Tema 14 Mecánica Cuántica

Transcripción

1 Tema 14 Mecánica Cuántica 1

2 14.1 Fundamentos de la mecánica cuántica 14. La ecuación de Schrödinger 14.3 Significado físico de la función de onda 14.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno 14.5 Números cuánticos 14.6 Orbitales atómicos

3 14.1 Fundamentos de la mecánica cuántica A finales del siglo XIX se habían acumulado una serie de resultados experimentales que no era posible explicar con la teoría existente (Mecánica clásica) Nacimiento de la mecánica cuántica Planck, Einstein, Bohr, De Broglie, Schrödinger, Heisenberg... 3

4 Se sabe que los objetos calientes emiten luz de diferentes colores, por ej. Rojo oscuro: Elemento calefactor de un horno eléctrico. Blanco: Filamento de una bombilla eléctrica. La luz emitida por un objeto radiante caliente puede ser dispersada por un prisma produciendo un ESPECTRO DE COLOR CONTINUO. 4

5 Espectro de la radiación emitida por un cuerpo caliente Como puede verse en la Figura, la intensidad de la luz varía ligeramente con la longitud de onda, con un máximo a una cierta λ determinada por la temperatura de la fuente. Intensidad 7000 K 5000 K Longitud de onda Resultado experimental: Cuanto mayor es T, menor es λ máxima. 5

6 Como en el caso de los espectros atómicos, la física clásica no podía proporcionar una completa explicación de la emisión de la luz por los sólidos calientes, conocida como la radiación del cuerpo negro. La RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO es la que emite un cuerpo cuando se calienta. El Sol se comporta muy aproximadamente como un cuerpo negro 6

7 La teoría clásica predice que la intensidad de la radiación emitida debería aumentar indefinidamente (ver líneas discontinuas en la figura). Predicciones de la mecánica clásica Intensidad 7000 K 5000 K Longitud de onda 7

8 En 1900, Planck, para explicar que la intensidad no aumenta indefinidamente al disminuir la frecuencia, hizo una propuesta revolucionaria: la energía como la materia, es discontinua. Esta es la diferencia esencial entre la FÍSICA CLÁSICA y la nueva TEORÍA CUÁNTICA. La física clásica no limita la cantidad de energía que un sistema puede tener, mientras que la teoría cuántica limita esta energía a un conjunto discreto de valores específicos. 8

9 La diferencia entre dos de las energías permitidas de un sistema también tiene un valor específico llamado CUANTO de energía. El postulado de Planck puede resumirse por la ecuación: E = h ν E =energía de un cuanto de radiación electromagnética h= constante de Planck ν = frecuencia 9

10 En resumen: Ni la materia ni la radiación son continuas, están divididas en partículas de materia (partículas subatómicas) o de energía (fotones). Esta hipótesis explica: Los espectros de emisión de los elementos (H, He...) El efecto fotoeléctrico La radiación de cuerpo negro 10

11 La mecánica cuántica establece límites a la información que podemos tener de un sistema. Principio de Incertidumbre (Heisenberg, 197) x p h/ 4π Error en la medida Error en la medida de la posición del momento Es una limitación de la naturaleza 11

12 14. La ecuación de Schrödinger Sabemos que la radiación se puede comportar como partículas o como ondas, y lo mismo ocurre con la materia (difracción de electrones) Las ondas de materia son ONDAS ESTACIONARIAS La ecuación de propagación de las ondas de la materia es la ecuación de Schrödinger 1

13 Un e - o cualquier otra partícula que posea propiedades de onda podría ser descrita mediante una función matemática denominada FUNCIÓN DE ONDA ψ. Las funciones de onda son las soluciones de la ecuación n de Schrödinger 13

14 Función de onda Energía total del sistema H ( x) Ψ( x) = E Ψ( x) Operador hamiltoniano (equivalente cuántico a la suma de las energías cinética y potencial clásicas). La ecuación de Schrödinger es el equivalente a la conservación de la energía en la mecánica clásica E es lo que hay que comparar con la energía experimental del sistema. En Mecánica Cuántica a las magnitudes mensurables experimentalmente se les llama OBSERVABLES 14

15 15 ) ( ) ( ) ( ) ( x E x x V x d x d m Ψ = Ψ + Ψ = π h Energía cinética Energía potencial ) ( x d d m x T = Operador energía cinética V(x) Operador energía potencial En una dimensión (x) la ec Schrödinger se escribe ) ( ) ( ) ( x E x x H Ψ = Ψ

16 La ec de Schrödinger es una ecuación diferencial que se puede resolver en algunos casos aplicando métodos matemáticos. Solo algunas de esas soluciones tienen sentido físico En principio nosotros sabemos (o suponemos) como son los operadores energía cinética y energía potencial (interacciones eléctricas entre las partículas, ley de Coulomb) y RESOLVIENDO la ecuación de Schrödinger se obtienen E y ψ. 16

17 14.3 Significado físico de la función de onda En una onda convencional el cuadrado de la función de onda es proporcional a la intensidad de la radiación. En una onda de materia el cuadrado de la función de onda da la probabilidad de encontrar materia en ese determinado punto. 17

18 z r x y Ψ( r Probabilidad de encontrar ) d V = la partícula en un pequeño volumen dv 18

19 14.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno z Las funciones de onda se analizan en función de las 3 coordenadas (x, y, z) M y + x necesarias para definir p m (x, y,z) un punto con respecto El átomo de hidrógeno al núcleo. consta de un protón en el centro y un electrón girando a su alrededor e - 19

20 El átomo de H es uno de los pocos sistemas para el cual se puede resolver la ec. de Schrödinger EXACTAMENTE ( pero podemos resolverla para otros muchos átomos de una manera aproximada). Las soluciones de la ecuación de Schrodinger para el átomo de H proporcionan las funciones de onda para el e - en el átomo de H. Estas funciones de onda se llaman ORBITALES. Es decir, un orbital es la función de ondas de un solo electrón. 0

21 1 Ψ Ψ = + Ψ + Ψ + Ψ E r V z y x m ) ( ),, ( ) ( z y = Ψ x Ψ = Ψ r r e Z r V 0 4 ) ( πε = Depende de r(x,y,z) Función de onda para el átomo de hidrógeno Interacción Coulombica electrón-núcleo masa del electrón

22 14.5 Números cuánticos Cuando resolvemos la ecuación de Schrödinger para el átomo de H vemos que solo tiene solución para posibles valores de energía. E = - R n Constante de Rydberg n es un número entero (1,,3...) que llamamos número cuántico.

23 Cada valor de n caracteriza un nivel de energía del átomo de hidrógeno. n se denomina número cuántico principal EN EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO la energía depende SOLAMENTE de n En los demás átomos la energía depende de otros números cuánticos 3

24 El valor de la energía para n = 1 es el estado fundamental del sistema El resto de los estados (n 1) se llaman estados excitados Se puede pasar de un estado excitado a otro o al estado fundamental liberando energía 4

25 E n E = R 1 1 n 1 n n 1 La fórmula que explica qué líneas aparecen en los espectros de emisión es una consecuencia de cómo son las soluciones de la ecuación de Schrödinger 5

26 Al resolver la ec de Schrödinger no solo obtenemos las energías sino las funciones de onda ψ. Esas ψ son los ORBITALES ATÓMICOS que están definidos por TRES números cuánticos. n (número cuántico principal) n = 1,,3... l (número cuántico secundario) l = 0,1,... n-1 Determina las regiones de máxima probabilidad de encontrar al electrón y está relacionado con el momento angular m l (número cuántico magnético) m l = -l, ,+l Determina la orientación en el espacio de un orbital. 6

27 14.6 Orbitales atómicos Todos los orbitales con el mismo valor de n se encuentran en la MISMA CAPA Las capas se numeran de acuerdo a n Todos los orbitales con los mismos valores de n y l pertenecen a la MISMA SUBCAPA Las subcapas se definen mediante letras 7

28 Orbitales atómicos CAPA SUBCAPA ORBITAL 8

29 CAPA n = 4 9

30 Nº cuánticos posibles para n =4 n l =n-1 ml = -l...+l Tipo de orbital n = 4 l = 0 l = 1 l = l = 3 m l = 0 m l = 1 m l = 0 m l = -1 m l = m l = 1 m l = 0 m l = -1 m l = - m l = 3 m l = m l = 1 m l = 0 m l = -1 m l = - m l = -3 4 s 4 p x 4 p y 4 p z 4 d xy 4 d xz 4 d yz 4 d x-y 4 d z 4 f 4 f 4 f 4 f 4 f 4 f 4 f e - 6 e - 10 e - 14 e - 30

31 Orbitales s Nube electrónica Probabilidad Poseen simetría esférica 31

32 Orbitales p 3

33 Orbitales d 33

34 Para definir EL ELECTRÓN DENTRO DE LOS ORBITALES se necesita un cuarto número cuántico Número cuántico de espín s = m s = +1/ m s = -1/ Está relacionado con las propiedades magnéticas intrínsecas del electrón 34

35 El experimento de Stern-Gerlach Sirvió para detectar el espín del electrón IMÁN Haz de átomos de Ag N m s = +1/ rendija S m s = -1/ El haz se desdobla en 35

36 Número cuántico de spin El experimento de Stern y Gerlach en 190 reveló la necesidad de un cuarto número cuántico, asociado a un momento Angular intrínseco al electrón S=1/ Dos estados posibles m s =+1/ m s =-1/ 36

37 Spin del electrón Las funciones de onda de un solo electrón al considerar el spin se llaman spin orbitales. Podemos relacionar el spin con un momento angular intrínseco del electrón 37

38 Funciones de distribución radial Proporcionan la probabilidad de encontrar al electrón en función de la distancia electrón-núcleo: PROBABILIDAD p 1s s Distancia a 0 38