Todo modelo matemático de PL debe respetar la siguiente estructura:

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1 PROGRAMACION LINEAL Formulación de modelos con variables Xi, Xij La formulación de modelos matemáticos utilizando programación lineal es el proceso mediante el cual una situación problemática, planteada en un enunciado verbal, se traduce en un enunciado matemático, empleando un conjunto de variables (x, y, ), operadores matemáticos y relaciones entre dos o más variables (,, =). Papel del análisis cuantitativo Fuente: Métodos Cuantitativos para los Negocios, Anderson 11th Todo modelo matemático de PL debe respetar la siguiente estructura: Definición de variables de decisión Función objetivo Representan a los valores sobre los cuales se desea tomar una decisión, es decir, están bajo el control del decisor. Ejemplos: Cantidad de soles a invertir en Cantidad de unidades a producir de Cantidad de avisos a publicar en Cantidad de encuestas a realizar Cantidad de personas a contratar para Es la fórmula matemática que resume el objetivo a optimizar. Ejemplos: Maximizar Utilidades Maximizar ingresos Maximizar ganancias Maximizar beneficios Minimizar Costos Minimizar Tiempo Minimizar riesgos

2 Restricciones estructurales Corresponden a los requisitos que deben cumplir los valores de las variables de decisión, las limitaciones impuestas de acuerdo al contexto del caso, etc. Qué limitaciones tiene el problema? ( ) Ejemplos: Dinero disponible para inversión Material Tiempo-máquina disponible Horas-hombre disponibles Inventario disponible Area disponible Número de vehículos para viajes Qué requerimientos tiene el problema? ( ) Ejemplos: Demanda Inversión mínima Compromisos contractuales Nota mínima para aprobación Cumplimiento mínimo de producción. Cantidad de trabajadores mínima. Qué condiciones de balance tiene el problema? (=) Ejemplos: Política de marketing Mezclas químicas (petróleo, medicina) Políticas de riesgo Fórmula de alimento balanceado Restricciones Identifican las características de las variables. de no Xi 0 Xi 0, entera negatividad PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Producción Una compañía dedicada a ensamblar equipos de cómputo, produce según la disponibilidad de mano de obra e insumos. El próximo mes se ensamblarán dos modelos de computadoras portátiles buscando la mayor utilidad total. En el cuadro, se muestran los componentes necesarios por modelo y la disponibilidad de cada componente, así como otros datos importantes: Tabla 1.1 Datos por modelo Componente Modelo 1 Modelo 2 Disponibilidad Pantalla LCD X X 800 u Cámara web - X 500 u Lector DVD X u Ensamble 35 min 30 min 600 horas Precio ($) Costo ($) Demanda mínima Máximo el 80% de la producción corresponderá al modelo 2; y que por cada docena de computadoras modelo 1 ensambladas, por lo menos se fabricarán 10 unidades del modelo 2.

3 2. Finanzas Mariano acaba de ganar medio millón de soles jugando a la lotería, y quiere invertir lo ganado comprando acciones, de manera que maximice su rendimiento. Sin embargo, para reducir el riesgo propio de invertir en bolsa, no desea colocar más del 40% de su dinero en ninguna de las opciones que ha identificado. Además, por cada 2 acciones adquiridas de la empresa B, máximo deberá comprar 3 de la empresa C. Del mismo modo, el dinero invertido en la empresa A, no debe superar el 60% de su inversión total. Gráfico 1.2. Datos por empresa Precio por Oferta Ganancia Empresa acción máxima esperada A S/ ,000 acciones 20 % B S/ ,300 acciones 13 % C S/ ,500 acciones 25 % 3. Programación de trabajadores Un problema usual en las estaciones de bomberos consiste en planificar las horas de trabajo de los voluntarios, de manera que se minimice el número total de bomberos asignados. Tabla 1.3 Requerimiento durante cada período del día Período Horario Cantidad de bomberos : :00-14: :00-18: :00-22: :00-02: :00-06:00 6 El turno de cada bombero es de doce horas consecutivas, y se debe tener en cuenta que solo podrán comenzar su turno al inicio de cualquier período, es decir, ningún bombero podría iniciar su turno a las 9:00, 11:00, etc. 4. Inventarios En octubre una empresa automotriz debe planear su producción del siguiente año para satisfacer la demanda de su modelo más económico en función de los pedidos anticipados. En la tabla 1.6 se muestra la demanda en miles de carros para cada bimestre. Se ha estimado que el costo de tener que mantener un carro de un bimestre al otro más los costos del seguro y del personal de vigilancia es de $420 bimestrales. Los costos de producción de los vehículos también varían a lo largo del año pues en el mes de marzo se espera un aumento en los salarios y los costos de los insumos también se incrementan. También se han estimado estos costos y se muestran en la misma tabla 1.6. El precio de venta es el mismo durante todo el año. Al comenzar el siguiente año se dispondrá de 2000 vehículos, este es el inventario inicial y se quiere que para el año siguiente queden al menos 2200 vehículos. Por políticas de la empresa, ningún pedido debe quedar sin satisfacerse totalmente. Tabla 1.6 Demanda y costo Bimestre Demanda di Costo Unitario de producción Ii: inventario al inicio del bimestre i Xi: producción del bimestre i

4 5. Publicidad. La Organización Internacional del Trabajo (OIT) se encuentra implementando el programa SCORE de apoyo a las PYMES, por el cual un equipo de formadores ayudará a desarrollar herramientas que les permitan incrementar su productividad. La oficina de marketing de la OIT está organizando la campaña de difusión para el año 2015 y ha considerado publicar anuncios en radio, televisión y revistas, teniendo en cuenta la siguiente información: Información por medio publicitario Medio Radio Televisión Revistas Costo por anuncio (en nuevos soles) Número máximo de avisos Audiencia por aviso El presupuesto asignado para la campaña publicitaria es de S/ Además con el propósito de lograr el uso homogéneo de los medios publicitarios, se ha establecido lo siguiente: Máximo el 60% del presupuesto disponible se puede utilizar para anuncios en revistas. Los anuncios en televisión deberán ser no más del 30% del total, mientras que los avisos por radio corresponderán como mínimo el 25% de todos los avisos publicados. Por cada dos anuncios en radio, se deberá publicar por lo menos 3 en revistas. Por lo menos el 20% de toda la audiencia debe corresponder a anuncios por televisión. Se desea lograr el número más alto de audiencia posible. 6. Decisiones de inversión GANA MUCHO Uno de los analistas financieros de la compañía de inversiones GANA MUCHO, ha recibido el encargo de un cliente de invertir soles. De acuerdo con la investigación realizada, el analista recomienda que las inversiones se realicen en empresas dedicadas a la agroindustria, en empresas mineras o en fondos mutuos, correspondiendo el índice de rentabilidad al que se indica a continuación: Rendimiento proyectado Inversión % 6.5 Fondos mutuos 5.4 Agroindustria Esparraguín 6.5 Agroavícola Feliz 5.8 Agrícola Siempre Fresh 7.4 Minera La Bonita 9.8 Minera Dorada La administración de GANA MUCHO cuenta con las siguientes políticas: La inversión en fondos mutuos deberán ser máximo el 40% de la inversión que se realicen en el sector agroindustrial y no puede ser menor al 20% del fondo disponible. El rendimiento proyectado del sector minero debe ser superior al rendimiento proyectado de las empresas agroindustriales. No se asignará más de soles a ningún sector (ni minero ni agroindustrial) La inversión en la opción de mayor riesgo no podrá superar el 65% de las inversiones en su sector, ni podrá ser menor al 15% del fondo a invertir. Formule un modelo que optimice el rendimiento proyectado.

5 7. Acciones. La señora Daisy acaba de heredar nuevos soles de su querido esposo Donald y se la ha ocurrido que considerando la estabilidad económica del país, sería una muy buena alternativa invertir en el mercado bursátil y le solicita a usted que la oriente acerca de la mejor forma de realizar dicha inversión. Usted hábilmente ha identificado las siguientes alternativas de inversión en el mercado bursátil: Tipo de inversión Precio por acción (soles) Ganancia por acción (soles) Mineras Industria textil Construcción Por cada 10 acciones que adquiera en las acciones del sector construcción deberá comprar no menos de 25 acciones de las empresas de la industria textil. La inversión en el sector minero deberá ser la más fuerte por lo que se recomienda invertir por lo menos la mitad de la inversión total en este sector. Las empresas de construcción constituyen un tipo de inversión con cierto riesgo por lo que debería invertirse en este sector máximo 30% del capital. 8. Bell. La Compañía Bell fabrica dos tipos de componentes electrónicos: diodos y bobinas. Cada diodo requiere dos minutos de tiempo en el departamento de ensamble, tres minutos de tiempo en el departamento de Control de Calidad y un minuto y medio de tiempo en empaque. Cada bobina requiere tres minutos de tiempo en ensamble, un minuto de tiempo en Control de Calidad y dos minutos en empaque. Existe un total de 300 minutos en Ensamble, 400 minutos en Control de Calidad y 400 minutos en Empaque disponibles cada día. Los diodos contribuyen en diez dólares a la utilidad, mientras que las bobinas en 8 dólares. La compañía desea determinar la programación de productos óptima que maximice la utilidad total. 9. Alimentos. El jefe de compras en una planta procesadora de alimento para animales domésticos, tiene que decidir las toneladas de pescado entero, pescado trozado y merma de pescado que deberá adquirir el próximo mes, de manera que consiga las mejores utilidades posibles. Sabe que cada tonelada de pescado entero generará ingresos por 19 mil $, mientras que cada tonelada de pescado trozado o de merma de pescado redituará 17 mil $ o 14.5 mil $ de ingresos, respectivamente. El costo de transformación de la materia prima en producto terminado se ha calculado en 10 mil dólares por tonelada. Cada tonelada de pescado entero o trozado requiere de 30 horas de procesamiento, mientras que cada tonelada de merma de pescado requiere de 40 horas. En la planta de producción se dispone de 240 horas en total. Las herramientas y equipos que se utilizan para procesar el pescado entero requieren de tres operarios por tonelada, en cambio las otras calidades de materia prima solo se necesitan dos operarios por tonelada. Un acuerdo con el sindicato establece el empleo de no menos de ocho operarios en total. El proveedor de pescado trozado nos ha informado que podrá abastecernos con un máximo de 6 toneladas. Además, con el fin de evitar excederse en los costos de producción se ha establecido que por cada cuatro toneladas de pescado trozado se deben adquirir por lo menos cinco toneladas de las otras variedades de materia prima, en conjunto. Se tiene un presupuesto de 500 mil $ para la producción (transformación), sin embargo, se ha decidido no invertir más del 40% de dicho capital en ninguna de las tres calidades de materia prima. Formule el modelo de programación lineal correspondiente al caso descrito.