Introducción a la Programación n Lineal Problemas de dos variables

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Dolores Murillo Núñez
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1 Programación ineal - Antonin Ponsich 1. Introducción Introducción a la Programación n ineal Problemas de dos variables 1. Introducción 3. Ilustración gráfica 4. Interpretaci ación 5. Conclusiones - Casos especiales Definiciones Un problema de programación matemática es aquel que busca maximizar (o minimizar) una función objetivo sujeta a restricciones Si la función objetivo y las restricciones corresponden a funciones lineales, entonces el problema será referido como problema de programación lineal as restricciones son funciones lineales que están restringidas a tener valores menor o igual a, igual a, mayor o igual a una constante Introducción a la Programación ineal 1 Introducción a la Programación ineal 2 1. Introducción Definiciones a programación lineal puede definirse como una técnica de optimización restringida que permite resolver un problema de programación Determinar niveles de las variables de decisión, con el fin de optimizar una función objetivo, sujeto a una serie de restricciones jemplo: encontrar los valores de la variable x que resuelvan el problema (P1) Max. I = 5x s.t. 8x 40 (P1) x 0 1. Introducción Formulación del problema a formulación o el modelado de un problema es el proceso de transcribir los enunciados (verbales) de un problema en enunciados (o ecuaciones) matemáticos PROCDIMINTO GNRA: 1. ntender el problema a fondo 2. scribir una descripción verbal del problema 3. scribir una descripción verbal de cada restricción 4. Definir las variables de decisión 5. scribir el objetivo en términos de las variables de decisión 6. scribir las restricciones en términos de las variables de decisión Introducción a la Programación ineal 3 Introducción a la Programación ineal 4

2 jemplo 1 Un fabricante manufactura un producto en dos versiones diferentes: estándar () y lujo () as principales operaciones relacionadas con la fabricación del producto son las siguientes Corte y teñido Costura Acabados Inspección y empaque l fabricante desea planear la producción para el próximo trimestre jemplo 1: datos del problema l jefe de producción ha estimado, para cada artículo, los siguientes tiempos unitarios de procesamiento (horas) stándar ujo Corte y Teñido 7/10 1 1/2 5/6 1 2/3 1/10 1/4 Asimismo, la disponibilidad total de tiempo para cada departamento es la siguiente Tiempo (hrs) Corte y Teñido 630 Costura Costura Acabados Acabados 708 mpaque mpaque 135 Introducción a la Programación ineal 5 Introducción a la Programación ineal 6 Datos del problema l departamento de contabilidad y finanzas estima que la contribución marginal a la utilidad de la empresa según el tipo de producto que se fabrique es la siguiente Producto stándar = $ 10 por unidad Producto de ujo = $ 9 por unidad Formulación del problema: con palabras! Describir el objetivo:... Describir cada restricción: Restricción 1:... Restricción 2:... DSARRO UN MODO MATMÁTICO QU PRMITA MAXIMIZAR A UTIIDAD MARGINA D A MPRSA Restricción 3:... Restricción 4:... Introducción a la Programación ineal 7 Introducción a la Programación ineal 8

3 Formulación del problema Definir las variables de decisión del problema: =... =... scribir el objetivo en términos de las variables de decisión:... Formulación del problema scribir las restricciones en términos de las variables de decisión Restricción 1:... Restricción 2:... Restricción 3:... Restricción 4:... Restricciones de no-negatividad:... Introducción a la Programación ineal 9 Introducción a la Programación ineal 10 Formulación P clásica Max.... s.t.... FORMUACIÓN N D PROBMA Procedimiento general del método gráfico de resolución 1. Genere una gráfica de las soluciones factibles para cada restricción 2. Determine la región factible, es decir identifique aquella región dentro de la gráfica donde se cumplan todas las restricciones 3. Grafique una línea mostrando la función objetivo (generada según las variables de decisión), para un valor específico del beneficio 4. Mueva la línea graficada anteriormente de forma paralela y hacia arriba justo hasta que salga de la región factible 5. a solución factible proporcionando el valor más alto de la función objetivo (es decir la línea más alta) es óptima Introducción a la Programación ineal 11 Introducción a la Programación ineal 12

4 Restricción 1: Corte y Teñido Combinando las cuatro restricciones Número de Productos de ujo RGIÓN FACTIB, restr.. 1 Número de Productos de ujo RGIÓN FACTIB Número de Productos stándar Número de Productos stándar Introducción a la Programación ineal 13 Introducción a la Programación ineal 14 Añadiendo la representación de la función objetivo Añadiendo la representación de la función objetivo = = 3 (0,) inea con la función de utilidad marginal = 1800 (180, 0) = Introducción a la Programación ineal 15 Introducción a la Programación ineal 16

se halla la solución óptima Restricciones 10 + 9 = 7668 Solución óptima 1 2 3 Restricciones activas en la solución óptima Restricción redundante: no afecta a la región factible opt = 252 800 opt =

Interpretación Análisis del jemplo 1 Sustituyendo, en cada restricción, los valores de las variables en la solución óptima ( = 540, = 252), se obtiene el número de horas requerido para cada una de

5 se halla la solución óptima Restricciones = 7668 Solución óptima Restricciones activas en la solución óptima Restricción redundante: no afecta a la región factible opt = opt = Introducción a la Programación ineal 17 Introducción a la Programación ineal Interpretación Análisis del jemplo 1 Sustituyendo, en cada restricción, los valores de las variables en la solución óptima ( = 540, = 252), se obtiene el número de horas requerido para cada una de las cuatro operaciones del proceso Restricción Horas Requeridas para = 540, = 252 Horas Disponibles Horas Ociosas SOUCIÓN N D PROBMA D MAXIMIZACIÓN Corte y T. 7/10(540)+1(252) = Costura 1/2(540)+5/6(252) = Acabados 1(540)+2/3(252) = mpaque 1/10(540)+1/4(252) = Capacidad no-usada o disponible (Slack) Introducción a la Programación ineal 19 Introducción a la Programación ineal 20

6 l Análisis de Sensibilidad se realiza para determinar la manera en la que se afecta la solución óptima ante cambios en diversos parámetros del problema P ste análisis (también llamado análisis post-óptimo) permite responder las sig. preguntas: Cómo modificar los coeficientes de la función objetivo para que una variable participe en la sol. ópt.? Cómo afecta un cambio en el valor del lado derecho de la restricción a la solución óptima? Costos/gradientes reducidos Definición l gradiente reducido indica qué tanto tiene que mejorar el coeficiente asociado a la variable de decisión para que ésta asuma un valor positivo en la función objetivo Maximización: el coeficiente tiene que aumentar para que la función objetivo aumente Minimización: el coeficiente tiene que disminuir para que la función objetivo disminuya Introducción a la Programación ineal 21 Introducción a la Programación ineal 22 Se considera ahora qué tanto afectaría un cambio en el lado derecho de una restricción a la región factible la solución óptima Definición: Precio Dual (dual price) Una mejora en el valor de la solución óptima por unidad de aumento en RHS es llamada precio dual (dual price) Cálculo del Precio Dual Gráficamente, el precio dual es determinado sumando +1 al lado derecho de la restricción y luego resolviendo el sistema de dos ecuaciones correspondiendo a las dos restricciones donde incurría la solución óptima l precio dual es igual a la diferencia entre los valores de la función objetivo (para los problemas original y nuevo)! Pba de maximización: mejora aumento de la f.o. Pba de minimización: mejora disminución de la f.o. (P.D. > 0) l precio dual para una restricción que no forma parte del punto óptimo (no activa o non-binding constraint) es igual a 0 Introducción a la Programación ineal 23 Introducción a la Programación ineal 24

Rango de factibilidad: corresponde a aquel en el que el precio dual es aplicable Rango de factibilidad: corresponde a aquel en el que el precio dual es aplicable R 1 R 3 R 1 ' R 3 Ilustración con el

7 Rango de factibilidad: corresponde a aquel en el que el precio dual es aplicable Rango de factibilidad: corresponde a aquel en el que el precio dual es aplicable R 1 R 3 R 1 ' R 3 Ilustración con el jemplo 1 Ilustración con el jemplo 1 a S.O. está acotada por R 1 y R 3 Se incrementa el RHS de R 1 S.O.' sigue estando acotada por R 1 ' y R 3 S.O. R 4 S.O.' R Introducción a la Programación ineal 25 Introducción a la Programación ineal 26 Rango de factibilidad: corresponde a aquel en el que el precio dual es aplicable Rango de factibilidad: corresponde a aquel en el que el precio dual es aplicable R 1 '' R 3 S.O.'' R 4 Ilustración con el jemplo 1 Se incrementa todavía más el RHS de R 1 S.O.'' ya no está acotada por R 1 '' sino por R 3 y R 4 : el precio dual ya no es válido R 1 '' R 3 S.O.' ' R 4 Mientras que el RHS aumente, otras restricciones se podrán convertir en las nuevas limitantes de la función objetivo Siendo más complejo el cálculo del Precio Dual y sobre todo de su rango de validez, se conseguirán estos valores gracias a herramientas computacionales Introducción a la Programación ineal 27 Introducción a la Programación ineal 28

8 6. Conclusiones - Casos especiales Solución óptima a solución óptima de un problema de programación lineal se encuentra por lo general en uno de los puntos extremos de la región factible del problema Min. f(x 1,x 2 ) s.t. g 1 (x 1,x 2 ) 0 f 6. Conclusiones - Casos especiales Casos especiales Soluciones Óptimas Alternativas Infactibilidad Región Factible No Acotada g 2 (x 1,x 2 ) 0 g 3 (x 1,x 2 ) 0 x 2 g 1 g 2 g 3 x 1 Introducción a la Programación ineal 29 Introducción a la Programación ineal 30 Introducción a la Programación ineal 31

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