LA FUNCIÓ EXPONENCIAL I LA FUNCIÓ LOGARÍTMICA. FUNCIONS DEFINIDES A TROSSOS. Funció exponencial

Transcripción

1 LA FUNCIÓ EXPONENCIAL I LA FUNCIÓ LOGARÍTMICA. FUNCIONS DEFINIDES A TROSSOS. Funció eponencial La funció eponencial és de la forma f () = a, on a > 0, a 1 El valor a s anomena base de la funció eponencial. Propietats: El domini és R. El recorregut és ] 0,+ [ La funció és contínua en R. f (0) = 1 Si f () = f(y), aleshores = y, y = 1' y és a dir, si a = a, aleshores = y f () f(y) = f( + y) Si a > 1 la funció és creient Si 0 < a < 1 la funció és decreient y = y = 0. Les gràfiques de les funcions f () = a, d ordenades OY g() y = 0. 1 són simètriques respecte de l ei a y = 1

2 Eercici 1: Estudieu i representeu la funció f () =. És una funció eponencial de base a = El seu domini és R El recorregut és ] 0,+ [ És una funció creient. La funció és contínua en R Construïm una taula de valors de la funció:, 1, 1 0, 0 0, 1 1,, y 0,01 0,06 0,1 0, 0, Eercici : Resoleu l equació eponencial: 1 = 79 Intentarem que les dues parts de l equació siguen dues potències de la mateia base: 6 79 = 1 6 = Igualant els eponents: 1 = 6 Resolent l equació = 7 Nota: per resoldre equacions on no podrem obtenir a les dues parts de la igualtat potències de la mateia base, s aplicaran logaritmes. Per eemple = Eercici : Resoleu l equació eponencial: + 1 = Per resoldre aquest tipus d equacions utilitzarem incògnites auiliars: Efectuen el canvi y = Aleshores: ( ) = y + 1 =, = = y L equació inicial es transformaria en la següent: y y y = Resolem l equació de segon grau: y y = 0, ± ± 196 ± 1 y = = =, y = 9, y = Desfem el canvi: y = = 9, aleshores =, igualant eponents, = y = =, l equació = no té solució, la funció eponencial sempre és positiva.

3 Eercicis proposats: 1. Amb ajut de la calculadora, efectueu les següents operacions: 1/ 7 a) = d) ' = / b) = e) = 1' c) = f) = g) π = h) π = i) + =. La calculadora té dues funcions eponencials 10 e Amb ajut de la calculadora, efectueu les següents operacions: 1' a) 10 = ' 6 b) 10 = c) 10 / = d) 7/ 10 = e) = f) 10 = g) ' e = 6 h) e 1' = i) e / = j) / e = k) e = l) e =. Estudieu i representeu les següents funcions: a) f () = b) g () = c) h() d) m () = ' e) n() 1 f) g) h) p() q() r() 1. Estudieu i representeu les següents funcions: a) f () = 10 b) g () = e c) h() = 10 d) m() = e e) n() = 10 f) p() = e g) q () = 01' h) r () = 100. La majoria de les bactèries es reprodueien per bipartició, és a dir, una cèl lula mare es dividei en dues cèl lules filles. Suposem que un tipus de bactèries necessita 1 hora per duplicar-se. Completeu la taula següent. Definiu la funció i representeu-la gràficament. (hores) Y(bactèries)

4 6. La pressió atmosfèrica varia segons l altura amb la següent fórmula P () = 0'9, on és l altura en quilòmetres i P() la pressió atmosfèrica en atmosferes. Representeu la funció. 7. Donada la funció f () = Sense fer taula de valors dibuieu les funcions: g() = + h() = m() = n() = Donada la funció f() Sense fer taula de valors dibuieu les funcions: g() 1 h() 1 m() n() + + 1

5 9. Resoleu les següents equacions: a) = 7 b) + = c) = 10 d) + 1 = 1 e) 81 f) 1 1 = 9 g) = 1 h) 7 = 9 1 i) = j) + + = k) = l) + = m) = n) + = o) = + + p) + = q) = + r) 9 7 = 9 La funció logarítmica Siga a > 0, a 1 Definim logaritme base a de i ho representem log a al valor y log a = y tal que: a y =, és a dir, l operació inversa de l eponencial. Eercici : Calculeu log 8, log, log log 8 = y, y y = 8, =, per tant, y =. Aleshores, log 8 = log = y, 81 1 y y =, =, per tant, y =. Aleshores log = y log y / 7 9 = y, 7 = 9, 7 = 7, per tant, y =. Aleshores log 9 7 = Funció logarítmica: A la funció f() = loga, on a > 0, a 1 s anomena funció logarítmica Propietats del logaritmes i la funció logarítmica El domini de la funció logarítmica és ] 0,+ [ El recorregut de la funció logarítmica és R. La funció és contínua en ] 0,+ [ Si loga = loga y, aleshores, = y log a 1 = 0 p loga a = p log ( y) = log log y a a + a y = log

6 loga = loga loga y y p log = p log a log loga = log b b a a La funció f() = loga, i la funció g () = a són inverses, per tant són simètriques respecte de la recta y = y = y = y = log Si a > 1 la funció és creient Si 0 < a < 1 la funció és decreient y = log1' y = log0' Les funcions f() = loga, g() = log1/ a són simètriques respecte de l ei d abscisses OX y = log y = log0' 6

7 Ús de la calculadora. La calculadora té dues funcions logarítmiques: log que són els logaritmes decimals o de base 10. Escriurem log = log10 ln que són els logaritmes neperians o de base e. Escriurem ln = loge Calculeu: log, ln Amb calculadores antigues: Per calcular log log Per calcular ln ln Amb calculadores modernes: Per calcular log log = Per calcular ln ln = Eercici : Amb ajut de la calculadora efectueu les següents operacions: log, log. Les calculadores només tenen logaritmes decimals i neperians. Per poder calcular logaritmes d altres bases efectuarem el canvi de base: log log = = = 1.80 log ln log = = = ln Eercici 6: Estudieu i representeu la funció y = log És una funció logarítmica de base. El domini de la funció logarítmica és ] 0,+ [ El recorregut de la funció logarítmica és R. La funció és contínua en ] 0,+ [ És una funció creient. Amb ajut de la calculadora construïm una taula de valors: 0, 0, 1 1,,,, y 1 0 0,8 1 1, 1,8 1,81,17 Eercici 7: Resoleu l equació eponencial = no es pot posar com potència de base, aleshores traurem logaritmes decimals a les dues parts de la igualtat: log = log Apliquem la propietat del logaritme d una potència: log = log Aïllem la incògnita log log =, amb ajut de la calculadora podem aproimar el resultat: =. 19 log log 7

8 Eercicis proposats: 10. Sense utilitzar calculadora efectueu les següents operacions: a) log = g) log b) log 9 79 = = 8 c) log 1000 = h) log d) log 1 = = 1 e) log = f) log 16 = i) log = j) log 0'001 = k) log 1 / = l) log 7 = m) log = n) log 1 = 11. Amb ajut de la calculadora efectueu les operacions de l eercici anterior: 1. Representeu les funcions següents: a) f () = log b) g () = ln c) () = log h 1' d) () = log m e) n() = log0' f) () = log p 0' 1. donada la funció f() = log Sense fer taula de valors dibuieu les funcions: () = + log g h() = 1+ log m() = log ( + ) f() = log( ) 8

9 Funcions definides a trossos. Hem estudiat funcions definides per una sola epressió algebraica per a tot el seu domini, però també podem trobar una funció definida per intervals, (també anomenades funcions definides a trossos), per eemple: Eercici 8: Representeu la funció: + si f () = si < 1 si > 1 Aquesta funció està definida en trams, per a cadascun d aquests trams construirem una taula: f () = + quan. f () = quan < 1. f() = quan > 1 f() f() f() Per a cadascun dels trams representarem un tros de gràfica: Noteu que si l interval és obert en un etrem es simbolitza posant un punt en blanc (o), Si l interval és tancat en un etrem es simbolitza posant un punt en negre ( ) La gràfica de la funció és: 9

10 Eercicis proposats 1. Representeu les següents funcions. a) f () + = si si 1 > 1 d) k () + 6 = si < si b) g () + = + 6 si 1 si > 1 e) + () = 1 m si 0 si > 0 c) h () + = si si > f) () = n < Representeu les següents funcions: a) p() = si si < < si b) c) + 1 q() = + r() = + si < 1 si 1 si > si si si < si < < Estudieu gràficament les següents funcions: Definiu les funcions següents a trossos. a) a () = b) b () = + c) c() = d) d () = + e) e() = 9 f) f() = 10