNIDAD (Cont.).- Funcions rals. Límits y continuidad

4 Tnmos qu f () y qu f (). RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES En l cálculo d its hay una sri d situacions qu s llaman indtrminacions y qu s han d rsolvr d una manra un poco más complicada, pus l valor dl it no s pud conocr d manra inmdiata. Es fundamntal hacr jrcicios n abundancia para aprndr los métodos. Las indtrminacions son: En l libro también aparc como indtrminación k, pro nosotros no la tratamos como tal, y admás ya ha sido studiada n l punto. Indtrminación Normalmnt s rsulvn tomando l término o términos dominants dl numrador y dl dnominador. Vamos jmplos. Ejmplo.- Calcular a) (tomamos l término d grado n l numrador y l d grado n l dnominador, qu son los dominants) (simplificamos) NOTA: Si l numrador tin mayor grado qu l dnominador l it s infinito y l signo habrá qu studiarlo b) 8 NOTA: Si l numrador tin igual grado qu l dnominador l it s finito y s l cocint d los coficints UNIDAD (Cont.).- Funcions rals. Límits y continuidad

5 c) (opramos) ponnt ngativo, lo llvamos al dnominador) NOTA: Si l numrador tin mnor grado qu l dnominador l it s 7 (como tin t t Ejmplo.- Calcular (tomamos los dominants) t 6 t t t t t t t 6 t t t t t t t Indtrminación Lo habitual n st tipo d indtrminacions s dscomponr numrador y dnominador n factors (sacando factor común, por Ruffini, tc.) para podr simplificar l factor qu val n l it. Otras vcs si aparcn funcions irracionals (con raícs cuadradas) s multiplica por l conjugado Vamos jmplos: 6 Ejmplo 5.- Calcular (al sustituir por rsulta, aplicamos Ruffini al numrador con l y n l dnominador o Ruffini o nos damos cunta qu s una difrncia d cuadrados) ( )( ) ( ) (ahora sólo quda sustituir) ( )( ) ( ) Ejmplo 6.- Calcular (al sustituir por rsulta, multiplicamos y dividimos por l conjugado ( ) ( ) ( ) ( ) dl dnominador) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dl numrador) ( ) ( ) ( ) ( ) (simplificamos y sustituimos) ( ) Indtrminación (sacamos factor común n l primr factor (nos damos cunta qu - -(-) para podr simplificar) Estas indtrminacions s transforman n las dl tipo ó Ejmplo 7.- Calcular (5 9) (tnmos ( ) (con sólo hacr la multiplicación s convirt n dominants y oprando) ( ), qu s una indtrminación) ) (tomando términos 6 5 UNIDAD (Cont.).- Funcions rals. Límits y continuidad

6 Indtrminación Ojo! Hay algunos infinitos infinitos qu no son indtrminacions, como: ( ) ( ) ( ) ( ) Suln aparcr n its d funcions racionals o irracionals. La forma d rsolvrlos s multiplicando numrador y dnominador por l conjugado y oprando convnintmnt. [ ] Ejmplo 8.- Calcular ( ) ( ) (sal indtrminación ( ) ( ), usamos l conjugado) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 9 ( ( ) ) ( ( )) ( ) (ahora s una indtrminación, y tomamos términos dominants) ( ) 6 Indtrminación Son llamadas d tipo, pus al rsolvrlas aparc l nº ( ) f ( ) Si tnmos qu: g( ) ±, ntoncs aplicamos qu ( f ( )) g( ) g ( ) [ f ( ) ] Ejmplo 9.- Calcular indtrminación d tipo dl corcht) 5 (vmos qu la bas tin por it y l ponnt, lugo s. Aplicamos la fórmula dada) (hacmos la opración Ejmplo.- Calcular ( ). Vmos qu al sustituir sal. Lugo s d tipo pro n lugar d aplicar la fórmula dirctamnt, como la bas s una raíz la ponmos con ponnt fraccionario para oprar más fácilmnt. 6 UNIDAD (Cont.).- Funcions rals. Límits y continuidad

7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( (ahora aplicamos la fórmula) [ ] ( ) ( ) ) (fijaos qu no h hcho los productos pus quda ahora indtrminación, y podmos simplificar. Si hubira multiplicado, ahora tndría qu dscomponr) (si qurmos podmos ponrlo n forma radical y racionalizar). CONTINUIDAD Dfinición.- Una función f s continua n un punto d abscisa si y sólo si cumpl las trs condicions siguints: a) Eist l it d f cuando tind a (rcurdo qu a vcs aquí tndrmos qu calcular los its latrals n, pus la función pud vnir dfinida d forma difrnt por la izquirda d f ( ) cómo stá dfinida por la drcha). Matmáticamnt, ( o si hay qu hacr los latrals, éstos istn y son iguals) b) La función stá dfinida n (o sa, Dom( f ) ). Matmáticamnt, f ( ) f ( ) c) Los dos valors antriors coincidn, s dcir, f ( ) NOTA: Todas las funcions más normals (polinómicas, racionals, irracionals, logarítmicas, ponncials, trigonométricas) son continuas n todo los puntos d su dominio. Si l punto s un trmo dl dominio s podrá dcir qu s continua por la drcha o por la izquirda sgún sa l caso) Vamos mdiant jmplos cómo s studia la continuidad. Ejmplo.- Sa la función si f ( ) Vamos a studiar la continuidad n si > Vmos primro qu a la izquirda dl (nº mnors qu ) la función vin dfinida d una forma difrnt (polinomio cuadrático) a como stá dfinida por la drcha (nº mayors qu ), qu s una afín. Vamos dicho sto con los apartados: a) Por lo dicho antriormnt, hmos d calcular los its latrals, pus l global no lo podmos hacr dirctamnt. f ( ) f ( ) ( ) ( ) 7 UNIDAD (Cont.).- Funcions rals. Límits y continuidad

8 Como vmos no coincidn, por tanto concluimos qu no ist f ( ), por tanto la función no pud sr continua. Dirmos n st caso qu la función n prsnta una discontinuidad d salto finito y amplitud 5 (l 5 s obtin d rstar los its latrals y calcularl l valor absoluto). Con la gráfica lo vréis mjor b) La función stá dfinida n, pus f (), aunqu sto ya no s ncsario, pus por l apartado a) sabmos qu s discontinua c) Est apartado no s ncsario ya La gráfica d la función ra la siguint y podéis obsrvar la discontinuidad Ejmplo.- Sa ahora la función ( ) f. Lo primro s vr su dominio, qu sal Dom ( f ) [,) Qué pasa n? En st caso sólo s pud calcular l it latral drcho pus por la izquirda dl la función no stá dfinida. Aquí dirmos qu la función s continua por la drcha n, como s v n la gráfica. Admás n todos los dmás puntos dl dominio la función s continua. Ejmplo.- Estudiar la continuidad d la función siguint:.9 f ( ) 6 si si 8 UNIDAD (Cont.).- Funcions rals. Límits y continuidad

9 SOLUCIÓN: Si d anula n puntos tals qu Si, vmos qu la función vin dada por una prsión racional y no s anula l dnominador (sólo, y ést no lo stamos considrando aún), lugo podmos afirmar qu f s continua n los (o lo qu s lo mismo n ) R. En st caso vamos si cumpl o no las condicions d continuidad: a) Calculamos ahora l it (no hacn falta calcular los latrals, pus por la izquirda y la drcha la función vin dfinida igual ) 9 ( )( ) ) ( ) 6 Indtrminación. Dscomponmos n factors l numrador b) f ( ) 6 9 Como vmos f ( ) 6, lugo también s continua n Ejmplo.- Calcular los valors qu dbn tomar m y n para qu la siguint función sa continua n R SOLUCIÓN: si < < f ( ) (NOTA: significa la disyunción ó) m n si Si <, la función vin dada por f ( ) m n, qu al sr un polinomio d º grado, sabmos qu s continua. Si < <, la función vin dada por f ( ), qu igualmnt s continua al sr un polinomio d primr grado. Si >, la función vin dada por f ( ) m n, qu al sr un polinomio d º grado, sabmos qu s continua. Ninguna d las antriors conclusions nos ha aportado nada para calcular m y n. Vamos qu ocurr n y. En, impongamos la condición d continuidad f () f ( ) f ( ) f () m n m n f ( ) m n m n 9 UNIDAD (Cont.).- Funcions rals. Límits y continuidad

10 f ( ) Igualando, obtnmos una primra cuación: m n En, imponmos las condicions d continuidad: f () m n 9 m n f ( ) f ( ) m n 9 m n Igualando, obtnmos una sgunda cuación: 9 m n Tnmos ntoncs un sistma d dos cuacions linal con dos incógnitas, qu rsolvmos: m n m n 9 m n m n 5 m n Sumamos las cuacions y tnmos: m n 5 m 6 m. Sustituimos n m n n n Ejmplo 5.- Estudiar la continuidad d la función SOLUCIÓN: f ( ) ln si si si < < > Lo primro qu obsrvamos s qu Dom ( f ) R { } Si <, f s continua por sr polinómica (s una función cuadrática) Si < <, f s continua por sr polinómica ( s una función afín) Si >, f s continua por sr una función logarítmica y su argumnto (la ) sr positivo Vamos ahora qu ocurr n los puntos dond la función cambia d dfinición: En o f ( ) o f ( ) ( ) o f ( ) ( ) Como vmos prsnta una discontinuidad d salto finito y amplitud En o No ist f (), pus no s dl dominio. Ya sabmos qu no s continua, pro vamos si s vitabl. o f ( ) ln ln UNIDAD (Cont.).- Funcions rals. Límits y continuidad

11 o f ( ) ( ) 5 Vmos qu prsnta discontinuidad no vitabl d salto finito y amplitud ( 5 ln ) Ejmplo 6.- Estudiar la continuidad d la función y si 5 < si f ( ) si < < n los puntos si si < 5 SOLUCIÓN: En o f ( ) o f ( ) ( ) o f ( ) ( ) Prsnta una discontinuidad vitabl, pus bastaría rdfinir f ( ) y ya la función sría continua En, s análogo UNIDAD (Cont.).- Funcions rals. Límits y continuidad