Constraint Satisfaction is a simple but powerful idea

Transcripción

1 1 Problemas de Satisfacción de Restricciones (CSP) Contenidos: Definición del problema de satisfacción de restricciones (CSP). Áreas de aplicación. Especificación de un problema CSP: variables, dominios y restricciones. Tipología de restricciones (discretas y continuas, fuertes y débiles, restricciones lineales, disyuntivas, etc.).

2 2 CSP Constraint Satisfaction is a simple but powerful idea Rina Dechter, In 'Constraint Processing' Morgan Kaufmann Pub. (2003)

3 3 EJEMPLOS 1 Variables: s,e,n,d,m,o,r,y Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y {0,,9} Restricciones s e n d + m o r e m o n e y Objetivos Consistencia Soluciones 10 3 (s+m)+10 2 (e+o)+10(n+r)+d+e=10 4 m+10 3 o+10 2 n+y Coloreado de Mapas Variables: x,y,z,w x y Dominios: x,y,z,w :{r,v,a} Restricciones: binarias x y, y z, z w,... w z El Problema de las 8 Reinas

4 4 EJEMPLOS 2 Juan, Pepe y Paco nacieron y viven en ciudades diferentes (Málaga, Madrid y Valencia). Además, ninguno vive en la ciudad donde nació. Juan es más alto que el que vive en Madrid. Paco es cuñado del que vive en Valencia. El que vive en Madrid y el que nació en Málaga tienen nombres que comienzan por distinta letra. El que nació en Málaga y el que vive ahora en Valencia tienen nombres que comienzan por la misma letra. Donde nació y vive cada uno?

5 5 EJEMPLOS 3 "Juan va de su casa al trabajo en coche (30-40 minutos) o en tren (al menos una hora). Luis va en coche (20-30 minutos) o en metro (40-50 minutos). Hoy Juan parte de casa entre las 8:10 y las 8:20 y Luis llega al trabajo entre las 9:00 y las 9:10. Además, sabemos que Juan llegó al trabajo entre 10 y 20 minutos después de que Luis saliera de casa Cuestiones: Esta información es consistente? Es posible que Juan haya usado el tren y Luis haya usado el Metro? Cuales son los posibles tiempos en los que Luis pudo haber salido de casa?, etc.

6 6 EJEMPLOS 4 Variables: altura de viga, longitud de viga, canto de forjado Dominios continuos: altura, longitud : [0, 10] Restricciones: vibraciones, refuerzos, conexiones, etc. Objetivos Consistencia Intervalos de tolerancia Soluciones etc

7 7 CSP Problemas de Satisfacción de Restricciones CSP Metodología de Resolución de problemas INTELIGENCIA ARTIFICIAL

8 8 Definición de CSP Un Problema de Satisfacción de Restricciones (CSP) se puede representar como: Un Conjunto de Variables: X={x 1, x 2,..., x n } Dominios de Interpretación (D = <D 1,,D n > ) para las variables: x i D i Un Conjunto de Restricciones entre las variables: C ={c 1, c 2,..., c m }

9 9 Modelización CSP 1) MODELACIÓN CSP Variables Dominios Restricciones (EXPRESIVIDAD) 2) RESOLUCIÓN CSP Técnicas Resolución CSP (EFICICIENCIA)

10 10 Modelización 1 Variables: s,e,n,d,m,o,r,y Dominios: s,e,n,d,m,o,r,y:{0,,9} Restricciones s e n d + m o r e m o n e y Especificación CSP Variables: s, e, n, d, m, o, r, y Dominios: s, e, n, d, m, o, r,y : {0,,9} Restricciones: Todas Diferentes, 10 3 (s+m) (e+o) + 10(n+r) + d + e= 10 4 m o n + 10e+y

11 11 Modelización 2 Variables: s, e, n, d, m, o, r, y Dominios: s, e, n, d, m, o, r,y : {0,,9} Restricciones: s e n d + m o r e m o n e y s e, s n, s d, s m, s o, s r, s y, e n, e d, e m,.. d+e = y+10c1 c 1 +n+r = e+10c 2 c 2 +e+o = n+10c 3 c 3 +s+m = 10m+o

12 12 Resolución MODELACIÓN CSP RESOLUCIÓN CSP s e n d + m o r e m o n e y

13 13 Objetivos Consistencia del problema (existe solución). Obtener una o todas las soluciones del problema. Obtener los dominios mínimos. La solución que optimiza una función objetivo o multi-objetivo.

14 14 Objetivos Objetivo de un CSP: Tiene solución? Consistencia. Obtener una solución. Obtener todas las soluciones. Obtener una solución óptima, o al menos una buena solución, medida por alguna función objetivo (función de evaluación). Algoritmos para CSP: Técnicas de Búsqueda (Algoritmos CSP): Obtienen una solución, guiados por heurísticas. Técnicas Inferenciales (Algoritmos de propagación): Obtienen las consecuencias de las restricciones explícitamente conocidas del problema.

15 15 Conceptos básicos Dado un CSP (X, D i, C), Una instanciación (o asignación) de las variables X es una asignación de valores a las variables en sus dominios: x 1 =v 1, x 2 =v 2,..., x n =v n / v i D Una solución del CSP es una instanciación consistente de las variables, de forma que se satisfacen todas las restricciones del problema. Un valor v es un valor consistente (o posible) para x i si existe una solución del CSP en la cual participa la asignación x i =v. Un CSP es consistente sii tiene al menos una solución.

16 16 Conceptos básicos Variables Un CSP discreto es aquel en el que todas las variables son discretas, es decir, toman valores en dominios discretos. Un CSP continuo es un CSP en el que todas las variables son continuas, es decir, tienen dominios continuos. Un CSP mixto consta de variables continuas y discretas. Un CSP binario es aquel en el que todas las restricciones tienen a los sumo dos variables respectivamente. Un CSP no binario o n-ario es aquel en el que las restricciones tienen más de dos variables.

17 17 Conceptos básicos Restricciones Discretas: las variables participantes están acotadas en dominios discretos. Continuas: las variables participantes están acotadas en dominios continuos. Binarias: son restricciones en las que sólo participan dos variables. N-arias: son restricciones en las que participan N variables (N>2). Fuertes (hard): son restricciones cuya satisfabilidad es imprescindible. Débiles (soft): son restricciones cuya satisfabilidad no es imprescindible. Difusas (fuzzy): son restricciones definidas sobre niveles de preferencia. Disyuntivas: son restricciones compuestas por un conjunto disjunto de restricciones.

18 18 N-reinas Definición: posicionar n reinas en un tablero de ajedrez n x n, de forma que no se ataquen. Formulación: 1 reina por fila variables: reinas, X i reina en la fila i-ésima dominios: columnas posibles {1, 2,..., n} restricciones: no colocar dos reinas en la misma columna la misma diagonal Características: CSP binario, discreto y finito

19 19 Coloreado de Grafos Definición: Dado un grafo, n nodos m colores, asignar un color a cada nodo de forma que no haya dos nodos adyacentes con el mismo color. Formulación: variables: nodos dominios: colores posibles restricciones: nodos adyacentes Características: CSP binario, discreto y finito

20 20 Crucigrama Definición: Dada una rejilla y un diccionario, construir un crucigrama compatible. Formulación: variables: grupo de casillas para una palabra (slots) dominios: palabras del diccionario con la longitud adecuada restricciones: misma letra en la intersección de dos palabras Características: CSP binario, discreto y finito (dominios grandes)

21 21 Restricciones Temporales Definición: dado un conjunto de sucesos que ocurren en intervalos temporales con ciertas relaciones, encontrar una asignación temporal consistente. "Juan "Juan va va de de su su casa casa al al trabajo trabajo en en coche coche (30-40 (30-40 minutos) minutos) o o en en tren tren (al (al menos menos una una hora). hora). Luis Luis va va en en coche coche (20-30 (20-30 minutos) minutos) o o en en metro metro (40-50 (40-50 minutos). minutos). Hoy Hoy Juan Juan parte parte de de casa casa entre entre las las 8:10 8:10 y y las las 8:20 8:20 y y Luis Luis llega llega al al trabajo trabajo entre entre las las 9:00 9:00 y y las las 9:10. 9:10. Además, Además, sabemos sabemos que que Juan Juan llegó llegó al al trabajo trabajo entre entre y y minutos minutos después después de de que que Luis Luis saliera saliera de de casa" casa" Formulación: variables: sucesos dominios: intervalo temporal para cada suceso restricciones: distancia temporal permitida entre sucesos; relaciones temporales antes, después, solapado, etc. Características: CSP binario, continuo, con restricciones disyuntivas {[10, 20]} T0 T1 {[30, 40], [60, ]} {[60, 70]} {[10, 20]} T3 T2 {[20, 30], [40, 50]} T0: Tiempo inicial (en este caso, 8:00 h.) T1 / T2: Tiempo en que Juan sale de casa / llega al trabajo. T3/T4: Tiempo en que Luis sale de casa / llega al trabajo. T4

22 22 Problema de diseño Definición: el problema consiste en llevar a cabo el diseño de un puente que debe constar de pocos arcos siendo preferible que los pilares no toquen el agua y los pilares sean lo más bajos posibles. Formulación: variables: partes y elementos del diseño dominios: valores permitidos para cada parte y elemento restricciones: propiedades que las partes deben satisfacer. Características: CSP no binario, mixto, con restricciones hard, soft y difusas. a) Solución por defecto para los arcos dados: b) Versión teniendo en cuenta aspectos estéticos y geotecnológicos: c) Bases para diseñar los detalles de los pilares: d1) Pilares demasiado cerca e) Diseño final:?? d2) Pilares sobre el peralte Backtracking sobre los detalles de diseño de los pilares d3) Pilares en el agua

23 23 CSPs binarios & n-arios Binario Un CSP binario se suele representar mediante un grafo, donde: Nodos: Variables Arcos: Relaciones binarias entre las variables. X2 X4 X1 R12 x2 x3 R35 x5 x1 R15 x5 x4 R42 x2 x4 R45 x5 x2 R25 x5 X1 X3 X5

24 24 CSPs binarios & n-arios No Binario Un CSP no binario no se suele representar mediante un grafo, sino como un hiper-grafo perdiendo toda la funcionalidad existente sobre la teoría de grafos. donde: Nodos: Variables Arcos: Relaciones binarias entre las variables. C123 X1 X2 X3 C24567 X4 X5 X6 X7

25 25 Consistencia: Niveles 1-consistencia Consistencia de nodo (1-consistencia) Un nodo (x i ) es consistente si al menos un valor en su dominio es consistente con la restricción unaria del nodo: 10 xi 15, D(Xi):{0, 10} Un grafo red es nodo-consistente sii todos sus nodos son consistentes: x i CSP, v i D/ (x i c i0 ) se cumple para x i =v i (ie: D c i0 { })

26 26 Consistencia: Niveles 2-consistencia Consistencia de arco (2-consistencia) consistencia): Un arco (xi {cij} xj) es consistente si y solo si para cada asignación de xi en su dominio, existe una asignación para xi, tal que la restricción {cij} se satisface. Por ejemplo el arco: xi Cij xj [3,6] [8,10] es consistente, pero no lo sería si c ij en vez de fuese Un grafo es arco-consistente si todos sus arcos son consistentes. c ij CSP, v i d i v j d j / (x i c ij x j ) se cumple para x i =v i, x j =v j

27 27 Backtracking: ejemplo

28 28 Backtracking: ejemplo

29 29 Backtracking: ejemplo

30 30 Backtracking: ejemplo