Matrices bandadas Cálculo de la inversa y determinante Normas vectoriales y matriciales

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1 Clase No. 8: MAT 251 Matrices bandadas Cálculo de la inversa y determinante Normas vectoriales y matriciales Dr. Alonso Ramírez Manzanares CIMAT A.C. alram@ cimat.mx web: alram/met_num/ Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C. joaquin@ cimat.mx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

2 Matrices bandadas Una matriz n n se dice que es bandada si existen p, q N y 1 < p, q, < n, tales que a ij = 0 si p j i o q i j. El ancho de banda es w = p + q + 1. Si p = q, entonces la condición es p i j. c( 1, 6) Si p = q = 1, la matriz 1 0es tridiagonal c( 1, 6) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

3 Matrices tridiagonales Consideremos el sistema donde A R n tal que es decir, es tridiagonal. Ax = d b 1 c a 2 b 2 c a 3 b A = , b n 2 c n a n 1 b n 1 c n a n b n El algoritmo de solución es un caso particular de eliminación Gaussiana. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

4 Solución del sistema tridiagonal (I) Tenemos que b 1 x 1 + c 1 x 2 = d 1, a i x i 1 + b i x i + c i x i+1 = d i, i = 2,..., n 1 a n x n 1 + b n x n = d n De las dos primeras ecuaciones b 1 ( a 2 x 1 +b 2 x 2 +c 2 x 3 ) = b 1 d 2 a 2 ( b 1 x 1 +c 1 x 2 ) = a 2 d 1 (b 1 b 2 a 2 c 1 )x 2 +b 1 c 2 x 3 = b 1 d 2 a 2 d 1 Si b2 = b 1 b 2 a 2 c 1, c 2 = b 1 c 2, d2 = b 1 d 2 a 2 d 1, b 2 x 2 + c 2 x 3 = d 2. Con esto eliminamos x 1. Continuamos de esta forma. Supongamos que ya hemos reducido las ecuaciones para i = 2,..., k, de modo que tenemos Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

5 Solución del sistema tridiagonal (II) b i x i + c i x i+1 = d i. Entonces para i = k + 1 < n, tenemos b k ( a k+1 x k +b k+1 x k+1 +c k+1 x k+2 ) = bk d k+1 a k+1 ( bk x k + c k x k+1 ) = a k+1 dk ( b k b k+1 a k+1 c k )x k+1 + b k c k+1 x k+2 = b k d k+1 a k+1 dk Si ā 1 = 0, b1 = b 1, c 1 = c 1, d1 = d 1, b i x i + c i x i+1 = d i i = 2,..., n 1 b i = b i 1 b i a i c i 1 c i = b i 1 c i d i = b i 1 d i a i di 1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

6 Solución del sistema tridiagonal (III) Finalmente, para i = n, b n 1 ( a n x n 1 +b n x n ) = bn 1 d n a n ( bn 1 x n 1 + c n 1 x n ) = a n dn 1 ( b n 1 b n a n c n 1 )x n = b n 1 d n a n dn 1 Si definimos bn = b n 1 b n a n c n 1, dn = b n 1 d n a n dn 1. d n x n = b n x i = d i c i x i+1 b i i = n 1,..., 1 b i = b i 1 b i a i c i 1 c i = b i 1 c i d i = b i 1 d i a i di 1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

7 Una condición suficiente La hipótesis de que podemos dividir entre b i es esencial. Una condición suficiente es que la matriz sea diagonal dominante, es decir, b 1 c 1, b n a n, b i a i + c i i = 1, 2,..., n, y que además se cumpla a i, c i = 0. Esto garantiza que b i = 0: Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

8 Una condición suficiente La hipótesis de que podemos dividir entre b i es esencial. Una condición suficiente es que la matriz sea diagonal dominante, es decir, b 1 c 1, b n a n, b i a i + c i i = 1, 2,..., n, y que además se cumpla a i, c i = 0. Esto garantiza que b i = 0: Tenemos que b 1 = b 1 c 1 = c 1 > 0. Supongamos que b i c i > 0 para i = 1,..., k < n. Entonces b k+1 = b k b k+1 a k+1 c k b k b k+1 a k+1 c k b k ( a k+1 + c k+1 ) a k+1 c k = a k+1 ( b k c k ) + b k c k+1 b k c k+1 > 0 Como b k c k+1 = c k+1, se tiene que b k+1 c k+1 > 0. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

9 Cálculo del determinante de la matriz Supongamos que tenemos una matriz A de tamaño n y su factorización LU: A = LU. Entonces por propiedades del determinante det A = det(lu) = det L det U. Como las matrices L y U son triangulares, su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal. Además, para la factorización de Doolittle, se debe tener que det L = 1, por lo que det A = det U = n u ii. i=1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

10 Cálculo de la inversa de la matriz Supongamos que tenemos una matriz A de tamaño n y su factorización LU: A = LU. Sea x i el vector solución del sistema lineal Ax i = LUx i = e i. para i = 1,..., n, donde e i es el i esimo vector canónico. Si X = [ x 1 x n ], entonces AX = [ Ax 1 Ax n ] = [ e 1 e n ] = I. Esto es, X es la inversa de A. Así, si tenemos la factorización LU de matriz, solo tenemos que resolver n sistemas de ecuaciones lineales para obtener las columnas de la matriz inversa. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

11 Normas para vectores Definición de norma vectorial Una norma en R n es una función : R n R que tiene las propiedades: 1 x 0 x R n, 2 x = 0 si y sólo si x = 0, 3 αx = α x x R n, α R, 4 x + y x + y x, y R n. Ejemplos: Para x = (x 1, x 2,..., x n ) x 2 = n x 2 i (Norma 2) i=1 n x 1 = x i (Norma 1) i=1 x = max 1 i n x i (Norma infinito) Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

12 Normas para vectores En general, para p 1, la norma p del vector x = (x 1,..., x n ) es x p = x 1 p + + x n p 1/p. Además, x = max 1 x i n x i Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

13 Normas para matrices (I) Definición de norma matricial Una norma en R n n es una función : R n n R que tiene las propiedades para todo A, B R n n y α R: 1 A 0 y A = 0 si y sólo si A = 0, 2 αa = α A, 3 A + B A + B, Ejemplos: Para A = [a ij ], n 1/2 n Norma de Frobenius : A F = a 2 ij i=1 j=1 Norma natural inducida por la norma vectorial : Ax A = sup x =0 x Esta norma tiene algunas propiedades Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

14 Normas para matrices (II) I = 1. Ax A x. AB A B. Otra alternativa para definir la norma natural es A = sup Ax = max Ax. x =1 x =1 Se puede ver que las normas naturales inducidas por las normas vectoriales l 1 y l son Norma infinito: Norma 1: n A = max a ij 1 i n j=1 n A 1 = max a ij 1 j n i=1 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

15 Normas para matrices (III) Definición Sean ln, lm y mn normas en R l n, R l m y R m n. Se dice que esas normas son consistentes si AB ln A lm B mn para todo A R l m y B R m n. Definición Sea α una norma en C m, β una norma en C n y una norma matricial en C m n. Se dice que es una norma subordinada a las normas α y β si Ax α A x β A C m n, x C n. Por lo anterior, se ve que las normas naturales son subordinadas y consistentes. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

16 Normas para matrices (IV) Proposición Si el producto AB está definido, entonces AB F A F B F. Se puede ver que la norma del máximo no es consistente: A max = max a i,j. i,j A = 1 1, 1 1 AA max = 2 2 = 2 > 1 1 = A 2 2 max A max max Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16

17 Aplicación de las normas matriciales (I) Tenemos que para x R, k=0 x k = 1, x < 1. 1 x La versión para matrices es la siguiente. Proposición Sea F una matriz en R n n tal que F < 1 y norma matricial consistente. Si I es la matriz identidad, entonces I F es no singular y Además, (I F) 1 = F k. k=0 (I F) F Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16