TEMA 0. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Transcripción

1 TEM. MTRICES Y SISTEMS DE ECUCIONES Mtriz es el ore geérico que e teátics se plic lists y tls uérics. Ls trices se eple, etre otrs uchs coss, pr lcer iforció, pr descriir relcioes, pr el estudio de sistes de ecucioes,, y prece de odo turl e Ecooí, Sociologí, Psicologí, Estdístic, Geoetrí,... DEFINICIONES BÁSICS Mtriz de orde Todo couto de eleetos dispuestos de odo ordedo e for de u tl de fils y colus. Se sioliz e ls fors:, ó ( c, c,..., c ), ó f f siedo: : el tério situdo e l fil i y colu, c : vector-colu fordo por los eleetos de l colu (,,..., ) fi : vector-fil fordo por los eleetos de l fil i (i,,..., ) Si, l triz se deoi triz fil. Si, l triz se deoi triz colu.

2 U triz puede coteer iforcioes uy vrids: - Resultdo de u ecuest relizd idividuos sore preguts. Cd fil es l respuest de u idividuo. - U tecologí liel que eple fctores e procesos productivos. Cd colu es u proceso productivo. - U plicció liel de R e R. - Los coeficietes de ls icógits de u odelo liel de ecucioes y icógits. Cd colu so los coeficietes de u icógit. Mtrices cudrds So quélls e ls que el úero de fils coicide co el úero de colus. E ls trices cudrds llos digol pricipl los eleetos e los que los suídices i y coicide:,,, for l digol pricipl. L su de los eleetos de l digol pricipl se deoi TRZ de l triz. ( )... Trz Ls trices cudrds que teg ulos los eleetos que qued uo de los ldos de l digol pricipl se deoi trices trigulres. Siedo: sutrigulr si so ulos los que qued l izquierd y súper trigulr si so los de l derech. Mtriz digol es l que teg ulos todos los eleetos que o esté e l digol pricipl. Trigulr iferior Trigulr superior Digol

3 OPERCIONES ELEMENTLES CON MTRICES Cudo los eleetos de l triz so úeros reles, o de culquier cuerpo couttivo, surge u cpcidd opertori co ls trices, o lo que es igul, surge u estructur lgeric e los coutos de trices. SUM DE MTRICES Su de dos trices del iso orde es l triz que result l sur los eleetos que ocup el iso lugr e s. C B Suádose eleeto eleeto: c El eleeto eutro de l su tricil es l triz ul, que tiee todos sus eleetos igules cero. Propieddes Se, B, y C trices del iso orde y l triz ul, etoces. socitiv: (B C) ( B ) C. Couttiv: B B 3. Eleeto eutro: 4. Eleeto opuesto: (-) PRODUCTO DE NÚMERO REL POR MTRIZ El producto de u úero rel (k) por u triz () es l triz que result l ultiplicr el esclr por cd uo de los eleetos de l triz (). k B /, B M y k R siedo: k 3

4 PRODUCTO DE MTRICES El producto de u triz de orde, por otr triz B de orde p, es l triz C, de orde p, cuyo eleeto geérico c es el resultdo de sur los productos de los eleetos de l fil i de por los de l colu de B. B p C p / c i i... i Propieddes Supoiedo coforidd de órdees etre ls trices, B y C:. socitiv: ( B C) ( B) C. Distriutiv: ( B C) B C 3. No Couttiv: B B El eleeto eutro del producto tricil cudo ls trices so cudrds es l triz idetidd, que tiee uos e l digol pricipl y el resto de eleetos igules cero. TRNSPOSICIÓN MTRICIL Trspuest de u triz, de orde, es l triz t, de orde, cuys fils so ls colus de. M Trsposició t M Eeplo: 3 t Si l triz es cudrd y deás cuple, l triz t se deoi trices siétrics. i t coicide co. Ls trices que Eeplo:

5 Propieddes. Propiedd ivolutiv: el resultdo de trspoer dos veces (o u úero pr de veces) u triz, es l propi triz. ( ) t t. L trspuest de u su de trices es l su de ls trspuests. t t t ( B) B 3. L trspuest de u producto de dos trices es el producto de ls trspuests cids de orde. t t t ( B) B 5

6 DETERMINNTE DE UN MTRIZ CUDRD tod triz cudrd se le soci u úero lldo deterite de, que se sioliz coo det ( ) o. Este úero es u crcterístic de l triz que cotiee iforció sore l depedeci o idepedeci liel de los vectores-colu (y de los vectores-fil) que for l triz. Lo ás relevte es el hecho de que se igul cero o distito de cero. E el prier cso, los vectores so lielete depedietes (l.d.) y e el segudo, lielete idepedietes (l.i.) triz sigulr l. d triz regulr l. i El cálculo del deterite se s e l defiició que se d cotiució y e ls propieddes que sigue: DEFINICIÓN: Deterite de u triz cudrd (de orde ) es el úero que result l sur todos los productos de eleetos de l triz que cupl dos requisitos:. Que e cd producto etre u solo eleeto de cd fil y de cd colu.. Que cd producto se le tepog sigo o sigo segú que hy u úero pr o ipr de iversioes del orde turl e los suídices de colus, previ ordeció de los eleetos de cd producto por fils, o e los suídices de fils, previ ordeció de los eleetos de cd producto por colus. De l defiició se desprede que el úero de productos que hy que sur pr clculr el deterite, coicide co el úero de perutcioes que puede hcerse co los prieros úeros turles, que es!, y que l itd de ellos, hy que tepoer sigo (-).. Deterite de u Mtriz cudr de orde Núero de productos!. Ordedos los eleetos por fils so de l for i. Los segudos suídices puede ser {,} o {,}. Los prieros está e el orde turl, e los segudos hy u iversió del orde turl. 6

7 . Deterite de u triz cudrd de orde Núero de productos: 3! Ordedos los eleetos por fils, so de l for i 3k. Los segudos suídices puede ser {,,3}, {,3, }, { 3,, }, { 3,, }, {,,3 }, {,3, }. E los tres prieros hy u úero pr de iversioes (se les tepoe el sigo los productos), los tres últios tiee u úero ipr de iversioes del orde turl (se tepoe sigo los productos) Deterite de u triz de orde superior tres Eiste distitos étodos que perite clculr el deterite de u triz de orde superior tres, el ás utilizdo es el de los dutos. L su de los productos de los eleetos de u fil (o u colu) pos sus respectivos dutos es igul l deterite de l triz. det i ( ) ( ) det( M ) i i Dode: ( ) det( M ) es el duto de. Deterite de u triz trigulr E u triz trigulr so ulos los eleetos que qued uo de los ldos de l digol pricipl. Deido esto, los productos cuy su es el deterite de l triz so ulos, ecepto el producto de los eleetos de l digol pricipl. 7

8 33... Pr el cálculo del deterite de u triz cudrd, o trigulr, de orde yor que tres, procede recurrir ls propieddes de los deterites. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES Perite siplificr el cálculo del deterite e lguos csos, dr u procediieto opertivo pr clculrlo e culquier cso; deás, resuelve el prole de l depedeci e idepedeci liel de vectores del espcio vectoril R.. PROPIEDDES QUE SIMPLIFICN EL CÁLCULO: PROPIEDD El deterite de u triz coicide co el de su trspuest PROPIEDD t ( ) det( ) det Si u de ls colus (o de ls fils) de l triz es ul, el deterite vle. PROPIEDD 3 _ detc,...,,.., c Si se iterci etre sí dos colus (o fils) de l triz, el deterite ci de sigo. PROPIEDD 4 ( c... c... c... c ) det( c... c... c... c ) det i Si l triz tiee dos colus (o fils) igules, su deterite es cero. ( c... ci... c... c ) si ci c det i 8

9 PROPIEDD 5 Si cd colu (o fil) de u triz se ultiplic por u esclr, el deterite de l uev triz es igul l producto de los esclres por el deterite de l triz iicil. PROPIEDD 6 det ( k c,..., k c,..., kc) k... k... k det ( c c c Si u triz tiee dos colus (o fils) proporcioles, su deterite vle cero. PROPIEDD 7 ( c,..., c,..., kc,..., c ) det i El deterite de u triz producto de dos trices cudrds del iso orde coicide co el producto de los deterites de s. i ) B B. PROPIEDD QUE CONDUCE UN PROCEDIMIENTO PR EL CÁLCULO DEL DETERMINNTE EN CULQUIER CSO: PROPIEDD 8 El deterite de u triz o ci de vlor l sur u colu (o fil) u coició liel de ls deás. E est propiedd se s el étodo de Lplce pr l resolució de deterites. Cosiste e hcer que u fil o colu teg todos los eleetos igules cero eos uo y plicr cotiució el étodo de los dutos es fil o colu. 9

10 RNGO DE UN MTRIZ Si el deterite es u úero rel socido sólo ls trices cudrds, el rgo es u úero turl socido culquier triz. Si iterpretos ls fils (o ls colus) de u triz coo vectores de R, el estudio de los odelos lieles de coptiilidd requiere procediietos opertivos que perit verigur l depedeci o idepedeci liel de los vectores-colu fordos por los coeficietes de ls icógits. El cocepto de deterite, l ir referido trices cudrds, o port u procediieto opertivo geerl. Se hce ecesrio otro cocepto ás geerl, plicle tto trices cudrds coo o cudrds. Tl cocepto es el rgo de l triz. DEFINICIÓN Llos MENORES de orde h los deterites de ls sutrices cudrds fords por los eleetos coues h fils y h colus culesquier de l triz. Se dice que el RNGO DE UN MTRIZ es el úero turl r, si lgú eor de orde r es distito de cero y todos los eores de orde yor que r so ulos. TEOREM El rgo de u triz coicide co el áio úero de vectores-colu y co el áio úero de vectores-fil lielete idepedietes que hy e l triz. De este teore se desprede que todo el prole reltivo l estudio de l depedeci o idepedeci liel etre vectores de los espcios de tipo R qued reducido l cálculo del rgo de trices. CÁLCULO DEL RNGO. Elegir ls dos priers colus y uscr u eor de orde dos o ulo. Si lo hy, c y c so l.i. y el rgo de l triz es, l eos dos. Si o lo hy, c es últiplo de c, se suprie c, y se elige l siguiete colu e su lugr.. Prtiedo del eor o ulo de orde, se elige u uev colu y se v clculdo solete los eores de orde 3 que se orldos del de orde dos o ulo, hst ecotrr uo o ulo. Si lo hy, ls tres colus so l.i. y el rgo es l eos tres. Si o lo hy, l tercer colu es coició liel de ls dos priers y puede supriirse. 3. Se reiter el procediieto prtiedo del eor de orde tres o ulo.

11 .6.INVERSIÓN MTRICIL Se u triz cudrd de orde. Se dice que - es triz ivers de l triz, si el producto de s trices es igul l triz uidd (I). I L triz será ivertile si su deterite es distito de cero. E cso cotrrio o será ivertile. sí pues ls trices regulres dite ivers y ls trices sigulres o dite ivers. Es codició ecesri y suficiete pr que eist l ivers de u triz cudrd que su deterite se distito de cero. PROPIEDDES. L ivers de u triz, si eiste, es úic. El deterite de l ivers de u triz, coicide co el iverso del deterite de l triz. 3. L iversió es ivolutiv, es decir, plicd dos veces (o u úero pr de veces) result l triz iicil. ( ) 4. L ivers de u producto es igul l producto de ls iverss cids de orde. (. B ) B. 5. L ivers de l trspuest de u triz, es igul l trspuest de l ivers de l triz CÁLCULO DE L INVERS t ( ) ( ) t L ivers de l triz es igul l iverso de su deterite por l triz ford por los dutos de trspuestos. d( ) det( ) t

12 EXPRESIONES Y ECUCIONES MTRICILES Epresió tricil Tod epresió e l que iterveg trices cuyos órdees se cofores co ls opercioes ls que v soetids, es u epresió tricil. Tles epresioes veces puede siplificrse. Pr ello se dee teer uy e cuet l o couttividd del producto y ls propieddes de l iversió y de l trsposició tricil. Ecució tricil Es tod iguldd etre epresioes triciles e l que tods ls trices se coocids ecepto u que es l triz icógit. Pr desper l triz icógit, l igul que e ls ecucioes lgerics, se procede trspoer los térios de odo que l triz icógit quede e uo de los ieros, orlete ultiplicd por u o ás trices. Si l triz que ultiplic l icógit es regulr (dite ivers), ultiplicdo e los dos ieros, l iso ldo, por su ivers, qued desped l triz icógit. Eeplo: X ( X ) B B I X B X B

13 3 SISTEMS DE ECUCIONES LINELES U siste liel de ecucioes co icógits se escrie de l for siguiete: o escrito e for tricil quedrí: X Discusió del siste (Teore de Rouchè-Froeius) Si rgo() rgo( ) el siste es icoptile (si solució) Si rgo() rgo( ) el siste es coptile deterido (co solució úic) Si rgo() rgo( ) < el siste es coptile ideterido (co últiples solucioes) Resolució del siste (Regl de Crer) Si X L regl de Crer surge l desper cd icógit e l terior ecució tricil. Si l triz o dite ivers, se suprie ls ecucioes que se redudtes y se for u siste co tts ecucioes coo icógits (co triz regulr), psdo l ldo derecho de cd ecució ls vriles resttes. Sistes hoogéeos So quellos que tiee ulos todos los térios idepedietes. l ser ulos los térios idepedietes, coicide los rgos de ls trices y, por lo que so siepre coptiles. L solució úic será l trivil ) (.