El despeje es directo = = El despeje es directo. = El despeje queda = Son similares a los despejes en N y Z. El despeje es directo 4 +6=11 2

Transcripción

1 Estudio del l conjunto de los números racionales Q (Segunda Parte) Ecuaciones en Q Una vez que conocemos bien las operaciones básicas en el conjunto Q (adición, multiplicación y división), podemos utilizar las mismas y algunas propiedades para resolver ecuaciones con solución racional. Separemos en casos algunos despejes y resolvamos ecuaciones en Q. En cada caso es la incógnita y,, y representan números enteros: Todos estos casos se explicaron en clase Caso 1) Caso 2) = = Combinando 1 y 2 El despeje es directo = = El despeje es directo = = = El despeje queda = Son similares a los despejes en N y Z Caso 3) + = El despeje es directo = Caso 4) = El despeje es directo = + Caso particular + = += = 1) Resolver las ecuaciones en Q a) =3 2 b) 2 3 =4 c) 2 e) 5 1=4 f) =5 3 g) +1 i) = j) = k) 4 +6= = = 9 10 d) h) l) 4 5 2= =2 1 2 = 4 2 Potenciación en Q Como en los números enteros y naturales la potencia en Q es una multiplicación abreviada de un racional (llamado base) multiplicado n-veces por él mismo (siendo el exponente). Así = (n-veces) Esto mismo ocurre en los números racionales, que cuando están representados en forma de fracción se aplica la potencia tanto al numerador como al denominador: = = = 1

2 Las propiedades de la potencia de números racionales son las misma que para enteros y naturales, con la excepción de que aquí se considera al exponente como número entero, es decir, puede ser positivo, negativo o cero. Por esa razón se agrega una más (*): Propiedad Escritura simbólica Producto de potencias de igual base = Potencia de exponente negativo (*) Cociente de potencias de igual base = = Potencia de exponente cero =1 Potencia de exponente uno = Potencia de una potencia = (*) En este caso es un entero positivo 1) Resolver aplicando propiedades de la potencia en Q: a) 3 4 b) 1 5 c) 3 10 e) f) g) d) 5 5 h) a) 2) Resolver la operación combinada y simplificar (cuando sea posible): b) c) e) f) g) d) h) 5 9 Representación decimal de los números racionales: Recordemos que la representación de los números racionales significa (además de fracción) una división. Cuando se resuelve esa división tenemos dos posibilidades: La división es exacta, con los cual la fracción es entera, o la división es inexacta. Si la división es inexacta tenemos tres casos: Caso 1: 1 expresión decimal limitada (o decimal exacto). Al resolver la división se sacan decimales y en algún momento la división da residuo cero. Por ejemplo, y y , ,25 0 2

3 Caso 2: 2 expresión decimal periódica pura. Al resolver la división después de comenzar a sacar decimales una cifra, o grupo de cifras, se repite infinitamente. Por ejemplo, y y ,6666 0, Caso 3: 3 expresión decimal periódica mixta. Al resolver la división y comenzar a sacar decimales encontramos una cifra, o grupo de cifras, y luego aparece el período. Por ejemplo, y y (resuelve las divisiones y verifica el decimal) Ejercicio adicional: recuerda cómo se resuelven operaciones con decimales: a) 2,3+1,6 b) 9,24 18 c) 3,5 0,12 d) 0,23+,023 e) 23 0,5 f) 2 1,192 3,5 Redondeo o aproximación: Primeramente debemos identificar algunas posiciones decimales:, é é é Para hacer una aproximación, o redondeo, debemos observar la cifra inmediata a la derecha de la aproximación que se quiere realizar, y seguidamente aumentar una unidad o mantener la misma cifra de acuerdo a los siguientes principios: Si la cifra a la derecha de la aproximación es 0,1,2,3 ó 4 mantenemos iguales cifras y eliminamos las restantes Si la cifra a la derecha de la aproximación es 5,6,,8 ó 9 se aumenta a la cifra siguiente y eliminamos las restantes Cantidad decimas centésimas milésimas diezmilésimas 45, , 45,2 45,28 45, , , 106,0 0, ,2 0,19 13,0299 1, ,03 1) Resolver usando aproximación a las centésimas: a), ,6665 b) 3 5 0,05523 c) 34,2229 2) Resolver usando aproximación a las milésimas: a), ,6665 b) 3 5 0,05523 c) 34,2222 d) 2,2 +1,2 d) 2,2 +1,212 3) Resolver la operación con las fracciones dadas y aproximar el decimal del resultado a las milésimas 5 a) b) c) d)

4 Reglas para escribir un número decimal en la forma /: Caso 1: 1 si el número es decimal exacto se forma el numerador con todas las cifras sin la coma y el denominador con la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Caso 2: 2 si el número es decimal periódico puro se forma el numerador con todas las cifras sin la coma menos la parte entera y el denominador con tanto nueves como cifras decimales tenga el número. Caso 1: 1 si el número es decimal periódico mixto se forma el numerador con todas las cifras sin la coma menos la parte entera y el anteperíodo sin la coma y el denominador con tantos nueves como cifras decimales tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras decimales tenga el anteperíodo. Notas: una vez que se escribe la fracción se debe simplificar la misma hasta hacerla irreducible. Esta fracción se llama fracción generatriz del número decimal. Para representar el período de una expresión decimal se coloca un arco agrupando las cifras: 2,3333 =2,3; 1, =1,25 Ejemplo del caso 1 Ejemplo del caso 2 Ejemplo del caso 3 Representar en fracción, Representar en fracción, Representar en fracción, =, =, Parte entera: 3 Parte decimal: 65 (exacto) Parte entera: 3 Parte decimal: 2 (período) Parte entera: 2 Parte decimal: 5 (anteperíodo) 51 (período) Numerador: 365 Denominador: 1000 Numerador: 32 3=369 Denominador: 99 Numerador: =2526 Denominador: 990 Fracción generatriz: =35 0 = Fracción generatriz: = = Fracción generatriz: = = 4) Hallar la fracción generatriz de: a) 1,1111 b) 0,5 c) 0,6666 d) 1,2333 e) 0, f) 3,12222 g),05 h) 1,12 i) 0,916 j) 1,8 k) 10,03 l) 1,0125 5) Encuentre el resultado exacto de la operación (es decir, use fracciones): a) 2,2 b) 1,3 c) +0,5 d) 1,16 6) Encuentre el resultado aproximado a las milésimas (tres posiciones decimales): a) 3,456 b) 0,06 c) +3,12525 d) 32, Notación Científica NC: Se usa para escribir cantidades (muy grandes o muy pequeñas) de forma abreviada, permitiendo así hacer operaciones con ellas de forma más cómoda. Si está bien escrita, o no se usa con excepción, la notación científica se expresa así: ú 4

5 Por ejemplo: La cantidad escrita en NC es 3,56 10 La cantidad 0, escrita en NC es,2 10 U.E.P. Instituto Educacional Aragua Matemática 1er Año - Prof.: Brizuela Analiza: Qué será más cómodo de resolver? , ,56 10,2 10 Es la misma operación pero en distinta notación Notas importantes: En el primer ejemplo el racional usado es menor a la cantidad original; por eso el exponente de la potencia es positivo En el segundo ejemplo el racional usado es mayor a la cantidad original; por eso el exponente de la potencia es negativo Esto también se recuerda por el movimiento de la coma decimal: Se mueve a la izquierda el exponente el positivo, se mueve a la derecha el exponente es negativo. Investigo y aprendo Haz una búsqueda en un libro (o por internet) y escribe 5 cantidades muy grandes y 5 cantidades muy pequeñas (incluyendo lo que significan) y luego represéntalas en notación científica Debemos saber que los enteros formados por una cifra también tienen NC, a saber = 10, por ejemplo. También existen ciertas normas para poder realizar operaciones entre ellos: Adición en NC: Primero debemos observar si las potencias son iguales; de ser así, se procede a operar los racionales correspondientes 10 ± 10 =± 10 Resolver Solución 6, ,0 10 6,25+2,0 10 =8, , ,6 10 4,023 1,6 10 =2,353 10, ,0 10 4, , , , , ,1 10 Casos particulares,12+5,0 10 =12,19 10 =1, ,56 3,80 10 =0,53 10 =, , , =3,45+0, =3, Conviene cambiar la NC más pequeña 5, ,41 10 =5,24 0,41=4, Conviene cambiar la NC más pequeña Aquí se está guardando el valor posicional Se realiza el cambio para poder establecer la adición correcta en el valor posicional que corresponde 5

6 ) Resolver: a) 3, ,06 10 b) 3,8 10 2,8 10 c) 4,2 10 +,3 10 d) 2,8 10 2,35 10 e) 1, ,3 10 f) 3, g) 6, h) 1, ,2 10 i) , ) Resolver usando la NC adecuada: a) 3, ,46 10 b), ,23 10 c) 8, ,4 10 d) 1, ,69 10 e) 4, f) 2, ,0 10 g) h) i) 2, Multiplicación y división en NC: Aquí no hay problema si las potencias son iguales o no lo son, lo único que debemos tomar en cuenta son las propiedades de la potenciación que ya conocemos: Se coloca base 10 para familiarizarse con la NC Producto de potencias de Cociente de potencias de Potencia de una potencia Potencia de exponente cero igual base igual base = =10 10 =10 10 =1 :! Para resolver las operaciones de multiplicación, hallamos el producto entre los racionales y resolvemos la operación con las potencias de igual base Resolver Solución 3, ,4 10 3,25 2,4 10 =,8 10 1, ,6 10 1,23 1,6 10 =1,968 10, ,0 10 2, ,25 10,12 5,0 10 =36, =3, ,61 10 y aproximación a centésimas 2,56 0,25 10 =0,64 10 =6,4 10 Para resolver las operaciones de división, hallamos el cociente entre los racionales y resolvemos la operación con las potencias de igual base 6

7 Resolver Solución 6, , =3, , ,5 10 4,56 1,5 10 =3,04 10 =3,04 4, , , =0, =8, , , =8,53 10 y aproximación a milésimas 4, ,241 3,2 10 =1, , ,2 10 Aproximación a milésimas opcional 9) Resolver usando NC : a) 6,3 10 1,4 10 b) 2,5 10 2,5 10 c) 9, d) 2,5 10 1, e) 3, f) g) 5, h) 1, i) , j) , k) 0, , l)