LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
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- Jaime Palma Suárez
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1 8 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD REFLEXIONA Y RESUELVE Algunos ites elementales Utiliza tu sentido común para dar el valor de los siguientes ites: a 2, 3, b 2, 3, 3 2 c 2, 3, d,, e,, f,, g, h,
2 Eponenciales y logarítmicas Recuerda cómo son las gráficas de algunas funciones eponenciales y logarítmicas: y = log 2 y = 2 = 1 2 y = 2 y = log 1/2 A la vista de estas gráficas, asigna valor a los siguientes ites: a 2, 2 b 2, 2 c log 2, log 2, log 2 d log 1/2, log 1/2, log 1/
3 UNIDAD 8 Con calculadora Tanteando con la calculadora, da el valor de los siguientes ites: a 8 0 b 3 ln c 1 + sen 2 1. Asigna ite finito o infinito a las siguientes sucesiones e identifica a las que no tienen ite: a a n = n 3 10n 2 b b n = 5 3n 2 n +5 n 2 c c n = d d n = 2 n n +1 π e e n = sen n f f n = 2 n g g n = 2 n hh n = 2 n 4 3
4 1. Si u 8 2 y v 8 3 cuando, calcula el ite cuando de: a u + v b v /u c 5 u d v e u v f 3 u 2. Si u 8 1 y v 8 0 cuando, calcula el ite cuando de: a u v b v u c v /u dlog 2 v e u v f 3 u 3. Halla los siguientes ites: a b
5 UNIDAD 8 4. Calcula estos ites: a b 2log Indica cuáles de las siguientes epresiones son infinitos ±@ cuando : a b 0,5 c 1,5 d log 2 e 1/ f g 4 h4 i 4 6. a Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos: log ,5 4 b Teniendo en cuenta el resultado anterior, calcula: log ,5 5
6 7. Si, cuando, f 8 +@, g 8 4, h u 8 0, asigna, siempre que puedas, ite cuando a las epresiones siguientes: a f h bf f c f + h d f e f h f u u g f /h h[ h] h i g h j u /h k f /u l h /u m g /u n + f ñ f h o + h p h h q 6
7 UNIDAD 8 8. Las funciones f, g, h y u son las del ejercicio propuesto 7 página anterior. Di cuáles de las siguientes funciones son indeterminaciones. En cada caso, si es indeterminación, di de qué tipo, y, si no lo es, di cuál es el ite: a f + h b f /h c f h d f h e f u f u h g [g /4] f h g f 1. Sin operar, di el ite, cuando, de las siguientes epresiones: a b 2 2 c d e f log 5 4 7
8 2. Calcula el ite, cuando, de las siguientes epresiones: a b c d e f
9 UNIDAD 8 3. Halla los siguientes ites cuando : 1 a b c d e f / Calcula estos ites cuando : 1 a b d e c f
10 5. Resuelve, aplicando la regla anterior: a 3 1 b Sin operar, di el ite cuando de las siguientes epresiones: 3 a b c 2 2 d 2 2 e 2 3 f g 2 2 h i j
11 UNIDAD 8 2. Calcula el ite cuando de las siguientes epresiones: a b c d e f g h
12 1. Si f = 3 y g = 2, di el valor del ite cuando tiende a de las siguientes funciones: a f + g bf g c f g d f g e g f 4 f 5 g 12
13 UNIDAD 8 2. Si f = l y g = m, entonces [ f + g ] = l + m. 8 a 8 a 8 a Enuncia las restantes propiedades de los ites de las operaciones con funciones empleando la notación adecuada. 3. Si p = +@, q = +@, r = 3 y s = 0, di, en los casos en que sea posible, el valor del de las siguientes funciones: [Recuerda que las epresiones +@/+@, +@ +@, 0 +@, 1 +@, 0/0 son indeterminaciones]. r p a 2p + q bp 3q c d p p s p e f g s p h s q q s i p r j r s 3 r k s l m r p n r q r p ñ 3 o [ r 3 r 3 ] s p 13
14 4. Calcula los ites siguientes: a b
15 UNIDAD 8 5. Calcula los ites siguientes: a 3 b Calcula: Calcula:
16 1. Encuentra cuatro intervalos distintos en cada uno de los cuales tenga una raíz la ecuación siguiente: = 0 Busca los intervalos entre 4 y 3. Comprueba que f 1,5 < 0 y tenlo en cuenta. 2. Comprueba que las funciones e + e 1 y e e se cortan en algún punto. 3. Justifica cuáles de las siguientes funciones tienen máimo y mínimo absoluto en el intervalo correspondiente: a 2 1 en [ 1, 1] b 2 en [ 3, 4] c 1/ 1 en [2, 5] d 1/ 1 en [0, 2] e 1/1 + 2 en [ 5, 10] 16
17 UNIDAD 8 17
18 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Límites cuando 8 ±@ 1 Sabiendo que a n = +@, b n y c n = 3, di en cuáles de los siguientes casos hay indeterminación. En los casos en que no la haya, di cuál es el ite: a n c n b n a a n + b n b b n + c n c d e c n b n f 3 c n a n g h 3 c n a n b n 3 c n b n 2 Calcula los ites cuando de las siguientes funciones: a f = b g = c h = d i =
19 UNIDAD 8 3 Calcula los ites de las sucesiones siguientes: 3n 2 + 6n 5n a b 2 7 2n + 1 n n c d 2n 3 3n n Calcula estos ites: a e 3 b 2 +1 c d e ln Calcula los siguientes ites y representa gráficamente los resultados obtenidos: a 0,5 + 1 b c 1 2 d
20 6 Halla: a b
21 UNIDAD 8 7 Calcula el ite de las siguientes funciones cuando : log a f = b g = log c h = d i = Calcula los siguientes ites: a b c 1,2 3 2 d
22 9 Calcula los siguientes ites: a b d 3 e c f
23 UNIDAD 8 10 Halla f y f en los siguientes casos: e si Ì 0 a f = 1 ln si > si? 0 b f = 3 si = 0 23
24 Límites en un punto 11 Sabiendo que: p = +@ q r = 3 s = di, en los casos en que sea posible, el valor de los siguientes ites: s a b [s ] p p 8 2 c [s q ] d [p 2q ] Calcula: 2 +3 [ 2 1 a 1 b 1 1 ]
25 UNIDAD 8 13 Calcula los siguientes ites: a b c d h 8 0 +h 2 2 h = = = 0 25
26 14 Calcula: 3 4 a [ ] b c d [ 3 ]
27 UNIDAD 8 15 Calcula: a b Continuidad 16 Averigua si estas funciones son continuas en = 2: 3 2 si < si Ì 2 a f = b f = 6 si Ó si > 2 27
28 s17 Estudia la continuidad de estas funciones: e si < 1 a f = ln si Ó 1 1/ si < 1 b f = 2 1 si Ó Halla los puntos de discontinuidad de la función y = y di si en alguno de ellos la discontinuidad es evitable. 28
29 UNIDAD 8 PARA RESOLVER 19 a Calcula el ite de la función f cuando 8 0, 8 2, 8 3,, f = b Representa gráficamente los resultados. 29
30 s20 Calcula el valor que debe tener k para que las siguientes funciones sean continuas: + 1 si Ì 2 a f = k si > 2 + k si Ì 0 b f = 2 1 si > 0 e k si Ì 0 c f = + 2k si > 0 Página 251 s21 Calcula el valor de k para que cada una de las siguientes funciones sea continua: si? 1 si? 1 a f = 1 b f = 1 k si = 1 k si = 1 30
31 UNIDAD si < 1 22 Estudia la continuidad de esta función: f = 2 si 1 Ì < si > 1 31
32 23 Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra 5. No obstante, si se le encargan más de 10 unidades, disminuye el precio por unidad, y por cada unidades cobra: 5 si 0 < Ì 10 C = a si > 10 a Halla a de modo que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran muchísimas unidades? El precio de una unidad es C /. s24 En el laboratorio de Biología de la universidad, han determinado que el tamaño T de los ejemplares de una cierta bacteria medido en micras varía con el tiempo t, siguiendo la ley: t + a si t < 8 horas T t = 3 + 3t 15 si t > 8 horas t 8 El parámetro a es una variable biológica cuya interpretación trae de cabeza a los científicos, pero piensan que puede haber un valor para el cual el crecimiento se mantenga continuo en t =8. a Decide la cuestión. b Investiga cuál llegará a ser el tamaño de una bacteria si se la cultiva indefinidamente. 32
33 UNIDAD 8 25 Dada f =, justifica que f = 1 y f =
34 26 Calcula el ite de las siguientes funciones cuando y cuando definiéndolas previamente por intervalos: a f = 3 b f = c f = +1 34
35 UNIDAD 8 27 Estudia la continuidad en = 0 de la función: y = 2 + Qué tipo de discontinuidad tiene? s28 Se define la función f del modo siguiente: ln 1 si > 1 f = a + b si Ì 1 Encuentra los valores de a y b para que la función sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas. 35
36 CUESTIONES TEÓRICAS 29 Si una función no está definida en = 3, puede ocurrir que f = 5? Puede ser continua la función en = 3? De una función continua, f, sabemos que f <0 si < 2 y f > 0 si > 2. Podemos saber el valor de f? 8 2 s31 Sea la función f = Podemos asegurar que dicha función toma todos los valores del intervalo [1, 5]? En caso afirmativo, enuncia el teorema que lo justifica. s32 Da una interpretación geométrica del teorema de Bolzano y utilízalo para demostrar que las gráficas de f = y g = 3 + cos se cortan en algún punto. Mira el ejercicio resuelto
37 UNIDAD 8 s33 Considera la función: f = El segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando = 2. Cómo elegir el valor de f2 para que la función f sea continua en ese punto? 34 De una función g se sabe que es continua en el intervalo cerrado [0, 1] y que 2 + para 0 < Ì 1 es g =. Cuánto vale g 0? s35 Dada la función: f = 4 1 si 0 Ì Ì e 2 si < Ì 1 2 observamos que f está definida en [0, 1] y que verifica f 0 = 1 < 0 y f 1 = e 1 > 0, pero no eiste ningún c é 0, 1 tal que f c = 0. Contradice el teorema de Bolzano? Razona la respuesta. f 37
38 s36 Se sabe que f es continua en [a, b] y que f a = 3 y f b = 5. Es posible asegurar que para algún c del intervalo [a, b] cumple que f c = 7? Razona la respuesta y pon ejemplos. s37 Halla razonadamente dos funciones que no sean continuas en un punto 0 de su dominio y tales que la función suma sea continua en dicho punto. s38 Tiene alguna raíz real la siguiente ecuación?: sen = 0 Si la respuesta es afirmativa, determina un intervalo de amplitud menor que 2 en el que se encuentre la raíz. s39 Demuestra que la ecuación = 0 tiene, al menos, una solución real. f 38
39 UNIDAD 8 s40 Una ecuación polinómica de grado 3 es seguro que tiene alguna raíz real. Demuestra que es así, y di si ocurre lo mismo con las de grado 4. s41 Si el término independiente de un polinomio en es igual a 5 y el valor que toma el polinomio para = 3 es 7, razona que hay algún punto en el intervalo 0, 3 en el que el polinomio toma el valor 2. s42 La función y = tg toma valores de distinto signo en los etremos del π 3π intervalo, y, sin embargo, no se anula en él. Contradice esto el 4 4 teorema de Bolzano? [ ] s43 Considera la función f =. Determina su dominio. Dibuja su gráfica y razona si se puede asignar un valor a f 0 para que la función sea continua en todo Á. 39
40 s44 Si eiste el ite de una función f cuando 8 a, y si f es positivo cuando < a, podemos asegurar que tal ite es positivo? Y que no es negativo? Justifica razonadamente las respuestas. s45 a Comprueba que [ln + 1 ln ] = 0. b Calcula [ln + 1 ln ]. s46 De dos funciones f y g se sabe que son continuas en el intervalo [a, b], que f a > g a y que f b < g b. Puede demostrarse que eiste algún punto c de dicho intervalo en el que se corten las gráficas de las dos funciones? 40
41 UNIDAD 8 s47 Si f es continua en [1, 9], f 1 = 5 y f 9 > 0, podemos asegurar que la función g = f + 3 tiene al menos un cero en el intervalo [1, 9]? 48 Escribe una definición para cada una de estas epresiones y haz una representación de f: a f = 3 b f c f = +@ d f e f = +@ f f =
42 PARA PROFUNDIZAR 49 Estudia el comportamiento de cada una de estas funciones cuando tiende a +@: a f = 3 cos sen b g = E [] c h = d j = 3 + sen 50 En una circunferencia de radio 1, tomamos un ángulo AOP de radianes. Observa que: PQ = sen, TA = tg y arco PA = Como PQ < PA < TA 8 sen < < tg A partir de esa desigualdad, prueba que: 8 0 sen = 1 ì O P Q T A 42
43 UNIDAD 8 sen 51 Sabiendo que = 1, calcula: sen 2 a b c sen sen tg d e f sen 2 1 cos 2 52 Supongamos que f es continua en [0, 1] y que 0 < f < 1 para todo de [0, 1]. Prueba que eiste un número c de 0, 1 tal que f c =c. Haz una gráfica para que el resultado sea evidente. Aplica el teorema de Bolzano a la función g = f. 43
44 AUTOEVALUACIÓN 1. Calcula los siguientes ites: a b c 1/1 d e log
45 UNIDAD 8 e si < 0 2. Dada la función f = : 1 si Ó 0 a Estudia su continuidad. b Halla f y f a Estudia la continuidad de f = y justifica qué tipo de discontinuidad tiene b Halla sus ites cuando y c Representa la información obtenida en a y b. 45
46 Halla a para que =. a Halla a y b para que esta función sea continua y represéntala: a 2 + b si < 0 a si 0 Ì < 1 f = a + b si 1 Ì 46
47 UNIDAD 8 π 6. Dada la función f = sen, demuestra que eiste un c é 0, 4 tal que 4 fc = fc Sea la función f = + e. Demuestra que eiste algún número real c tal que c + e c = 4. 47
48 8. Epresa simbólicamente cada una de estas frases y haz una representación gráfica de cada caso: a Podemos conseguir que f sea mayor que cualquier número K, por grande que sea, dando a valores tan grandes como sea necesario. b Si pretendemos que los valores de g estén tan próimos a 1 como queramos, tendremos que dar a valores suficientemente grandes. 48
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