Unidad didáctica 1. Operaciones básicas con números enteros

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1 Unidad didáctica 1 Operaciones básicas con números enteros

2 1.- Representación y ordenación de números enteros. Para representar números enteros en una recta hay que seguir estos pasos: a) Se dibuja una recta y se señala en ella un punto intermedio, que se va a tomar como cero. b) Se divide la recta en segmentos de igual longitud, hacia la derecha y la izquierda del cero. c) Se sitúan los números enteros positivos a la derecha del cero y los números enteros negativos a la izquierda del cero. Un número es mayor que otro cuando, sobre la recta, está situado más a la derecha. Ejemplo: 6 es mayor que 3, 3 es mayor que -2, 3 es mayor que -5 y -2 es mayor que Suma y resta de números enteros. a) Si los números tienen el mismo signo se suman y, al resultado, se le pone el signo que tienen ambos. Ejemplos: b) Si los números tienen distinto signo se restan y al resultado se le pone el signo del mayor. Ejemplo: c) Si hay sumas y restas combinadas lo mejor es sumar, por un lado, todos los positivos, por otro, todos los negativos y por último, restar los dos números resultantes de las operaciones anteriores. Ejemplo: Atención: Si un número no tiene delante ningún signo, siempre se considera que tiene signo positivo. Ejemplo: 2 es equivalente a: + 2 Paso 1º: sumar los positivos: Paso 2º: sumar los negativos: Paso 3º: restar los números resultantes: Por tanto: Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 1

3 3.- Multiplicación y división de números enteros. Criterio de signos La multiplicación se puede representar con dos símbolos: (2 x 3) y (2 3). Dado que la x se suele utilizar como incógnita en las ecuaciones y puede dar lugar a confusiones, a partir de ahora la multiplicación se representará siempre por un punto ( ). La división se puede representar también con dos símbolos: 2 y ( : 2) y se utilizan los dos. a) El producto de dos números enteros es otro número entero cuyo valor es igual al producto de las cifras y cuyo signo viene dado por la regla de los signos: Ejemplo: Atención: El signo de multiplicar no se suele poner delante de un paréntesis. Por ejemplo: 2(-6) ó ( 3)( 8). Esas expresiones son equivalentes a: 2 ( 6) y ( 3) ( 8). b) La división exacta de dos números enteros es otro número entero cuyo valor es igual al cociente de las cifras y cuyo signo viene dado por la regla de los signos: Ejemplos: 2 +2 ó 6 : ( 3) 2 + : : : : + - Atención: Dos símbolos de operación no pueden aparecer juntos sin que estén separados por un número o un paréntesis. Ejemplo: 5 es incorrecto, lo correcto es escribir: 5 ( )..- Operaciones combinadas: Jerarquía de las operaciones. Cuando aparecen sumas, restas, multiplicaciones y divisiones combinadas no se pueden efectuar estas operaciones en cualquier orden porque el resultado puede variar. Hay un orden o jerarquía de las operaciones que siempre hay que respetar para llegar al resultado correcto. Esta jerarquía es la siguiente: 1. Se resuelven todos los cálculos que se encuentren dentro de paréntesis, corchetes o encima de la raya de fracción. 2. Se hacen las potencias. 3. Se hacen las multiplicaciones y divisiones. Como las dos operaciones tienen la misma jerarquía, cuando aparecen mezcladas, se resuelven siempre en el orden en que aparecen de izquierda a derecha.. Se hacen las sumas y restas de izquierda a derecha. Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 2

4 Ejemplo: : 2 Hay cuatro términos que está separados por un símbolo de operación: El primer término es -5, el segundo +3 (como el 3 no tiene signo, es positivo), el tercer término es + y el último es +2 (al igual que antes, el 2 no tiene signo por lo que es positivo). Atención: Multiplicación y división tienen prioridad sobre la suma. La multiplicación se hace primero porque está más a la izquierda y lo demás se deja igual: 1º Multiplicación: : : 2 (criterio de signo: - + -) 2º División: 15 + : (criterio de signo: + : + +) 3º Resta: Ejemplo: 9 + [ 2 (1 : 2 3) ] 3 En esta expresión hay tres términos: El primero es +9, el segundo es un corchete y el tercero es +3. La jerarquía de las operaciones nos indica que hay que empezar resolviendo el corchete. Dentro del corchete hay dos términos: El primero es + 2 y el segundo, un paréntesis. La jerarquía de las operaciones nos indica que hay que empezar resolviendo el paréntesis. Dentro del paréntesis hay tres términos: El primero es + 1, el segundo + 2 y el tercero 3. La jerarquía de operaciones nos indica que la división tiene prioridad sobre la resta: 1º división: 9 + [2 (1 : 2 3)] [2 (+7 3)] 3 (criterio de signo: + : + +) 2º resta: 9 + [2 (+7 3)] [2 (+ )] 3 3º multiplicar y quitar paréntesis: 9 + [2 (+ )] [+8] 3 (criterio de signo: + : + +) º quitar corchete: 9 + [+8] (criterio de signo: + : + +) 5º multiplicación: (criterio de signo: + : + +) 6º suma: Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 3

5 5.- Las potencias. Una potencia, es un producto de factores iguales que se repiten varias veces. a n a a a a a n veces El factor que se repite se llama base, a. El número de veces que se repite la base es el exponente, n. Ejemplos: ó ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) Atención: Cuando el exponente es 1 no se suele poner. Ejemplo: 1 Atención: Cualquier número elevado a cero es igual a 1. Ejemplo: Atención: Cero elevado a cualquier número es cero. Ejemplo: Signo de una potencia. Al calcular potencias, hay que prestar mucha atención al signo de la base y al exponente. Si la base es positiva, el valor de la potencia será positivo sea cual sea el exponente. Ejemplo: 3 81 Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia será positivo. Ejemplo: ( 2) Si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia será negativo. Ejemplo: ( 2) Atención: Hay que saber distinguir exactamente a qué número está afectando el exponente. Ejemplo: a) b) c) ( 3) d) e) f) ( 3) 3 27 g) h) i) ( 5) Operaciones con potencias Potencia de un producto: para hacer el producto de dos números elevado a una misma potencia hay dos caminos posibles, cuyo resultado es el mismo: (a b) n a n b n a) Se puede multiplicar primero y después calcular el resultado de la potencia. Ejemplo: ( 5) b) Se puede elevar cada número por separado y después multiplicar los resultados: Ejemplo: ( 5) Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag.

6 3.2.- Potencia de un cociente: también hay dos caminos cuyo resultado es el mismo: a b n a b n n a) Se puede dividir primero y después calcular el resultado de la potencia. Ejemplo: b) Se puede elevar cada número por separado y después dividir los resultados: Ejemplo: Atención: a veces, un camino puede resultar más sencillo que otro. Así que hay que pensar, de antemano, qué método va a ser más conveniente para realizar el cálculo Producto de potencias de igual base: el resultado de multiplicar potencias de igual base es una potencia con la misma base, y cuyo exponente es la suma de los exponentes iniciales. a n. a m a n+m Ejemplo: (2 2 2) ( ) Ejemplos aplicando directamente la formula: 1) ) ( 2) 5 ( 2) 6 ( 2) 5+6 ( 2) ) x 2 x 8 x 2+8 x Cociente de potencias de igual base: el resultado de dividir dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y cuyo exponente es la resta de los exponentes iniciales. a a n m a n-m Ejemplo: Ejemplos aplicando directamente la formula: ) 6 6 3) ( 5) 2) ( 5) 13 1 ( 5) x ) x x 20 ( 5) x Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 5

7 3.5.- Potencia de una potencia: el resultado de calcular la potencia de una potencia es otra potencia con la misma base, y cuyo exponente es el producto de los dos exponentes. Ejemplo: (2 ) Ejemplos aplicando directamente la formula: (a n ) m a n m 1) (3 ) ) (y ) 8 y 8 y 32 2) [( 5) 3 ] 6 ( 5) 3 6 ( 5) Potencias con exponente negativo: cuando en una potencia aparece un exponente negativo hay que invertir la base para pasar a exponente positivo Ejemplo: a -n 1 n a Ejemplos aplicando directamente la formula: 1) ) x x 3) Si la base es una fracción, se le da la vuelta: Potencias con base negativa y exponente negativo: se hace igual que en el apartado anterior, pero atención, poner el inverso de la base no significa cambiar el signo de la misma. Al final el signo del resultado dependerá de si el exponente es par o impar. Ejemplos: 1) ( 3) - ( ) ) ( 5) -3 1 ( ) ) ) ) (-8) Potencias de base 10. Notación científica.1.- Potencias de base 10. Es muy sencillo calcular potencias cuya base es diez , , , Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 6

8 .2.- Notación Científica: se utiliza para facilitar la lectura de cantidades muy grandes o muy pequeñas que aparecen con frecuencia en el trabajo científico. Un número en notación científica consta de un número decimal, llamado mantisa, multiplicado por una potencia de diez. La mantisa tendrá una única cifra delante de la coma decimal. Esta cifra no puede ser cero. Por ejemplo, la masa de la tierra es: notación científica será 5' m Tierra kg. En Otro ejemplo, la masa del electrón: m electrón 0' g. En notación científica es 9' Ejemplos: 1) ' ) 0' ' ) ) 0' ' ) ' ) 0' Múltiplos y divisores. Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número natural. Por ejemplo: 15 es múltiplo de 5 porque 3 x 5 15 Un número es divisor de otro si, al dividir el segundo entre el primero, el resto de la división es cero. Por ejemplo: es divisor de 2 porque 2 : Criterios de divisibilidad Divisibilidad por 2: un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o cifra par (2,, 6, 8). Divisibilidad por 3: un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3 ó múltiplo de 3. Divisibilidad por 5: un número es divisible por 5 cuando termina en 0 ó en Números primos y compuestos Un número es primo cuando solo es tiene dos divisores, él mismo y el uno. Ejemplo: 7 es número primo porque solo es divisible por 7 y por 1. Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores, es decir, todos los demás. Ejemplo: 8 es compuesto porque además de ser divisible por 1 y por 8, es divisible también, por 2 y por. Los 15 primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 1, 3, 7. Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 7

9 8.- Descomposición de un número en factores primos Descomponer un número es factores primos es expresarlo como producto de los números primos que lo componen. Para hallar estos números primos hay que aplicar lar reglas de divisibilidad y comprobar si el número que hay que descomponer es divisible por 2, por 3, por 5, por 7, hasta llegar a un cociente igual 1. Ejemplo: 90 2 Como termina en cero es divisible por La suma de sus cifras es 9 que es múltiplo de tres Como termina en 5 es divisible por La descomposición factorial: Ejercicios de números enteros 1.- Escribe los números enteros comprendidos entre -7 y a) Representa en la recta numérica los siguientes números: -, +3, , +7, -6 b) Cuál es el mayor de ellos? Cuál es el menor? 5.- a) Qué número representa cada una de las letras? A B C D E F b) Escribe los números en orden de mayor a menor: 6.- Ordena de menor a mayor: -3, +1, 0, -6, + 7, Escribe en el cuadro el signo > o < según corresponda: Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 8

10 Problemas de operaciones básicas con números enteros 1.- Resuelve: a) b) c) d) Resuelve operaciones con paréntesis y corchetes: a) ( 2) ( 3) + 5 ( 10) b) (+3) (+6) (+7) (+12) (+13) c) ( 3) + (+6) + (+) + ( 9) + ( 10) d) (+1) + ( 7) + (+7) ( 12) e) ( 8) + 5 [8 ( ) ( 6)] f) (9 5) [ (5 6) 9] 3.- Resuelve operaciones combinadas: a) b) 9 5 ( 2) 12 : : ( 13) c) 7 + ( 9) ( 8) 5 d) 6 ( 5) (2 ) e) (5 3) (6 + 7) 3.- Resuelve operaciones combinadas con paréntesis y corchetes: a) 2 ( + 6) : 5 b) ( 3) : ( 5) + ( 7) c) 9 [ 2 (1 : 2 3) ] 3 d) ( 2) [ ( ( 3) 7) ( 3) ] e) ( 8) + 5 [[ 8 ( )] : ( 6)] f) 5 : 5 (8 6) ( 8) [3 ( 9 6)] g) 7 ( 8) [9 (5 + 8)] : ( + 2)] h) ( 2) + [( ) + ( 3)] i) 9 + [ 8 (2 + 3)] : Escribe en forma de potencia: a) b) ( )( )( )( )( ) Problemas de potencias c) Ordena de mayor a menor, utilizando los símbolos > e cuando según los necesites. ( 2) 3, 2 3, 2 3, 2 0, 2 2, ( 2) 0, Halla el valor de las siguientes potencias: a) 3 1 d) 3 0 g) 3 2 b) ( 3) 1 e) ( 3) 0 h) ( 3) 2 c) 3 1 f) 3 0 i) 3 2 Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 9

11 .- Halla: a) 3-5 b) ( 2) -3 c) ( 5) d) 2 1 e) Resuelve y deja como potencia: a) b) c) a 2 a -5 a d) ( 5) 3 ( 5) 5 ( 5) e) ( 3) ( 3) 2 f) g) ( 2) -3 ( 2) -2 h) 5 1 i) Resuelve y deja como potencia: a) 3 5 : 3 b) 5 - : 5-2 c) 2-2 : 2 d) ( ) 5 : ( ) 3 e) 6 5 : 6-6 f) : g) : 2 2 h) ( ) : ( ) 7.- Resuelve y deja como potencia: a) (7 2 ) b) [( 3) 3 ] 3 c) [( 3) 2 ] 3 d) [( 2) -3 ] -2 e) [(b) -2 ] -3 : [ (b) -3 ] 6 f) 5 3 (5 2 ) 3 g) [(6 2 ) 3 ] 3 1 h) 2 i) (3 ) -3 5 Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 10

12 8.- Expresa en notación científica: a) b) 0' c) d) e) 0' f) Expresa con todas las cifras: a) 5' b)1' c) d) Ejercicios de criterios de divisibilidad y descomposición factorial 1.- Escribe: a) Cinco múltiplos de 5. b) Cinco múltiplos de 3. c) Cinco múltiplos de Clasifica los siguientes números en primos y compuestos: 2, 13, 23, 2, 33, 7, 69, 108, 117, 200, 05, Escribe tres números de tres cifras que sean divisibles por 3..- Escribe tres números de cuatro cifras que sean divisibles por Escribe tres números de cinco cifras que sean divisibles por Completa: Es divisible por Descomponer en factores primos: a) d) 15 g) 5 j) 250 b) 6 e) 20 h) 8 k) 150 c) 8 f) 21 i) 6 l) Para cada descomposición factorial escribe los números compuestos correspondientes: a) 3 2 d) g) b) e) h) c) f) i) Unidad 1: Operaciones básicas con números enteros pag. 11