ECUACIONES MATRICIALES. Docente: Sergio Andrés Nieto Duarte

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "ECUACIONES MATRICIALES. Docente: Sergio Andrés Nieto Duarte"

Transcripción

1 ECUACIONES MATRICIALES Docente: Sergio Andrés Nieto Duarte En sesiones anteriores se ha discutido sobre las operaciones básicas con matrices, sin embargo, la división matricial no fue abordada de una manera oficial. Por lo tanto, antes de examinar el tema referente a las ecuaciones matriciales, será necesario ver que de hecho la división matricial es algo que ya aprendimos de forma indirecta; para entenderlo mejor, hay que recordar el concepto básico desde el punto de vista operativo con números Reales: Dividir puede considerarse como multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Cabe recordar, que el inverso multiplicativo de un número Real, es aquel valor que al multiplicarse por dicho número genera como resultado al módulo de la multiplicación (en otras palabras, el número 1). Esto es, sean los números reales a, b y c, tenemos: Para los número Reales el cálculo de un inverso multiplicativo es muy sencillo, basta con dividir la unidad (1) sobre el valor al cual deseamos invertir, por ejemplo: si deseamos el inverso multiplicativo del número 3 tenemos que este es 1/3 (porque ). Por lo tanto, para la propiedad que vimos anteriormente podríamos inducir que multiplicativo de b), si miramos de nuevo la propiedad tenemos: (Otra forma de escribir la división entre a y b) (dado que c es el inverso No obstante, con las matrices la cuestión no es tan simple, dado que, la operación de producto matricial tiene una forma tan peculiar que implica multiplicar los elementos entre filas y columnas de dos matrices, así como también realizar unas sumas específicas con esos productos para calcular la matriz resultante. Sin embargo, existe algo que llamamos la matriz inversa, este nombre no es algo aleatorio puesto que, si lo analizamos más profundamente hacemos referencia a un inverso multiplicativo, pues como vimos previamente: Hay que recordar también que la matriz Identidad es en realidad el modulo del producto matricial (si se multiplica una matriz por una Identidad se obtiene como resultado a esa misma Matriz, tal como se obtiene, al multiplicar por 1 a cualquier número Real). Por lo tanto, se podría decir que, para realizar división matricial lo que debe hacerse es multiplicar por una matriz inversa, por ejemplo: si deseamos realizar la división entre las matrices A y B deberíamos invertir al divisor (B) y multiplicar dicho resultado con el dividendo A, esto sería:

2 Ahora bien, teniendo en cuenta las correspondientes restricciones al momento de evaluar la factibilidad de dicha operación (B debe ser una matriz invertible y su número de filas debe ser igual al número de columnas de A). Ahora, ya que se conoce una forma más oficial para realizar las cuatro operaciones básicas con matrices, se puede entender de manera más clara el proceso de trabajo con ecuaciones matriciales. Una ecuación matricial es una igualdad propuesta con matrices en donde se tiene alguna matriz cuyos elementos son desconocidos y están representados por incógnitas, por ejemplo suponga: En esta expresión encontramos una igualdad entre matrices, pero en una de esas matrices los elementos no son conocidos. Para poder encontrar los valores que satisfagan la igualdad propuesta en la expresión será necesario realizar un proceso conocido como despeje -tal como sucede en las ecuaciones con número Reales- suponga una ecuación similar con números Reales para entenderlo mejor: La anterior, es una ecuación muy sencilla de resolver, si se desea encontrar el valor de la variable x bastaría con analizar el orden de las operaciones con esa variable, (como si ya se conociera su valor) para este caso, primero se debe multiplicar la x por 3 y luego sumar a ese resultado 4 unidades, una vez se tenga el resultado, luego de este breve análisis se procede a realizar un proceso de inversión de dichos pasos y de las operaciones propuestas (despeje). Para este caso, primero se debe invertir el hecho de sumar 4 (con una resta) y luego invertir el hecho de multiplicar por 3 (con una división), paso por paso el proceso sería así:

3 Este proceso se suele resumir realizando operaciones inversas a las originales únicamente en el lado de la ecuación donde no se encuentra la variable, mientras se va quitando cada valor que no sea la variable en su correspondiente lado, por ejemplo: (Se suele decir algo como: el 4 está sumando pasa a restar ) (Se suele decir algo como: el 3 está multiplicando pasa a dividir ) Sin embargo, en cada proceso se evidencia que la variable x debe tomar el valor de, y en realidad lo que se desea expresar es que si la variable tomara dicho valor se obtendría una igualdad al realizar las operaciones. Esto podría comprobarse, al reemplazar la variable por el valor que acabamos de obtener y verificar que se genere una igualdad (de no ser así vale la pena decir que el despeje estuvo mal realizado o los cálculos fueron erróneos). Observe que ocurriría en este caso: Reemplazando: Se resuelven las operaciones en orden correcto a cada lado de la igualdad: Como se puede observar, se genera una igualdad, esto significa que el proceso de resolución de la ecuación fue el adecuado y que el valor de la variable debe ser igualdad. con el fin de satisfacer la Con matrices funciona igual, sin embargo, hay que tener mucho cuidado al despejar productos, dado que, la operación inversa al producto es la división (que a su vez es una multiplicación con la matriz inversa del divisor), esto debido a que hay una diferencia muy significativa entre multiplicar número Reales y matrices: NO HAY CONMUTATIVIDAD EN EL PRODUCTO MATRICIAL, SALVO EN CASOS MUY PARTICULARES AXB BXA Por lo tanto, el despeje con productos matriciales debe ser muy estricto en el orden en que se aplica, suponga la siguiente ecuación matricial:

4 Para realizar los despejes de A o B, se debe tener en cuenta en forma estricta el orden en que está propuesta la operación de multiplicación, por ejemplo, si se desea despejar A: Teniendo en cuenta que B es el segundo factor en la operación original la matriz inversa de B debe conservar ese mismo lugar. Si desea despejar B: Teniendo en cuenta que, A es primer factor, la matriz inversa y A debe mantener esa posición como primer factor luego de hacer el despeje. Ahora, para ilustrarlo de una forma más clara se resolverá la ecuación matricial propuesta en el ejemplo: Inicialmente se escribe la ecuación asignando nombres a cada matriz, con el fin de hacer más fácil de comprender el despeje, en este caso, se podría escribir la ecuación de la siguiente manera: Donde B sería la matriz de variables que se deben despejar (Nótese que es una ecuación muy parecida en su forma a la ecuación con números Reales que acabamos de resolver) Ahora, el siguiente paso es analizar el orden de las operaciones que deberían realizarse a cada lado de la ecuación: o Lado izquierdo: 1. Multiplicar AxB 2. Sumar a ese resultado la matriz C o Lado derecho: 1. Multiplicar 2 por D Ahora se analizará si es una ecuación consistente desde el punto de vista de las restricciones en las operaciones y los tamaños resultantes de cada operación: o Lado izquierdo: 1. Al multiplicar AxB se tiene una matriz de 3x3 por una matriz de 3x2, como coincide el número de columnas de A con el número de filas de B puede realizarse la operación y la matriz resultante será una matriz de 3x2

5 o 2. Para sumar la matriz resultante de AxB con C ambas deben ser matrices del mismo tamaño (en este caso ambas son de 3x2 por lo cual es posible y la matriz resultante es una matriz de 3x2 en el lado izquierdo) Lado derecho: 1. Al multiplicar 2 por una matriz de 3x2 el resultado es una matriz de 3x2 Ahora bien, como los tamaños de las matrices en el lado izquierdo y derecho coinciden es una ecuación consistente, de no ser así, no se podría resolver dado que, sería imposible obtener una igualdad sin importar los valores que diéramos a las variables. 1. Ahora se realizará el despeje de B según el orden que examinamos: 2. Es de vital importancia el hecho de agregar signos de agrupación (paréntesis) al momento de proponer el despeje del producto dado que, este debe realizarse con el resultado de la operación del paso anterior. Por lo tanto, si se desea encontrar B, es necesario calcular primero la matriz inversa de A, por lo cual esta debe ser invertible (cuadrada y con determinante diferente de cero), de no ser así la ecuación es inconsistente y no tendría solución. Para este caso, A es una matriz cuadrada y con determinante igual a 24 por lo cual podemos continuar con el proceso y calcular la inversa, obteniendo: Es muy importante verificar que esta sea la inversa (aplicando AxA -1 = I) 3. Una vez calculada la matriz inversa correspondiente se procede a reemplazar los nombres de las matrices por sus respectivos valores en el despeje:

6 ( ) 4. Ahora es el momento de calcular el resultado de la operación: ( ) () Por lo tanto se ha encontrado el valor de cada variable por equivalencia entre matrices. Ahora bien, es muy importante comprobar que cada variable estuvo bien calculada y la igualdad propuesta originalmente estará satisfecha, para esto, simplemente se deben remplazar los resultados en la ecuación original y que se genere una igualad entre los dos lados de la ecuación:

7 Como se genera una igualdad la ecuación queda satisfecha con los valores: Vale la pena resaltar que para entender y realizar de la mejor manera el proceso es necesario manejar las operaciones básicas con matrices, los procesos de despeje de ecuaciones (a nivel general) y ser muy cuidadoso al momento de realizar los cálculos. Para terminar un breve resumen de los pasos para solucionar ecuaciones matriciales: 1. Nombrar las matrices propuestas y generar una ecuación equivalente usando dichos nombres. 2. Analizar el orden en que deberían realizarse las operaciones en cada lado de la ecuación 3. Analizar si es una ecuación consistente revisando las restricciones de operaciones y los tamaños resultantes en cada lado de la ecuación. 4. Despejar. 5. Verificar que la matriz que debe invertirse sea no singular (invertible: cuadrada y con determinante diferente de cero). 6. Reemplazar cada matriz en el despeje propuesto y resolver las operaciones. 7. Verificar la solución. Este es un proceso que puede parecer complicado en principio, sin embargo, con el tiempo y la práctica se llega a dominar; vale la pena decir que este concepto de ecuación matricial es punto de partida para llegar a comprender los métodos numéricos que veremos más adelante para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( )

Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. ) ( + ( ) ( ) MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de matrices ( + ( ) ( + ( ) El tamaño o el orden de una

Más detalles

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares

Más detalles

Propiedades de la igualdad

Propiedades de la igualdad FAL-0_M3AA1L1_Igualdad Versión:Septiembre01 Revisor:SandraElviaPérez Propiedadesdelaigualdad Por:SandraElviaPérez Imagina que tienes una balanza y quieres pesar un kilogramo de azúcar. De un lado de la

Más detalles

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial

Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Matrices Invertibles y Elementos de Álgebra Matricial Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM 20 de agosto de 2008 Índice 121 Introducción 1 122 Transpuesta 1 123 Propiedades de la transpuesta 2 124 Matrices

Más detalles

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES

DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA UNIDAD OBJETIVO: Resolverá situaciones y problemas en los que se apliquen ecuaciones de primer grado con una incógnita, sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas, mediante métodos algebraicos

Más detalles

Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes.

Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes. Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES

Más detalles

CURSO PROPEDEUTICO DEALGEBRA PARA BQFT QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 2013 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA

CURSO PROPEDEUTICO DEALGEBRA PARA BQFT QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 2013 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA QUÍMICO FARMACEÚTICO BIOTECNÓLOGO CURSO PROPEDEUTICO AGOSTO 201 ELABORÓ ALEJANDRO JAIME CARRETO SOSA 1 Operaciones entre Quebrados (Fracciones) Sumar quebrados o fracciones: se calcula el común denominador,

Más detalles

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado Matemáticas Unidad 16 Ecuaciones de primer grado Objetivos Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando

Más detalles

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES

Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos

Más detalles

Modalidad virtual. Matemática

Modalidad virtual. Matemática EXPRESIONES ALGEBRAICAS, FÓRMULAS, ECUACIONES 1 En matemática es habitual trabajar con relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se denominan incógnitas o

Más detalles

Unidad 2. Matrices Conceptos básicos 2.2. Operaciones con matrices 2.3. Matriz Inversa 2.4. El método de Gauss-Jordan 2.5.

Unidad 2. Matrices Conceptos básicos 2.2. Operaciones con matrices 2.3. Matriz Inversa 2.4. El método de Gauss-Jordan 2.5. Unidad. Matrices.. Conceptos básicos.. Operaciones con matrices.. Matriz Inversa.. El método de Gauss-Jordan.. Aplicaciones Objetivos particulares de la unidad Al culminar el aprendizaje de la unidad,

Más detalles

CALCULO I UNIDAD I MATRICES. Instituto Profesional Iplacex

CALCULO I UNIDAD I MATRICES. Instituto Profesional Iplacex CALCULO I UNIDAD I MATRICES 1.3 Transformación de matrices A las matrices se les pueden realizar ciertas transformaciones o cambios internos, siempre y cuando no afecten ni el orden ni el rango de la misma.

Más detalles

Lección 5: Ecuaciones con números naturales

Lección 5: Ecuaciones con números naturales GUÍA DE MATEMÁTICAS I Lección 5: Ecuaciones con números naturales Observe la siguiente tabla y diga cuáles son los números que faltan. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 6 9 12 Es sencillo encontrar la regla

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE QUERÉTARO FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN CURSO PROPEDEÚTICO ÁREA: MATEMÁTICAS TEMA 1. ÁLGEBRA Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales. A

Más detalles

Unidad didáctica 1. Operaciones básicas con números enteros

Unidad didáctica 1. Operaciones básicas con números enteros Unidad didáctica 1 Operaciones básicas con números enteros 1.- Representación y ordenación de números enteros Para representar números enteros en una recta hay que seguir estos pasos: a) Se dibuja una

Más detalles

TEST DE DETERMINANTES

TEST DE DETERMINANTES Página 1 de 7 TEST DE DETERMINANTES 1 Si A es una matriz cuadrada de orden 3 con A = -2, a qué es igual -A? A -2 B 2 C 0 D -6 2 A -144 B 44 C 88 D -31 3 Indicar qué igualdad es falsa: A B C D 4 A -54 B

Más detalles

Lo rojo sería la diagonal principal.

Lo rojo sería la diagonal principal. MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).

Más detalles

TEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO

TEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO TEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO 1. MONOMIO Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplo: x

Más detalles

Ecuaciones e inecuaciones. Sistemas de ecuaciones e inecuaciones

Ecuaciones e inecuaciones. Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Ecuaciones e inecuaciones. Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M. a M. salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es Índice 1. Herramientas 6 1.1. Factorización

Más detalles

RESUMEN ALGEBRA BÁSICA

RESUMEN ALGEBRA BÁSICA RESUMEN ALGEBRA BÁSICA TERMINO ALGEBRAICO: Es una expresión matemática que consta de un producto (o cociente) de un número con una variable elevado a un exponente (o con varias variables). TÉRMINO ALGEBRAICO

Más detalles

Matemáticas B 4º E.S.O.- Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 1

Matemáticas B 4º E.S.O.- Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 1 Matemáticas B 4º E.S.O.- Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas. 1 ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS ECUACIONES Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene alguna letra llamada incógnita.

Más detalles

ECUACIONES.

ECUACIONES. . ECUACIONES... Introducción. Recordemos que el valor numérico de un polinomio (y, en general, de cualquier epresión algebraica) se calcula sustituyendo la/s variable/s por números (que, en principio,

Más detalles

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ). INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Más detalles

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ). 1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden

Más detalles

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE 3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método

Más detalles

MATERIAL DOCENTE MATEMATICAS 8 BASICO: ESTRATEGIAS Y GUIAS DE TRABAJO

MATERIAL DOCENTE MATEMATICAS 8 BASICO: ESTRATEGIAS Y GUIAS DE TRABAJO Especificaciones MATERIAL DOCENTE MATEMATICAS 8 BASICO: ESTRATEGIAS Y GUIAS DE TRABAJO I. Estrategia: se destacan en cada paso II. Contenidos: Repaso contenidos del primer Semestre. III. Esta estrategia

Más detalles

7.1 Números Racionales: números enteros, propiedades de los números y orden de operaciones. Prof. Kyria A. Pérez

7.1 Números Racionales: números enteros, propiedades de los números y orden de operaciones. Prof. Kyria A. Pérez 7.1 Números Racionales: números enteros, propiedades de los números y orden de operaciones Prof. Kyria A. Pérez Estándares de contenido y expectativas N.SO.7.2.1- Modela la suma, Resta, multiplicación

Más detalles

UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS

UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS El conjunto de los números complejos fue creado para poder resolver algunos problemas matemáticos que no tienen solución dentro del conjunto de los números reales. Por ejemplo

Más detalles

FICHAS REPASO 3º ESO. Para restar números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y después se aplican las reglas de la suma.

FICHAS REPASO 3º ESO. Para restar números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y después se aplican las reglas de la suma. FICHAS REPASO º ESO OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al prescindir del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de es y el valor absoluto

Más detalles

Desigualdades con Valor absoluto

Desigualdades con Valor absoluto Resolver una desigualdad significa encontrar los valores para los cuales la incógnita cumple la condición. Para ver ejemplos de las diferentes desigualdades que hay, haga Click sobre el nombre: Desigualdades

Más detalles

página 62 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE

página 62 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE página 6 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA SEGUNDO SEMESTRE TRIGONOMETRÍA ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS página 63 4 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 4. CONCEPTOS Y DEFINICIONES La palabra ecuación viene del latín,

Más detalles

Comparación y Orden: El termómetro marca -3ºC a la tarde y 7ºC a la noche, la temperatura, bajó o subió? Ubiquemos esos valores en la recta numérica:

Comparación y Orden: El termómetro marca -3ºC a la tarde y 7ºC a la noche, la temperatura, bajó o subió? Ubiquemos esos valores en la recta numérica: Números Enteros: En nuestro país tenemos un relieve montañoso al oeste y llano al este. Esto da por resultado una pendiente general del terreno hacia el Océano Atlántico. Pero la tierra se extiende bajo

Más detalles

1 Resolución de ecuaciones de 2º grado y ecuaciones bicuadradas. 4ºESO.

1 Resolución de ecuaciones de 2º grado y ecuaciones bicuadradas. 4ºESO. 1 1. ECUAC. 2º GRADO Y UNA INCÓGNITA Una ecuación con una incógnita es de segundo grado si el exponente de la incógnita es dos. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son: Esta última ecuación parece,

Más detalles

Introducción a Matrices y Eliminación Gaussiana

Introducción a Matrices y Eliminación Gaussiana Introducción a Matrices y Eliminación Gaussiana 1 Sistema de Ecuaciones Matricial 2 Definición Una matriz es un arreglo rectangular de valores llamados elementos, organizados por filas y columnas. Ejemplo:

Más detalles

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE PRIMER GRADO UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN es una igualdad entre dos epresiones algebraicas que contienen elementos desconocidos llamados incógnitas. RAÍZ O SOLUCIÓN de una ecuación

Más detalles

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com

EJERCICIOS PAU MATEMÁTICAS II ARAGÓN Autor: Fernando J. Nora Costa-Ribeiro Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com MATRICES Y DETERMINANTES 1- Sea m un número real y considere la matriz: 1 0 0 1 2 1 1 a) Determine todos los valores de m para los que la matriz A tiene inversa. b) Determine, si existe, la inversa de

Más detalles

Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada (Método de Gauss-Jordan).

Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada (Método de Gauss-Jordan). Ejemplo 19: Demuestre que la matriz A es invertible y escríbala como un producto de matrices elementales. Solución: Para resolver el problema, se reduce A a I y se registran las operaciones elementales

Más detalles

OPERACIONES CON POLINOMIOS

OPERACIONES CON POLINOMIOS 4. 1 UNIDAD 4 OPERACIONES CON POLINOMIOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios.

Más detalles

Que es la Aritmetica?

Que es la Aritmetica? Que es la Aritmetica? La Aritmética es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las estructuras numéricas elementales, asi como las propiedades de las operaciones y los números en si mismos

Más detalles

Es decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3

Es decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de

Más detalles

El determinante de una matriz se escribe como. Para una matriz, el valor se calcula como:

El determinante de una matriz se escribe como. Para una matriz, el valor se calcula como: Materia: Matemática de 5to Tema: Definición de Determinantes Marco Teórico Un factor determinante es un número calculado a partir de las entradas de una matriz cuadrada. Tiene muchas propiedades e interpretaciones

Más detalles

Factorización ecuación identidad condicional término coeficiente monomio binomio trinomio polinomio grado ax3

Factorización ecuación identidad condicional término coeficiente monomio binomio trinomio polinomio grado ax3 Factorización Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos: Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación. Una

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.1 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño

Matemáticas 2º E.S.P.A. Pág.1 C.E.P.A. Plus Ultra. Logroño ALGEBRA 1. LETRAS EN VEZ DE NÚMEROS En muchas tareas de las matemáticas es preciso trabajar con números de valor desconocido o indeterminado. En esos casos, los números se representan por letras y se operan

Más detalles

TEMA 3. ECUACIONES DE 1 er GRADO CON UNA INCÓGNITA.

TEMA 3. ECUACIONES DE 1 er GRADO CON UNA INCÓGNITA. TEMA 3. ECUACIONES DE 1 er GRADO CON UNA INCÓGNITA. 3.1 ECUACIONES Una ecuación es una epresión algebraica relacionada mediante el signo =, en la que las variables se denominan incógnitas. Llamamos primer

Más detalles

UNIDAD DE APRENDIZAJE II

UNIDAD DE APRENDIZAJE II UNIDAD DE APRENDIZAJE II NÚMEROS RACIONALES Jerarquía de Operaciones En matemáticas una operación es una acción realizada sobre un número (en el caso de la raíz y potencia) o donde se involucran dos números

Más detalles

UNIDAD 4. POLINOMIOS. (PÁGINA 263)

UNIDAD 4. POLINOMIOS. (PÁGINA 263) UNIDAD 4. POLINOMIOS. (PÁGINA 263) LENGUAJE ALGEBRAICO Una expresión algebraica es aquella que combina: números, operaciones y letras. Ejemplos de expresiones algebraicas: 3 + x x 2 y x + y x 2 y LENGUAJE

Más detalles

Matemáticas Aplicadas a los Negocios

Matemáticas Aplicadas a los Negocios LICENCIATURA EN NEGOCIOS INTERNACIONALES Matemáticas Aplicadas a los Negocios Unidad 4. Aplicación de Matrices OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD Al finalizar esta unidad, el estudiante será capaz de:

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

Más detalles

UNIDAD 7: MATRICES Y DETERMINANTES

UNIDAD 7: MATRICES Y DETERMINANTES UNIDAD 7: MATRICES Y DETERMINANTES En la presente unidad estudiaremos un tema muy importante dentro de la carrera de Informática como son las matrices y determinantes, conocimiento que tiene aplicación

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES.

MATRICES Y DETERMINANTES. MATRICES Y DETERMINANTES. Estas a punto de entrar en el maravilloso mundo de las matrices y un carajo! Intenta seguirme. Una matriz es una tabla de números ordenados de la manera siguiente. Las matrices

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES Dos ecuaciones lineales con dos

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES Dos ecuaciones lineales con dos de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive Solano 1 Febrero de 2015 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com de SISTEMAS DE ECUACIONES ES Y MATRICES Dos m con n Sergio Stive

Más detalles

Unidad 1 Los números de todos los días

Unidad 1 Los números de todos los días CUENTAS ÚTILES Módulo nivel intermedio. 3ra. Edición. Primaria Unidad 1 Los números de todos los días Los números naturales son aquellos que utilizamos para contar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,

Más detalles

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 7. UNIDAD 7 ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas que involucren la solución de ecuaciones de primer grado y de segundo grado

Más detalles

Ecuaciones de primer grado o lineales

Ecuaciones de primer grado o lineales CATÁLOGO MATEMÁTICO POR JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ BASE 8: ECUACIONES DE PRIMER Y DE SEGUNDO GRADO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES CON UNA SOLA INCÓGNITA: Teoría tomada de

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Ecuación es una igualdad que contiene por lo menos una incógnita, que se representa por medio de una letra, cuyo valor se debe averiguar. Por ejemplo: 3x + 2 = 4 donde debemos calcular

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y POLINOMIOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x

Más detalles

ECUACIONES. Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas (una de ellas puede ser un número), separadas por el signo =.

ECUACIONES. Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas (una de ellas puede ser un número), separadas por el signo =. ECUACIONES IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Una igualdad algebraica está formada por dos epresiones algebraicas (una de ellas puede ser un número), separadas por el signo. Ejemplos.- ( ) ;

Más detalles

Ecuaciones de primer grado

Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de primer grado º ESO - 3º ESO Definición, elementos y solución de la ecuación de primer grado Una ecuación de primer grado es una igualdad del tipo a b donde a y b son números reales conocidos,

Más detalles

MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN CAPÍTULO 1. SISTEMAS NUMÉRICOS

MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN CAPÍTULO 1. SISTEMAS NUMÉRICOS MATEMÁTICAS PARA LA COMPUTACIÓN CAPÍTULO 1. SISTEMAS NUMÉRICOS MÁS EJEMPLOS DE OPERACIONES ARITMÉTICAS EN DIFERENTES SISTEMAS NUMÉRICOS. AUTOR: JOSÉ ALFREDO JIMÉNEZ MURILLO AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO

Más detalles

DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P.

DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P. DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P. DEFINICIONES Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un texto matemático chino que proviene del año 300 A. C. a 200 A. C., Nueve capítulos

Más detalles

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices elementales Diciembre 2010 Contenido Definición y tipos de matrices elementales 1 Definición y tipos de matrices 2 3 4 elementales 5 elementales Definición 1.1 (Matriz) Una matriz de m filas y n columnas

Más detalles

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS Polinomios INTRODUCCIÓN Son múltiples los contextos en los que aparecen los polinomios: fórmulas económicas, químicas, físicas, de ahí la importancia de comprender el concepto de polinomio y otros asociados

Más detalles

FISICA I Repaso. Si el alumno no supera al maestro, ni es bueno el alumno; ni es bueno el maestro (Proverbio Chino)

FISICA I Repaso. Si el alumno no supera al maestro, ni es bueno el alumno; ni es bueno el maestro (Proverbio Chino) Si el alumno no supera al maestro, ni es bueno el alumno; ni es bueno el maestro (Proverbio Chino) Profesor: Cazzaniga, Alejandro J. Física I E.T.N : 28 - República Francesa Pág. 1 de 9 Conjuntos numéricos

Más detalles

TEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos:

TEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos: TEMA V 1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Realmente quien determina la naturaleza y las soluciones del sistema, no son las incógnitas: x, y,

Más detalles

UNIDAD 3. Fracciones algebraicas. Sistemas de Ecuaciones Lineales

UNIDAD 3. Fracciones algebraicas. Sistemas de Ecuaciones Lineales Matemática UNIDAD 3. Fracciones algebraicas. Sistemas de Ecuaciones Lineales Medio GUÍA N 1 FRACCIONES ALGEBRAICAS Una expresión racional o fracción algebraica es un cuociente de polinomios en una o más

Más detalles

Tema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice

Tema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice Tema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice 1. ECUACIONES... 2 1.1. Ecuaciones de primer grado... 2 1.2. Ecuaciones de segundo grado... 3 1.2.1. Ecuación de segundo grado completa...

Más detalles

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para :

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para : UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA6 abril-julio de 29 I / Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 2 y 23 de abril de 29. Tema : Matrices. Operaciones con matrices. Ejemplos. Operaciones elementales

Más detalles

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble producto del primero por el segundo.

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble producto del primero por el segundo. IDENTIDADES NOTABLES Definición Qué es una identidad notable? Es una identidad algebraica que, por su relevancia y por la gran cantidad de veces que se usa en las operaciones matemáticas, recibe el nombre

Más detalles

ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA

ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Unidad didáctica. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones ECUACIONES POLINÓMICAS CON UNA INCÓGNITA Las ecuaciones polinómicas son aquellas equivalentes a una ecuación cuyo primer

Más detalles

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 93

INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 93 INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA página 93 página 94 CONCEPTO Una ecuación es una especie de "adivinanza numérica", o sea que se hace un planteamiento cuya respuesta debe ser un número. Por ejemplo: "

Más detalles

RECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO

RECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO OBJETIVO RECONOCER EL GRADO, EL TÉRMINO Y LOS COEICIENTES DE UN POLINOMIO NOMBRE: CURSO: ECHA: Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de monomios, que son los términos del polinomio.

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Se dice expresión algebraica aquella que está formada por números y letras unidos mediante signos. 4x 2 + 1 2 3y Observa que existen dos variables x e y. En la siguiente expresión

Más detalles

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES

MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una

Más detalles

TRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte)

TRABAJO DE MATEMÁTICAS. PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte) TRABAJO DE MATEMÁTICAS PENDIENTES DE 1º ESO. (2ª parte) NÚMEROS RACIONALES REDUCCIÓN DE FRACCIONES AL MISMO DENOMINADOR Para reducir varias fracciones al mismo denominador se siguen los siguientes pasos:

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa

Más detalles

Lección 1. Algoritmos y conceptos básicos.

Lección 1. Algoritmos y conceptos básicos. Página 1 de 8 Lección 1. Algoritmos y conceptos básicos. Objetivos. La primera lección del curs está dedicada a repasar los conceptos y algoritmos del álgebra lineal, básicos para el estudio de la geometría

Más detalles

!MATRICES INVERTIBLES

!MATRICES INVERTIBLES Tema 4.- MATRICES INVERTIBLES!MATRICES INVERTIBLES!TÉCNICAS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR 1 Hemos hablado anteriormente de la matriz cuadrada unidad de orden n (I n ).. Es posible encontrar

Más detalles

Tema 2: Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Tema 2: Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Tema 2: Polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Polinomios Ecuaciones Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado Ecuaciones polinómicas de grado superior Ecuaciones racionales Ecuaciones

Más detalles

Instituto Tecnológico Autónomo de México. 1. At =..

Instituto Tecnológico Autónomo de México. 1. At =.. Instituto Tecnológico Autónomo de México TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ DEFINICION : Transpuesta Sea A = (a ij ) una matriz de mxn Entonces la transpuesta de A, que se escribe A t, es la matriz de nxm obtenida

Más detalles

Factorización de polinomios FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Factorización de polinomios FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 1. Polinomios Un monomio es el producto de un número real por una o más letras que pueden estar elevadas a exponentes que sean números naturales. La suma de los exponentes de

Más detalles

UNIDAD DE APRENDIZAJE I

UNIDAD DE APRENDIZAJE I UNIDAD DE APRENDIZAJE I Saberes procedimentales Interpreta y utiliza correctamente el lenguaje simbólico para el manejo de expresiones algebraicas. 2. Identifica operaciones básicas con expresiones algebraicas.

Más detalles

APUNTES ALGEBRA SUPERIOR

APUNTES ALGEBRA SUPERIOR 1-1-016 APUNTES ALGEBRA SUPERIOR Apuntes del Docente Esp. Pedro Alberto Arias Quintero. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander. Contenido MATRICES Y DETERMINANTES... ELEMENTOS

Más detalles

Opuesto de un número +3 + (-3) = (+5) = 0. N = 0,1, 2,3,4, Conjunto de los números naturales

Opuesto de un número +3 + (-3) = (+5) = 0. N = 0,1, 2,3,4, Conjunto de los números naturales Números enteros Opuesto de un número Los números enteros son una extensión de los números naturales, de tal forma, que los números enteros tienen signo positivo (+) ó negativo (-). Los números positivos

Más detalles

3. Ecuaciones, parte I

3. Ecuaciones, parte I Matemáticas I, 2012-I La ecuación es como una balanza Una ecuación es como una balanza en equilibrio: en la balanza se exhiben dos objetos del mismo peso en ambos lados mientras que en la ecuación se exhiben

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente

Más detalles

Índice. Funciones de Maple

Índice. Funciones de Maple INTRODUCCIÓN Con los avances de la tecnología, los cursos de matemáticas en nuestras universidades necesitan el apoyo computacional para la realización de cálculos en diferentes procedimientos, de tal

Más detalles

Inecuaciones lineales y cuadráticas

Inecuaciones lineales y cuadráticas Inecuaciones lineales y cuadráticas 0.1. Inecuaciones lineales Una inecuación lineal tiene la forma ax + b < 0 ó ax + b > 0 ó ax + b 0 ó ax + b 0. El objetivo consiste en hallar el conjunto solución de

Más detalles

Productos notables. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

Productos notables. Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios. Productos notables Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores. Se llama productos notables a ciertas expresiones

Más detalles

Potencias de exponente entero o fraccionario y radicales sencillos

Potencias de exponente entero o fraccionario y radicales sencillos Potencias de exponente entero o fraccionario y radicales sencillos I. Potencias de exponente entero La potencia es una operación matemática que sirve para representar la multiplicación de un número por

Más detalles

Cálculo de Determinantes. (c) 2012 Leandro Marin

Cálculo de Determinantes. (c) 2012 Leandro Marin 8. Cálculo de Determinantes 3 487 83 (c) Leandro Marin . Introducción El determinante de una matriz cuadrada es un problema que se puede resolver de diversas formas. Una de ellas es mediante una fórmula

Más detalles

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar.

Definición: Dos matrices A y B son iguales si tienen el mismo orden y coinciden los elementos que ocupan el mismo lugar. UNIDAD 03: MATRICES Y DETERMINANTES. 3.1 Conceptos de Matrices. 3.1.1 Definición de matriz. Definición: Se lama matriz de orden m x n a un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones y n columnas.

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA #1 CONTENIDO

UNIDAD DIDÁCTICA #1 CONTENIDO UNIDAD DIDÁCTICA #1 CONTENIDO OPERACIONES CON DECIMALES MULTIPLICACION DE DECIMALES DIVISIÓN DE DECIMALES OPERACIONES COMBINADAS CON DECIMALES POTENCIACIÓN DE DECIMALES HOJA DE EVALUACIÓN BIBLIOGRAFÍA

Más detalles

Definiciones I. Una solución de una ecuación son aquellos valores que al sustituirlos en la ecuación hacen que la igualdad sea cierta.

Definiciones I. Una solución de una ecuación son aquellos valores que al sustituirlos en la ecuación hacen que la igualdad sea cierta. Ecuaciones Definiciones I Una ecuación es una igualdad algebraica que se verifica únicamente para un conjunto determinado de valores de las variables o indeterminadas que forman la ecuación. a + b 2 =

Más detalles

Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio Propuesta A

Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado (PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio Propuesta A Pruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado PAEG) Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II - Junio 2011 - Propuesta A 1. Dada la ecuación matricial I + 3 X + A X B. Se pide:

Más detalles

Matemáticas. Matías Puello Chamorro. Algebra Operativa. 9 de agosto de 2016

Matemáticas. Matías Puello Chamorro. Algebra Operativa.  9 de agosto de 2016 Matemáticas Algebra Operativa Matías Puello Chamorro http://www.unilibrebaq.edu.co 9 de agosto de 2016 Índice 1. Introducción 3 2. Definiciones básicas del Algebra 4 2.1. Definición de igualdad............................

Más detalles