6toMat A -FICHA Nº4- DEF. y CÁLCULO DE LÍMITES Síntesis Teórico-Práctica Prof. Sergio Weinberger-

Transcripción

1 6toMat A -FICHA Nº4- DEF. y CÁLCULO DE LÍMITES Síntsis Tórico-Práctica. 007 Prof. Srgio Winbrgr- DEFINICIÓN DE LÍMITE FINITO: a f () α E( α, ε) E *(a, δ) / E *(a, δ) f () E( α, ε) y Es dcir qu,dado un ntorno cualquira d cntro α, ist otro d cntro a cuyas imágns αε can n l ntorno d cntro α. α f() αε El ntorno d cntro a s rducido con lo cual la istncia o no d f(a) s indpndint d qu l it para a ista o no. ( a ) δ, radio dl ntorno d cntro a, dpndrá d aδ aδ ε y d la función f. OBSERVACIÓN: f () E( α, ε) α ε < f () < α ε f () α < ε Ejmplo : Dmostrmos, aplicando la dfinición, qu : 4 ( 5) 3 D acurdo a la dfinición, sto srá cirto E (3, ε) E * (4, δ)/ E * (4, δ) 3 ε < 5 < 3 ε monot.,sumo5 8 ε < < 8 ε 3ε monot., : ε ε 4 < < 4 3 δ ε / -5 3-ε ( 4 ) 4δ 4δ ( ) ε ε E * (4, δ) / E * (4, δ) sindo δ ε / 3 ε < 5 < 3 ε por.df..finito 4 ( 5) 3 qu s lo qu quríamos dmostrar. EJERCICIO : Dmostrar qu : a) ( 5) 3 (m p) ma b) p a Profsor: Srgio Winbrgr.

2 LIMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO: DEFINICIONES: ) a f () K > 0 E * (a, δ)/ E * (a, δ) f () > K y Es dcir, f() n st caso no stá f() acotada supriormnt n un E * (a, δ ), K alcanza valors tan grands como s.. quira, tomando l δ adcuadamnt.. Dicho δ n st caso dpndrá d K y d f. 0 ( a ) a-δ aδ ) a f ()... (compltar dfinición y hacr una ilustración gráfica) LÍMITES LATERALES: Cualquira d las dfinicions antriors pudn rstringirs a smintornos con lo cual tndríamos la dfinición d un it latral, por jmplo: a f () α E( α, ε) E (a, δ) / E (a, δ) * * f () E( α, ε) α f() ( a Profsor: Srgio Winbrgr.

3 INFINITO SIN SIGNO DEF: a f () f () o y f () o a a a a En cualquira d stos cuatro casos s stá n condicions d la dfinición. a a CNyS DE EXISTENCIA DE LÍMITE FINITO D las dfinicions antriors surg: af () α ± f () a α Esta condición y la dfinición d it infinito nos prmit analizar la istncia d un it para a. Profsor: Srgio Winbrgr. 3

4 EXISTENCIA DE LÍMITES-EJEMPLOS: ) En st caso : β f () α a α f () β α a a CNyS.finito df.. / a f () ) En st caso : α a a a f () α f () CNyS.finito df.. / a f () TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE FINITO Si una función tin it finito para a, ést s único. H f() α R T α s único f() a a Dmostración: y Supondrmos por absurdo qu, admás d α, HA) β R qu también s f() (hipótsis d absurdo) a A fctos d la dmostración, supondrmos qu β>α α β Sa ε > 0 un radio d ntorno d cntro α por H y df. d : β α δ δ ( ( ) ) a E *(a, δ y fctuando opracions : por hipótsis d absurdo : E *(a, δ ) / E *(a, δ ) / E *(a, δ y fctuando opracions : β α β α ) : α < f () < α 3α β α β < f () < β α β α ) : β < f () < β α β 3β α < f () < Profsor: Srgio Winbrgr. 4

5 por lo tan to si tomamos un E *(a, δ ) E *(a, δ ),dbrá cumplirs: α β α β < f () < lo cual s absurdo. Est partió d suponr la istncia d otroit,admas d α,(para a) D manra qu sto no s posibl y α s l único it para a TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE SIGNO. Si una función tin it finito positivo para a, ist un ntorno rducido d cntro a n l cual f() s también positiva si a f () α > 0 E *(a, δ) / E *(a, δ) f () 0 > Dmostración: Dado ε α > 0, por hipótsis y df.d it : α E * (a, δ) / E * (a, δ) : α α < f () < α α o sa 0 < f () < α α f() ( ) 0 a Ejrcicio : a) Enunciar y dmostrar l torma d consrvación d signo para α<0 b) Dmostrar qu si : a f () 5 E *(a, δ) / E *(a, δ) f () > 3 Profsor: Srgio Winbrgr. 5

6 OPERACIONES CON LÍMITES: SUMA PRODUCTO COCIENTE f() g() f()g() f() g() f().g() f() g() f()/g() α β αβ α β α.β α β 0 α /β β β 0 β β α 0 0? α 0 0? -? 0 0? INDETERMINACIONES :.0 / 0/0 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES ) LÍMITES DE LA FUNCIÓN CONSTANTE: Sa f : f () k / k R. D acurdo a las dfinicions d it : y k k k l it d una a constant s la propia constant 0 ) a (conscuncia dircta d la df. d it finito) a n n 3) n... a.a.a...a a n a a n N,n to. producto 4) Conscuncia d lo antrior y d los tormas d it d la suma y l producto surg : Si f s una función polinómica f () f (a) a Profsor: Srgio Winbrgr. 6

7 EJEMPLOS DE CÁLCULO DE LÍMITES : (s aplicarán los tormas d las tablas) 0 ( 3).( ) 3 ) ) ) 5 4 Para dtrminar si -4 tind a 0 - o 0 l studiamos su signo : sig( -4) ) 3 5 ( ).( 3 6) 4 ( ).( ) 0 4 Est s l primr caso d indtrminación qu nos ncontramos. Tnindo n cunta qu tanto numrador como dnominador tinn raíz Pudn factorizars aplicando l torma d Dscarts : f()(-).q() (sindo Q() l cocint d dividir f () ntr -) (-).( -3-6) LÍMITES PARA X Ejmplo:.( )..( ). 3 Razonando n forma análoga, podmos dducir qu : (a n n a n- n-.. a 0 ) a n n Ejmplos: ) (- 3 4-) (- 3 ) - ) ( ) (3 4 ) Profsor: Srgio Winbrgr. 7

8 EQUIVALENTES: DEF: f () g () f ( ) g( ) a a - y EJEMPLOS: ) ( )( ) ( ( ) ( ) (Obsrvar las gráficas n un ntorno d cntro ) (-) ) (a n n a n- n-.. a 0 ) (justificar) a n n df. (a n n a n- n-.. a 0 ) a n n (a n 0) Pud dmostrars también qu: n (a n n a n- n-.. a 0 ) a n n (a n 0) (n condicions d ) Ejrcicio: Dmostrar qu si f() α 0 f () α a a SUSTITUCIÓN POR EQUIVALENTES: Dmostrarmos qu n l cálculo d its s posibl sustituir n cirtas condicions una prsión por una quivalnt sin altrar l it. TEOREMA DE SUSTITUCIÓN POR EQUIVALENTES EN PRODUCTO: H f () h() T f().g() h().g() a a a f().g() a h() 0 E(a,δ) Dmostración : por H y df. f ().g() f().h().g() h().g() a a h() a tormas d it dl producto. Divido y multiplico por h() 0 n E(a,δ) Profsor: Srgio Winbrgr. 8

9 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN POR EQUIVALENTES EN COCIENTE: (compltar nunciado y dmostración) H f () h() T f()/g()... a a f()/g() a h() 0 E(a,δ) Dmostración :..- f ()/g() f().h() a a... g() a SUSTITUCIÓN EN LA SUMA : Pud probars qu s posibl sustituir por quivalnts n l it d una suma, salvo l caso d difrncia d quivalnts. EJEMPLOS : 3 ) (3 3-6).() ( 5).( 5) 4 > 0 por sr ) < 0 por sr - 3) ) ( 4 ) (-) Profsor: Srgio Winbrgr. 9

10 no pud sustituirs por quivalnts por sr difrncia d quivalnts. 5) ( ) A B A B A B 4 no pud sustituirs por quivalnts -3 por sr difrncia d quivalnts. 6) ( ) A B A B A B.6 EAyRG DE UNA FUNCIÓN RACIONAL INCLUYENDO LÍMITES, EJEMPLO: Sa f : f () D(f)R - ± SIGNO ; sig f () LÍMITES: sig ( -) ± 0 -.( ) ( ).( ) ± ± Quda a cargo dl lctor fctuar l bosqujo gráfico. torma d sustitución n cocint. EJERCICIOS: Estudio analítico y bosqujo gráfico d : 3) f. f ().( ) 4) f : f ().( ) 3 5) f : f () 4 6) f : f () 3 7) f : f () ) f : f () 3 3 Profsor: Srgio Winbrgr. 0

11 LÍMITES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA. y y L 0 0 u() u() L u() Lu() a R a a R a a R La a R La El torma d it d la función compusta nos prmit gnralizar. DOS EQUIVALENTES IMPORTANTES: u() - u() Lu() u() u() 0 u() Dmostrarmos la validz d alguno d los contnidos n las tablas antriors: ) Lo antrior s cirto Dmostr.: > H prop. f.log. df. H>0 k>0 / si >k >H L > LH. df.log > LH k Es dcir qu k>0 / si >k > H Sindo klh >0, si H>, k R cualquira si 0<H H.. df LHk Profsor: Srgio Winbrgr.

12 a a L La ) si R df.. finito Lo antrior s cirto E (α,ε) E * (a,δ)/ E(a,δ) La -ε < L < La ε Dmostración: La -ε < L < La ε prop. f.p. Laε L La ε La ε. La. ε ε a.. ε>0 - ε<0 0< -ε < a 0 0<a. -ε <a ε>0 ε > a 0 a. ε >a a. -ε a a. ε a ε E(a,δ) La -ε < L < La ε sindo δmín{ a. ε -a,a- a. -ε } df. it a L La Laε La La-ε δ 0 a. -ε a a. ε EAyRG DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL INCLUYENDO LÍMITES, EJEMPLO: SIGNO : sig f : f () 3 3 D(f)R -, sig sig f () Profsor: Srgio Winbrgr.

13 3-3 LÍMITES : >0 - >0 / 0 -/ ± - 0, Quda a cargo dl lctor fctuar l bosqujo gráfico. y Profsor: Srgio Winbrgr. 3

14 EAyRG DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA INCLUYENDO LÍMITES, EJEMPLO: f : f () ( ). L Dominio: > 0 sig Df(-,-) (, ) Signo sigl sig sig sig Sig L sig Lim - Sig ( ) Sig f() ( ). L ( ). L - lim o ± 0 lim ± ( ). L lim ± Profsor: Srgio Winbrgr. 4

15 Bosqujo gráfico a cargo dl lctor. Y EJERCICIOS: studiar dominio, signo, its y bosqujo gráfico d: 9) f : f () 0 ) f : f () ) f : f () 4 3. f : f ( ) 3. L )- ( ) 3)- f f ( ) 4)- : f : f ( ). L 3. L INFINITOS Df: f() s un infinito para a( ) lim f() a Ejmplos: s un infinito para ± s un infinito para L s un infinito para y para s un infinito para 0 5)Ejrcicio: dmostrar qu: ( ) L 3 L, pro Profsor: Srgio Winbrgr. 5

16 Ordn d infinitos: Vamos l comportaminto d los siguints infinitos para : 4 L, L,,,. Complt la siguint tabla: X L L L 4 4 L L Apartir d stas idas dfinirmos ordn por comparación: Dfinición: san f() y g() infinitos para a.dirmos qu: )- ORD f()>ordg() a lim lim a f ( ) g( ) )-ORDf()<ORDg() a a f ( ) g( ) 0 3)-ORDf()ORDg() a lim a f ( ) α 0 g( ) n caso α, dcimos f () g () ( a o ) Profsor: Srgio Winbrgr. 6

17 Admitirmos, como s obsrva n la tabla antrior qu: TEOREMA DE ORDENES PARA ORD ( L h ) < ORD ( k ) < ORD ( ) < ORD ( α. β. h>0 k>0 α>0 β>0 ) Estos infinitos s llaman rspctivamnt: logarítmico, potncial, ponncial, potncial-ponncial APLICACIONES : (potncial) 0 ) 0 por dfinición y torma d órdns. ) 3) (ponncial) 0 L L 0 (potncial) (por órdns) (logarítmico) no s indtrminado!! - En st caso no s un infinito. El torma antrior solo s válido para. Profsor: Srgio Winbrgr. 7

18 CAMBIOS DE VARIABLE PARA APLICAR TEOREMA CON X A fctos d podr aplicar l torma d infinitos para, n algunas Indtrminacions pudn hacrs cambios d variabl adcuados. Algunos d llos pudn sr : si. a, hacmos..: z a si. a, hacmos..: z a ) si., hacmos.. : z 0 4 ( 4). ( ).( ). z z 4.( ). z 4.. z 4. z z z (por órdns) ) 3 z z 0 z.( ) 0 (por órdns) z. 3) ( ). L( 3 z. z z z z z 7 z 3 ) ( 4).( 3). ( 3) 3 L 3 Lz z 7.. L z 7 0 z z z L-Lz 0 0 Profsor: Srgio Winbrgr. 8

19 SUMA DE INFINITOS DE DISTINTO ORDEN : Dmostrarmos qu suma d infinitos d distinto ordn s quivalnt al d mayor ordn. f () y g () infinitos para a( ) f()g() g() ord[f()]<ord[g()] a( ) Dmostración : f () g() f () g() df. a a ( ) g() g() g() por H y df. ordns f () g() g() a 0 to. Suma por to antrior Ejmplo : ( ) Ejrcicio 6: San u:u()l(-) v:v() a)invstigar cual stos dos infinitos para b) Calcular L( ). s d mayor ordn. EJERCICIOS: Calcular los siguints its: 7) 3 3 8) 6 L(3 4) 9) ( ) 5 0) L(3 5) L(7 3) ) ) L 3) L( 7 ) 4) L 5) 3 L 6) 5 7) ) ( 3 4). L( ) 9) 30) 3) 3 L Profsor: Srgio Winbrgr. 9

20 EJERCICIOS: studiar dominio, signo, its y bosqujo gráfico d: 3) f : f() ( ). 33) f : f () ) f : f () L(4 ) 35) f : f () L 6 36) f : f () 3 L 37) f : f () L 3 38) f : f () L 39) f : f () L Profsor: Srgio Winbrgr. 0