ALGEBRA LINEAL. MATRICES Y DETERMINANTES.
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- Isabel Espinoza Franco
- hace 6 años
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1 LGEBR LINEL. MTRICES Y DETERMINNTES. putes de. Cñó Mtemátis II. Vetores e R.. Operioes o vetores (sum de vetores y produto por u eslr) y sus propieddes.. Depedei e idepedei liel de vetores. L se ói.. Defiiió de mtriz. Termiologí. Tipos de mtries.. Operioes o mtries. Mtriz ivers.. Determite de u mtriz udrd.. Propieddes de los determites.. Vetores e R El ojuto R RRR está formdo por tods ls ters (,y,z) de úmeros reles. Dos ters (,y,z) y (',y',z') so igules si se verifi ' yy' zz'.. Operioes o vetores (sum de vetores y produto por u eslr) y sus propieddes. E este ojuto se defie l sum y el produto por úmeros reles, del siguiete modo Sum (,y,z)+(',y',z')(+',y+y',z+z,) Produto por úmeros reles k(,y,z)(k,ky,kz) Ests operioes umple us determids propieddes, dotdo l ojuto R de u iert estrutur, que reie el omre de espio vetoril. Ls propieddes umplir so ls siguietes Se u,v,w R. soitiv (u+v)+wu+(v+w). Comuttiv u+vv+u. Elemeto eutro u+u. Elemeto opuesto. u+(u). k(u+v)ku+kv. (k+h)uku+hu. k(hu)(kh)u. uu El espio vetoril defiido, se desig por (R,+, R). los elemetos de los espio vetoriles se les llm vetores. los elemetos de R se les llm eslres.. Depedei e idepedei liel de vetores. L se ói. *Comiió liel de vetores. U vetor u de R es omiió liel de los vetores u,u,u...,u de R si se puede epresr sí u u+ u + u u sí pues, pr formr u omiió liel de vetores se utiliz ls dos operioes lieles de vetores. Evidetemete, omo oseuei de l defiiió se verifi. Todo vetor es omiió liel de sí mismo u u. El vetor es omiió liel de ulquier ojuto de vetores u +u +...+u Mtries y determites.
2 putes de. Cñó Mtemátis II * Depedei e idepedei liel de vetores. U ojuto de vetores es lielmete depediete si l meos uo de ellos se puede epresr omo omiió liel de los resttes. E so otrrio se die que so idepedietes. O de otro modo Los vetores u, u,...,u so lielmete depedietes si eiste u omiió liel de l form u+u+...+u o lgú i. Los vetores u, u,...,u so lielmete idepedietes si ulquier omiió liel de l form u+u+...+u todos los i so ulos. Pr el so de dos vetores de R l depedei liel equivle l proporiolidd, de tl mer que Dos vetores so depedietes udo sus ompoetes so proporioles. * Coseueis de l defiiió de depedei e idepedei liel. Todo ojuto de vetores que otiee l vetor ulo es lielmete depediete u +u+...+u. U vetor es lielmete idepediete si, y solo si, es o ulo.. E R el úmero máimo de vetores lielmete idepediete es tres. * Bse de u espio vetoril. Se V u espio vetoril y B u suojuto de vetores de V. Se die que B es u se de V si verifi ls siguietes odiioes B es u sistem geerdor de V B es lielmete idepediete. El espio vetoril R tiee omo se ói B{(,,),(,,),(,,)} Se llm dimesió de u espio l úmero de elemetos que tiee ulquier de sus ses. Luego l dimesió de R es tres.. Defiiió de mtriz. Termiologí. Tipos de mtries. * Defiiió de mtriz. Se llm mtriz de orde m sore u uerpo omuttivo R u udro dispuesto e m fils y olums. Esquemátimete m m.. m * Tipos de mtries Mtriz ul es l que tiee todos sus elemetos igules ero. Mtriz fil es l que tiee u sol fil. Mtriz olum es l que tiee u sol olum. Mtriz opuest de l mtriz es l mtriz B tl que B. Mtriz udrd es l mtriz que tiee el mismo úmero de fils que de olums. Mtriz digol es l mtriz udrd uyos térmios o situdos e l digol priipl so ulos. Mtriz eslr es l mtriz digol que tiee igules todos los elemetos de l digol priipl. Mtriz uidd es l mtriz digol que tiee todos los elemetos de l digol priipl igules. Mtriz trigulr es l mtriz udrd que tiee ulos todos los elemetos situdos por eim o por Mtries y determites.
3 dejo de l digol priipl. Mtriz simétri es l mtriz udrd que tiee igules sus elemetos ojugdos. putes de. Cñó Mtemátis II. Operioes o mtries. Mtriz ivers. * Sum de mtries. L sum o diió de dos mtries y B del mismo orde m es otr mtriz de orde m, uyos elemetos se otiee sumdo los elemetos de y B que oup lugres homólogos. Propieddes de l sum de mtries L sum de mtries es u ley de omposiió iter., B M m + B C M m Propiedd soitiv. +(B +C) (+ B)+C,B,C M m Eiste el elemeto eutro. +O O+ Eiste el elemeto simétrio o mtriz opuest. +() O Propiedd omuttiv. + B B+ Por umplir ls propieddes teriores, el ojuto de mtries de orde m tiee estrutur de grupo elio respeto de l sum. L diferei de ls mtries y B se represet por B, y se defie sí B+(B) *Produto de u mtriz por u úmero. El produto de u mtriz por u úmero rel k es otr mtriz B de l mism dimesió que tl que d elemeto de B se otiee multiplido k por d elemeto de. Propieddes k(+b)k+kb (k+h)k+h k[h()](kh) Produto de mtries. Dds dos mtries de dimesió m y l mtriz de dimesió p, se llm produto de por B l mtriz C de dimesió mp e dode el elemeto geério es igul l sum de los produtos siguietes primer elemeto de l fil i de por el primero de l olum j de B, el segudo elemeto de l fil i de por el segudo de l olum j de B...,el ésimo de l fil i de por el ésimo de l olum j de B. E geerl o se verifi l propiedd omuttiv. Ejemplos Mtriz ivers. Se u mtriz udrd de orde. Se die que tiee ivers si eiste u mtriz B, udrd de orde, tl que B I.Se die que B es l mtriz ivers de. L mtriz ivers de, udo eiste, es úi. L mtriz ivers de udo eiste, se simoliz por, verifiádose I ij Mtries y determites.
4 putes de. Cñó Mtemátis II. Determite de u mtriz udrd. Se u mtriz udrd de orde. Se llm determite de l mtriz l poliomio uyos térmios so todos los posiles produtos de ftores tomdos etre los elemetos de, de modo que e d térmio hy u solo ftor de d fil y u solo ftor de d olum, y fetdo d térmio del sigo + o segú que permutioes de los ídies de ls fils y ls olums se de l mism o distit lse. El determite de u mtriz udrd de orde se simoliz por o ie det Determite de segudo orde. El determite de u mtriz udrd de segudo orde es igul l produto de los elemetos de l digol priipl meos el produto de los elemetos de l digol seudri. Determite de terer orde. Es fáil reordr el determite de terer orde medite l regl de Srrus Los térmios o sigo + está formdos por los elemetos de l digol priipl y los de ls digoles prlels o su orrespodiete vértie opuesto. Los térmios o sigo está formdos por los elemetos de l digol seudri y los de ls digoles prlels o su orrespodiete vértie opuesto Ejemplos 9 Desrrollo de u determite por los elemetos de u líe Se llm djuto de u elemeto l determite que result de elimir l fil y l olum l que perteee el elemeto. El djuto v preedido de u sigo + o, segú que l sum de los suídies de l fil y l olum se pr o impr El determite de u mtriz udrd es igul l sum de los elemetos de u fil o olum multiplidos por sus djutos orrespodietes. El vlor del determite es idepediete de l fil o olum elegid pr su desrrollo. Cálulo de l mtriz ivers por determites. Dd u mtriz udrd, se llm mtriz djut de, y se represet por dj, l mtriz que se otiee l sustituir d elemeto por su djuto orrespodiete. L odiió eesri pr que u mtriz teg ivers es que su determite se distito de ero. L mtriz ivers de u mtriz dd es igul l mtriz djut de su trspuest dividid por el determite de l mtriz dd. t dj El primer pso pr hllr l ivers de u mtriz es lulr su determite. Si es, se termi el proeso. No tiee ivers. Ls mtries iverss se utiliz pr l resoluió de sistems de euioes y de euioes mtriiles.. Propieddes de los determites. º U determite o vrí si se mi sus fils por sus olums, es deir t º Si e u determite se mi etre si dos fils o dos olums, el determite mi de sigo pero o e vlor. º Si todos los elemetos de u fil o olum se multipli por u úmero, el vlor del determite qued multiplido por diho úmero. º Si todos los elemetos de u fil o olum so ero, el determite es ero. º Si dos fils o olums so igules el determite es ero. Mtries y determites.
5 putes de. Cñó Mtemátis II º Si dos fils o olums so proporioles el determite es ulo. º Si dos determites tiee igules respetivmete tods sus fils slvo u de ells, su sum es otro determite o ls misms fils o eepió de l fil desigul, que tiee por elemetos l sum orded de ms fils. º Si u fil o olum se le sum u múltiplo ulquier de otr fil o olum, el determite o vrí. 9º Si u fil o olum es omiió liel de otr fil o olum, el determite es ero. ºU determite es igul l sum de los produtos de u líe ulquier por sus djutos orrespodietes.. Rgo de u mtriz. Rgo o rterísti de u mtriz es el myor orde de los meores distitos de ero que se puede oteer e l mtriz. Se simoliz por rg(). Euioes mtriiles. Puesto que el produto de mtries o es omuttivo, l hor de multiplir u mtriz por otr oviee si h de herse por l dereh o por l izquierd. tes de empezr operr o ls mtries dds oviee despejr l mtriz iógit. Ejemplos. Si ls mtries, B y C so ls siguietes B C Epresr el vlor de l mtriz X e ls siguietes euioes ) XB+I ) X+BC ) X+BC d) X+BXC e) XBXCC Ls soluioes de d ejeriio so ls siguietes 9 9 ) X ) X ) X d) X / e) X/ LGEBR LINEL. MTRICES Y DETERMINNTES. PROBLEMS. lger liel. ºEstudir l depedei liel del ojuto de vetores {(,,),(,,),(,,)}. ºEstudir l depedei liel del ojuto de vetores {(,,),(,,),(,,)} ºHllr ls oordeds de los vetores de l se ói respeto de l se B{(,,),(,,),(,,)} Mtries y determites.
6 putes de. Cñó Mtemátis II º Qué relió dee eistir etre α y ß pr que los vetores u(α,,) v(,ß,) w(,,) se lielmete idepedietes? ºDetermi los vlores de pr los que los vetores (,,), (,,) y (,,) so lielmete idepedietes y, si es posile, epres (,,) omo omiió liel de (,,), (,,) y (,,). Mtries y Determites. º Dds ls mtries B lulr +B; B; B; B; ; BB. º Clulr B y B, si es posile, siedo B º Dds ls mtries B ompror que (.B) t. B t t º Dds ls mtries determir l mtriz X tl que XBXB. B º Se u mtriz udrd tl que se pide +I ) Pror que posee ivers. ) Hllr ls mtries digoles de orde que verifi est relió. º Dd l mtriz Hllr ) ) ) º Hllr ls mtries X e Y tles que Y X X + Y º Dd l mtriz hllr + + I B 9º Dd l mtriz hllr l mtriz M tl que.mi siedo I l mtriz idetidd. Mtries y determites.
7 putes de. Cñó Mtemátis II º Hllr l potei esim de l mtriz º Se u mtriz udrd tl que. Si BI. Demostrr que I B º Se l mtriz Determir g y h pr que se verifique l euió + g+hi ºDds ls mtries hllr si eiste X tl que C B CX C BX º Dd l mtriz se pide ) Clulr (I) (I) ) Oteer l ivers de º Clulr u mtriz X que verifique l iguldd XB o B º Eotrr u mtriz X tl que X+BC, siedo C B º Eotrr u mtriz X que verifique XB B siedo B º Hllr y siedo 9º Clulr siedo Mtries y determites.
8 º Clulr el vlor de los siguietes determites putes de. Cñó Mtemátis II ) ) d + ) + + d) º Demostrr ls siguietes igulddes y y ) ( ++ ) ) + y y ( y ) º Demostrr si desrrollr + ) + + ) º Clulr los siguietes determites ) ) º Hllr l ivers de ls siguietes mtries B º Resolver l euió XB siedo Mtries y determites.
9 putes de. Cñó Mtemátis II B º Epresr e form de produto el vlor del siguiete determite º Resolver l siguiete euió º Pr que vlores de posee ivers l mtriz siguiete PROBLEMS RESUELTOS. ºDisutir el rgo de l mtriz B segú los vlores del prámetro., B rgb ;,rgb ºPror que l mtriz tiee ivers y lulrl m m m Mtries y determites. 9
10 putes de. Cñó Mtemátis II ºClulr el rgo de l mtriz pr los distitos vlores de t t t. t rg() t rg() ºHllr l mtriz B siedo B B B ºClulr el vlor del determite log log log D log log log ºSe l mtriz. Hllr. ºDd l mtriz m verigur pr que vlores del prámetro m eiste. m Clulr l mtriz ivers pr el vlor m. m m ºPruee que siedo l mtriz. 9ºOteer, simplifido, el desrrollo del determite ºHllr los vlores deλ pr los ules l mtriz Mtries y determites.
11 λ λ λ λ λ λ λ putes de. Cñó Mtemátis II ) No tiee ivers. ) Tiee rgo. λ λ t ºSe osider l mtriz. Clulr ( ). ºDds ls mtries B C D Hllr ) ; ) B ; ).B; d) B.; e) +B; f) C.; g) C.B; h) C.D; i) ; j) B ; k) + ; l) B.B uioes / / 9/ B. / / / B / / / +B 9 / / / / /.B C. C.B C.D B + B.B Mtries y determites.
12 putes de. Cñó Mtemátis II ºDds ls mtries y B. Clul +B, B,, B, B, B B B..B B B +B B uió º Hll X B dode ºDemostrr que stisfe l relió de reurrei. ºHll el determite de y su ivers / / / / / / / / / / / 9/ / / º plido l fuió de l mtriz ivers. Clul l ivers de l mtriz. Comprue el resultdo. / / º Dds ls mtries siguietes. Clul l potei eésim. Mtries y determites.
13 putes de. Cñó Mtemátis II ++ B B C C D D E E F F impr I F pr F 9º Clul los siguietes determites de orde 9; ; º Hllr l soluió de l euió Mtries y determites.
14 putes de. Cñó Mtemátis II ) ) ) ) ; ; ) ; ; ) ºResolver plido ls propieddes de los determites ) ) ) d) ; ; ) /; ; ) ; ; d) ; º Segú el vlor del determite lulr rzodmete el vlor del determite B α y β z γ B α ºDemostrr que el determite vle γ z β y B º Clulr ; ; ºSi desrrollr demostrr l idetidd ºResolver ls euioes ).X B; ) + X B; ).X B; d) X B, siedo Mtries y determites.
15 ) X / / ) X / ; ) X / ; d) X B putes de. Cñó Mtemátis II º Hllr y B de ls mtries del ejeriio terior / / / B / / / / / / / / / / º Clulr por determites. / / / / / / / / / 9ºClulr el rgo de M segú los vlores de t ) M ) M t t ) t r(m); t r(m); ) t r(m); t r(m) t º Clulr pr que M teg ivers M ;) ; ) ) ; ); ) º Dds ls mtries B C resolver ls euioes ) X+BC; ) X+BXC; ) X+XB; d) XBC Mtries y determites.
16 / ) X / / / ) X / / / ; / / ; 9/ / ) X / 9/ / d) X / / / / / / / / / / / / / putes de. Cñó Mtemátis II ºClul (+). () º Demostrr que se os se os se ( ) + se ( ) + se ( ) se os º Clulr Mtries y determites.
17 putes de. Cñó Mtemátis II 9 9 º Dd l mtriz verigu pr qué vlores del prámetro m eiste. Clul pr m. m m m y m ºHllr los vlores de pr los ules l mtriz o tiee ivers. ; / º Resuelve XB + C D Mtries y determites.
18 putes de. Cñó Mtemátis II X D C B Mtries y determites. ºClulr el rgo de l mtriz. r() 9º Dd l mtriz B lulr los vlores de y pr que su rgo se. y y B ºClulr el determite ) Hiedo eros. ) Desrrolládolo por los elemetos de u líe. ºCompror si desrrollr que so ulos los determites + y + z y+ z z y ºDds ls mtries y B lul l mtriz P B+B P B ; º Resuelve l euió mtriil X B; siedo X B º Clul el rgo de ls mtries siguietes
19 putes de. Cñó Mtemátis II B C r(c) ; r() ; r(b) º Clul, siedo ) + ) ) ) ºSiedo que z y Hll ) y z ; ) z y z ; ) z y ) ; ) ; ) º Si y B so dos mtries udrds de orde. Es ierto, e geerl, l iguldd siguiete? +B+B (+B). No ºHll l mtriz eésim de l mtriz 9º Euetr los vlores de, y, z, que verifique l siguiete euió mtriil ; y ; z z y + º Euetr l mtriz X tl que ) X+BC; ) XBC; ) X+BXC; d) X+XB; e) X+XC, Mtries y determites. 9
20 siedo ; B ) ) / / / / / e) / / / / / ; / C / ) / / / / / / / d) / / / / putes de. Cñó Mtemátis II / º Se B C, se puede segurr que B C?; y si B; se puede segurr que ó B?. No; No º Hllr k pr que l mtriz o teg ivers. Clulr l ivers pr k. k k k ; º Resolver l euió mtriil X+BC, siedo B C X º Se die que dos mtries udrds de orde, y B omut, si B B. Oteer ls mtries que omut o l B. y B º Clulr los determites ) Hiedo eros; ) Desrrolldo por los elemetos de u líe ; m º Dd l mtriz. Clul los vlores de m pr que m m teg ivers. Di pr qué vlores de m es u mtriz sigulr. Rgo de. ) m y m /; ) ; ) m ó m / > r() ; m y m / > r() Mtries y determites.
21 putes de. Cñó Mtemátis II º. Eotrr l mtriz X que verifique que XB B; X+BC C B ) 9 ) º Clul el rgo de ls siguietes mtries r() ; r(b) B 9º Dds ls mtries y B lul l mtriz P B+B 9 9 P B º Clul el rgo de ls siguietes mtries r() ; r(b) B º Resuelve l siguiete euió ; º Clul si desrrollrlos el vlor de los siguietes determites 9 ; ; y z z y z y ; 9 9 º Hll +B; +B; siedo Mtries y determites.
22 9 B + B 9 putes de. Cñó Mtemátis II +B 9 º Hllr ls iverss de ls mtries ; B ; C / / / o eiste ; B / / C / / / / / / / 9/ / / ºHllr el rgo de ls siguietes mtries segú vlores de ; ; rgo rgo rgo rgo rgo rgo º Resolver ls euioes + y ; / º Clulr el vlor de los determites ; ; ; ; º Si desrrollr los determites, utilizdo sus propieddes, ompror Mtries y determites.
23 d d d (d ) (d ) (d ) ( ) ( ) yz z y / /y /z y z putes de. Cñó Mtemátis II 9º. Eiste lgú vlor de que hg iversiles ls mtries ) )? ) igu; ) y º. Resuelve ls euioes mtriiles siguietes ) XBCI; ) CX+XB siedo B C / / / / ) / / / ) / / / / / / / Mtries y determites.
2.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A 2, B 2, AB, BA
ejeriiosemees.om MTRICES Y DETERMINNTES. Dds ls mtries Hllr ) ) B ).B d) B. e) +B f) C. g) C.B h) C.D i) j) B k) + l) B.B uioes. Dds ls mtries B. Clul +B, B,, B, B, B uió D C B.B / / / / / / / / B / /
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DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA
DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA. (S-97)Hllr el rngo de l mtriz B 0 0 según se el vlor del prámetro [,5 puntos] Puesto que el menor 0 0 rgb 0 () 0 ( ) 0 ) Pr 0 r(b) ) Pr 0 0 - B 0-0 0 - r(b) 0-0 - 0-0
DETERMINANTES. A toda matriz cuadrada se le puede hacer corresponder un número (determinante) cuyo cálculo se puede hacer de las siguientes maneras:
Deterites DETERMINNTES. DEFINICIÓN. tod tri udrd se le uede her orresoder u úero (deterite uo álulo se uede her de ls siguietes ers:.. DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN. det Es deir, es el roduto de los eleetos
tiene dimensión 3 2. El elemento a 21 = 3.
Tem. MTRICES Defiiió e mtriz U mtriz e imesió m es u ojuto e úmeros ispuestos e fils y m olums. sí:... m... m : : : :... m L mtriz terior tmié se puee eotr por ( ) m El elemeto ij es el que oup l fil i
Utilizando la fórmula que nos proporciona el número de divisores se tiene que:
Hoj de Prolems º Alger IV /. Hllr u úmero etero A que o teg ms ftores primos que, y 7, siedo demás que ª tiee divisores más que A y que ª tiee divisores ms que A. Clulr tmié l sum de todos los divisores
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TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES:
TEM: MTRICES Y DETERMINNTES: MTRICES: U triz de diesió, es u tbl ford por fils y colus. j i siedo ij,.,,., ) ( Por ejeplo: Se ll Mtriz Fil l que tiee u sol fil, ejeplo: Se ll Mtriz Colu l que tiee u sol
1.- Clausura ó cerradura:
8 Sigos: Ddos, lr etoes El Sistem [ ( < de 0 Números 0 < Reles ) (0 < < 0) ] < 0 [ (0 < 0 < ) ( < 0 < 0) ] 0 < 9- Trsitiv:,, lr, < y < se tiee < 0- Mootoí de l sum: < y lr etoes < - Mootoí del produto:,,
RADICALES. 1.2.1 Teorema fundamental de la radicación. 1.2.3 Reducción de radicales a índice común. 1.2.4 Potenciación de exponente fraccionario
RDICLES. Rdiles. Trsformioes de rdiles.. Teorem fudmetl de l rdiió.. Simplifiió de rdiles.. Reduió de rdiles ídie omú.. Poteiió de epoete friorio. Operioes o rdiles.. Produto de rdiles.... Etrió de ftores
DETERMINANTES. A toda matriz cuadrada se le puede hacer corresponder un número (determinante) cuyo cálculo se puede hacer de las siguientes maneras:
TEM Deeries DETERMINNTES. DEFINICIÓN. od ri udrd se le uede her orresoder u úero (deerie uo álulo se uede her de ls siguiees ers:.. DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN. de Es deir es el roduo de los eleeos de
Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado
Determinntes hillerto º Determinntes Introduión: Los determinntes histórimente son nteriores ls mtries, pero por el uge de éstos hn queddo relegdos un º plno. El uso de los determinntes nos permitirá:
TP: "POTENCIACIÓN" exponente. "n" veces a. Definición conveniente: Todo número real distinto de cero elevado a la cero da 1(uno) En símbolos: a 0: a
TP: "POTENCIACIÓN" Defiiió Ddo u ierto úmero rel, llmremos "potei eésim de " l produto de por sí mismo u tidd de vees; siedo u úmero turl. E símolos: se expoete........ p POTENCIA ENÉSIMA de Ej:.. "" vees
I.E.S Padre Juan Ruíz Aritmética Hinojosa del Duque
I.E.S Pdre Ju Ruíz Aritméti Hiojos del Duque PROPIEDADES DE LA ARITMÉTICA Y ERRORES MÁS COMUNES NÚMEROS ENTEROS Elimir prétesis: Del mismo sigo, sle + De distito sigo, sle + (+) = + ( ) = + + ( ) = (+)
EJERCICIOS DE POTENCIAS Y LOGARITMOS. 1.- Calcula, mediante la aplicación de la definición, el valor de los siguientes logaritmos: log
EJERCICIOS DE POTECIAS Y LOGARITMOS - Clul, medinte l pliión de l definiión, el vlor de los siguientes ritmos: ) ) 79 ) 09 e) f) g) h) - Clul, medinte l pliión de l definiión, el vlor de los siguientes
TP: "POTENCIACIÓN" exponente. "n" veces a. Definición conveniente: Todo número real distinto de cero elevado a la cero da 1(uno) En símbolos: a 0 : a
TP: "POTENCIACIÓN" Defiiió Ddo u ierto úmero rel, llmremos "potei eésim de " l produto de por sí mismo u tidd de vees; siedo u úmero turl. E símolos: se expoete........ p POTENCIA ENÉSIMA de Ej:.. 8 ""
( ) ( ) El principio de inducción
El priipio e iuió U ejemplo seillo pr empezr Si hemos oío hlr e progresioes ritmétis (series e úmeros e form que l iferei etre os oseutivos es siempre l mism, omo,,, 0,) prolemete o será fáil lulr l sum
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES
Mtemátis Álger e mtries José Mrí Mrtínez Meino PROLEMS DE ÁLGER DE MTRCES Oservión: L myorí e estos ejeriios proeen e ls prues e Seletivi D l mtriz enuentr tos ls mtries P tles que P P Soluión: Se ese
MATEMÁTICAS 2º DE ESO LOE
MATEMÁTICAS º DE ESO LOE TEMA II: FRACCIONES Los sigifios e u frió. Frioes propis e impropis. Equivlei e frioes. Amplifiió y simplifiió. Frió irreuile. Reuió e frioes omú eomior. Comprió e frioes. Operioes
Determinantes D - 1 DETERMINANTES
Determinntes D - DETERMINNTES Determinnte e un mtri ur e oren os Definiión: D un mtri ur e oren os numero rel: Det (), se llm eterminnte e l El eterminnte e un mtri ur e oren os es igul l routo e los elementos
Sistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a:
ALGEBRA Sistems de Euiones lineles Disusión on prámetros Disutir el siguiente sistem de euiones lineles según el vlor del prámetro : + ( + ) = + = + = Interpretión: Del enunido se dedue que se trt de un
Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos
CIICp VLORES Y VECTORES PROPIOS Los vlores y vectores propios se cooce tmié como eigevlores y eigevectores. Estos vlores y vectores propios se utiliz geerlmete e sistems lieles de ecucioes homogéeos que
TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Profesor: Rf Gozález Jiméez Istituto St Eulli TEM 2: SISTEMS DE ECUCIONES LINELES ÍNDICE 2..- Sistems de Ecucioes Lieles. Geerliddes. 2.2.- Sistems equivletes. 2.3.- Resolució de S.E.L. por mtriz ivers.
ALGEBRA. 1. Si A y B son matrices cuadradas de orden n, se cumple la relación (A-B) 2 = A 2-2AB+B 2?
ejeriiosemenes.om. Si A B son mtries udrds de orden n, se umple l relión (AB) A ABB?. Siendo que d e f. Hllr el vlor de: g h i ( e) i h g d g i d f ) (d e) f i e h ) h e ) h/ / e/ e i h i f i f. Enuni
MATRICES Y DETERMINANTES
Drio Estudio C/ Grn Ví, 8 Mdrid, Espñ T: () 9 98 E: info@drioestudio.es www.drioestudio.es. Dds ls tries A y B, lulr: ) A B ) A t B t. Dds ls tries A, B, C y D, relizr todos los produtos que sen posiles..
( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m
Igreso Potecició e R: Ddo u úmero rel, que le llmremos bse y u umero turl, l que le llmremos epoete. defiimos: =.... Propieddes de l potecició: veces ( epoete) Ests propieddes se eplic mejor si se etiede
9 Proieddes del roducto de úmeros or mtrices: b y M m. socitiv: b b Distributiv e : b b Distributiv e M m : Elemeto eutro: =.. Producto de mtrices Pr
. OPERIONES ON MRIES.. Sum de mtrices Pr oder sumr dos mtrices ésts debe teer l mism dimesió. Etoces se sum térmio térmio: b b m m m Proieddes de l sum de mtrices: socitiv: omuttiv: Elemeto eutro: L mtriz
POTENCIA DE UN NÚMERO.
INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS Resoluió Nº de oviere./0 Seretri De Eduió Distritl REGISTRO DANE Nº00-00099 Teléfoo Brrio Bstids St Mrt DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS DOCENTE: LIC-ING.
Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta que., siendo D(4, 0, -1) y T(2, -3, 1).
Vetores Cooreos Ilustrió 38 Determie ls euioes vetoril prmétris y simétris e l ret que ps por el puto A- 3 y es prlel l vetor DT sieo D4 0 - y T -3. Soluió Desigemos est ret por L A DT Se Px y z tl que
Sucesiones de Números Reales
Apédice A Sucesioes de Números Reles A.. Defiicioes U sucesió de úmeros reles es u correspodeci A que soci, cd úmero turl, u úmero rel A ( ) El cojuto de los úmeros turles, cotiee ifiitos elemetos e u
RADICALES. Entre los números reales se encuentran los radicales, que se pueden expresar como raíz de un índice n 2 de un número real.
RADICALES Etre los úeros reles se euetr los rdiles, ue se uede exresr oo ríz de u ídie de u úero rel. Ríz eési de u úero rel. Si R y Ν, o, direos ue l ríz eési de es u úero rel r y lo otreos sí: r, si
MATRICES Y DETERMINANTES.
punes de. Cbñó MTRICES Y DETERMINNTES. CONTENIDOS: Definición y erminologí básic. Operciones con mrices: sum y produco. Produco de un mriz por un esclr. Mriz opues. Mriz invers. Epresión mricil de un sisem
Electrónica Básica. Álgebra de Boole. Electrónica Digital. José Ramón Sendra Sendra Dpto. de Ingeniería Electrónica y Automática ULPGC
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el blog de mate de aida. NÚMEROS REALES 4º ESO pág. 1 NÚMEROS REALES
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Supertriangular Subtriangular Diagonal Unidad
MT. EMPRESRILES TE RESOLVEMOS LS PRIMERS DUDS L eorí de mrices es l que v porr l form operiv de resolver u iumerle cidd de ejercicios de Álger. Por odo lo que supoe eso, os vmos proporcior los coocimieos
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NÚMEROS REALES Clasificación. Acerca de las operaciones
NÚMEROS REALES Clsifiió Aer de ls oerioes - Prioridd. Prétesis de detro fuer.. Poteis y ríes.. Multiliioes y divisioes de izquierd dereh. Sums y rets, de izquierd dereh o ositivos or u ldo y egtivos or
TERCER PERÍODO 2015 CASO I: CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN
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NÚMEROS NATURALES. DIVISIBILIDAD
NÚMEROS NATURALES. DIVISIBILIDAD NÚMEROS NATURALES Los úeros turles so los que sirve pr otr: 1,,, So ifiitos y for u ojuto que se deoi N. Está ordedos, lo que os perite represetrlos sore u ret uyo orige
Determinantes: un apunte teórico-práctico
Deterinntes: un punte teório-prátio Definiión d triz udrd se le soi un núero denoindo deterinnte de. El deterinnte de se denot por o por det(). Cálulo de deterinntes Pr un triz de x el deterinnte es sipleente
1) CONCEPTOS 2) MONOMIOS TEMA : EXPRESIONES ALGEBRAICAS
TEMA EXPRESIONES ALGEBRAICAS CONCEPTOS U EXPRESIÓN ALGEBRAICA es el ojuto e úmeros letrs que se omi o los sigos e ls operioes mtemátis sum, rest, multipliió, ivisió poteiió. Ejemplo El VALOR NUMÉRICO e
lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.
Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..
TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes
3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p
IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Mtrices deterinntes. Ejercicios de Selectividd. º.- Junio 99. i) Define rngo de un triz. ii) Un triz de tres fils tres coluns tiene rngo
Sucesiones de números reales
Apédice A Sucesioes de úmeros reles Ejercicios resueltos. Está l sucesió de térmio geerl U cot iferior es pues 5 cotd? 5 5 4 4 lo cul se cumple culquier que se el úmero turl. U cot superior es pues 5 5
SELECTIVIDAD: MATRICES. B y
SELETIVIDD: MTRIES EJERIIO. ) Sen dos ries udrds del iso orden que ienen invers. Ron si su produo iene invers. ) Dds ls ries - D, Deerin si D iene invers, en ese so, hálll. EJERIIO. onsider ls ries,. )
CUESTIONES RESUELTAS 1. VECTORES Y MATRICES FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS. 1º GRADO GESTIÓN AERONAÚTICA
CUESTIONES RESUELTS. VECTORES Y MTRICES FUNDMENTOS DE MTEMÁTICS. º GRDO GESTIÓN ERONÚTIC. Se el onjunto e vetores } tl que entones se verifi:. El onjunto M es linelmente inepeniente.. El onjunto M tiene
, donde a y b son números cualesquiera.
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Transformaciones lineales
Trsformcioes lieles [Versió prelimir] Prof. Isbel Arrti Z. 1 Se V y W espcios vectoriles sobre el cuerpo R de los úmeros reles. U trsformció liel o plicció liel de V e W es u fució T : V W que stisfce:
1.4 SERIES NUMÉRICAS.SUMA DE SERIES. (46 Problemas ) sabiendo que n
. SERIES NUMÉRICAS.SUMA DE SERIES. (6 Problems.- Estudir el crácter de ls series:! 0 b + si >0, segú vlores de. 0.- Clculr cos α sbiedo que x x e 0! 0! 3.- Estudir l serie de térmio geerl. π se.- Cosidermos
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III. PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES:. PRODUCTOS NOTABLES: so iertos produtos que uple regls fijs uo resultdo puede ser esrito por siple ispeió, es deir, si verifir l ultipliió... CUADRADO DE LA SUMA DE
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Unidd.Determinntes TEM. DETERMINNTES.. Coneptos previos, permutiones. Definiión generl de determinntes. Determinnte de mtries de orden y orden... Determinnte mtries udrds de orden.. Determinnte mtries
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SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Sucesioes de úmeros reles Se llm sucesió de úmeros reles u plicció del cojuto N * (cojuto de todos los úmeros turles excluido el cero) e el cojuto R de los úmeros reles. N
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INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Ls tutorís correspode los espcios cdémicos e los que el estudite del Politécico Los Alpes puede profudizr y reforzr sus coocimietos e diferetes tems de cr l eme de dmisió de l
Potencias y radicales
Potecis y rdicles Ojetivos E est quice prederás : Clculr y operr co potecis de epoete etero. Recoocer ls prtes de u rdicl y su sigificdo. Oteer rdicles equivletes uo ddo. Epresr u rdicl como poteci de
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTES DE ECUCINES INEES Ecucioes lieles. Se llm ecució liel co icógits tod ecució que pued escriirse de l form: dode so vriles y... so úmeros reles siedo i el coeficiete de l vrile i y el térmio idepediete
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: TEOREMA DE ROUCHÉ- FROBENIUS
R.F.- - SISTES DE ECUCIONES INEES: TEORE DE ROUCHÉ- FROBENIUS Recordeos que u siste de ecucioes co icógits es u siste de l for: Dode: ij so úeros reles se ll coeficietes del siste,,,, so úeros reles recie
SESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I
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SOLUCIONES DE SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES Curso SOLUCIONES DE SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES Curso 03-04
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5. Repaso de matrices. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)
. epso de trices he Mdoz, VEGP, Mdrid ) Mtrices Eleeto: ij Tño: Mtriz cudrd: orde ) Eleetos de l digol: Vector colu triz ) Vector fil triz ) ) 8, B ) 8) B Su: ij k k k k k k k k k k k ) Multiplicció por
CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Matrices y determinantes 1
RISTIN ROND HERNÁNDEZ Mries deerminnes OLEGIO SN LERTO MGNO MTEMÁTIS II MTRIES Y DETERMINNTES. 8 MODELO OPIÓN Ejeriio. [ 5 punos] Dds ls mries lul l mriz P que verifi P = T ( T es l mriz rnspues de )..
Progresiones aritméticas y geométricas
Progresioes ritmétics y geométrics Progresioes ritmétics y geométrics. Esquem de l uidd PROGRESIONES Progresioes Aritmétics Progresioes Geométrics Iterés compuesto Sum de térmios Sum de térmios Producto
Tema 1. Matrices. tiene dimensión 3 2: 3 filas; 2 columnas. El elemento a 21
Memáis plids ls Cieis Soiles Álger: Mries Defiiió de mriz Tem Mries U mriz de dimesió m es u ojuo de úmeros dispuesos e fils y m olums sí: m m : : : : m L mriz erior mié se puede deor por ( ij ) m El elemeo
TEMA 8: SUCESIONES DE NÚMEROS. PROGRESIONES. a 1, a 2, a 3,, a n
TEMA 8: UCEIONE DE NÚMERO. PROGREIONE.- UCEIONE DE NÚMERO RACIONALE: U sucesió es u cojuto ordedo de úmeros reles:,,,, - Los úmeros turles se llm ídices. El subídice idic el lugr que el térmio ocup e l
TEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1
TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz
1. ESTIMACIÓN DE RADICALES Llamaremos estimar una raíz a dar una aproximación de ella. Por ejemplo, Raíz de 178 aproximadamente es 13 4.
Amplició potecis y rdicles º ESO Curso 06_07. ESTIMACIÓN DE RADICALES Llmremos estimr u ríz dr u proimció de ell. or ejemplo, 78. Ríz de 78 proimdmete es.. RADICALES EN FORMA DE OTENCIA El vlor de u ríz
3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:
PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:
TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES
TEM VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES VECTORES Y MTRICES MTRICES: OPERCIONES ELEMENTLES Cocepo de riz Eleeos Tipos de rices Su y difereci de rices Produco de u úero por u riz Trsposició
a 1. x 1 + a 2 x a n.x n =
TEMA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Mteátics II º Bchillerto TEMA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ECUACIÓN LINEAL.. DEINICIÓN: U ecució liel es u ecució polióic de grdo uo co u o vris icógits:.. coeficietes
1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS.
.. BREVE REPASO DE LOGARITMOS. Sistems de ritmos. Si ulquier número positivo puede tomrse omo Bse, eiste infinito número de sistems de logritmos, pero trdiionlmente, solo se utilizn dos sistems: o ritmos
Unidad didáctica 3 Las potencias
Uidd didáctic Ls potecis 1.- Qué es u poteci? U poteci, es u producto de fctores igules que se repite vris veces. veces El fctor que se repite se llm bse,. El úmero de veces que se repite l bse es el expoete,.
POTENCIA DE UN NÚMERO NATURAL. a, es igual al producto de n veces el número Natural
LICEO DE CERVANTES PP. AGUSTINOS BOGOTÁ ÁREA DE MATEMÁTICAS ASIGNATURA: Mtemátics DOCENTE: Elky F. Ortiz GRADO: QUINTO FECHA: CALIFICACIÓN DESCRIPCIÓN: Guí - Tller de potecició, Rdicció y logritmció. ESTUDIANTE:
MATEMÁTICAS LOS NÚMEROS REALES 4º DE ESO
MATEMÁTICAS LOS NÚMEROS REALES º DE ESO 1. Núeros reles Clsifiió de los úeros reles Frió geertriz de u úero deil Reresetió de úeros rioles e l ret rel Aroxiioes Itervlos. Ríes y oteis Proieddes de ls oteis
ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
UNIDAD ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd resolverás ejeriios y prolems que involuren l soluión de euiones de primer grdo y de segundo grdo Ojetivo.
Ejercicios Resueltos T.P. Nº 4: SERIE DE FOURIER
Ejeriios Resuelos P Nº 4: SERIE DE FOURIER Ejeriio L señl dd es x( Se pide lulr los oefiiees de l Serie rigooméri de Fourier, es deir,, b y Como l señl o iee igú ipo de simerí, ls iegrles pr hllr los oefiiees
MATRICES. Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn
Mtrices MATRICES. DEFINICIÓN. Un mtriz A de m fils y n columns es un serie ordend de m n números ij, i,,m; j,,...n, dispuestos en fils y columns, tl como se indic continución:... n... n A........... m
POTENCIAS.- a determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces.
POTENCIAS.- determi l oteci de se y exoete, sigific ue hemos de multilicr or si mismo veces. Defiició: L otció Bse Exoet El exoete,, idic ls veces ue se reite l se e el roducto de ést or si mism. L se,,
FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x)
FÓRMULA DE TAYLOR. Itroducció Los poliomios igur etre ls ucioes más secills que se estudi e Aálisis. So decuds pr trjr e cálculos uméricos por que sus vlores se puede oteer eectudo u úmero iito de multipliccioes
4. En los axiomas A3) y A4) observe detenidamente la posición de los cuantificadores existencial y universal, y obtenga conclusiones.
Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Udd Nº : MTRICES-DETERMINNTES Defó INTRODUCCIÓN ESTRUCTURS LGEBRICS de GRUPO y de CUERPO Se G y se * u operó e G. El pr ( G ) es u grupo s y sólo s: ) * es u ley de omposó
se llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.
Euiones e ineuiones de Primer Grdo on un inógnit Se P () un euión polinómi, on P() un polinomio, resolver l mism es enontrr los eros o ríes de P(), es deir, los vlores de que nuln diho polinomio. X se